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并贴讨论

设函数f:D->V，其中，DÍRⁿ且D是凸集，VÍR（即函数f是D到V的满射）。

对于"yÎV，设V(y)={x|f(x)³y,xÎD}，显然V(y)ÍD。

拟凹函数有两种等价的定义：

（1）对于"yÎV，V(y)恒为凸集；

（2）对于"tÎ[0,1]，"x1,x2ÎD，恒有f[tx1+(1-t)x2]³min{f(x1),f(x2)}。

现在的问题就是证明（1）与（2）是等价的。

（1）Þ（2）

对于"tÎ[0,1]，"x1,x2ÎD，设z=min{f(x1),f(x2)}，显然zÎV，x1,x2ÎV(z)，由（1）知V(z)是凸集；由凸集的定义知，对于"tÎ[0,1]，总有tx1+(1-t)x2ÎV(z)，即f[tx1+(1-t)x2]³min{f(x1),f(x2)}。

（2）Þ（1）

对于"yÎV，"x1,x2ÎV(y)，由V(y)的定义知min{f(x1),f(x2)}³y；由（2）知对于"tÎ[0,1]，恒有f[tx1+(1-t)x2]³min{f(x1),f(x2)}³y，即tx1+(1-t)x2ÎV(y)，于是V(y)是凸集。

“集合的凸性和函数的（拟）凹性是等价的”，

我们老师也是这样讲的...