每周一题3和4已经落下帷幕，这两次的参与人数较少（分别为2人和4人），还是说说我给这两次题目的思考吧：
首先，第三期题目：
问题1: 给定4位单身男生a, b, c, d, 以及4位单身女生A, B, C, D。他们对对方都有一个偏好排序（1>2>3>4), 可用如下矩阵表示：
...
那么，聪明的你能找出一个“稳定”的匹配么？请给出你的思路/方法。
鉴于两位参与者都给出了正确的答案，所以这里不给出具体细节，对这个问题感兴趣的同学推荐看看那本书～
这期的问题我感兴趣的是第2个问题和第3个问题：问题2: 下面考虑“换室友”问题，4个男生a b c d对其他男生都有一个偏好排序，如下面矩阵所示：
a,b,c,d 四人将分成两对、成为室友，那么是否存在稳定的室友匹配呢？
问题3: 上面两种问题有什么区别与联系？
可惜的是，没有人就这两个问题（2和3）给出了回答。（欢迎有想法的同学跟贴交流、探讨）
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下面，第四期题目：一位熟读博弈论的同学小C邀请你参加下面的赌局：
你和小C各拿出一枚硬币，每人都可以独立选择正面或背面朝上，用手盖住；待双方都做完选择后同时揭示选择：
若两人选择都是正面(Head)，则你（从小C处，下同）赢取20元；
若两人选择都是背面(Tail)，则你赢取x元；
若两人选择为一正一背面（1H1T），则你将输掉（输给小C）40元。
（假定双方都是理性人，追求金钱最大化）
问题：试用博弈论方法分析，当x分别为50，60，70时，你是否愿意参加这个赌局？为什么？
这个题目就涉及到我想澄清的一个概念，计算期望收益的时候一定要找到对应的概率分布！
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硬币的例子有点迷惑人，因为首先想到的就是1/2的分布，并且在经典的matching pennies例子中算出的均衡确实是1/2，然后得到了matching pennies是零和博弈（zero sum game），并且（碰巧）每个人的期望收益都是0，所以game可以看做是fair的。
这个题目，虽然也是零和博弈，但是如果我们算出这个game中每个人的期望收益，发现并不是都是0的。
为了计算期望收益，我们需要首先找到NE，（得到概率分布），然后再计算每个人的期望收益，具体步骤如下：
1. 写出payoff matrix，由于是零和，省略另一个人的收益:
20 -40
-40 x
混合策略均衡会使得对方选H和T的收益相等，20*p+(-40)*(1-p)=-40*p+x*(1-p)。以x=70为例，可以算出p=11/17.
同理，我们可以算出q=11/17.
2. 给定了双方的策略p=q=11/17，我们就可以算出每个人的期望收益了。事实上，由于选H和T的收益相等，所以任何mix的收益（对手play Nash)的时候＝选H的收益＝选T的收益，所以期望收益为: 20*11/17+(-40)*6/17<0（对于“我”）。
对于对手(C)，类似的，他的期望收益是-Y（假设我的期望收益为Y）
所以我们可以看到，这个game对于“我”来说，期望收益是小于0的，所以不应该参加(无论x=50,60,70)。
3. 那么x＝？的时候才是真正的“临界点”呢，答案就是x=80. 其实临界的时候刚好应该是两人的期望收益都是0.所以就方程：
20*p+(-40)*(1-p)=-40*p+x*(1-p) 左边来看，可以得到p=2/3。右边也等于0，即可得到x=80。
总结：这个题目告诉我们，不要被表面上的熟知的1/4 1/2 1/4的“经验分布”所迷惑。考虑期望收益的时候，一定要想清楚“概率分布”到底是什么。
其实，只有当自己计算期望收益的分布（猜的分布）与其他人选择的概率一致的时候，自己的选择才能站得住脚(justified)。如果我假设你一定选T，那么我选T就是最好的，但是这并不是NE，因为假设（你一定选T）是不“一致大”(consistent)，你的最优选择并不是“一定选T”。
欢迎跟贴交流讨论～希望每周1题活动能有更多人参与～第五期活动传送门...
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