自相关图（Autocorrelation）与偏相关图(Partial Correlation)

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收藏 2014-06-19

   这在时间序列分析中非常重要！
   AC为序列的自相关系数，即t期序列与t-k期序列的相关系数；PAC为序列的偏相关系数，即t期序列对t-1，t-2，……，t-k期序列做回归时的偏回归系数。Q统计量服从卡方分布，从Q的计算公式可知，Q的大小与自相关系数的大小呈正相关，因而当自相关系数越大，样本Q统计量越大，比它更大的Q统计量值越少，P值越小，越能拒绝自相关系数全为0的原假设，即序列存在自相关关系。另外，Q统计量还与滞后期K有关，是一个关于各期自相关系数平方的累积值。

   其实，观察自相关图与偏相关图最主要的目的还是确定序列的ARMA（p，q）模型的具体形式。首先，需要明确这样几对概念：
第一，自回归过程与移动平均过程。自回归由序列的滞后变量的线性组合以及白声噪（符合0均值固定方差的随机干扰项）相加而成，移动平均过程为白声噪的线性组合构成；
第二，拖尾和截尾。这一对概念从图表上很容易看出，前者指AC或者PAC呈几何衰减（指数式衰减或者正弦式衰减），后者指AC或者PAC在某一阶之前明显不为0，之后突然接近或者等于0.其实，从字面上也很好理解，拖尾就是拖拖拉拉，截尾就是抽刀断水。
其次是对ARMA模型的分解。

AR(p)模型，从自相关函数ACF来看，在自回归方程的基础上可以很简单地构造自相关系数，最后发现自相关系数等于w^k（w为自回归系数）,对于平稳时间序列（注意这一前提条件，如果放开这一条件图形将会很难识别），|w|<1，所以当w>0时，ACF呈现为指数式衰减至0。当w<0时，ACF则正负交替呈指数衰减至0，整体表现则是正弦式衰减；从偏相关函数PACF来看，这就相当明显了，因为PACF与自回归方程的形式完全一样，只是自回归方程只有滞后p期，而PACF则有更多的滞后项。于是乎，很明显，当k<=p,偏相关系数不等于0，当k>p，偏相关系数等于0，明显呈现出截尾现象。
MA（q）模型，从自相关函数ACF来看，在移动平均方程的基础上也可以很简单地构造自相关系数，这时候的自相关函数为分段函数，当k<=q,偏相关系数不等于0，当k>q，偏相关系数等于0，明显呈现出截尾现象；从偏相关函数PACF来看，任何一个可逆的MA（q）过程都可以转换成一个无限阶、系数按几何衰减的AR过程（将白噪声替换为序列的滞后形式即可），呈现拖尾现象。与AR（p）不同的是，当v>0（v为移动平均系数）时，PACF呈现为交替式正弦衰减。当v<0时，PACF则呈指数衰减至0。ARMA（p，q）模型则是两者的结合，实际判别p、q值时还是比较依赖经验的。