科斯定理详细分析（1）

4.3.1 科斯定理的内容

科斯定理(Coase theorem)由罗纳德·科斯（RonaldCoase）提出的一种观点，认为在某些条件下，经济的外部性或曰非效率可以通过当事人的谈判而得到纠正，从而达到社会效益最大化。科斯本人从未将定理写成文字，而其他人如果试图将科斯定理写成文字，则无法避免表达偏差。关于科斯定理，比较流行的说法是：只要财产权是明确的，并且交易成本为零或者很小，那么，无论在开始时将财产权赋予谁，市场均衡的最终结果都是有效率的，实现资源配置的帕雷托最优。

（一）在交易费用为零的情况下，不管权利如何进行初始配置，当事人之间的谈判都会导致资源配置的帕雷托最优；
（二）在交易费用不为零的情况下，不同的权利配置界定会带来不同的资源配置；
（三）因为交易费用的存在，不同的权利界定和分配，则会带来不同效益的资源配置，所以产权制度的设置是优化资源配置的基础（达到帕累托最优）
    科斯定理表明，市场的真谛不是价格，而是产权。只要有了产权，人们自然会“议出”合理的价格来。    但是，明确产权只是通过市场交易实现资源最优配置的一个必要条件，却不是充分条件。另一个必要条件就是“不存在交易成本”。
    科斯定理的精华在于发现了交易费用及其与产权安排的关系，提出了交易费用对制度安排的影响，为人们在经济生活中作出关于产权安排的决策提供了有效的方法。根据交易费用理论的观点，市场机制的运行是有成本的，制度的使用是有成本的，制度安排是有成本的，制度安排的变更也是有成本的，一切制度安排的产生及其变更都离不开交易费用的影响。
4.3.2 科斯定理的著名案例
    科斯在文章《社会成本问题》提出了牛吃小麦的著名例子，由于该例子内容较多，此处引用张五常在《经济解释》中的简化版本。
    “那所谓「不变定律」，是从六○年文内的畜牧与种植的例子推出来的。有相连的甲乙两块地，甲地用作养牛，乙地用作种麦。甲地的牛群跑到乙地吃麦，吃得胖胖的，但不付费，在边际上牛肉的增值一定会低于麦的损害，而麦的损害是社会成本的一部分。这样，社会成本（养牛的成本加麦的损害），就会高于私人成本（养牛的成本）。二者有分离，无效率，传统之见是ZF要抽养牛者的税。高斯问：牛吃麦的权利谁属？他先假设麦是种植者的私产，未经许可牛群不能侵犯。这样，如果所有交易费用是零，牛群吃麦若能使牛的增值在边际上高于麦的损害，养牛者就会出一个价给种麦者，让牛吃麦去也。种麦者乐于收费而让牛群吃麦，直至麦的损害在边际上与牛群的增值相等。维护产权的费用（交易费用）是零，养牛者或种麦者会建造一栏杆，位于麦的损害等于牛的增值的边际界线上。另一方面，在竞争下牛吃麦的收费，在边际上会与麦的损害与牛的增值相同。这结论不奇怪，奇怪的是高斯跟把权利倒转过来，竟然得到同样的结果。他转过来，假设吃麦的权利是养牛者所有，牛可以大吃特吃，权之所至，种麦者不能反对。这样，在交易费用不存在的情况下，吃麦的损害在边际上若高于牛群的增值，种麦的人就会出价给养牛者约束牛群。在竞争下，种麦的人所出的价是麦的边际损害，而若这价高于牛群吃麦在边际上的增值，养牛者就乐于收价而约束牛群了。栏杆建造的位置，会与种麦者有权禁止牛群吃麦的位置相同。这就是今天家喻户晓的高斯定律：权利只要明确地界定为私产，不管产权谁属，交易费用不存在，市场就会以交易的方法使麦的损害与牛的增值在边际上相等。畜牧与种植的私人成本也会与社会成本相同。这版本被称为「不变定律」，是因为不管产权谁属，栏杆的位置都是一样，不变。”
4.3.3 牛吃小麦案例分析4.3.3.1前提分析
    牛肉和小麦在市场上都有价格，假设牛肉的重量用m2表示，价格用p2表示；小麦的重量用m1表示，价格用p1表示；用△m1表示牛吃小麦的重量，即小麦的损失量；用△m2表示牛吃小麦而由小麦引起的体重的增加量。以△m1p1为横轴，表示小麦的经济价值；△m2p2为纵轴，牛肉的经济价值，将牛肉增加量乘以价格称为牛增长利益曲线。会有4种情况。
    1）第一种情况是牛增长利益曲线与等优直线f1（f1为△m1p1=△m2p2）没有交点，且均在直线f1的左上半部。曲线会有很多种情况，此处只画出曲线f3，f4，f5三种典型情况。在等优直线f1上，△m1p1=△m2p2，小麦的经济损失与牛肉的经济增长是相同的。在此直线上，牛吃多少小麦，对最后养牛者和种麦者的总利润是没有影响的。曲线f3，f4，f5表示增长的牛肉的经济收益要大于小麦的损失。

                              

    2）第二种情况是牛增长利益曲线与等优直线f1没有交点，且均在直线f1的右下半部。曲线会有很多种情况，此处只画出曲线f6，f7，f8三种典型情况。曲线f6，f7，f8表示增长的牛肉经济收益要小于小麦的损失。

    3）第三种情况是牛增长利益曲线与等优直线f1有交点，但是开始时的增长的牛肉经济收益要小于小麦的损失，在牛吃小麦的重量达到某点后，增长的牛肉经济收益要大于小麦的损失。如曲线f9所示。

    4）第四种情况是牛增长利益曲线与等优直线f1有交点，开始时的增长的牛肉经济收益要大于小麦的损失，在牛吃小麦的重量达到某点后，增长的牛肉经济收益要小于小麦的损失。如曲线f2所示。

    在现实世界中，牛肉和小麦都是可以在市场上作为食物出售的，养牛者与种小麦的收益不会相差很大。如果让牛吃小麦来成长的话，是不符合经济利益的。因为小麦的价格要比草和牛饲料贵得多，这样养牛者的利润就会减少许多，养牛者的竞争力会下降很多，很可能因此出局。并且草和牛饲料可能比小麦更能增加牛的重量。这个例子是为了理论分析，符不符合现实情况对理论的结果没有什么影响。

    第一和第二种情况下，牛肉增长利益曲线与等优曲线没有交点，没有讨论的必要；第三条曲线为开始的小麦经济损失大于牛肉的增值，此时养牛者是否允许牛吃小麦还要看后来过交点后的收益到底有多大，也可能养牛者开始就不让牛吃小麦，此种情况存在不确定性，暂不考虑。第四种情况为科斯所想要讲诉的情况，开始时牛肉的增值大于麦子的经济损失，等到两曲线相交时，养牛者会阻止牛继续吃小麦，总利润最大，总利润为两曲线所包围的面积。

4.3.3.2牛吃小麦的系统分析
    牛吃小麦的系统框图如下图所示，麦子和牛分别为种麦者和养牛者的私产，二者均追求自身的利润最大化。小麦的损失会导致小麦的利润增额的减少；小麦的损失会使牛的重量增加，增加养牛者的利润。
    分两种情况，一种为牛吃麦的权利归种麦者，种麦者有索偿的权；，一种为牛吃麦的权利归养牛者，养牛者有索偿的权利。
4.3.3.2.1 牛吃麦的权利归种麦者
    当牛吃麦的权利归种麦者，牛吃麦子会对种麦者造成损失，种麦者有向养牛者索要牛吃麦子所造成的经济损失的权利。

让我们回到牛吃麦子的边际曲线函数上，即上边讨论的第四种情况。重复一遍我们的假设：牛开始吃麦子所增长的体重带来的经济利益要高于麦子损失的经济利益，随着时间的推移，牛吃同样麦子所增长的体重越来越少，到达牛吃麦子所增长的体重正好等于麦子的经济损失，时间再往后推移，牛吃麦子所增长体重的经济利益要小于所吃麦子的经济利益。在等优曲线上，牛吃麦子所增长体重的经济利益与所吃麦子的经济利益相同。设麦子的边际利益函数为f1(△m1)，其中△m1为牛吃麦子的边际重量，△m1为自变量，则f1(△m1)=△m1p1，得到麦子的利益函数为 \[{F}_{1}=\int_{0}^{{m}_{1}}{f}_{1}(\Delta {m}_{1})={m}_{1}{p}_{1}\]。设牛的边际利益曲线为f2(△m1)，则f2(△m1)=△m2p2，其中△m2为麦子边际重量△m2引起的牛肉的重量增加，则牛的利益函数为\[{F}_{2}=\int_{0}^{{m}_{1}}{f}_{2}(\Delta {m}_{1})\]。

    如下边系统框图所示对于种麦者的利润为：y1=r-m1p1，其中r为养牛者补偿的小麦的经济损失。

    对于养牛者的利润为：y2=m2p2-r
    二者总利润增量：y=y1+y2。

结合上边的分析，种麦者的利润为 ：\[{Y}_{1}=r-{F}_{1}=r-\int_{0}^{{m}_{1}}{f}_{1}(\Delta {m}_{1})=r-{m}_{1}{p}_{1}\]

对于养牛者的利润为：\[{Y}_{2}={F}_{2}-r=\int_{0}^{{m}_{1}}{f}_{2}(\Delta {m}_{1})-r\]

    二者总利润：Y=Y1+Y2=(r-F1)+(F2-r)=F2-F1
    当索取权归种麦者时，假设养牛者只支付牛所吃小麦的经济损失；养牛者和种麦者之间没有称量小麦损失重量的考察费用，没有签订赔偿合同的费用，没有讨价还价等的各种交易费用。此时情况是符合科斯定理第一条所要求的情况，交易费用为0。我们来考察是否会导致资源配置的帕雷托最优？

此时种麦者的所得到的补偿r正好等于小麦损失量m1的经济损失m1p1，即他的利润为：\[{Y}_{1}=r-{F}_{1}=r-\int_{0}^{{m}_{1}}{f}_{1}(\Delta {m}_{1})=r-{m}_{1}{p}_{1}= {m}_{1}{p}_{1}-{m}_{1}{p}_{1}=0\]。种麦者的利润为0，种麦者在经济上没有得到什么也没有损失什么。

此时养牛者者的付出的补偿r正好等于小麦损失量m1的经济损失m1p1，即养牛者的利润为：\[{Y}_{2}={F}_{2}-r=\int_{0}^{{m}_{1}}{f}_{2}(\Delta {m}_{1})-\int_{0}^{{m}_{1}}{f}_{1}(\Delta {m}_{1})=\int_{0}^{{m}_{1}}({f}_{2}(\Delta {m}_{1})-{f}_{1}(\Delta {m}_{1}))\]。养牛者追求的利润\[{Y}_{2}=\int_{0}^{{m}_{1}}({f}_{2}(\Delta {m}_{1})-{f}_{1}(\Delta {m}_{1}))\]最大化。对\[{Y}_{2}=\int_{0}^{{m}_{1}}({f}_{2}(\Delta {m}_{1})-{f}_{1}(\Delta {m}_{1}))\] 进行求导得到y2=f2(△m1)-f1(△m1)。令导数y2为0，即y2=f2(△m1)-f1(△m1)=0，求得极值点为m1Ap1（参见下图A点）。由于在A点的左边导数y2=f2(△m1)-f1(△m1)>0，则Y2在(0,A]区间内单调递增；在A点的右边y2=f2(△m1)-f1(△m1)<0，则Y2在[A,+∞)区间内单调递减，所以极值点A点是函数Y2的最大值点，OBAC所包围的绿色面积就是养牛者所获得的最大利润，红色和绿色的面积之和为养牛者所获的利益，而红色为赔偿给种麦者的损失。二者的总利润\[Y={Y}_{1}+{Y}_{2}=( r-{F}_{1})+({F}_{1}-r)= {F}_{2}-{F}_{1}=\int_{0}^{{m}_{1A}}({f}_{2}(\Delta {m}_{1})-{f}_{1}(\Delta {m}_{1}))\] ，即二者的总利润为OBAC所包围的绿色面积。

    1）所以在交易费用为零的情况下，权利归属于种麦者，资源配置的会达到帕雷托最优；
4.3.3.2.2 牛吃麦的权利归养牛者
    当牛吃麦的权利归养牛者，牛不吃麦子会对养牛者造成损失，养牛者有向种麦者索要牛不吃麦子所造成的经济损失的权利。
    对于养牛者的利润为：y2=r-m2p2，其中r为种麦者补偿给养牛者的牛不吃小麦的所造成的经济损失。

    对于种麦者的利润为：y1=m1p1-r。
    总利润增量：y=y1+y2。

与上类同得到，养牛者者的利润为：\[{Y}_{2}=r-{F}_{2}=r-\int_{0}^{{m}_{1}}{f}_{2}(\Delta {m}_{1})=r-{m}_{2}{p}_{2}\]

对于种麦者的利润为：\[{Y}_{1}={F}_{1}-r=r-\int_{0}^{{m}_{1}}{f}_{1}(\Delta {m}_{1})-r\]

二者总利润：Y=Y1+Y2=(F1-r)+(r-F2)=F1-F2
    当索取权归养牛者时，假设种麦者只支付牛不吃小麦的所造成的牛未增重经济损失；养牛者和种麦者之间没有称量牛肉损失重量的考察费用，没有签订赔偿合同的费用，没有讨价还价等的各种交易费用。此时情况是符合科斯定理第一条所要求的情况，交易费用为0。我们来考察是否会导致资源配置的帕雷托最优？

此时养牛者的所得到的补偿r正好等于牛重损失量m2的经济损失m2p2，即种麦者的利润为：\[{Y}_{1}={F}_{1}-r=\int_{0}^{{m}_{1}}{f}_{1}(\Delta {m}_{1})-\int_{0}^{{m}_{1}}{f}_{2}(\Delta {m}_{1})=\int_{0}^{{m}_{1}}({f}_{1}(\Delta {m}_{1})-{f}_{2}(\Delta {m}_{1}))\]。种麦者追求的利润\[{Y}_{1}=\int_{0}^{{m}_{1}}({f}_{1}(\Delta {m}_{1})-{f}_{2}(\Delta {m}_{1}))\] 最大化，且追求利润为正值。

对\[{Y}_{1}=\int_{0}^{{m}_{1}}({f}_{1}(\Delta {m}_{1})-{f}_{2}(\Delta {m}_{1}))\]进行求导得到y1=f1(△m1)-f2(△m1)。令导数y1为0，即y1=f1(△m1)-f2(△m1)=0，求得极值点为m1Ap1（参见下图A点）。由于在A点的左边导数y1=f1(△m1A)-f2(△m1A)<0，则Y1在(0,A]区间内单调递减；在A点的右边y1=f1(△m1C)-f2(△m1C)>0，则Y1在[A,+∞)区间内单调递增，所以极值点A点是函数Y1的最小值点。所以种麦者在0点或在+∞点取得利润最大值。在0点处，种麦者获得的经济收益为所有麦子的经济利益。养牛者没有吃麦，他吃麦的权利没有使用。由于养牛者有吃麦的权利，所以养牛者会获得牛不吃麦所导致的牛肉未增长的经济损失。所以在0点处，不会达到均衡点。在(0,A]区间内，导数y1=f1(△m1B)-f2(△m1B)<0，麦子的边际收益要小于牛吃麦子所获得的边际收益，利润Y2在(0,A]区间内单调递减，利润小于0，并且在A点处达到最小。在(0,A]区间内不符合种麦者追求利润大于0的假设，所以种麦者会不行动。从另一个角度来说，养牛者有牛吃麦的权利，牛吃麦子越多，牛的增重就可能越多。如果种麦者不让牛吃麦，那么他所付出的的补偿应该是牛不吃麦所导致没有增加体重的经济损失。在(0,A]区间内由于牛的边际收益大于麦子的边际收益，此时牛吃麦子的经济收益大于麦子的经济收益。如果种麦者作为而不让牛吃麦子，那么种麦者得到的是麦子的利益，付出的是赔偿牛不吃麦子所引起的经济损失，此时种麦者的利润为负值，不符合追求利润最大化且大于0的假设；而如果种麦者不作为的话，他没有得到麦子的利益，也没有失去麦子的利益，利润为0。利润为0比利润为负值要大，所以在(0,A]区间内，种麦者会选择不作为。在在[A,+∞)区间内，导数y1=f1(△m1C)-f2(△m1C)>0，麦子的边际收益要大于牛吃麦子所获得的边际收益，利润Y1在[A,+∞)区间内单调递增，利润大于0，并且在A点处达到最小。在[A,+∞)区间内，麦子的边际收益要大于牛吃麦子所获得的边际收益，如果种麦者不让牛吃麦，种麦者得到的是麦子的收益，付出的补偿应该是牛不吃麦所导致没有增加体重的经济损失，此时收益大于补偿，有利可图。而如果种麦者不作为的话，他没有得到麦子的利益，也没有失去麦子的利益，利润为0。相比之下，有利润要比没利润大，种麦者在在[A,+∞)区间内会选择作为，不让牛吃麦子。所以最后会在A点处达到均衡。

    Om1DEC所包围的面积就是养牛者所获得的最大利润。紫色色和蓝色的面积之和为种麦者所获的利益，而蓝色为赔偿给养牛者的损失，紫色为种麦者的利润。牛吃麦权利的归属不同时，种麦者和养牛者各自所获得的利润也是不同的。
    2）所以在交易费用为零的情况下，权利归属于养牛者，资源配置的会达到帕雷托最优
    综上所述，不管牛吃麦的权利归种麦者还是养牛者，最后资源配置都会达到帕累托最优。
    所以：（一）在交易费用为零的情况下，不管权利如何进行初始配置，当事人之间的谈判都会导致资源配置的帕雷托最优；