这道题相当于证明：“偏好连续”当且仅当“{y∈X | x>=y} & {y∈X  | y>=x}是闭集”。因为，开集的补集是闭集。那么，现在我们就证明这个新的命题。

充分性：对于任意 yn ∈ {y∈X | y>=x}，有 ybar=lim(yn)，取 xn=x，则 x=lim(xn)，因为 yn>=xn，则
ybar >= x，从而 {y∈X | y>=x}是闭集（这是因为，集合内任一序列的极限仍然在集合内）。

必要性：（这个稍微麻烦点）
（1）（铺垫）如果 x>y，则存在z，使 x>z>y，因为 {w∈X | z>=w} & {w∈X  | w>=z}是闭集，则
A={x∈X | x>z} & B={y∈X  | z>y}是开集，则
对于任意 x∈A，存在Bx，Bx∈A 对任意 x'∈Bx 成立，则x'>z
对于任意 y∈B，存在By，By∈B 对任意 y'∈By 成立，则z>y'
从而 x'>y'
（2）（反证法）如果y>x，根据上面，就存在 Bx，By，对于任意 x'∈Bx，y'∈By 有 y'>x'
对于任意 xn→x，yn→y，xn>=yn，则
存在N1，对任意n>N1，xn∈Bx
存在N2，对任意n>N2，yn∈By
取 n0 = max{N1，N2}，则 yn0>xn0，发生矛盾。
从而，x>=y必须成立（偏好连续性的定义）。也就是说，偏好是连续的。

以上答案是我现场手敲的，希望还能令你满意。如果觉得可以就采纳吧，谢谢~

楼主您看行么，行就采纳吧

谢谢，虽然没用上，但是第一个回复！