积分变换
(第二版)
祝同江 编著

目 录
第二版前言 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1
第一版前言 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4
第一章 Fourier 变换 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1
§1 .1 Fourier 积分和 Fourier 变换的概念 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1
1. 主值意义下的反常积分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1
2. Fourier 变换的概念和 Fourier 积分定理 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5
习题 1 .1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9
习题答案 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10
§1 .2 δ函数及其 Fourier 变换 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10
1. δ函数和δ型序列 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11
2. δ函数的积分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14
3. δ函数的 Fourier 变换和 Fourier 变换的线性性质 ⋯⋯⋯ 16
4. 单位阶跃函数的 Fourier 变换及其性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 18
5. 分段可微函数的单位阶跃函数表示及其导数 ⋯⋯⋯⋯⋯ 20
习题 1 .2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 22
习题答案 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 23
§1 .3 Fourier 变换的性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 24
1. 位移性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 24
2. 微分性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 25
3*. 积分性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 28
4*. 对称性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 29
习题 1 .3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 30
习题答案 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 32
第二章 Laplace变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 33
§2 .1 Laplace 变换的概念和存在定理 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 33
1. Laplace 变换的概念及其线性性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 33
2. Laplace 变换存在定理和象函数的微分性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 36
3. 幂函数的 Laplace 变换与 Gamma 函数Γ( x ) ⋯⋯⋯⋯⋯ 39
习题 2 .1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 40
习题答案 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 41
§2 .2 逆变换的计算和位移性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 42
1. 用留数计算 Laplace 逆变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 42
2. Laplace 变换的延迟性质———时域上的位移性质 ⋯⋯⋯⋯ 46
3. Laplace 变换象函数的位移性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 48
4. 周期函数的 Laplace 变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 49
习题 2 .2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 50
习题答案 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 52
§2 .3 Laplace 变换的微分性质与积分性质及其应用
———常微分方程的 Laplace 变换解法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 54
1. 象原函数的微分性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 54
2. 象原函数的积分性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 56
3. 象函数的积分性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 57
4. 常微分方程的 Laplace 变换解法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 60
习题 2 .3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 63
习题答案 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 64
§2 .4 * * 复合函数的Laplace 逆变换与初值定理和终
值定理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 65
1. 复合函数的 Laplace 逆变换 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 66
2. 初值定理 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 72
3. 终值定理 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 74
习题 2 .4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 80
习题答案 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 81
第三章 卷积定理和积分变换的应用 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 83
§3 .1 卷积和卷积定理 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 83
1. 卷积的概念及其存在性 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 83
2. 卷积的性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 88
3. Fourier 变换的卷积定理 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 90
4. Laplace 变换的卷积定理 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 92
5. * 广义函数的卷积及其积分变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 94
习题 3 .1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 100
习题答案 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 101
§3 .2 * Fourier 变换中的乘积定理和相关函数 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 102
1. Fourier 变换中的乘积定理和能量积分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 102
2. 相关函数及其性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 104
3. 能量谱密度及其性质 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 105
4. 相关函数与能量谱密度的关系 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 107
习题 3 .2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 108
习题答案 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 109
§3 .3 Fourier 变换在频谱分析中的应用
———非周期 函数的频谱 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 109
1. 周期函数的 Fourier 级数及其频谱简介 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 110
2. 非周期函数的频谱 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 114
习题 3 .3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 116
习题答案 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 117
§3 .4 * * 用积分变换解数学物理方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 117
1. 数学物理方程的 Fourier 变换解法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 117
2. 数学物理方程的 Laplace 变换解法 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 124
习题 3 .4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 129
习题答案 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 131
附录 A ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 133
附录 B 广义函数及其 Fourier 变换简介 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 140
1. 问题的提出 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 140
2. 几个重要的基本函数空间 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 142
3. 几个重要广义函数空间的广义函数以及这些空间的
           包含关系 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 146
4. 广义函数的局部性质及其支集 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 150
5. 广义函数的平移、相似变换、极限和导数 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 151
6. δ函数和构成δ型序列的充要条件 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 154
7. 广义函数的 Fourier 变换和广义函数空间 Z′ ⋯⋯⋯⋯⋯ 162
8. 广义函数 Fourier 变换的位移性质和微分性质 ⋯⋯⋯⋯⋯ 164
9. 空间 Z′中广义函数的级数展开 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 166
附录 C 关于无穷限的逐次积分的积分次序交换 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 167
附录 D Fourier 变换简表 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 176
附录 E Laplace变换简表 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 182
本书参考文献 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 188