费雪方程式和交易量公式

交易是广义动量MV的交换，货币与商品之间的交换也是广义动量的交换。

商品作用于价格体系产生货币成果MV（nmV，其中n表示货币数量，m表示货币质量，V表示货币的交易速度）。在费雪方程式PQ=MV中，M代表货币供给量，V代表货币的流通速度，P代表价格水平，Q代表实际产出水平。费雪方程式是商品的广义动量与货币的广义动量的简化。

我们以一年期来考察一国的商品交易情况。设有t种商品进行交易，第i种商品的交易数量为qi，商品质量（消费者利益）为bi，价格为pi，交易速度为vi，货币的质量为m，数量为ni，交易速度为vi。

衣服为例，衣服的交易数量为q，单位为件，衣服的消费者利益为b，每件衣服的价格为p元，衣服的交易速度为v，单位为件/年。而对应产生的货币数量为n，单位为元，货币的质量为m，货币的交易速度为V，单位为元每年。则得到：q件×b衣服×p元×V件/年=n元×m货币×V元/年。将其扩展到所有t种商品得到：

整理得到

将公式的左边通过大写来表示求和，右边为了与广义动量定理一致，通过nmV表示求和。

PQBVG=nmV

整理得到

如果将B，VG，m认为是常数的话，设k=BVG/m，即商品提供的消费者利益不变，消费速度VG不变，货币的价值m不变。

则公式变为

kPQ=nV

如果将常数k加权到商品的价格P中，使新的价格P=kP的话，并且货币的数量使用M来代替，则得到费雪方程式

PQ=MV

费雪方程式本身存在着漏洞，因为他的方程式中少了消费者利益B，商品的消费速度Vg和货币的价值m。举一个反例，假设货币的流通速度V不变，商品的交易量Q不变，如果以增加50%的货币供给量M，那么推理价格必定上升50%。但是事实上并非如此，在如下的商品货币交易公式中

PQBVG=nmV

如果同样假设货币流通速度V和商品交易量不变，增加50%货币供给量，货币的价值m会下降，而商品并不会上升50%。

即假设左边的这些变量不变，如果增加货币供给量n，为了维持公式平衡，商品的价格会上升，同时货币的价值会下降。通过价格P上升和货币价值m下降来弥补货币供给量的上升对公式平衡的影响。

量纲问题

假设衣服的价格为P元/件，数量Q单位为件，B表示衣服的价值，VC表示衣服每年的消费速度，其单位为件/年。人民币数量n单位为元，m表示人民币的价值，V表示人民币的速度，单位为元/年。

当一年所有衣服消费应会引起货币的动量，即PQBVG=nmV。使用单位来表示得到：元/件×件×衣服×件/年=元×人民币×元/年，化简得到：件×衣服=元×人民币，即二者均是数量和质量的乘积，二者的量纲是相同的。

而在费雪方程式中PQ=MV，左边是数量乘以质量，右边是数量乘以速度，二者的量纲是不同的，这是因为费雪方程式中缺少了商品价值B，货币价值m和商品消费速度VG。

在如下的商品交易公式中，右边的V是元/年，而不是次/年。

PQBVG=nmV

我们将做一下量纲的简单推倒，假设商品以件进行计量，考察期为1年，则公式为：元/件×件×商品价值×件/年=元×货币价值×元/年，公式右边表示货币的广义动量，表示一年期内的交易商品产生的货币动量，而元×货币价值×次/年也可以表示一年期内交易商品产生的货币动量，所以元×货币价值×元/年=元×货币价值×次/年，即得到了货币速度以次/年来衡量的速度单位。