吉芬物品的数学分析

       设牛肉的价格为P，土豆开始的价格为P1，涨价后的价格为P2，时间t天的消费预算为C。如果只吃土豆，一个家庭每天需要a kg的土豆；如果只吃牛肉，每天需要b kg的牛肉。设购买的土豆为x kg，则土豆可以维持x/a天，剩下的金钱用于购买牛肉可以维持(C-aP1)/(Pb)天。并且自变量x所代表的购买量不能超过预算C，x大于等于0。则可以得到在固定约束下，时间t关于土豆购买量x的方程，即有

       第一个公式可化简为

       这个一个斜率k为(1/a-P1/(Pb))的一条线段，斜率为正，交时间t轴为C/(Pb)，x的最大值为C/P1，此时对应的最大时间为tMax，如下图线段1所示。斜率为正是因为斜率为(Pb-P1a)/(aPb)，维持必要生活，每天只吃牛肉的花费Pb要大于吃土豆的花费P1a。G点为只吃牛肉可以维持的天数为C/(Pb)天，F点为只吃土豆可以维持C/(P1a)天。线段GF下边阴影部分的土豆的数量和时间都是在预算约束下允许取得的值。

       在预算消费C下生活需要维持的天数为t1，时间约束与线段1达到偏好点A，在A点处，土豆的购买量为x1，牛肉的购买量为(C-P1x1)/(P)，可以维持的天数为t1。偏好点A在约束边界EF上，预算C均用来购买土豆和牛肉而无剩余。

       当需要持续的时间t为t2时，为了使时间偏差尽量小，只能选择极值点F，此时所有预算C均用来购买土豆，可以维持最大天数t1Max天，还有t2-C/(P1a)天需要饿肚子。

当土豆的价格从P1上涨到P2后，方程变为如下：

       此方程的斜率(1/a-P2/(Pb))变小，与t轴的交点不变，x的最大值变小为C/P2，最大天数减小为C/(P2a)天。与时间约束t1相交于B点。此线段的含义是，在消费预算C下为了维持t1天，当土豆的价格从P1上涨到P2时，需要增加土豆的购买量从x1到x2，而牛肉的购买量则从(C-P1x1)/(P)下降到(C-P2x2)/(P)。土豆便是吉芬物品，价格上升，购买量增加。有的经济学家也将其称作贫穷物品，因为它没有替代品，是穷人必须进行消费的物品。

       既然低收入者对于吉芬物品是如此反应，那么中等收入者和高收入者是如何针对吉芬物品进行反应的呢？

低等收入者向中等收入者过渡的情况：开始时的消费预算为C，计划维持天数为t天，此时的偏好点为A点，所有预算均用于购买土豆和牛肉没有剩余。当土豆的价格上升后，在消费预算不变的情况下，只能增加土豆的购买量到x2，减少牛肉的购买量，低收入者没办法通过增加消费预算来保持偏好不变。而线段2是低收入者与中等收入者之间的反应状态。当土豆价格上升时，此阶层消费者通过增加消费预算来接近偏好值A点，由于此阶层收入有限，消费预算C1达不到偏好点A，他的土豆购买量比低等收入者少，比中等收入者多；牛肉购买量比中等收入者少，比低等收入者多。此层消费者除了在价格上涨后调整消费预算来向偏好点趋近的情形外，还有一种情况是此层级的开始的消费预算就是C1，但是偏好点为A点，即有部分消费余量（约束线段为3，偏好点为A）。当土豆价格上涨后，约束线段从3变为4，增加土豆的购买量，减少牛肉的购买量。其中增加购买土豆的消费来自两个地方，一部分来自约束3情况下的消费余量，一部分来自减少牛肉购买量所省下来的消费。

       中等消费者情形：中等消费者的消费预算为C，计划维持t天，偏好点为A点。当土豆的价格上涨后，为了维持偏好A点不变，中等收入者增加消费预算为C2，消费约束约束变为6，从而保持偏好A点不变。同样，中等消费者也可能是开始的预算就是C2，而偏好点为A点，保持消费余量。当土豆的价格上升后，将余量的钱用来应对土豆价格的上涨，从而保持消费偏好不变。

       中等收入者向高收入者过渡的情形：此阶层的消费预算为C3，消费约束为线段7，偏好点为A点，有较多消费余量。当土豆价格上升后，消费预算变为线段8，偏好点A在线段8之下，消费点A满足消费预算，可保持消费偏好不变。

       高收入者的情形：此阶层的消费预算为C4，消费约束为线段8，偏好点为A点，有更多消费余量。C4/(Pb)大于维持天数t1，即使每天都吃牛肉，消费预算也可以满足。当土豆价格上升后，消费预算变为线段10，偏好点A在线段9之下，消费点A满足消费预算，可保持消费偏好不变。即使当土豆价格大于牛肉的价格，使牛肉变成“吉芬物品”，高收入者的偏好也不需要因此改变，可以维持在偏好点A。

       低收入者由于消费预算不能增加，在土豆价格上涨后，只能通过减少牛肉的购买量来增加土豆的购买量，从而维持固定预算下可以维持生活的时间。中等收入者的消费预算可以增加，当土豆价格上涨后，中等收入者通过增加消费预算来弥补土豆价格上涨带了的消费上涨，从而维持偏好不变。高收入者的消费约束曲线较高，土豆价格上涨后的消费约束线还大于偏好点，高收入者可以保持偏好不变。

       更简单的，设只吃土豆每天消费金钱的速度为v1，只吃牛肉每天消费金钱的速度为v2，其中v1<v2，目标维持天数为t天，所有金钱均用来购买土豆和牛肉。设购买土豆的预算为x元，购买牛肉的预算为y元，则得到如下函数

       由于土豆和牛肉每天需要消费的数量不变，当价格增加时，金钱的消费速度=单价*数量，便增加了。金钱消耗速度v越小的产品，固定预算s下可以维持的时间t越长，因为t=s/v。当土豆价格上升时，x/v1减少，可维持时间t减少。如果通过减少购买土豆的预算x来增加购买牛肉的预算y，总的时间t将减少的更多。只有通过减少牛肉的预算y来增加购买土豆的预算x，才能使总时间t保持不变。当土豆的金钱消费速度大于牛肉时，牛肉就变成了吉芬物品，所以吉芬物品是金钱消耗速度最慢的物品。金钱消耗最慢的物品维持的时间最长，当金钱消耗最慢的物品价格增加时，只有增加金钱消耗最慢物品的预算来增加维持的时间。如果有多种替代品，比如有三种替代品。当金钱消耗最慢的物品价格增加时，可以通过减少金钱消耗最快物品的预算而增加中间速度产品的消费预算来弥补时间的减少。

摘自高广宇著《可以量化的经济学》