小弟真诚求各位大神解答关于股价对数正态分布的问题

j888fff

5925

收藏 2016-07-13

是这样的，我在学金融工程的时候一共读了两本书，一是宋逢明的《无套利定价》，二是Hull的期权期货，在伊藤引理读到股价服从对数正态分布这里感觉两本书有出入的地方。问题一：宋逢明是这样说的

那么问题来了，按照中心极限定理，假设r(i)~N(u,sigma)，那应该log(S(T)/S(0))~N(u,sigma^2/n)才对，后面怎么得的结论可能是我数学太差，好半天没有求出来，这是第一个想要问的问题。
问题二：HULL是这么说的

这个推导是看懂了，但是直接把G=lnS这是个什么思路？直接把G看成利率，然后利率也是S的衍生品么？那G应该是债券的价格什么的，不能直接是利率吧……这是问题二
问题三：也就是两个图中有明显的一个分歧，股价服从的对数正态分布的概率分布不太一样，也就是log(S(T)/S(0))的均值不一样，我看了半天，里面参数的含义应该是一样的，那就是说两个人打起来了。在前两个问题没有解决的情况下，我就完全懵逼了。还请各位大神给小弟一点指导！

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Chemist_MZ

2016-7-13 12:04:23

1. log(S(T)/S(0))=log(S(tT)/S(tT-1))+...+log(S(t1)/S(t0))
=rT+rT-1+....r1
r(i)~N(mu,sigma)
log(S(T)/S(0))=N(mu*T,sigma^2*T)

2. 常用的变换而已，纯数学角度。dS=muSdt+sigmaSdz, 两边并不能直接积分简化，你得先把右边的S kill掉，因此才有了2中的变换。
3. 多了一个-sigma^2/2*T, 这是因为第一个case你直接assume return的分布，而第二个case你是从股价的过程（即股价的分布出发）得到return的分布，两者的区别是在你做G=lnS的变换的时候，因为lnS不是一个线性函数，因此会有二阶项，而布朗运动因为不是光滑的函数因此二次变差不为零，所以你会多出一个convexity adjustement. 两者的区别在于dS=muSdt+sigmaSdz和dS/S=mudt+sigmadz并不是一个东西。因为其实这只是一个符号表达，是积分式的简写。如果把他们写成∫dS=∫muSdt+∫sigmaSdz 和∫dS/S=∫mudt+∫sigmadz,你可以很显然得看出他们不是一个东西。

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j888fff

2016-7-13 13:39:11

Chemist_MZ 发表于 2016-7-13 12:04
1. log(S(T)/S(0))=log(S(tT)/S(tT-1))+...+log(S(t1)/S(t0))
=rT+rT-1+....r1
r(i)~N(mu,sigma)

谢谢您的解答，但是在2里面还想问一下。就是在我的理解来看，赫尔是把G=lnS，然后把G带入伊藤引理，然后得的结果。伊藤引理应该对G的形式是没有规定，就是只是说G=G(S,t)，也就是说为了解S的分布，故意设的G=lnS?如果是要从dS=uSdt+sigma*S*dz来解，凑出来dlnS貌似还是不行诶（可能是我数学不太行）。

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Chemist_MZ

2016-7-14 04:24:04

j888fff 发表于 2016-7-13 13:39
谢谢您的解答，但是在2里面还想问一下。就是在我的理解来看，赫尔是把G=lnS，然后把G带入伊藤引理，然后得 ...

You can choose any functions but the ultimate goal is to kill the S on the right hand side so that you can take the integral and get the explicit expression of S. In this sense, only lnS can achieve this. This is straightforward since it is easy to find S is in lognormal form so the transform lnS is natural. In the brownian-motion-finance there is only ln() or exp() transform since brownian motion is normal and the pdf of normal distribution is exponential

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