劳动转换损失与分工

在新兴古典经济学的模型里，假定α〉1，即边际生产力递增是一个必不可少的条件，如果α〈1，那么，就自给自足。

我认为，边际生产力递增、递减和不变时，任何人决不自给和买同一种产品，分工都可以发生。

模型设定如下：


MAX
u=（x+xd）（y+yd）


y+ys=（1-k）lyα


x+xs=βklyα


0≤ly≤1


xs+pyys=xd+pyyd

为了分析的方便，假定整个模型的交易费用为0和y的价格为1。式中，　0≤k≤1，k代表x的以y的产量所表示的份额（假定，ly=1，k=1/2那么，x+xs=1/2）。0＜β＜1，β代表由生产y的劳动转换为生产x所能够生产的x的产量（假定，ly=1，k=1/2，β=1/2那么，x+xs=1/4。为了分析的方便，假定y的β值为1）。　

现在进行证明：

任何人决不自给和买同一种产品。

当x＞0，xd＞0（ys＞0），正效用要求y＞0，那么
u=（x+xd）y=［βklyα+（1-k）lyα-y］y=βk*y*lyα+（1-k）*y*lyα-y*y=y*lyα［βk+（1-k）］-y*y=y*lyα［k（β-1）+1］-y*y

当0＜β＜1时和k≠0时，【y*lyα［k（β-1）+1］-y*y】＜【y*lyα-y*y】，所以，当0＜β＜1时，那么k=0。这就证明了当一个人买x时，他就不自给x。

自给自足时的求解过程

在两种产品时，当一个人自给自足时，求解如下：

MAX
u=xy


y=（1-k）lyα



x=βklyα



ly=1

那么，U=βk（1-k）

U对K的导数=β-2βk=0，则K=1/2，所以，自给自足是的效用为

U=β*1/4

柯布.道格拉斯效用函数时自给自足的求解过程

在下文中，由于文字输入的原因，所以，ly*η表示ly的η次方，
（1-k）*（1-α）表示（1-k）的（1-α）次方
，
αβ*α表示β的α次方再乘以α
。

MAX
u=x*αy*（1-α）


y=（1-k）ly*η



x=βkly*η



ly=1

那么，U=（βk）*α（1-k）*1-α

U对K的导数=αβ*αk*（α-1）（1-k）*（1-α）-β*αk*α（1-α）（1-k）*-α=β*αk*

（α-1）（1-k）*-α[α（1-k）-k（1-α）]=0，则K=α。

所以，自给自足时的效用为

U=（βk）*k（1-k）*（1-k）=（βα）*α（1-α）*（1-α）

两个人两种产品分工总效用和自给自足总效用的比较

下文中，c为交易时间，假设不管交易量多大，交易时间固定，当然这不是现实的情况。

一、

在两种产品时，当二个人分工合作时，求解如下：

（1）生产y和买x的人

MAX
u=txd*y

   
y=（1-k）(ly-c)^α


   
ys=k(ly-c)^α


   
ly-c=1

xd=ys

那么，U=tk（1-k）(ly-c)^2α

U对K的导数=(t-2tk)(ly-c)^2α=0，则K=1/2，所以，分工合作时生产y和买x的人的效用为

U=(t*1/4）(ly-c)^2α

（2）生产x和买y的人

MAX
u=tyd*x

   
x=（1-k）(ly-c)^α


   
xs=k(ly-c)^α


   
ly-c=1

   
yd=xs

那么，U=tk（1-k）(ly-c)^2α

U对K的导数=(t-2tk）(ly-c)^2α=0，则K=1/2，所以，分工合作时生产x和买y的人的效用为

U=(t*1/4）(ly-c)^2α

二、两个人两种产品分工总效用和自给自足总效用的比较

（1）自给自足的总效用为U1+U2=(β*1/4）ly^2α+(β*1/4）ly^2α=(β*1/2）ly^2α

（2）分工合作的总效用为U1+U2=(t*1/4）(ly-c)^2α+(t*1/4）(ly-c)^2α=(t*1/2）(ly-c)^2α

从上面的两个式子可以得出结论：

三种产品自给自足的读书笔记

在三种产品时，当一个人自给自足时，求解如下：

MAX
u=xyz


y=k*ly^α



x=β1*d*ly^α



z=β2*e*ly^α

ly=1

k+d+e=1

那么，U=β1*β2*k*d*e*ly^α

构造拉格朗日函数，R=U+λ（1-k-d-e）=β1*β2*k*d*e*ly^α+λ（1-k-d-e）

R对k的导数=β1*β2*d*e*ly^α-λ=0，则β1*β2*d*e*ly^α=λ

R对d的导数=β1*β2*k*e*ly^α-λ=0，则β1*β2*k*e*ly^α=λ

R对e的导数=β1*β2*k*d*ly^α-λ=0，则β1*β2*d*k*ly^α=λ

R对λ的导数=（1-k-d-e）=0

从上面的式子可以求出k=d=e，继而可以求出k=d=e=1/3，所以，三种产品自给自足的效用为

U=β1*β2*k*d*e*ly^α=β1*β2*1/27

找对象之超边际选择