在您的问题中，您已经给出了一个以对数形式表达的一元三次方程。要找这个方程的拐点（临界值），我们需要找到曲线二次导数等于0的地方，因为这代表了曲率变化的点。

给定方程为：

\[ \log(Y) = 10 + 0.8\log(H) - 0.4[\log(H)]^2 + 0.5[\log(H)]^3 \]

首先我们找一次导数（即边际效应）:

\[ \frac{d(\log(Y))}{d\log(H)} = 0.8 - 2*0.4*\log(H) + 3*0.5*[\log(H)]^2 \]

然后求二次导数，找到拐点：

\[ \frac{d^2(\log(Y))}{d[\log(H)]^2} = -2*0.4 + 6*0.5\log(H) \]

令二次导数等于0以寻找临界值：

\[ -2*0.4 + 6*0.5*\log(H) = 0 \]

解得：

\[ \log(H) = \frac{2*0.4}{6*0.5} = \frac{0.8}{3} = \frac{4}{15} \]

为了找到具体的H值，需要逆变换对数函数。给定\(\log(H)\)，可以得到\(H\)为：

\[ H = e^{\frac{4}{15}} \approx 1.2976 \]

但是，由于这是一个三次方程，存在两个拐点（如果曲线确实是N形）。我们需要再次检查二次导数的解，确保它给出了实际存在的拐点。因为上述计算只给出了一个临界值，这可能是因为在特定参数配置下，该方程只有一个真实的拐点。

要找到所有拐点，您需要分析二次导数\(\frac{d^2(\log(Y))}{d[\log(H)]^2}\)的根，并检查这些根是否对应于实际存在的H值。如果方程允许有多个解（即可能有不止一个实数根），则每个根都应转换为H的真实值。

对于更复杂的计算或验证，可以使用数学软件如MATLAB、Python中的SciPy库、R语言或其他科学计算器和软件包来求解这些数值问题。这样可以直接得到方程的精确临界点，并且能够处理非线性系统和复杂函数的解算。

此文本由CAIE学术大模型生成，添加下方二维码，优先体验功能试用