假设两个相同的人,不考虑交易费用.

一、自给自足

U=XY

X0=β1*K

X=β1K*A

Y0=β2*（1-K）

Y=β2*（1-K）*B

那么，U=β1*K*A*β2*（1-K）*B，

上式对K求导数，可以得到K=1/2，从而得到U=（β1*A*β2*B）/4

上式中，β1和β2为小于1的常数，A和B为常数。X0和Y0为迂回生产的中间产品，X和Y为最终产品。同时假定上面的式子和解是自给自足各种生产方案中最好的。

二、分工（不考虑交易费用）

1、自给X，卖X买Y

U1=X*Yd

X0=β1*1

X=F*β1*1*A

Yd=Xs=（1-F）*β1*1*A

那么，U1= F*β1*1*A*（1-F）*β1*1*A

令U1对F的导数=0，得到F=1/2 ，从而U1=（β1*A*β1*A）/4

2、同理可以求出U2，自给Y，卖Y买X

U2=Y*Xd

Y0=β1*1

Y=F*β1*1*A

Xd=Ys=（1-F）*β1*1*A

那么，U2= F*β1*1*A*（1-F）*β1*1*A

令U2对F的导数=0，得到F=1/2 ，从而U2=（β1*A*β1*A）/4

假定上面1、2中的式子和解是分工的时候各种生产方案中最好的。而且假定分工时的β1和自给自足时的β1相同。

三、上面所有式子中，β1大于β2,A大于B，可以得到分工优于自给自足。