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理论物理学

现在，我们来谈谈数学向人类文明的其它结晶（科学）的渗透。先来看物理学，18世纪是数学与经典力学相结合的黄金时代，19世纪数学主要应用于电磁学，产生了剑桥大学数学物理学派，其中最具代表性的成就是麦克斯韦（Maxwell，1831—1879）建立的电磁学方程组，由4个简洁的偏微分方程组成。据说麦克斯韦最初得到的方程组比较复杂，因为他相信表达物理世界的数学应该是美的，因而推倒重来。

就读剑桥大学时的麦克斯韦

麦克斯韦是苏格兰人，这个流行男子穿格子短裙的民族所产生的伟大发明家按人口比例堪称世界之最。在麦克斯韦之前有（实用）蒸汽机发明人瓦特（Watt，1736—1819），之后有电话发明人亚历山大·贝尔（Bell，1847—1922）、胰岛素发明人麦克劳德（Macleod，1876—1935，与人合作）、青霉素发明人弗莱明（Fleming，1881—1955）、电视发明人贝尔德（Baird，1888—1946）。

此外，还有第一个将经济理论完整化和系统化的亚当·斯密（Adam Smith，1723—1790）。斯密的代表作《国富论》的中心思想是：看似混乱的自由市场实际上有一种自动调控机制，它倾向于以最合适的数量生产那些社会上最受欢迎和最需要的产品。

爱因斯坦的数学老师闵可夫斯基

进入20世纪以后，数学相继在相对论、量子力学以及基本粒子等理论物理学领域得到应用。1908年，德国数学家闵可夫斯基提出了空间和时间的四维时空结构R(3,1)，即通过（c为真空中的光速）

为爱因斯坦（Einstein，1879—1955）的狭义相对论（1905）提供了最适用的数学模型，这种结构后来被称为“闵可夫斯基空间”。有趣的是，闵可夫斯基对他早年的学生爱因斯坦的数学才能却毫无印象。

有了这个模型以后，爱因斯坦又进一步研究了引力场理论。等到1912年夏天，他已经概括出这一理论的基本原理，可是由于他只会使用一些最简单的数学工具，甚至微积分的方法也不会用（他自称那样会使读者被惊呆），自然难以提炼出方程来。这个时候爱因斯坦在苏黎世遇到一位数学家，后者帮助他学会了以黎曼几何为基础的微分学，后来他把它叫作“张量分析”。经过三年多的努力，在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦给出了引力场方程：

其中gμv是度量张量，k为常数。爱因斯坦指出，“有了这个方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于成立了！”

爱因斯坦故居，他在这里发明了相对论（作者摄于伯尔尼）

值得一提的是，虽然爱因斯坦在1915年创立了广义相对论，但他的工作成果发表于1916年。巧合的是，几乎是同时，另一个德国人、数学家希尔伯特沿着另一条道路也得到了上述引力场方程。希尔伯特采用的是公理化方法，同时运用了诺特关于连续群的不变量理论。他向哥廷根科学院提交这篇论文的时间是1915年11月20日，发表论文的时间也比爱因斯坦早了5天。

依照爱因斯坦的广义相对论，时空整体上是不均匀的，只在微小的区域内例外。在数学上，这个非均匀的时空可以借助下列的黎曼度量来描述：

广义相对论的这个数学描述第一次揭示了非欧几何学的现实意义，也成为历史上最伟大的数学应用例子之一。可是，与建立万有引力定律的牛顿相比，爱因斯坦稍显逊色，因为牛顿力学的数学基础——微积分是由牛顿自己创立的。

与相对论不同，量子力学与一群物理学家的名字相联系。普朗克（Planck，1855—1947）、爱因斯坦、玻尔（Bohr，1855—1962）是开拓者，薛定谔（Schrödinger，1887—1961）、海森堡（Heisenberg，1901—1976）、狄拉克等分别以波动力学、矩阵力学和变换理论的形式建立起量子力学。为了将这些理论融合成统一的体系，需要新的数学理论。希尔伯特使用积分方程等分析工具，冯·诺依曼进一步借助希尔伯特空间理论，去解决量子力学的特征值问题，并最终将希尔伯特的谱理论推广到量子力学中经常出现的无界算子情形，从而奠定了这门学科的严格的数学基础。

在20世纪下半叶，还有多项物理学的工作需要应用抽象的纯粹数学，例如著名的规范场理论和超弦理论。1954年，杨—米尔斯理论的提出揭示了规范不变性可能是自然界中所有4种力（电磁力、引力、强力和弱力）相互作用的共性，这使得已经存在的规范场理论重新引起人们的注意，并试图用这个理论来统一自然力的相互作用。

结果，数学家们很快发现，统一场论所需要的数学工具——纤维丛微分几何早就有了，杨—米尔斯方程实际上是一组偏微分方程，对它们的进一步研究也推动了数学的发展。1963年被证明的阿蒂亚—辛格指标定理也在杨—米尔斯理论中获得重要应用，成为连接纯粹数学和理论物理的又一座桥梁，其研究方法涉及分析学、拓扑学、代数几何、偏微分方程和多复变函数等诸多核心数学分支，因而常被用来论证现代数学的统一性。

超弦理论或弦理论兴起于20世纪80年代，它把基本粒子看作一些伸展的一维弦线般的无质量的实体（其长度约为10–33厘米，被称为普朗克长度），以代替其他理论中所用的在时空中无尺寸的点。这个理论以引力理论、量子力学和粒子相互作用的统一数学描述为目标，成为数学家与物理学家携手合作的一个最活跃的领域，其中所用到的数学涉及微分拓扑、代数几何、微分几何、群论、无穷维代数、复分析和黎曼曲面上的模理论等。可以想象，与它相联系的物理学家和数学家不计其数。

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生物学和经济学

除了物理学以外，数学还在其他自然科学和社会科学领域发挥了重要作用。限于篇幅，我们仅以生物数学和数理经济学为例。与物理学相比，生物学是一门年轻的学科，在17世纪显微镜发明以后才真正步入正轨，但它和物理学是自然科学的两个最重要的分支。生物学研究中数学方法的引进也相对迟缓，大约始于20世纪初。多才多艺的英国数学家皮尔逊（Pearson，1857—1936）率先将统计学应用于遗传和进化问题的研究，并于1899年创办了《生物统计》杂志，这是最早的生物数学杂志。

1926 年，意大利数学家沃尔泰拉（Volterra，1860—1940）提出了下列微分方程，成功地解释了地中海中不同鱼种周期消长的现象，其中x表示被食小鱼数，y表示食肉大鱼数。这个方程组也被称为“沃尔泰拉方程”，它开了用微分方程建立生物模型的先河。

20 世纪50年代，在英国和美国出现了两项轰动性的成果，即描述神经脉冲传导的数学模型霍奇金—赫胥黎方程（此赫胥黎为安德鲁·赫胥黎，他是达尔文进化论支持者托马斯·赫胥黎之孙、小说家阿道司·赫胥黎之弟）和视觉系统侧抑制作用的哈特兰—拉特利夫方程，它们都是复杂的非线性方程，引起了数学家和生物学家的兴趣。有意思的是，前三位分别因此获得1963年和1967年的诺贝尔生理学或医学奖，而拉特利夫（Ratliff，1919—1999）只因为这个方程和作为哈特兰（Hartline，1903—1983）的前同事被人们记住。

生理学家赫胥黎，生物学家赫胥黎之孙，作家赫胥黎之弟

沃森、克里克和DNA模型

1953 年，即霍奇金—赫胥黎方程诞生的第二年，美国生物化学家沃森（Watson，1928—）和英国物理学家克里克（Crick，1916—2004），发现了脱氧核糖核酸（DNA）的双螺旋结构，这不仅标志着分子生物学的诞生，也把抽象的拓扑学引入了生物学。因为在电子显微镜下可以看到，双螺旋链有缠绕和纽结，这样一来，代数拓扑学的纽结理论便有了用武之地，并应验了一个多世纪前高斯的预言。1984年，新西兰出生的美国数学家琼斯（Jones，1952—）建立了关于纽结的不变量——琼斯多项式，帮助生物学家对在DNA结构中观察到的纽结进行分类，琼斯也因此获得了1990年的菲尔兹奖。

沃森和克里克获得了1962年的诺贝尔生理学或医学奖，但他们的发现的意义还没有得到充分认识。这里我想多说几句。先用物理学来做参照，它主要探讨宏观世界（原子内部结构的重要性也在于核聚变和核裂变产生的巨大能量），而生物学则侧重研究微观的事物（细胞和基因）。达尔文的进化论和伽利略的自由落体运动定律一样，主要表现了生命和物体运动的外在规律，而牛顿的万有引力定律则发现了物体乃至宇宙运动的内在规律和原因，与此相对应的生物学成就则是揭示了生命奥秘的DNA双螺旋结构。值得一提的是，沃森和克里克是在他们平日和同事们常去的剑桥老鹰酒吧宣布这一里程碑式的发现的。

1979 年的诺贝尔生理学或医学奖由两位非本行的专家一起获得，即南非出生的美国物理学家科马克（Cormack，1924—1998）和英国电器工程师豪斯菲尔德（Housfield，1919—2004）。在开普顿一家医院的放射科做兼职时，身为物理学讲师的科马克就对人体软组织和不同密度组织层的X射线成像问题产生了兴趣，到美国任教后，他建立起计算机扫描的数学基础，即人体不同组织对X射线吸收量的计算公式。这个公式建立在积分几何的基础之上，解决了计算机断层扫描的理论问题。这项工作促使豪斯菲尔德发明了第一台计算机X射线断层扫描仪，即CT扫描仪，并在临床试验中取得成功。

下面我们要谈的是数理经济学，这门学科是由匈牙利数学家冯·诺依曼开启的。他在与人合著的《博弈论与经济行为》（1944）中提出竞争的数学模型并应用于经济问题，这成为数理经济学的开端。整整半个世纪以后，美国数学家纳什（Nash，1928—2015）和德国经济学家泽尔藤（Selten，1930—）因为博弈论研究获得诺贝尔经济学奖。纳什患有精神疾病，是被改编成电影的小说《美丽心灵》的主人公原型，他建立了纳什均衡理论，解释博弈双方的策略和行动。纳什因为在非线性偏微分方程方面所做的贡献而获得数学界的至高荣誉——阿贝尔奖，则是在他生命的最后一年。

电影《美丽心灵》主人公原型纳什

如果说前苏联数学家康托罗维奇（Kantorovich，1912—1986）的线形规划论和荷兰出生的美国经济学家库普曼斯（Koopmans，1910—1985）的生产函数所用的数学理论还比较简单（他们因为在资源最佳配置理论方面的贡献获得1975年的诺贝尔经济学奖），那么法国出生的美国经济学家德布鲁（Debreu，1927—2004）和另一位美国经济学家阿罗（Arrow，1921—2017）所用的凸集和不动点理论就较为深刻了，他们建立的均衡价格理论的后续研究使用了微分拓扑、代数拓扑、动力系统和大范围分析等抽象的数学工具。有意思的是，阿罗和德布鲁获得诺贝尔经济学奖却相隔多年（分别是在1972年和1983年）。

20 世纪70年代以来，随着随机分析进入经济学领域，尤其美国经济学家费希尔·布莱克（Black，1938—1995）和加拿大出生的美国经济学家斯科尔斯（Scholes，1941—）将期权的定价问题归结为一个随机微分方程的解，并导出与实际较为吻合的期权定价公式，即布莱克—斯科尔斯公式。在此以前，投资者无法精确地确定期权的价格，而这个公式把风险溢价因素计入期权价格，从而降低了期权投资的风险。后来美国经济学家默顿（Merton，1944—）消除了许多限制，使得该公式亦适用于金融交易的其他领域，如住房抵押。1997年，默顿和斯科尔斯分享了诺贝尔经济学奖。

可是，进入21世纪以来，美国发生了次贷金融危机，严重影响了世界经济的发展。在正常情况下，客户一般向银行申请贷款。可是，一部分客户出于信用条件差或其他原因，银行不愿意与他们签订贷款协议。于是，就有贷款机构发放信用要求宽松但利率较高的贷款。次级贷款蕴含较大的违约风险，主要原因在于其衍生产品。有关部门不愿意独自承担风险，往往会将这些产品打包出售给投资银行、保险公司或对冲机构。这些衍生品看不见摸不着，其价格以及打包方式无法通过人为的简单判断来确定，这就催生了一个新兴的数学分支——金融数学。

在衍生品的定价过程中，有两个非常重要的参数，即折现率和违约概率，前者基于某个随机微分方程，后者服从泊松分布。通过遭遇这次世界性的金融危机，人们发现这两种数学手段以及其他估价手段还需要更精准。20世纪90年代，同一年（1947）出生的中国数学家彭实戈和法国数学家巴赫杜（Pardoux）合作创立了倒向随机微分方程，现已成为研究金融产品定价的重要工具。

18世纪初，雅各布·伯努利说过，从事物理学研究而不懂数学的人，实际上处理的是意义不大的事情。到了21世纪，金融业或银行业也出现了这种情况，有着200多年历史的美国花旗银行宣称，他们有70%的业务依赖于数学，同时强调如果没有数学花旗银行就不可能生存下去。