股票月度收益率近似为正态分布是中心极限定理的结果

                              于德浩

                            2019.5.31

中心极限定理是指，n个随机分布变量的和，只要n足够大，这个和的分布就近似为正态分布。比方说，股票每天的涨跌幅是一个随机分布，但具体是指数分布或高斯分布或幂级数分布等等我们不知道。但是，根据中心极限定理，连续20天的涨跌幅之和，这里n=20可视为足够大，就可近似为正态分布。“每连续20天的涨跌幅之和”的物理意义就是股票月度收益率。

更进一步的强假设是，独立同分布。我们继续假定当前三四个月与未来的十几个月，具有相同的期望值及标准差。就是说，已发生的几个观测事例与未来的十几个事例，都是对同一个总体的随机抽样。

在股票投资中，我们是先预估一个月度收益率期望值，然后根据后来的实际观测结果来验证或者稍微修正我们的预先判断。我们认为前面十几个月是熊市，而后面十几个月应该转变为牛市。所以，历史平均收益率作为未来的期望值估计是不行的。

如果我们预估未来一年是牛市，那么每月收益率可预估为+6%，标准差预估为8%。当前面几个月出现两次+10%的涨幅时，我们就基本确立了牛市上涨的信心。如果，突然出现一次月收盘-6%的大幅下跌，我们应该首先认为这是一个-1.5X事例，而不是趋势的反转。

当一段涨幅累计上涨很多，并且持续时间很长，事例数已经很多时，如果又出现一次月收盘-10%的大跌或者连续两次出现-3%的回调，这可能意味着趋势已经反转为下跌。

单看一个月涨幅-6%，我们可以认为这是一个期望值为+6%的，观测值是-1.5X的稀有事例；也可以认为这是一个期望值为-6%，观测值是+0X的正常事例。所以，在牛熊分界点，一般的经验就是，如果前期上涨时间很短，那么这就只是一次回调；如果前期持续时间已经很长，那么就是一个反转信号，如果下一个月继续下跌，就是反转趋势的确认。

对于未来牛市趋势的预估需要一定的胆魄。比方说，股价已经累积下跌两三年，整体市场市盈率已经是很低的10倍估值。投资大师就预估未来几年将转为牛市，纵使他买入股票后的几个月仍然下跌，他依然不会因为几个观测事例的偏离就怀疑自己先前的牛市预判。同理，在牛市趋势的维持上，如果连涨6个月，又突然大幅下跌3个月，他依然认为这只是3个稀有事例恰巧连续出现而已。而若纸上谈兵的依据“连续出现3个稀有事例的概率是0”，那就背道而驰，判断为反转下跌趋势了。

“同分布”从物理意义上来讲，就是在相同的实验条件下，出现的事例都可认为是同分布事例。我们认为，股票价格是企业价值的表现，而企业在未来的一年内本质上并不会有什么变化，所以股价变化是同一事物的不同观测值。

“独立事例”，从物理意义上讲，就是这次的结果不影响下一次的结果。比方说，今天大涨+3%，你觉得明天是继续大涨+3%，还是不涨不跌的0%，还是矫枉过正的-3%？ 应该都有可能，而且说不上哪个概率更大；这就意味着今天的事例与明天的事例是相互独立的。

而另外一种情形，今天股票+10%涨停，明天股价上涨的概率就远大于下跌的概率。这样，今天与明天就不是相互独立。

从观测值的时序排列，我们也可以判断分布的独立性。比方说，一共有40个事例，满足期望值是0的高斯分布。但是，我们发现前面20个事例，都是正；后面20个事例都是负值。这样的话，如果我们截取前面20个数据作为一个子样，这个子样的期望值就不是0，与总样的期望值不同。这就表明前面20个与后面20个事例具有强关联。

一般股票市场的年度收益率是+10%，标准差是30%，这是一个正态分布。一年大约有250个交易日，这个n=250当然比n=20更是“n足够大”。股票收益的风险体现在，标准差比收益率的期望值要大很多，这就意味着，你总会有亏损的时候。一次随机分布至少得有十几个或更多的事例，如果观测周期是年，那么一个趋势就要持续至少十几年；如果观测周期是月，那就要持续十几个月；如果观测周期是天，趋势就要持续十几天。

在股票投资中，要尽量选择长期，因为可以保证我们在一个周期趋势之内。如果选择是天或小时更短的周期，那么我们要不断猜测可能随时变化的期望值，这显然是很难的。再者，年度收益率或月度收益率近似为正态分布，是可以的，这是中心极限定理的约束。而每天收益率或更短的每小时波动率，再按照正态分布，可就不合适了。从物理学看，宏观长期是确定的，但微观短期本质上就是不确定的。

我们假定每天收益率期望值是+0.3%，标准差是1.8%；这样20天的收益率之和就是+6%，月标准差是20^0.5*1.8%=8%。这里，标准差是期望值的6倍，可以看成是期望值有限、方差有限。

而如果假定每分钟的收益率期望值是+0.001%，标准差是0.1%。这里的标准差是期望值的100倍，这就属于方差无限了。所以，240分钟之和的每天涨跌幅，并不是一个很好的正态分布近似。

如果，我们把每天涨跌幅看成是正态分布，勉强能用。那么，每小时的、每分钟的股价变化，那真的是纯随机变化，没有任何约束条件，无法预测。

每一笔股票成交，都是买方与卖方协商的结果。显然，买方只要看多才会买，卖方只有看空才会卖。所以，想要预测每天是涨还是跌非常难，仁者见仁，智者见智。但是，股价波动却是客观的。不论是后来统计的上涨周期还是下跌周期，标准差基本都是每天1.8%左右。股价波动率回归，是金融学的一大统计发现。就是说，如果最近20天的波动率小于年化20%，那么未来就应该波动率到年化40%，当然是因为股价大涨引起波动率（标准差）增加还是大跌导致不好说。

所以，在金融衍生品的交易中，专业的交易员会做多及做空波动率，而不去预判股价涨跌方向。比方说，当前波动率20%，预期要向40%增加，那么我就同时买入认购和认沽期权；反之，当波动率很高时，我就同时卖出认购和认沽期权。 在正常情形下，这种策略总是可以赚钱的；但是，在极端行情下，也会大幅亏损。 比方说，我在波动率40%时，做空；结果，出人意料的波动率暴涨到80%。

在投资大师看来，只对波动率研究，就是捡芝麻漏西瓜。当股价很低，波动率很小时，这时最便宜的时机。如果现在买入认购期权，股价上涨、波动率上涨，这是双丰收啊。这么做对一次的收益，就抵得上交易员来回做对几十次的战战兢兢的对冲交易。

如果把未来十几个月的每月（n=20）收益率看成是正态分布，那么未来每两个月（n=40）及每三个月（n=60）的收益率当然更是正态分布。而且，随着n的增加，还要受到大数定律的约束，即每6个月的涨跌幅之和就是期望值之和，与有限的方差无关。比方说，期望值是+6%，那么一个月的收益可以是+6%，也可能是+12%，也可能是-6%；而6个月之和的总收益就是比较确定的6*6%=36%。所以，在牛市中，我们一般把5月均线作为一个强力支撑线和回归线。

当我们预估每月的期望值及标准差后，后面的观测事例，主要是一种验证，而不是修正。比方说，50ETF在2019年的第一个月股价大涨+10%，这就是一个+0.5X事例；第二个月继续大涨+8%，这就是一个+0.25X事例；第三个月涨+3%，这就是一个-0.375X事例；第三个月涨+4%，这就是一个-0.25X事例。这些都是正常的预估正负0.5X范围内的事例。

如果第5个月，股价突然以-6%大跌，这就是一个-1.5X稀有事例。第6个月，股价会大涨反弹，来互补一下吗？ 仅从每月正态分布，我们不能做出这个结论。我们只能还是估计下个月应该大概率还在期望值+6%附近。 但如果我们应用大数定律，6个月股价应该累计上涨+36%，而当前累积是+19%；所以，第6个月的预估应该是暴涨+17%。

当然，我们也别高兴的太早了。如果，前面4个月只是一次大幅反弹，而第五月是趋势的反转呢？这个牛熊分界，我们无法估计。我们只能根据一般经验，趋势不可能这么短，事例总数不可能这么少，我们应该首先认为趋势不会轻易反转。如果，下个月，股价果真大涨+17%，我们不应该感到意外；可以继续做多，这是6个月之和的平均结果，不算是超涨。如果下个月股价上涨+6%，我们认为我们预估对了，股价正在上行趋势。

而倘若下个月，股价继续以-6%大跌，该咋办呢？ 如果按照数学统计来言，似乎是下跌趋势来了。可是，两个月下跌，对于四个月的上涨否定，这极有可能意味着是一个震荡市。也就是即使俩月是下跌趋势，那么会不会也接着被反弹一个月给反转了呢？不应该做过多的猜测，这样会乱了心思。

简单一点，我们认为下个月股价应该上涨，而且是大涨。当然，拿出30%的资金预备黑天鹅事件，总是不错的。宁可少赚些，也别一下子全赔光。