经济上的拟凹函数并不能简单像数学上那样求二阶导数小于0即可，高等数学上的凹函数是单变量函数y=f(x)，而经学上的是双变量函数u=f(x,y)，但看一个变量的二阶导数小于0是行不通的。
高微观上有个满足拟凹性质的系数矩阵判别，不方便打出来

边际效用递减只能说明无差异曲线的一阶导数小于0，要使无差异曲线凸向原点，还要保证二阶导数大于0.
注意，经济数学中的凹凸性与本科高等数学中凹凸性的定义有出入！

8# 我是dounaiman
兄弟，你别误导人了，边际效用递减是一阶导数小于0？二阶导数大于0？偏好就是凸的吗？
前半句你说错了，所半句你说反了

边际替代率递减说明无差异曲线必然凸向原点，而边际替代率是由两种商品的边际效用之比所决定，故题中的答案是“否”。

这道题不就是张远鹏中级微观84页的一道习题么。当效用函数为严格拟凹时，无差异曲线才凸向原点

边际替代率和边际效用的概念不同。
边际替代率递减说明无差异曲线凸向原点，边际替代率由商品边际效用之比决定。

如果单纯从边际替代率的公式来解释，这样解释完全没问题。但如果无差异曲线真是凹向原点的话，商品的边际效用还是递减的么？不就变成递增了么

以为10楼aijunsong和 12楼zjsxzjcj说的有理。

举例U=Ln(x2+y2)
2代表平方
边际效用递减，边际替代率递增

边际效用递减不能证明效用函数为拟凹函数，也不能说明边际替代率递减，所以边际效用递减不能推导出无差异曲线凸向原点。

上面10楼、12楼、16楼说得挺对的。
还可以用图形来帮助理解。
边际效用：横轴为某种消费品数量，纵轴为该产品带来的效用。边际效用递减可以表示为：随着消费品的增加，增加的边际效用越来越少了，图像上看就是一条由原点向右上方不断上升但是斜率逐渐减少的曲线。
边际替代率：横轴为消费品X，纵轴为消费品Y，总效用在图像中并不能直观地看出来，但是可以通过各条平行的无差异曲线表示效用的高低。边际替代率递减可以表示为：随着对X消费的增加，对Y消费的减少，个体对于X消费品越来越不爽，对Y消费品越来越渴望，于是，X越多，要替代1单位的X消费品所需要的Y消费品就越少。图像上看就是一条凸向原点的曲线。
这两者有联系也有区别，lz问的前提是“边际效用递减”，那么就只能直接推出上面的单产品单效用曲线；而想要推出“无差异曲线凸向原点”，除了需要“边际效用递减”这个条件之外，还需要明了两种不同产品各自边际效用之间的替代关系，也就是“边际替代率”。
我好啰嗦……大家一起学习哈~

5# 07051029

您的表述好像有点问题吧？
边际替代率递减，是指x1消费增多，而x2消费减少，所以mu1是逐渐变小的，而此时由于x2消费数量是递减的所以mu2是逐渐增大的，所以才会表现为边际替代率递减。您一开始说两个都是边际效用递减的，而后又说一个比一个减少的快，那是不是意味着x1x2都同时在增加消费啊？

无差异曲线凸向原点说明在效用不变的情况下，一种投入要素相对另一种投入要素的边际价值下降。而边际效用递减说明增加某一投入要素，总效用增加速度在降低。两个概念没有联系。

边际效用递减，则效用函数的二阶导数小于0，则效用函数为凹函数，则效用函数的上等值集为凸集，无差异曲线就必然凸向原点了

人大的中微也有讲过

边际效用是有度量单位的，会随度量单位变化而变化，比如增加100和1000，是不具有可比性的，因此单调变换后不保留去性质（单位改变了，性质也变了）而边际替代率是两个边际效用的比率，是无量纲量。假如只有一个变量的话，边际效用递减能推出函数为凹的性质（经济学凹凸性定义与数学不同）。通常无差异曲线边际替代率递减能保证函数是拟凹或凸集，这可以保证最优解的存在，此时无差异曲线是凸函数的，凹和拟凹条件不同的！此时经济学中只要证明是凸集就可以了，这样可以保证在线性约束条件下最优解的存在！详见蒋中一数理经济的基本方法！

比如U(x,y)=ln(1+x+y)。边际效用递减，但无差异曲线是直线。

(一)、无差异曲线是从左向右往下倾斜的（即，向原点）。
      如果假设曲线是向上倾斜的，则违背了任何一种商品越多越好的假设。在坐标中，右上的市场篮子组合的一定比左下方的篮子更受偏好，因为，此时的X与Y的量都是增加的，获得商品多了，消费者的效用会增加，如果曲线向原点外凸，则显示出，购买更多的商品消费者的偏好与购买较少商品的偏好一样，这是违背假设的。
(二)、无差异曲线是凸的
      这是因为边际替代率递减的假设存在。意思是，随着一种商品消费量的日益增加，消费者为了获得额外一单位那种商品而愿意放弃第二种商品的单位会越来越少，这是合理的假设。边际替代率，就是无差异曲线的斜率，凸，意味着斜率减少，即一单位横轴变化量带来的纵轴变化量在减少，也就是获得一单位横轴商品所愿意放弃的纵轴商品减少，因此图形是凸的。
      综上所述，无差异无曲线的形状取决于消费者行为理论的商品越多越好和边际替代率递减的两个前提假设，实际生活中可能会出现不同的情况，但是为了研究大多数的经济现象，我们必须设有假设条件，以便更准确的研究。