AR模型1.AR模型的定义

具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p):

这三个限制条件，第一条保证了模型的最高阶数为p阶。条件二实际上是要求随机干扰项序列为零均值的白噪声序列。条件三说明当期的干扰与过去的序列值无关。

通常会缺省上式的限制条件，简记为AR(p)模型：

当​时，自回归模型（1）又称为中心化AR（p)模型。非中心化AR（p）序列可以通过变换转化为中心化序列，令​则{​}为{​}的中心化序列。

中心化变换其实就是非中心化的序列整个平移了一个常数，是整体的移动，对序列值之间的相关关系没有影响。

引入延迟算子后，中心化AR（p）模型又可以简化为：

这里​称为p阶自回归系数多项式。2. 平稳性判别2.1 图判别

R语言提供了多种序列拟合函数，最常用的有两种：arima.sim函数与filter函数。

arima.sim函数不仅可以拟合AR模型，还可以拟合MA模型、ARMA模型以及ARIMA模型。其命令格式为：

arima.sim函数只能拟合平稳的AR序列，如果要拟合非平稳的AR序列还要用filter函数，不论是否平稳，filter函数都可以直接拟合。其命令格式为：

2.2 特征根判别任一中心化AR（p）模型​都可以视为一个非齐次线性差分方程

我们知道，{​}要平稳就要求上式差分方程的特征根都在单位圆内，即​。

在引入延迟算子后，自回归系数多项式的p个根与（4）式特征根互为倒数，证明略。因此，判断一个AR(p)模型是否稳定，既可以考察它的特征根是否都在单位圆内，也可以等价地考察它的自回归系数多项式的根是否都在单位圆外。

2.3 平稳域判别使得特征根都在单位圆内的系数的集合{特征根都在单位圆内​}称为AR(p)模型的平稳域。

低阶AR模型，用平稳域的方法判别模型的平稳性通常更为简便。

3.平稳AR模型的统计性质3.1 均值

假如AR(p)模型（1）满足平稳性条件，在等式两边取期望，得

根据平稳序列均值为常数的性质，有​，且因为{​}为白噪声序列，有​，所以上式等价于

特别地，对于中心化模型，因为​，所以​。3.2 方差假设{​}为任意阶数的平稳AR模型，那么一定存在一个常数序列{​}​，使得{​}可以等价表达为纯随机序列{​}的线性组合，即

这个常数序列{​}就称为Green函数。

AR（1）模型的方差等于