[编辑]
　　为了简单起见，假定，每个个体至少有3个供排列的选项，可以用各种味道的饼干为选项的例子，如，香草饼干(V)、巧克力饼干(C)和草莓饼干(S)，每一个人要形成一个序列，表示出他对3种味道的喜爱程度，如V>S>C，表示这个人最喜欢香草饼干，其次是草莓饼干，最后是巧克力饼干。设有甲乙丙三人作选择，他们的个人偏好为：
　　甲： V>C>S
　　乙： C>S>V
　　丙： S>V>C
　　表1 投票悖论

投票者	对不同选择方案的偏好次序
甲	V	C	S
乙	C	S	V
丙	S	V	C

　　用民主的多数表决方式，如果三个人都能充分表达自己的意见，则结果必然如下所示：
　　首先，在V和C中选择，甲、丙喜欢V，乙喜欢C；
　　然后，在C和S中选择，甲、乙喜欢C，丙喜欢S；
　　最后，在V和S中选择，乙、丙喜欢S，甲喜欢V。
　　这样三个人的最终表决结果如下：
　　V>C，C>S，S>V可见，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的“投票悖论”(paradox of voting)。这个投票悖论最早是由康德尔赛(Coudorcet，Marquis de)在l8世纪提出的，因而该悖论又称为“康德尔赛效应”，而利用数学对其进行论证的则是阿罗。
　　用数学语言来说，即：假设群体S上有m个个体成员，群体中出现的各种事件构成一个集合X，每个个体对每一事件都有自己的态度，即每个人都对集合X有一个偏好关系 > i=1，2，…，m。即可以按自己的偏好为事件排序。定义群体的偏好为：_5 =P(>_1 \ldots,>_m)" src="http://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/b/c/6bc90b52565c123aa4fffade2f7f2866.png">　其中P是一种由每个个体偏好得出群体偏好的规则。按这个规则从个体排序(偏好)得到群体排序(偏好)，而且这个排序符合民主社会的民主决策的各种要求。注意这个排序是自反的，即如果A>B，那么，B<A；是可传递的，即如果A>B，B>C，则有A>C；并且还是完全的，即要么A>B，要么B>A，二者只有其一而且必有其一。这首先要考察一下民主社会的民主决策的各种要求是什么，阿罗用4个公理(有时表述为5条，把公理1分为两条)表述出这些要求。他用的是数学方法，符号化的公理和数理逻辑的证明方法，为了简单地说明问题，我们采用了自然语言解释。
　　公理1 个体可以有任何偏好；而且是民主选择——每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择(数学上称为原则U—无限制原则： > i，u=1，2，… ，　m在x上的定义方式无任何限制)。
　　公理2 不相干的选择是互相独立的；(数学上称为原则I— —独立性原则：对于X中的两个事件X和Y，_5=P(<_1\ldots,对它们做出的偏好判断与X中的任何其他事件无关)。
　　公理3 社会价值与个体价值之间有正向关联；(数学上称为原则P—一致性原则：如果对X中的两个事件X和Y，对于所有的i都有x < iY，那么X < sY。这里x < iY表示X > iY不成立。就是说，每人都有同样明确态度的两件事，社会也应该有同样的态度。)
　　公理4 没有独裁者——不存在能把个体偏好强加给社会的可能。(数学上称为原则D—— 非独裁原则：不存在某个i，使得阿罗证明，满足这4条公理表述的要求的民主决策的规则是不存在的，就是著名的“阿罗不可能性定理”：如果X中的事件个数不小于3，那么就不存在任何遵循原则U，P，I，D的规则(称为“社会福利函数”)。这表明满足所有一般条件的民主选择要么是强加的，要么就是独裁的结果。
　　换句话说，阿罗不可能性定理指出，多数规则(majorily rule)的一个根本缺陷就是在实际决策中往往导致循环投票。
　　在得多数票获胜的规则下，每个人均按照他的偏好来投票。不难看出，大多数人是偏好X胜于Y，同样大多数人也是偏好Y胜于Z。按照逻辑上的一致性，这种偏好应当是可以传递的(transitivity)，即大多数人偏好X胜于Z。但实际上，大多数人偏好Z胜于X。因此，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会产生循环的结果。结果，在这些选择方案中，没有一个能够获得多数票而通过，这就是“投票悖论”，它对所有的公共选择问题都是一种固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这两难境地。
　　那么，能不能设计出一个消除循环投票，做出合理决策的投票方案呢?阿罗的结论是：根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程序(agenda)的多数规则的投票方案。简单地说，阿罗的不可能定理意味着，在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。
　　这个结果是令人震动的：一个社会不可能有完全的每个个人的自由—— 否则将导致独裁；一个社会也不可能实现完全的自由经济—— 否则将导致垄断。人们对社会的认识达到一个新的高度。因此阿罗的不可能定理一经问世便对当时的政治哲学和福利经济学产生了巨大的冲击，甚至招来了上百篇文章对他的定理的驳斥。李特尔、萨缪尔森试图以与福利经济学不相干的论点来驳倒阿罗的不可能定理，但又遭到肯普、黄有光和帕克斯的反驳，他们甚至建立了在给定个人次序情况下的不可能性结果。
　　事实上，阿罗的不可能性定理经受住了所有技术上的批评，其基本理论从来没有受到重大挑战，可以说是无懈可击的，于是阿罗不可能定理似乎成为规范经济学发展的一个不可逾越的障碍。怎样综合社会个体的偏好，怎样在理论上找到一个令人满意的评价不同社会形态的方法，成为一个世界性难题。这时候出现了阿马弟亚·森(Amartya Kumar Sen，1933一)从20世纪60年代中期起，森在工具性建设方面的贡献减少了这种悲观主义色彩。森在这方面的研究推动了规范经济学跨越这个障碍向前发展。他的研究工作不仅丰富了社会选择理论的原则，而且开辟了一个新的、重要的研究天地。森1970年的著作《集体选择和社会福利》是其最重要的一部著作，它使许多研究者恢复了对基本福利的兴趣。另外这本书还具有哲学的风格，为规范问题的经济分析提供了一个新的视角，克服了阿罗不可能定理衍生出的难题，从而对福利经济学的基础理论作出了巨大的贡献。
　　森所建议的解决方法其实非常简单。森发现，当所有人都同意其中一项选择方案并非最佳的情况下，阿罗的“投票悖论”就可以迎刃而解。比如，假定所有人均同意V项选择方案并非最佳，这样上面的表1就变为表2，仅仅甲的偏好由于同意“V并非最佳”而V和C的顺序互换了一下，别的都不变。
　　表2 投票悖论的解决

投票者	对不同选择方案的偏好次序
甲	C	V	S
乙	C	S	V
丙	S	V	C

　　在对V和C两种方案投票时，C以两票(甲乙)对一票(丙)而胜出于V(C>V)；同理，在对V和S以及C和S分别进行投票时，可以得到S以两票(乙丙)对一票(甲)而胜出于V(S>V)；C以两票(甲乙)对一票(丙)而胜出于S(C>S)。这样，C>S—S>V—C>V，投票悖论就此宣告消失，唯有C项选择方案得到大多数票而获胜。
　　森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式：
　　(1)所有人都同意其中一项选择方案并非最佳；
　　(2)所有人都同意其中一项选择方案并非次佳；
　　(3)所有人都同意其中一项选择方案并非最差。