该函数在第二个参数中是线性的，满足相对标度不变性（上述公理（3））。fλ的一个反对称的加法变体对相对变化的常见批评包括其反对称性的失败，即通常rel（x，y）6=-rel（y，x）及其可加性失效，即一般的yrel（x，y）+rel（y，z）6=rel（x，z）（见[T¨ornqvist等人，1985]，[Wetherell，1986]和[Schuer，1990]）。在[T¨ornqvist et al.，1985]中观察到，对数比r（x，y）=ln（y/x）是相对变化的唯一指标，这种变化是反对称的、加性的和规范化的，即y 7的线性化→ x周围的r（x，y）由rel（x，y）给出。因此，很自然地会问指标Fλ：R+→ R是反对称的、可加的，并且在y 7线性化的意义上是赋范的→ x周围的Fλ（x，y）由Fλ（x，y）给出。下面的定理有力地回答了这个问题：定理4.1指标fλ（x，y）=y1-λ- x1-λ1 - λ、 如果λ6=1ln（y/x），如果λ=16 S.BRAUEN，P.ERPF&M.Wasemi是唯一的反对称和相加指示器，因此y 7的线性化→ x周围的Fλ（x，y）由Fλ（x，y）给出。证据我们首先通过区分可加性性质Fλ（x，x）+Fλ（x，t）=Fλ（x，t）推导出Fλ的某种结构x、 x，t∈ R+相对于t.因此yFλ（x，t）=所有x，x，t的yFλ（x，t）∈ R+这意味着yFλ只依赖于t，特别是它认为（4.1）yFλ（x，t）=yFλ（t，t）表示所有（x，t）∈ R+。因此，Fλ（x，y）是可加分离的（它分解为两个单变量函数的和，分别取决于x和y）。

y7的线性化→ x周围的Fλ（x，y）应该等于Fλ，所以我们得到Fλ（x，x）+yFλ（x，x）（y）- x） =y- xxλ，由于Fλ（x，x）=0与Fλ的反对称性成正比，因此（4.2）yFλ（x，x）=xλ和henceFλ（x，y）=ZyxyFλ（x，t）dt（4.1）=ZyxyFλ（t，t）dt（4.2）=Zyxtλdt=y1-λ- x1-λ1 - λ、 如果λ6=1ln（y/x），如果λ=1。很容易检验Fλ（x，y）+Fλ（y，z）=Fλ（x，z）x、 y，z∈ R+。备注4.2我们现在列出了Fλ的一些性质：（1）观察到Fλ将绝对变化（λ=0）和对数比（λ=1）置于自然关系sincelimλ中→1y1-λ- x1-λ1 - λ=ln（y/x）。此外，Fλ继承了Fλ的自然性和相对标度不变性（但不是第二个参数中的有效线性）。（2） 用y7的泰勒展开式→ Fλ（x，y）围绕x我们得到Fλ（x，y）=Fλ（x，y）+nXk=2(-1） k+1Γ（λ+k）- 1） k！xk+λ-1Γ（λ）（y）- x） k+O（（x）- y） n+1），其中Γ表示欧拉伽马函数，我们注意到截断级数也满足相对标度不变性和自然性。在线性项之后进行截断，并使用绝对和相对变化余数的拉格朗日形式，我们得到了关于Fλ和Fλ之差的二次全局界|Fλ（x，y）- fλ（x，y）| 6λ·（y）- x） min{x，y}1+λ。（3） 如果x=1（对应于测量单位的选择），则函数y 7→ Fλ（1，y）等于参数1的Box-Cox变换- λ（见[Box&Cox，1964]）。在这种情况下，我们有F（1，y）=y，F（1，y）=（py）-1） ，F（1，y）=2(√Y-1） F（1，y）=lny（见图1）。图1。该图显示了F（1，y）、F（1，y）（实心）、F（1，y）（虚线）和F（1，y）（虚线）的图形∈ (0, 5].5.

应用每一个涉及绝对或相对变化的量都可以用fλ（或fλ）自然地进行广义化：应用5.1（边际函数和弹性之间的关系）指标fλ和fλ揭示了边际函数和弹性之间的关系：对于可微分的经济函数g（x），相关的边际函数由其导数g（x）给出。相应的弹性函数由εg（x）=limy定义→x（g（y）- g（x））/g（x）（y- x） /x=g（x）·xg（x），是相对变化商的极限。用fλ代替该定义中的相对变化，我们得到了广义弹性函数ελg（x）=limy→x（g（y）- g（x））/g（x）λ（y）- x） /xλ=g（x）·xg（x）λ8 S.BRAUEN，P.ERPF&M.Wasem将边缘函数（λ=0）和经典弹性（λ=1）置于自然关系中。λ的选择λ的选择在很大程度上取决于上下文。如果希望在绝对变化和相对变化之间“对称”插值，以下概念证据表明λ=是一个不错的选择：为了确定λ，我们要求系数C>0（对于固定相对变化）的绝对变化比例等于相对变化比例（对于固定绝对变化）。观察到对（x，y）和（Cx，Cy）满足abs（Cx，Cy）=C abs（x，y）andrel（Cx，Cy）=rel（x，y），因此绝对变化以C为标度，而相对变化保持不变。成对的（x，y）和xC，y- x+xC满足感xC，y- x+xC= abs（x，y）relxC，y- x+xC= C rel（x，y），因此相对变化与C成比例，而绝对变化保持不变。现在选择参数λ，使fλ满足fλ（Cx，Cy）=fλxC，y- x+xC.这个方程式简化为C1-λ=Cλ，因此λ=。我们将添加一个具体的例子来说明选择。作为参考对，我们选择满足λ（1，2）=1的（1，2）作为每个λ的选择。

这对（2，4）有一个绝对变化，它和（1，2）的变化一样大，但rel（1，2）=rel（2，4）。唯一一对的绝对变化与（1，2）相同，但其相对变化是（1，2）的两倍,.那么fλ（2，4）=21-λ、 fλ,= 2λ和21-λ=2λi offλ=。因此，选择λ的方式是，将绝对变化或相对变化加倍，即得出相同的结果。从f作为Cobb-Douglas函数的角度来看，我们注意到选择λ=具有以下结果：Cobb-Douglas函数Y（L，K）=ALβKα的点（L，K）处的边际替代率由（6.1）给出LY（L，K）KY（L，K）=βLβ-1KαLβKα-1=βα·KL。在我们的例子中，只要L=rel（x，y），K=abs（x，y），α=1- λ和β=λ，（6.1）中的后一表达式等于λ/（1）-λ） ·x.当λ=时，该量正好等于过去的值x。关于绝对和相对变化97。结论我们已经证明，变化指标fλ可以从一些简单的自然公理中挑选出来。通过这种方式，绝对和相对变化的基本概念被确定为更一般数量的特例。在这个指标的基础上，构造了一个新的反对称加性指标Fλ，它与对数比的绝对变化有关。因此，我们的分析将[T¨ornqvist et al.，1985]的主要结果作为特例包含在内。此外，我们还得到了一个新的广义弹性函数，它揭示了经济学中两个经典概念——边际函数和弹性之间的关系。致谢。作者要感谢Thomas Mettler指出fλ作为Cobb-Douglas函数的形式结构。参考文献[Aitchison，1982]John Aitchison（1982）。成分数据的统计分析（附讨论）。英国皇家统计学会杂志，B辑（统计方法学）44（2），139？177.[Aitchison，1983]约翰·艾奇森（1983）。

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