适用于所有时间范围的最优投资和马丁边界

2022-4-29 16:38:51

时空扩散的所有时间范围和马丁边界的最优投资Sergey Nadtochiy*Michael Tehranchi+——该版本：2013年12月17日初稿：2012年10月5日摘要本文关注的是公理化基础和一类广义最优标准的显式构造，可用于多时间范围的投资问题，或当时间范围事先未知时。投资标准和最优策略均由半有限时间区间上的Hamilton-Jacobi-Bellman方程描述。当这个方程可以线性化时，问题就简化为一个时间倒转抛物方程，不能用偏微分方程的标准方法来分析。在附加一致椭圆条件下，我们利用这类方程所有极小解的现有描述，以及势论和凸分析中的一些基本事实，得到所有正解的显式积分表示。这些结果使我们能够构建上述优化标准的大家族，包括相关财务模型中的一些封闭形式的例子。关键词：偏好、状态相关效用、时间一致性、正向性能过程、时间反向HJBequation、Widder定理、Martin边界。*sergeyn@umich.edu; 密歇根大学数学系。+Mtehranchi@statslab.cam.ac.uk; 剑桥大学统计实验室这篇论文的结果首次在2011年5月于英国牛津大学西奥福德曼研究所举行的投资组合理论和投资管理进展会议上发表。

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2022-4-29 16:38:55

两位作者都承认本次会议在交流这项工作中的作用。1简介经典投资问题（也称为默顿问题）涉及投资者资本在可用金融工具之间的最优配置。对这种说法的准确理解取决于决策者所采用的最优性概念。我们考虑基于每种策略产生的终端财富特征的最优性标准。在学术文献中，这些特征通常被总结为终端财富的效用函数。更准确地说，投资者（代理人）选择一个效用函数，以及一个投资期限，比如T，并最大化该函数在时间T（由某个概率空间上的随机变量表示）对所有可实现收益的预期。这种方法的主要优点之一是公理化的公正性。假设投资者对所有终端收益（随机变量或分布）都有偏好，这形成了一个完整的顺序：对于任何给定的pairof收益，投资者要么偏好其中一个，要么两者之间无所谓（参见[3]）。然后，经标定的冯·诺伊曼莫尔根斯坦定理（参见[52]）表明，如果这个完整的顺序满足几个推论公理，它必须由一个预期效用来表示。换句话说，存在一个效用函数，在任何两个收益之间，投资者总是偏好预期效用较大的收益。公理的选择和由此产生的效用函数的性质存在多种变化：例如，参见[1]、[7]、[48]、[19]。

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2022-4-29 16:39:00

然而，最常见的公理是冯·诺依曼和摩根斯坦的公理，它由传递性、连续性和独立性组成（参见[19]）。通常会添加风险规避公理，以确保在产生的最优投资问题中鼓励投资组合的多样化，尤其是相关的效用函数是凹的。一旦选择了公理集，我们可以假设，在不丧失普遍性的情况下，投资者对最终收益集的偏好是由效用函数决定的。选择适当的效用函数后，我们解决相关的随机优化问题，以找到最优策略。这些问题在市场模型的一般假设下得到了广泛研究，并构成了现代数学金融理论中最活跃的研究领域之一（例如，参见[38]、[39]、[30]、[31]、[20]、[46]）。在一个只做一次投资决策的模型中，代理决策的结果是一个全球交易策略，一直持续到最终时间范围。然后，在初始阶段选择最优策略，使终端财富的预期效用最大化。然而，如果投资决策是多次做出的，那么对最佳战略的这种定义是不自然的。事实上，在后文[12]中，对于不需要最优性标准的均衡方法。在这种情况下，每个决策的结果都是一个局部投资策略，它只规定了下一个时间段的行动，并导致一组随机的未来投资机会，而不是最终回报本身。因此，在每个决策时刻，代理需要对集值随机变量的关联空间有一系列偏好。

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2022-4-29 16:39:04

由此产生的动态偏好家族也必须是跨时间的非矛盾的，或时间一致的。简而言之，时间一致性意味着投资者“不会后悔”自己过去的决定。[32]对其进行了最好的描述，其中时间一致性被假定为公理之一，并且开发了满足这些公理的所有动态偏好的表示，也被称为递归实用程序。在预期效用的背景下，通过评估每个本地策略（下一个时间段的投资计划）作为终端财富在所有未来（全球）策略（与下一个时间段所选本地策略一致）的最大预期效用，构建动态偏好是自然的。当动态规划原理成立时，可以确保生成的动态偏好族的时间一致性。事实上，它还表明，单决策效用最大化问题（全局策略从一开始就被选择）等价于一个时间一致的多决策优化问题，在该问题中，策略的最优性在每个决策时间被重新评估。这种等价性（即动态规划原理）将最优投资问题转化为随机控制问题，如[14]、[33]所述。尽管存在公理基础和动态规划原则，但基于最大预期效用的优化标准仍有很大的局限性。它最大的缺点之一是，在做出投资决策时，只考虑固定时间T的财富回报。在实践中，人们可能需要考虑财富过程的其他属性：例如，它在所有时间范围内的边际分布T>0。

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2022-4-29 16:39:08

例如，如果终端时间范围事先未知，则后一种选择可能是合理的。众所周知，预期效用不容易推广到无界时间范围的情况（某些特定结构除外）。为了消除困难，假设投资者选择了时间范围T和效用函数U，并解决了由此产生的优化问题，在时间间隔[0，T]上获得了最优投资策略。进一步假设“生命不会在T结束”。然后，投资者选择更长的时间范围T>T，以及新的效用函数U，并在[T，T]上构造最优策略。然而，通过这样做，投资者希望确保她目前的决定不会与未来的决定相矛盾。换言之，从初始时间来看，在时间间隔[0，T]上已经实施的策略，以及在时间间隔[0，T]和时间间隔[0，T]之间新的最优策略，将在[0，T]上形成一个整体最优投资策略。事实证明，对于任意的U选择，无法保证Uthat满足时间一致性属性的存在。经典方法的另一个缺点是，假设投资者在（可能是远程的）终端时间范围内的效用函数在初始时间已知，这是其未在从业者中流行的主要原因之一。尽管有几种方法可以从投资者的行为中推断出他们的偏好，但随着时间跨度的增加，这些方法的可靠性会降低。为了解决上述缺点，亨德森和霍布森以及Musiela和Zariphopoulou分别为投资问题引入了另一种最优性标准（参见。

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2022-4-29 16:39:11

[16] [41]和[42]）。相关标准是根据一个随机场来制定的，用T∈ (0, ∞) 根据财富理论∈ (0, ∞), 它被称为远期投资绩效过程（FIPP）。新标准要求制定一个时间一致的投资策略，在每次地平线T>0时最大化财富的预期效用，提供了经典方法的自然延伸。同时，与经典框架相比，新方法只要求投资者在交易期的每一个开始阶段指定其风险偏好，而不是在（可能很遥远的）未来时间范围内。1.1前瞻性投资绩效过程：公理化公正一旦我们偏离经典框架，并同意我们的投资决策应始终取决于T>0时财富的边际分布，就自然而然地假设每个T>0时财富水平都存在一系列偏好。换句话说，我们假设，对于每一个T>0，在代表时间T的财富回报的随机变量空间上存在一个完整的顺序。此外，假设这些偏好满足冯·诺依曼和摩根斯坦的常用公理，我们得出结论，对于每个T>0，都存在一个表示这些偏好的效用函数。然而，请注意，效用函数族{UT}T>0并不代表财富过程空间上的一个完整序。事实上，对于给定的一对财富过程，第一个过程在特定时间范围内的收益可能比第二个过程的收益具有更高的预期效用，而相反的关系可能在不同的时间范围内成立。

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2022-4-29 16:39:14

尽管如此，这样一系列偏好可能仍然承认一个极端因素，即使所有预期效用最大化的富裕过程，可以通过在所有时间范围内保持时间一致的策略来实现。不幸的是，事实证明，没有多少经典效用函数家族可以接受上述意义上的极值元素。这就是为什么我们必须扩展效用函数的经典概念，并考虑依赖于状态的效用（也称为随机效用）。请注意，冯·诺依曼和摩根斯坦的公理是为分布空间而制定的，尤其是基于预期效用的结果偏好，只考虑了终端财富的分布。然而，在实践中，投资者的偏好往往取决于目标随机变量的联合分布，例如XT和附加

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2022-4-29 16:39:17

使用传统的概率表示法，我们还可以看到依赖于状态的效用是一个随机函数U（x，ω），可以相对于给定的sigma代数（由YT生成）进行测量。在[10]、[23]、[22]中可以找到对状态依赖性理论的详细描述。简单地说，前瞻性投资绩效过程是一系列依赖于国家的公用事业，以时间范围T>0为指标，并有条件接受一个最优投资策略，该策略使所有预期公用事业最大化，并且在所有时间范围内都是时间一致的。如上所述，这样一系列的效用函数通常不会对可用的投资策略集（或可实现的财富过程集）产生完整的顺序。它对应于代理人在整个策略空间内没有偏好的情况（并非每两种策略都是可比的），但是，对于任何给定的时间范围和相关市场因素YT的任何状态，投资者可以在该时间范围内比较任何两种策略的条件绩效。更准确地说，我们假设，对于任何T>0，投资者在时间T的财富过程和相关随机因素的联合分布空间上有一个完整的顺序，这个顺序满足冯·诺依曼和摩根斯坦的公理。此外，对于所有这些偏好，我们需要存在一个与时间一致的最优策略，从而得到一个向前的投资绩效过程。备注1.1。值得一提的是，在[32]和[11]中引入的递归效用概念不需要独立公理，因此产生了一个非常普遍的偏好类别。特别是，由此产生的偏好可能会考虑财富过程的广泛属性——不仅是其边际分布——同时保持时间一致性。

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2022-4-29 16:39:21

然而，与经典方法一样，一般的递归效用理论只针对有限的时间范围发展（尽管某些特定的有限时间范围构造是可能的）。从这个角度来看，前瞻性投资绩效理论提供了一些新的东西：它的全部目的是描述为所有正时间范围定义的一类最优性标准，尽可能接近经典理论。1.2远期投资绩效过程：正式定义我们假设市场由一个银行账户组成，该账户的价值在没有任何一般性损失的情况下保持不变，k风险资产=是的，Sk, 其价格在随机基础上采用c`adl`ag半鞅Ohm, F=（英尺）t≥0，P. 下面介绍的所有随机过程都是在此随机基础上定义的。通常，通过投资策略或投资组合，我们了解向量π=π, . . . , πkTof可预测的随机过程，相对于S可积。投资者从初始财富水平x>0开始，并在风险证券和银行账户中动态分配她的财富，因此π表示她在Siat时间t中投资的财富比例。然后，由于自我融资性质，她的累积财富过程xπ，xis由dxπ给出，xt=xπ，xtπTtdSt，xπ，x=x，前提是π是S-可积且局部平方可积的。有时有必要考虑更小的投资组合。因此，我们用一组可容许投资组合表示，它是S-可积和局部平方可积过程π的子集。此外，我们引入以下符号：R+=[0，∞).定义1.2。

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mingdashike22

2022-4-29 16:39:25

给定如上所述的市场模型和一组可接受的投资组合a，一个逐步可测量的随机函数U：Ohm ×R+×（0，∞) → R是一个前瞻性投资绩效过程，如果：i）几乎可以肯定，对于所有t≥ 0，映射x→ Ut（x）呈凹形且逐渐增大；ii）对于任何x>0和任何π∈ A、过程（Ut（Xπ，xt））t≥0是一个超级艺术家；iii）对于任何x>0，存在一个组合π*∈ A、以至于美国犹他州Xπ*,xtT≥0是一个鞅。上述定义中的属性i）简单地表示，远期投资绩效过程是一系列依赖于国家的公用事业，定义为所有积极的时间范围。另外两个性质确保了这个效用函数族有一个唯一的时间一致性最大化子：一个可实现的财富过程，它在所有正的时间范围和初始投资时间内使给定族中的预期效用最大化。明确描述满足上述定义的随机函数Ut（x）的空间仍然是一个有待解决的问题，但这方面的一些结果可以在[16]、[2]、[25]、[24]、[43]和[58]中找到。为了在这个方向上呈现更具体的结果，我们必须对市场模型做一些额外的假设。特别是，我们假设过滤F由标准布朗运动inRd W生成。此外，我们假设S是Rk中具有正项的It^o过程，给定byd log St=utdt+σTtdWt，（1）其中对数是按项取的，u是一个局部可积随机过程，其值为Rk，且σisa d×k是局部平方可积过程的矩阵。我们用符号“AT”来表示amatrix（vector）A的转置。

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2022-4-29 16:39:29

我们通过λt引入d维随机过程λ，通常称为风险的市场价格：=σTt+其中（σTt）+是矩阵σTt的Moore-Penrose伪逆，~u是S的漂移：~uit=uit+kσitk/2，对于i=1，k、 σit是σt的第i列。特别是，我们有σTtλt=挈ut。这种过程λ的存在源于模型中没有套利。注意，在这种情况下，对于任何局部平方可积过程π，累积财富过程Xπ，xis由dxπ，xt=Xπ，xtπTtσTtλtdt+Xπ，xtπTtσTtdWt，Xπ，X=X给出。回想一下，经典效用最大化问题中的价值函数，至少在形式上，解决了汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。事实证明，以下随机偏微分方程（SPDE）与正向性能理论中的HJB方程类似：dUt（x）=kxUt（x）λt+σtσ+txat（x）kxUt（x）+aTt（x）dWt，（3）其中at（x）是逐步可测的随机函数的d维向量，在x中连续可微，这被称为远期绩效过程的波动性。最近，在[43]、[57]和后来的[25]、[24]中，我们发现，如果U是一个两次连续可微的随机流（定义参见[35]），满足上述SPDE，那么对于任何可容许的投资组合π，过程（Ut（Xπ，xt））t≥0是一个局部超鞅（在这个意义上，存在一个使其成为超鞅的定域序列），如果，对于任何初始条件X*> 0，存在严格的正过程X*令人满意的*t=X*t（σtπ）*t（X）*t））tλtdt+X*t（σtπ）*t（X）*t））TdWt，（4）带xσtπ*t（x）=-λtxUt（x）+σtσ+txat（x）xUt（x），x>0，（5）然后（Ut（x*t））t≥0是一个局部鞅。当然，根据定义，局部超鞅和鞅性质不足以使U成为一个正向性能过程。

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2022-4-29 16:39:32

因此，在解决了上述SPDE（3）并通过（4）构建了最优财富之后，仍然需要验证结果过程确实是一个前瞻性投资绩效过程（这类似于经典效用最大化理论中的验证过程）。例如，一种确保局部上鞅（Ut（Xπ，xt））t≥0是一个真正的超鞅，是构造U，使inft，xUt（x）由一个可积的随机变量从下面限定。此外，我们还可以通过一个标准参数证明局部鞅（Ut（X*t））t≥0是一个真正的鞅当且仅当它的期望值在任何时候与它在零的值一致。1.3远期表现过程的表示请注意，方程（3）可用于描述通过波动率a的远期表现过程。另一方面，不清楚什么是可接受的波动率选择——方程（3）有解决方案。事实上，甚至不清楚哪些“常数”波动率（x的递增和凹决定函数）是允许的。另一方面，下面给出的[24]的结果表明，存在一类波动过程（尽管以一种相当隐含的方式定义），对于满足某些光滑性和有界性约束的任何初始条件，（3）允许唯一解。更准确地说，在[24]中，对于任何足够规则的随机流π*t（x）和ν*t（x），如果波动率a以以下函数形式规定：at（x）=Ft、 x，xUt（·），xUt（·），λt，π*t（·），ν*t（·）, （6）其中F是给定的确定性算子（对于a的所有选择都是相同的），那么对于任何初始条件U（x），存在（3）的解，它是严格凹的、递增的，满足某些光滑性条件，并且在x=0时取值为零。

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2022-4-29 16:39:36

此外，如果得到的解U是一个真正的正向性能过程（即，如果局部鞅和超鞅性质实际上是全局的），那么相应的最优投资组合由π给出*. [24]的作者建议，上述结果可用于解决推断投资者偏好的问题。原则上，我们可以观察投资者的最优投资组合π*在某个“测试”市场上，构造复制该最优投资组合的远期表现过程U。然后，自然地，应该使用构建的远期绩效过程来确定目标市场中的最优投资组合（具有不同的资产和/或一组不同的可接受投资组合）。然而，在不同的市场中，具有不同的可获得财富过程集，随机领域U可能（并且通常是D）无法满足定义1.2中的最后两个属性（请注意，定义取决于可获得财富过程集）。因此，它无法在新市场中产生时间一致的最优标准。尽管在现阶段，尚不清楚如何使用远期绩效理论推断投资者的偏好，[24]的结果提供了一类远期绩效过程的分析表示。也就是说，对于一组给定的可获得财富过程a，通过π来描述正向绩效过程*,ν*, 这种描述，确切地说，构成了前向绩效过程理论的一个重要结果。特别是，它表明，对于任何足够规则的投资组合过程（表示为一个随机场），存在一个使给定投资组合最优的前瞻性绩效过程。然而，从实践的角度来看，假设最优投资组合π*在构造最优性标准之前就已经知道，这可能并不总是自然的。

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2022-4-29 16:39:39

例如，在标准的最优投资问题中，人们使用最优准则来构造最优投资组合。此外，随机场ν*缺乏明确的经济解释（尽管可以通过对偶问题从数学上描述），这使得在特定应用中很难具体说明其价值。因此，在本文中，我们使用一种不同的方法来描述远期绩效过程，这是基于第1.1小节中给出的公理判断，而不是基于波动率a。回想一下，远期绩效过程是为给定的一组可实现的策略a定义的。因此，我们自然会将其视为满足第1.2节定义的一对（U，a）。然而，为了给远期表现过程带来经济意义，需要将其与投资者对一组允许交易策略的偏好联系起来。我们通过识别一系列依赖于状态的实用程序来实现这一点。反过来，对给定的随机因素定义了依赖于状态的效用，这会导致效用的状态依赖性（或随机性）。更准确地说，依赖于状态的效用表示对条件分布的偏好，条件分布是通过附加

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2022-4-29 16:39:42

也就是说，我们假设随机场U和一组可达到的权利要求满足定义1.2，此外，UTI是（t，x，Yt）的确定函数。因此，为了给远期绩效过程分配经济意义，我们建议对给定的可实现索赔集和给定的随机因素Y进行定义。请注意，上述方法的唯一新颖之处在于识别前瞻性绩效流程所需的附加信息。也就是说，原始方法（定义1.2）要求给出一组可实现的权利要求A，作为识别正向绩效过程所需的附加信息（即，该过程是针对给定A定义的）。在目前的设置中，我们要求生成Ut的西格玛代数的

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2022-4-29 16:39:46

在这种情况下，事实证明，确切的函数关系是由初始偏好唯一确定的，特别是，不需要猜测正向性能过程的挥发性结构。我们通过相关正时空调和函数的显式积分表示，以因子形式描述了正向性能过程，并用具体例子说明了该理论。论文的结构如下。在第2.1小节中，我们定义了一般随机因素模型，这是本节所述模型的具体说明，它仍然是本文其余部分的框架。在第2.2节中，我们介绍了因子形式的正向性能过程，以及相应的时间反转HJB方程，并讨论了与之相关的困难。第2.3节和第2.4节演示了在某些情况下，如何将HJB方程简化为具有初始条件的向后线性抛物方程。本文的主要结果是关于向后线性抛物型方程的正解在时间区间（0，∞) – i、 e.积极的时空和谐功能。这些结果在第3节的定理3.11、3.12和3.16中给出。最后，我们在第4.2节“因子形式的远期绩效过程”中考虑因子形式的远期绩效过程的封闭形式示例。1随机因素模型我们假设风险资产的价格过程=sSk由n维（n≥ k）

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2022-4-29 16:39:51

，BkT、 viadYt=u（Yt）dt+σT（Yt）dWt，（7）其中，我们引入了u∈ C（Rn）→ Rn）和σ∈ C注册护士→ Rd×n,用d×n实矩阵的Rd×n空间表示。我们还假设函数u和σ对于任何初始条件y都具有唯一的强解∈ 注册护士。Y的前k个分量被解释为可交易证券S的对数：Sit=exp耶, i=1，k、其余的都是n- k分量是观察到的但不可交易的随机因素。特别是，我们得到了dSit=Situi（Yt）dt+Sitσi（Yt）TdWt，i=1，k、式中，σi（y）是σ（y）的第i列，且|ui（y）=ui（y）+kσi（y）k/2，i=1，n在这种情况下，风险的市场价格由λt=λ（Yt）给出，其中λ∈ C注册护士→ 研发部满足感σi（Yt）Tλ（Yt）=μi（Yt），i=1，k（8）给定一个组合π=π, . . . , πkT、每个πi都是一个逐步可测的随机过程，其值在R中，我们将用扩展的n维向量来识别它π, . . . , π0，0希望这不会引起任何混乱。考虑一种任意的动态自我融资交易策略，该策略从初始水平x>0开始，在每个时间t，规定保持投资于Si的总财富的分数πi（对于每个i=1，…，k）。然后，该策略的累积财富过程由dxπ，xt=Xπ，xtπTtu（Yt）dt+Xπ，xtπTtσT（Yt）dWt=Xπ，xt（σ（Yt）πT）Tλ（Yt）dt+Xπ，xt（σ（Yt）πT）TdWt2给出。2时间倒转的HJB方程正如之前所宣布的，我们现在假设存在一个函数V:R+×Rn×（0，∞) → R、因此，远期绩效过程U在以下系数formUt（x）=V（t，Yt，x），（9）中给出，其中Y在（7）中定义。

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2022-4-29 16:39:54

我们的目标是明确地（以一种非常适合实现的方式）描述一大类函数V，使得（9）定义的U实际上是一个正向性能过程。假设有足够的光滑性，我们将伊藤公式应用于V（t，Yt，x），并将漂移项和局部鞅项等同于（3）中的项。因此，我们得到了一个因子形式的远期表现过程的波动率，at（x）=σ（Yt）DyV（t，Yt，x），并推导出以下偏微分方程：Vt+maxπ∈Rk×{0}n-K（Vxλ+σDyVx）Tσπ+Vxx（σπ）Tσπ+trDyVσTσ+ （DyV）Tu=0，（10）表示（T，y，x）∈ (0, ∞) ×Rn×（0，∞). 这里，我们用DyV表示V（偏导数向量）的梯度，用DyV表示V（二阶偏导数矩阵）相对于y的海森梯度。不难看出，如果V解上述方程，Ut（x）=V（t，Yt，x）局部满足定义1.2的最后两个性质（即“鞅”和“超鞅”性质分别被替换为“局部鞅”和“局部超鞅”性质）。后一种说法的证明，以及上述偏微分方程（PDE）的推导，是相当标准的，因此，我们省略了细节，相反，请感兴趣的读者参考[25]、[24]、[57]和[43]。在我们开始构造（10）的解之前，值得一提的是上述方程的几个重要特征。首先，等式（10）提供了另一种观察性能过程和经典效用最大化理论中的价值函数之间相似性的方法。事实上，因子形式的正向性能过程满足与值函数相同的方程，只是它在有限时间范围T内没有预先规定的终端条件：相反，解决方案应该存在于整个半线T>0上。

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2022-4-29 16:39:57

通过变量的简单变化，上述方程似乎可以简化为标准的HJB方程：t7→ τ=T- t、有些固定t>0。然而，得到的（标准HJB）方程只能在τ>0时求解，因此，它只能对t产生（10）的解∈ （0，T）。这是不够的，因为首先引入正向性能过程的主要原因是为了确保在整个半线t上产生的优化标准的时间一致性∈ (0, ∞). 因此，与经典的HJB方程不同，（10）只能满足初始条件，而不是终端条件，必须及时向前求解。因此，我们称之为时间反转的HJB方程。从理论上看，许多问题的解都是错误的。尽管存在上述所有困难，我们还是在市场模型的一些附加假设下，成功构建了上述等式的解决方案。特别是，当市场是完全的或财富变量中的偏好是同质的时，我们明确描述了上述方程的所有严格递增和凹解的空间，以及相关的初始条件V（0，·，·）。2.3 HJB方程线性化：完全市场情况。首先，我们考虑一个完整市场的情况：即，我们假设在每个时间t，σ（Yt）的前k列跨越整个Rd。

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2022-4-29 16:40:00

然后，可以显式地解决（10）中的最大化问题，HJBequation成为SVT-kλVx+σDyVxkVxx+trDyVσTσ+ DyVTu=0（11）众所周知，对偶理论的方法允许将上述方程线性化（参见[20]）。这些方法基于对V（t，y，·）的芬切尔-拉格朗日对偶的分析，用^V（t，y，·）表示。特别是，这是一项标准练习，用于检查替代物（t，y，z）=-^Vx（t，y，exp（z））=（Vx（t，y，·））-1（exp（z））（12）将正向HJB方程（11）转化为以下线性方程：+λTλuzz- 2DyuTzσTλ+trDyuσTσ+λTλuz+DyuTu - σTλ= 0，（13）表示所有（t，y，z）∈ (0, ∞) ×Rn+1。如果我们设法找到上述方程的解，并确保它严格为正且在z方向上递减，那么我们可以通过（12）向后进行，以构造求解（11）的函数V。这一步可能并不总是微不足道的，因为从VxV到VxV的转换需要对VxX的PDEfor进行积分。然而，如果我们成功推导出u（t，y，z）及其偏导数的充分先验估计，这种方法确实有效，如第4.1.2.4小节中所示，将HJB方程线性化：同位旋偏好。前一小节中提出的线性化依赖于市场的完整性，但适用于因子形式的任意远期表现过程。相反，在这里，我们考虑（可能的）不完全市场模型，而在财富论证中，远期投资绩效过程被假定为同质的。这类过程与流行的电力设施是天然的类比。更准确地说，我们假设，对于所有（t，y，x）∈ R+×Rn×（0，∞),V（t，y，x）=xγV（t，y），（14）带有一些函数V:R+×Rn→ R和一个非零常数γ<1。此外，我们对上面介绍的一般因素模型进行了以下说明。

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2022-4-29 16:40:04

我们假设n=d=2，k=1，μ和σ仅取决于y的第二个分量，σ的两列之间的瞬时相关性是常数。换句话说，我们假设市场由单个风险资产组成，其动态由以下两因素模型给出dYt=d对数St=uYtdt+σYtdWt，dYt=bYtdt+aYtρdWt+p1- ρdWt,常数ρ∈ [-1,1]和标量函数u、σ、a和b，这样上述系统对于任何初始条件（Y，Y）都有唯一的强解∈ R.如[56]所示，在符号u（t，y）：=（v（t，y））1/δ中，δ=1- γ1 - γ+ργ，HJB方程（10）减少了tout+a（y）uyy+b（y）+ργ1- γλ（y）a（y）uy+2Δγ1- γλ（y）u=0，（15）对于所有（t，y）∈ (0, ∞) 其中λ（y）=u（y）/σ（y）+σ（y）/2。因此，我们将时间反转的HJB方程（10）简化为线性抛物线方程。通过求解上述方程，我们得到函数u（t，y），并取其幂，恢复v，进而恢复v。然而，请注意，上面的等式以及（13）是时间倒转的：它必须向前求解，福特∈ (0, ∞), 而相关的微分算子对应于一个反向方程。我们想强调的是，这种偏微分方程没有标准的存在理论。下一节的主题是发展这类方程的一些基本存在性结果。3.广义Widder定理作为时空调和函数的表示在本节中，我们将展示如何在半有限时间区间上生成一类时间反转（不适定）线性抛物方程的解，包括（13）和（15）。特别是，这些结果扩展了关于热方程正解的Widder定理（见[54]）。

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2022-4-29 16:40:07

我们回顾这一理论，并在本节中进一步提供补充意见。3.1一致抛物型在这种情况下，我们考虑线性抛物型方程的形式为ut+Lyu=0，（t，y）∈ (0, ∞) x Rn，（16）用y=nXi，j=1aij（y）给出的运算符Lyyiyj+nXi=1bi（y）yi+c（y），（17），其中函数aij，bian和c是一致连续且绝对有界的，因此矩阵A=（aij）是对称的，并且满足一致椭圆度条件：0<infkvk=1，y∈RnnXi，j=1vivjaij（y）（18）算符Ly称为一致椭圆，方程（16）为一致抛物线。请注意，（16）可以重写为演化方程ut=-吕，你在哪里-Ly\'是一个“反椭圆”（正）算子。根据线性抛物方程的经典理论（例如，参见[13]），为了及时（在给定初始条件下）求解上述方程，需要右边的算子为椭圆（负），因此不能应用于这种情况。事实上，正如我们将在后面展示的，即使对于满足通常增长约束（或具有紧支撑）的光滑初始条件，也不总是可能构造上述方程的解。尽管如此，我们仍将明确描述（16）的非负解确实存在的所有初始条件的空间。首先，考虑方程（16）的最简单形式：ut+uyy=0，（t，y）∈ (0, ∞) ×R（19）如前所述，上述方程的非负解完全由以下给出的标定Widder定理表征（见[54]中的定理8.1）。定理3.1。

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2022-4-29 16:40:11

（维德1963）函数u:（0，∞) ×R→ R是（19）的正经典解，当且仅当它可以表示为asu（t，y）=ZRezy-ztν（dz）（20），其中ν是Borel度量，因此上述积分对所有（t，y）都是有限的∈ (0, ∞) ×R.如上述定理所示，只要上述积分对任意y收敛，则可用作（19）初始条件的唯一函数由基础测度ν的双边拉普拉斯变换给出，即u（0，y）=ZReyzν（dz）∈ 我们现在可以看到，方程（19）存在一个非空的正（非负）解空间，当然，它是一个凸锥。这个空间不同于我们在构造标准椭圆或抛物线方程的解时通常考虑的空间。特别是，从上面的表示中，我们不能期望（19）的解在y处消失→ ∞ 还有y→ -∞ 同时通过在非负整数{n}处选择原子的度量ν，以及相应的权重{1/n！}，也很容易看出，存在一个初始条件为u（0，y）=ZReyzν（dz）=exp（ey）的（19）解。回想一下，上述函数不满足必要的生长限制，因此，标准热方程- uyy=0，（t，y）∈ (0, ∞) 带有这个初始条件的×R没有解。因此，不能说（19）的解空间比标准热方程的解空间“小”。相反，这是一个不同的函数空间，它不具备我们通常认为是自然的一些性质。[16]、[2]和[43]中使用了Widder定理来描述一类具有零波动性的远期绩效过程，这些过程不一定是本文提出的因子形式。

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能者818

2022-4-29 16:40:13

回想一下，在这里，我们重点描述因子形式的远期表现过程，它可能具有非平凡（即非零）波动性。特别是，本小节的目标是描述一般时间反转一致抛物方程（16）的解空间。Widder用于证明表示（20）的技术是基于在空间变量中应用特定函数变换，不能轻易扩展到一般情况。因此，我们必须开发一种新的方法来全面研究方程（16）。实际上，（16）的解叫做与算符有关的时空调和函数t+Ly”。从概率的角度来看，这些函数刻画了时空扩散过程（t，yt）的马丁边界，其中（yt）是与发生器Ly相关的扩散。关于马丁边界的精确定义及其与调和函数的关系，我们参考[9]、[45]、[47]。结果表明，利用势理论的方法，可以得到所有时空调和函数的显式积分表示。这些方法允许通过空间过程本身的Martin边界来描述时空扩散的Martin边界，从分析的角度来看，它将不适定方程（16）简化为适定一致椭圆方程。特别是，下面给出的结果基于Koranyi和Taylor在[29]中获得的非负时空调和函数锥的最小元素。然后，Choquet理论的应用允许我们通过极小解导出（16）的所有解的表示，而极小解又可以通过求解相关的（适定的）椭圆方程来计算。这个结果，特别是，提供了上述Widder理论的一个推广。

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2022-4-29 16:40:18

然而，为了将Koranyi和Taylor的结果应用于手头的问题，我们需要做一些额外的构造。定义3.2。空间V由所有函数V组成：（（0，∞) ×Rn）∪ {（0，0）}→ R、任意集Mα上的连续：=（t，y）∈ [0, ∞) ×Rn | t≥ αkyk, 对于任何大于0的α。集V在某些Mα中包含的任何紧集上具有一致收敛的拓扑。定义3.3。空间H由所有函数u组成∈ 五、例如：u∈ C1,2（（0，∞) x Rn），u≥ 0，u（0，0）=1，u满意度（16）。定义3.4。函数u∈ H是H的极小元素，如果对于任何v∈ H、五≤ 对于某些λ，u意味着v=λu∈ [0, 1].[29]的主要结果提供了H的最小元素（即（16）的最小正解）的明确表征。定义3.5。集合E包含所有函数v:（（0，∞) ×Rn）∪ {(0, 0)} → 形式v（t，y）的R=e-λtψ（y），带任意λ∈ R和任意ψ∈ C（Rn），使得ψ（0）=1，ψ≥ 0和（y）- λ） ψ（y）=0表示盟友∈ 注册护士。定理3.6。（Koranyi Taylor，1985）H的所有极小元素集与E证明一致。[29]给出了证明，它基于（16）解的一致哈纳克不等式。哈纳克不等式的相关版本见附录A。事实上，Koranyi和Taylor证明了E是更大解空间中所有极小元素的集合。注意，在V的定义中，我们将函数空间限制为以零为中心的抛物线形状上的连续函数。然而，很明显，E的所有元素都属于H，结合[29]的结果，得出了上述定理的陈述。我们将分析限制在空间H上的原因是，为了提供H的所有元素的显式表示，我们需要在拓扑结构中使该空间紧凑，从而使δ函数成为连续函数。

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2022-4-29 16:40:21

Koranyiand Taylor提出的空间不满足该属性，这可能是[29]中未确立上述代表性的原因。注意，H包括（16）的所有解，这些解在t=0时是连续的，因此，从应用的角度来看，我们的限制是不损失一般性的。引理3.7。布景 V是紧凑的。证据这一结果源自哈纳克的不平等性和Schauder估计（见附录A）。很明显，V（和H）的拓扑等价于setsMRα：=Mα上一致收敛的拓扑∩ BR（0，0），对于所有α，R>0，其中BR（0，0）是R1+n中半径R的球，以零为中心。哈纳克不等式（见附录A）意味着，对于任何R>0的情况，存在一个常数C（R），仅取决于R、系数的绝对值的上界以及相关二次型的下界和上界，因此方程（16）的任何非负解u都满足：u（R，y）≤ C（R）u（0，0）=C（R），kyk≤ 1对于任何λ∈ 当r>0时，我们引入函数vλ（t，y）：=u（λt，yλ）√r）注意，它满足严格的抛物型偏微分方程，其系数和相关的二次型可以由r的函数一致地限定在λ上∈ (0, 1). 因此，存在一个常数C（α，R）>0，使得u（Rλ，y）=vλR、 yλ√R≤ C（r，r），kyk≤ rλ，λ ∈ （0，1）这意味着H的所有元素在每个MRα上一致有界，α=R/R。该结论与内部Schauder估计（见[26]中的定理1或附录A）一起，得出了{u | u的相对紧性∈ H} ，{Lyu |u∈ H} 和{ut|u}∈ H} 作为V的子集，我们得出结论，H中的任意序列都有一个收敛子序列，其极限属于H。

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2022-4-29 16:40:24

由于V中的拓扑是可度量的，这就完成了引理的证明。在阐述主要定理之前，我们需要回顾一些辅助结果。定义3.8。函数u∈ H是H的一个极端元素，如果对于任何v，v∈ H、 v+v=u意味着v=v=u引理3.9。H的极值点集与其极小元集E一致。这是势理论的标准结果（参见[9]第33页）。引理3.10。布景 V是波雷尔。证据这是凸分析的标准结果（见[44]中的命题1.3]）。下面的定理是上述结果的直接推论。定理3.11。函数u属于H（是（16）的非负经典解，归一化为零），当且仅当E上存在Borel概率测度ν，这样，对于任何（t，y）∈ ((0, ∞) ×Rn）∪ {（0，0）}，我们有u（t，y）=ZEv（t，y）ν（dv）（21）这样的度量是由u唯一确定的∈ H.证据。从引理3.7来看，这一陈述的必要性直接来自Choquet定理（参见[44]第14页），其效率是凸分析的一个众所周知的结果（参见[44]中的命题1.1）。上述定理只是抽象马丁表示定理的一个版本（参见[9]中的第十二章9），唯一的例外是，在这里，我们能够显式地描述E的拓扑结构。然而，关于E的Borel度量的结构仍然不是很清楚，这使得在实践中很难应用上述表示。因此，在下面，我们给出了另一个结果，它等价于定理3.11，但更适合于计算（如第4节所示）。定理3.12。

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