新古典增长模型中的近似聚集

2022-5-6 03:34:35

具有特殊冲击的新古典增长模型中的近似聚集*Karsten O.Chipen iuk+Nets Hawk KatzTodd B.Walker§2014年3月初步和不完全摘要我们在新古典增长模型中提供了一个明确的聚集特征，包括聚集冲击和不可保险的就业风险。我们表明，就业冲击过程中有两个限制条件必须满足，才能保持近似的聚集。首先，每个时期每个代理人的失业概率都必须为正。这确保了强有力的预防性储蓄活动。第二，类似的代理必须有类似的未来前景。也就是说，具有相似就业冲击和财富分配的代理人不可能有显著不同的就业路径。模型解要求将财富分配作为一个相关的状态变量，因此必须面对维度诅咒。我们回避了这个棘手的问题，引入了一位沃尔拉斯拍卖师，该拍卖师为经纪人带来的每一次冲击，在每一个iod中提供最佳的总资本额。关键词：聚合、异构剂、不完全市场EL分类号：E21、D52、E24*Katz感谢NSF拨款DMS 1266104的支持。+加州理工学院数学系，kchipeni@caltech.edu加州理工学院数学系，nets@caltech.edu§印第安纳大学经济系，walkertb@indiana.eduChipeniuk，Katz&Walker:Approxical Aggregation 1简介带有不可保险特质的单部门新古典增长模型已成为宏观经济学的一个难题。该模型的早期版本用于检验不完全保险在永久收入假设、货币和规模政策、商业周期成本、资产定价等方面的作用。

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2022-5-6 03:34:38

这些论文产生了大量文献，证明了不完全市场假设的重要性，并导致该模型作为一种重要研究工具的流行。尽管很受欢迎，但很少有关于模型属性的分析结果。也许这方面最好的例子是聚合。关键信息是什么？（KS，以下简称）是指具有特殊风险和聚集冲击的新古典增长模型具有“近似聚集”特征KS采用了一种现在已经广为人知的数值方法，表明大多数代理人都可以通过资本积累进行自我保险。这些代理在状态变量中几乎有一个有效的策略函数，这允许聚合？？。在均衡状态下，存在一小部分接近借贷约束的代理人，但他们对总资本存量的总体贡献非常小，几乎可以忽略不计；因此，可以获得近似的聚合。虽然这个聚合结果是一个可靠的数值结果，但缺少正式的处理方法。这张纸填补了这个空白。我们的模型是具有有限数量的代理和时间段的KS模型。解决这个模型的主要挑战是，未来的资本价格取决于每个代理人的资产和就业状况。因此，财富分配是一个相关的国家变量。随着代理数量的增加，维度诅咒开始出现，这个问题变得难以维持。为了避免这个问题，我们引入了一位沃尔拉斯拍卖师，他为所有时间段和冲击的所有结果提前设定总资本水平。然后将该序列传送给代理。

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2022-5-6 03:34:41

有了这些知识，代理人就可以自由地进行投资消费分配，而不必知道财富的分配情况。我们证明了典型的代理人问题有一个唯一的解决方案，但在本文中，我们不接受解决瓦尔拉斯拍卖商问题的挑战。因此，我们不能断言我们的平衡的存在或唯一性。然而，这一设置确实允许我们提供聚集的完整特征。我们的主要定理给出了KS模型近似聚合的条件。我们证明了实现聚集所需的就业冲击有两个重要限制。首先，在每个时期，失业的概率都必须是正的。资本必须起到双重作用，即储存财富、促进跨时代的lChipeniuk、Katz&Walker：消费的近似总量替代，以及提供就业冲击保险。为了有效满足后一个条件，预防性储蓄必须足够高。每个时期的失业风险都确保了这一点。第二，具有相似背景的特工必须有相似的未来前景。财富几乎相同但就业前景迥异的经纪人不会有类似的消费比例。我们对员工就业途径的不同程度进行了界定。这些限制是对就业冲击施加的唯一限制。因此，我们的结果与KS的结果一致。2.环境2。1时间是离散的和有限的，由T个时段组成，并以T为索引。我们将使用新的日期从新信息到达开始的约定。任何已知或选择的变量都将被t.2.2索引，并且产品市场是完全竞争的。

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mingdashike22

2022-5-6 03:34:44

聚合e生产技术为Cobb-Douglas，Yt=F（Kt-1，Lt）=ztKαt-1L1-αt，带α∈ [0,1]并汇总生产率冲击，zt。利润最大化带来了资本租赁率和工资率asRt=αztKt-1Ltα-1（1）重量=（1）- α） ztKt-1Ltα（2）2.3家庭有N个以j为指数的家庭，他们生活在T个时期。每个家庭根据toU（c，…，cT）=ETXt=1βt来计算消费量-1u（ct）（3）其中β∈ （0，1）是折扣系数。我们假设瞬时效用函数取常数相对风险规避（CRR A）u（ct）=（c1）的m-σt- 1)/(1 - σ）因此，对于σ=1，u（ct）=对数ct。代理人被赋予每个时段一个单位的时间，不重视休闲。在t，ξt期间供应给市场的拉博尔家庭单位将是随机的，并且位于单位间隔上，以考虑失业、充分就业和就业不足。让随机变量ej，t∈ [0，1]表示属于Chipeniuk，Katz&Walker家族的工资账单份额：时间t时的近似聚合j。ej的可能值及其发生的概率构成了就业冲击。这些就业冲击会有一些限制，但也会足够普遍，足以在文献中找到标准假设[例如，KS]。目前，只要知道ej，twill可以依赖于之前的集合状态zt\'和就业状态ej，t\'，t\'，就足够了≤ t、家庭有权以rt的time-t持有回报率使用资产。家庭j的流动预算约束可以写成cj，t=wtLtej，t+（1+rt）aj，t-1.- aj，t，其中aj，是家庭j持有的t期资产，其收益率为rt+1。我们假设代理行无法借款，因此将sset控股严格限制为正。也就是说，我们设定了自然借款限额。

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2022-5-6 03:34:47

市场清算将施加at=KT，我们可以重写预算约束ascj，t=wtLtej，t+（1+Rt- δ） kj，t-1.- kj，t（4），其中δ∈ （0，1）是资本的折旧率，家庭的资产收益率为rt=rt- δ、 2.4市场安排为了理性地做出决策，个体代理人必须考虑同行的选择。这很重要，因为总股本决定了资本支付的价格，从而决定了投资回报。总股本将是每个代理人财富的函数。一个完全理性的方法是让每个代理人跟踪财富随时间的分布，作为相关的聚合状态变量。如果N是“大的”，那么维度的诅咒就会占据上风，这就变得站不住脚了。取而代之的是，我们引入了一位沃尔拉斯拍卖师（以下简称拍卖师）来调解代理人之间的关系。她是唯一需要或使用财富分配知识的人。她的工作是设定资本存量的总水平Kt，1≤ T≤ T在所有时间段和冲击的所有结果中提前。拍卖师向每一位经纪人宣布她的选择。他们接受了她的预言。这就是他们的理性程度。拍卖师设定预测的方式只有一个限制。它们一定会成真。也就是说，对于任何t和之前冲击的任何结果，都必须是Kt=PNj=1kj，t，。这里右边的个人投资是解决经纪人问题的方法，左边的总投资是拍卖师的预测。我们指的是确保这些方程式适用于拍卖商的问题。方程组已确定：在冲击的结果树中，每个非终端节点有一个未知集合和一个方程。

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2022-5-6 03:34:50

这符合阿奇佩尼乌克、卡茨和沃克的精神：近似聚合一般均衡。每个节点，尽管可能无法实现，但都扮演着一个好角色。拍卖师必须确定价格，使供需平衡。对生产者问题的解决证明了代理人的有界性。他们相信是对的。每个代理都会根据给定的聚合资本优化其消费的预期贴现效用。我们称之为代理人的问题。代理人的问题有一个唯一的解决方案，这完全取决于代理人的初始资历和导演的预测。考虑代理人问题和拍卖师问题之间相互作用的一种方式是：可以考虑一种递归，其中拍卖师在所有可能的时间段内聚集，并且所有可能的结果都来自之前的冲击。然后，家庭解决代理人的问题，优化预期的贴现效用，并根据给定的生产者预测。因此，每个家庭j都会找到一个由随机变量{kj，t，cj，t}组成的唯一解，该解对应于t f期或每次冲击后的预期投资水平和相应消费。因此，拍卖师通过将kj、tacross家庭的价值相加，获得所需总量的清单。如果所需的总量与最初固定的总量相等，拍卖师已经解决了她的问题。否则，她将调整预测并重试。2.5竞争均衡竞争均衡是一种分配{（kj，t，cj，t）j∈[1，N]，Kt，Lt}Tt=1（5）和价格路径{Rt，wt}Tt=1（6），这样1。给定{Rt，wt，Kt}Tt=1，序列{（kj，t，cj，t）}Tt=1使每个j.2的约束（4）最大化。给定{Rt，wt}Tt=1，序列{Kt，Lt}Tt=1使每t的公司利润最大化。3。

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mingdashike22

2022-5-6 03:34:54

资本市场和劳动力市场在每个时期都是清晰的。也就是说，PNj=1kj，t=Kt，Rt=Rt-δ、 andPNj=1ξj，t=Lt对于下面的每一个t.2.6递归公式，我们对资本进行完全折旧（δ=1）。这一假设只是简化了本次讨论的语言，Chipeniuk、Katz&Walker：近似汇总我们将在下文中看到，我们可以通过对某些影响变量的解释来重复相同的论点，但不完全折旧。允许Ohmt扣除t期投资的当前产出部分，并让sj，TBJ在该投资中所占份额。在总折旧（δ=1）的特殊情况下，利用柯布-道格拉斯生产技术要素份额的恒定性，我们可以根据当前产出Yt，cj，t=[（1- α） ej，t+αsj，t-1.- sj，tOhmt] Yt1≤ T≤ T（7）我们用ωj表示第j个代理人在总财富中的初始份额Yby，1：ωj，1=（1）- α） ej，1+αsj，0，（8）我们将ej，1和sj，0作为在做出任何决定之前已知的劳动力和资本的初始捐赠。当T=1时，代理问题的解决方法很简单。保存没有价值，所以所有东西都被消耗掉了：sj，每j 1=0。使用这个事实，当nt=2时，代理的问题可以写为max{ct}Tt=1c1-σ1 - σ+βEc1-σ1 - σ受制于c=[ωj，1- sj，1Ohm]Y、 c=[（1）- α） ej，2+αsj，1]y代替约束条件，问题变成了选择总投资份额sj，1的问题OhmY（由拍卖人指定），代理人将要求。每个人都将以最佳方式选择自己在总投资中的份额。在不平衡的情况下，代理人选择的股份可能会受到一厢情愿的影响，因为这样一个代理人解决他的问题可能会得出结论，他希望持有比拍卖人提供的更多的股份（sj，1>1）。

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可人4

2022-5-6 03:34:57

然而，拍卖人受到市场清算的约束，这种情况表明，只要拍卖人的问题没有得到解决，均衡就没有实现。解sj，1=f（ωj，1，ej，2，z，Ohm, Y）上述问题中的一个表示值函数v（ωj，1；ej，2，z，Ohm, Y） =[（ωj，1- f（ωj，1，ej，2，z，Ohm, Y）Ohm)Y] 一,-σ1 - σ+βE[（αf（ωj，1，ej，2，z，Ohm, Y） +（1）- α） ej，2）Y]1-σ1 - σ注意，V包含对初始产出的依赖性，即Chipeniuk、Katz&Walker持有的该产出的分数：近似集合代理人、待投资的集合分数，以及代表未来冲击的随机变量。当T=3时，代理寻求最大化[（ωj，1- sj，1Ohm)Y] 一,-σ1 - σ+βev（αsj，1+（1- α） ej，2；ej，3，z，Ohm, Y）其中，第二项是由两个时期的价值函数给出的贴现预期未来价值，该函数由投资回报αsj，1plus就业收入（1- α） ej，2在第2阶段开始时。上述问题的解现在产生一个判定规则sj，1=f（ωj，1，{ej，t}t=2，{zt}t=2{Ohmt} t=1，Y）（9）和相应的值函数v（ωj，1；{ej，t}t=2，{zt}t=2{Ohmt} t=1，Y）。（10）在这个过程的基础上，对于一般（但有限）个周期T，我们得到了一个值函数vt（ω；{ej，T}Tt=2，{zt}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y）=maxs（（ωj，1- sj，1Ohm)Y）一,-σ1 - σ+βE VT-1[(1 - α） ej，2+αsj，1；{ej，t}Tt=3，{zt}Tt=3{Ohmt} t-1t=2，Y]。（11）在LOG实用程序的情况下，会发生一种重要的简化。也就是说，主体的决定独立于初始聚合Y，因此我们可以重新表述问题，使值函数也独立于这个量。

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2022-5-6 03:35:00

这一结果让人想起最优投资组合文献，其中具有同质效用函数的代理人在独立于财富水平的高风险和无风险资产之间选择分配（参见？）。图1描述了总体经济的事件树视图，而图2是典型代理的对应图。如上所述，如图所示，日期为t的变量在该时期内是可选择或已知的。在这段时期的开始，冲击被实现，然后生产发生。这一时期以投资消费选择结束。最后，我们应该注意到，我们目前没有证据证明拍卖师的问题存在且唯一。我们提出以下猜想：猜想1：对于上述任意数量的N个代理人、m个时间段、初始捐赠的分布和就业冲击的选择，存在一个唯一的奇佩尼乌克、卡茨和沃克：近似聚合ytktctzt+1ξt+1Yt+1=zt+1KαtL1-αt+1Kt+1Ct+1Ohmt1- OhmTOhmt+11- Ohm图1：总体经济ωtYtktctzt+1et+1（αst+（1）- α） et+1）Ytkt+1ct+1Ohmt/ωt1- 圣Ohmt/ωtst+1Ohmt+1/ωt+11- st+1Ohmt+1/ωt+1tt+1图2：典型的Agent问题（ωt=αst+（1）- α） et+1）拍卖师问题的解决方案。我们目前还无法解决这个猜想，但正在积极研究。相反，我们提出的是一个关于该模型近似聚合程度的定理。回想一下，近似聚集是Krussel和Smith首次以非常强烈的方式在数值上观察到的一种现象。我们在这里所做的是提供一个相当弱的聚集形式的严格证明。由于我们无法解决拍卖商的问题，因此在获得模型解的严格存在性和唯一性方面，我们还没有真正的进展。

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2022-5-6 03:35:04

我们之所以能找到对可分解近似聚合的严格描述，是因为它只涉及代理的问题，而代理的问题很容易解决，谁的解决方案也很容易分析。3对允许冲击的限制3。1渐近符号由于许多常数将进入我们的讨论，我们将通过使用渐近符号a=o（B）省略该常数。我们引入共形符号，如果A>cB，我们说A是U（B）。（这是低估而不是高估。）奇佩尼乌克、卡茨和沃克：近似聚合3。2总冲击允许总冲击相当普遍。特别是，在给定的时间段内，冲击波的分布取决于之前时间段的输出。然而，我们确实要求aggregateshock的可能值是有界的：zt=O（1）（12），隐式常数与代理数N和财富分布无关。3.3就业冲击我们对就业冲击设置了两个限制，这两个限制都是获得下一节所述汇总结果的关键。我们考虑了失业条件的风险，即ej，t=0的概率至少是一个常数c>0，也与N无关。因此，我们说，对于每个时间段和时间段t，P（ej，t=0）=U（1）（13），换句话说，在每个时间段，每个代理人都有失业的机会。这对于确保代理人必须通过其在每个时期的投资抵消不可保险的失业风险非常重要。具体而言，在这种情况下，零消费效用函数中的渐近线阻止了代理人选择在非终点时段消费他们所有的东西（在这种决定下，他们面临着下一个时段没有东西消费的正概率，这导致-∞ 达到他们预期的效用）。

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2022-5-6 03:35:07

同样，这也防止了未来工资的借贷。模拟未来前景条件要求将集合{1，2，…，N}细分为a，…，的子集的少量s，对于任何j，k∈ 对于一些l，我们有相同的分布在每个时间t。这一需求，简单地说，来自这样一个事实，即面对非常相似的失业或就业不足前景的代理人不能保证投资类似的金额，即使他们有相同的当前财富。只要不存在太大的不相似性，这些因素仍然可以聚合，以使其超过估计值。在本节结束时，我们将提供一些可以考虑的冲击的基本示例。3.4示例固定工资和统一就业假设在每个时期（1- u） N名代理人被挑选出来就业，每个人都得到同等的报酬- u） N）可获得的工资。剩下的联合国特工都失业了。ClearlyChipeniuk，Katz&Walker：大致合计存在失业风险（非随机面临失业的一小部分），未来前景相似（每个人在每个时期都面临相同的就业和失业机会）。因此，我们可以通过下面的公式得出该模型中的近似聚合。然而，聚合并不完美；即使在两个时期，现在也会出现一个大小为O（1/N）的错误项。请注意，这对于非常富有的人来说微不足道，但对于非常贫穷的人来说却是值得考虑的。克鲁塞尔·史密斯震惊了。假设技术过程遵循两种状态的马尔可夫链，zg>zb（好的状态和坏的状态），具有转移概率pxy，x，y∈ {g，b}。此外，如上所述，代理人要么被雇佣（1），要么失业（0），工资在被雇佣的代理人之间平均分配。

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2022-5-6 03:35:10

然而，在这种情况下，不同就业状态之间的转换机会不同，而且可能取决于总体冲击的状态。具体地说，让πss′ee′表示从状态（zs，e）到状态（zs′，e′）转变的联合概率。那么πss′ee′/πss′的比值就是从e′转变为就业状态e′的条件概率。对于这个随机过程，只要πss′e06=0，就存在失业风险∈ {g，b}和e∈ {0, 1}. 未来的前景也是有限的：最初受雇的代理人（A）可能会在决策上与最初失业的代理人有所不同（A）如果在不同的就业状态之间转换的机会非常小；然而，不管N.3.5有效变量和未折旧资本的大小，我们都属于这些组中的一个。现在我们回到计算公式（11），在资本总折旧的情况下，我们记下了它。我们希望能够将这一点推广到资本l不完全贬值的情况。为此，我们定义了有效的总Y′t，即可用商品的总数：Y′t:=Yt+（1）- δ)αOhmT-1Yt-1> 嗯。（14）我们还将劳动冲击改写为一种有效冲击，该冲击是相对于该有效总量进行测量的：e′j，t:=ej，tYtY′t<ej，t.（15）。特别要注意的是，有效就业冲击满足之前讨论的两种条件，前提是真实的冲击。在实践中，它实际上可以变成Chipeniuk、Katz&Walker：近似聚合显著更小；用于从真实冲击中获得它的因子可以重写为1+（1）-δ)αOhmT-1Y1-αt。

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能者818

2022-5-6 03:35:14

（16）在to tal折旧的情况下，这只是1，我们只剩下最初的实际冲击。然而，当δ<1和α<1时，一个足够大的总量可能会使这一点变得非常小：代理人能够主要从未经估值的资本中消费，而就业则成为次要问题。就有效变量而言，我们现在可以按照前面的步骤来编写公式vt（ω；{e′j，t}Tt=2，{z′t}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y=maxs（（ω）- sOhm)Y）一,-σ1 - σ+βE VT-1[(1 - α） e′+αs；{e′j，t}Tt=3，{z′t}Tt=3{Ohmt} t-1t=2，Y′）。（17）鉴于唯一的变化是将实际变量直接替换为有效变量，在接下来的讨论中，我们将抑制“符号”，同时只需记住，所有聚合变量和劳动变量都是指其有效对应变量。4.近似聚合4。1主要理论的陈述现在确定了以下数量：时间段数T，因子β的折扣，柯布-道格拉经验系数α。让我们注意一下代理的数量，我们认为与t相比，代理的数量是巨大的。让{zt，ej，t}成为总量和就业冲击，让Ohmt、 t=1。。。，T- 1是拍卖师给出的一系列预测。考虑maxs（（ω）给出的相应代理问题（对于jthagent）- sOhm)Y）一,-σ1 - σ+βE VT-1[(1 - α） e+αs；{ej，t}Tt=3，{zt}Tt=3{Ohmt} t-1t=2，Y]，其中，如上一节末尾所述，ej和Yt分别为有效就业人数和可用商品总数。可以方便地分析，以savin gsvariableγ=s表示聚合结果Ohm/ω、哪个储蓄率代表所需的代理周期的1OhmY是那个特工最初的财富ωY。

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可人4

2022-5-6 03:35:18

因此，将代理的问题写成aChipeniuk，Katz&Walker：γ的近似聚合选择，maxγ（（1- γ） ωY）1-σ1 - σ+βE VT-1.αωγOhm+ (1 - α） e；{ej，t}Tt=3，{zt}Tt=3{Ohmt} t-1t=2，Y. （18）注意，代理问题的一个解决方案提出了γ，γT（ω；{ej，T}Tt=2，{zt}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y）。我们将此决策规则称为s函数。对于子集B {1，…，N}，we letYl，1=Xj∈Bωj，1Y。是被B索引的代理人所持有的财富总和的一部分。在这个符号中，我们的主要定理可以写成如下。定理1：假设生产和就业冲击序列{zt，ej，t}满足失业风险和类似的未来前景条件。让>0。然后有一个自然数M=O（1/），这样我们就可以把{1，…，N}分成子类B。。。，BMP与相应的大鼠iosγ。。。，γM∈ （0，1）使得| Xj∈{1，…，N}γj，1ωj，1Y-Xm∈{1241，γ，}≤ Y.为了理解这个定理与加总的关系，看看如果我们能够取M=1会发生什么是有指导意义的（在实际中，当>1时，这是不可能的）。在这种情况下，定理说，如果我们把所有的代理人集合在一起，成为一个拥有财富的实体∈Bωj，1Y=并节省其财富的一小部分γ，因此计算出的总投资与真正的总初始期投资Pjγj，1ωj，1Y之间的误差将至少小到2Y。换句话说，当我们改变代理人之间的财富分配时γ可能会发生变化，但仍将保持在区间[γ- 2, γ+ 2].对于的有意义的值，上述定理稍微弱一点：它说我们可以在O（1/）个箱子中的任何一个箱子内，在代理人之间重新分配财富，而不必大幅改变集合。

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nandehutu2022

2022-5-6 03:35:21

换句话说，我们有近似的聚合。上述理论的一个关键特征是，垃圾箱的数量与代理人的数量以及这些代理人之间的财富分配无关。激励我们将N和分布分离为相关依赖的直觉是Chipeniuk，Katz&Walker：使用极限N的近似聚合势f→ ∞ 以近似KS中概述的连续分布模型。因此，无论我们将N取多大，上述agg r egation结果都是稳健的。接下来的主要理论将是一个分类论证，作为研究储蓄函数的导数相对于代理财富的行为的下列定理的推论。定理2：假设生产和就业冲击序列{zt，ej，t}满足失业风险和类似的未来前景条件。设γ′T表示函数γT相对于其第一个变量（共享变量ω）的部分导数，类似地，也表示γ′T-1.然后γ增加，我们在γ′T（ω；{ej，T}Tt=2，{zt}Tt=2）上有一个界{Ohmt} t-1t=1，Y）givenbyOω1-σEej。2yj，2+y1-σj，2γ′T-1（yj，2；{ej，t}Tt=3，{zt}Tt=3{Ohmt} t-1t=2，Y）.其中，随机变量yj，2i由αωγT给出/Ohm+ (1 - α） e.4.2关于价值和节约函数的引理接下来的两部分将包含我们大部分的技术论证。

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2022-5-6 03:35:24

在这部分讨论中，我们将简化符号，以便关注我们的价值函数和决策规则最相关的依赖关系。具体来说，我们将为VT（ω；{ej，t}Tt=2，{zt}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y）sT（ω；Y）对于fT（ω；{ej，t}Tt=2，{zt}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y）γT（ω；Y）对于γT（ω；{ej，T}Tt=2，{zt}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y）所有导数都将与第一个变量ω有关，并（分别）用V′T（ω；Y）、s′T（ω；Y）和γ′T（ω；Y）表示，高阶导数的表达式类似。我们始终假设冲击{zt，ej，t}满足前面给出的条件。通过讨论典型代理所面临的问题，并相应地抑制下标1，我们进一步简化了符号≤ J≤ N.就业冲击。在以下论点中，我们经常需要参考Chipeniuk，Katz&Walker的一阶条件：代理问题的近似聚合。为了方便起见，我们在这里一劳永逸地记录它：Y1-σ(ω - sOhm)σ=βαOhmE V’T-1（（αs+）（1- α）e）；Y）（19）就储蓄变量γ而言，Y1-σω1-σ(1 - γ)σ=βαωOhmE V’T-1.αωγOhm+ (1 - α） e；Y. （20）我们首先证明了代理的有限理性使得解决代理问题变得容易。引理1。代理的问题有一个独特的解决方案。决策规则相对于ω是递增的，相应的值函数严格地与ω有关。莫雷姆ω→0+VT（ω；Y）=-∞ （21）证据。当T=1时，这一点很清楚：决策规则是消耗一切。值函数是u（ω；Y），它作为ω的函数明显地增加并且严格凹，具有给定的渐近线。设T>1，假设T有唯一的解- 具有所述性质的avalue函数的1周期模型。

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可人4

2022-5-6 03:35:27

我们需要证明，对于给定的ω值，有一个唯一的s值∈ (0, ω/Ohm) 令人满意（19）。这个等式的左侧严格地从1开始以s递增-σωσ>0至∞. 作为s→ 0+，右侧接近∞,由于e=0（失业可能性）的正概率；此外，VT的凹度会严格降低-1.从这些事实来看，s的这种价值肯定存在，而且必须是唯一的。从（19）的检查可以看出STI在ω中增加。事实上-从下面可以明显看出，渐近线是从VT继承来的-考虑到失业的可能性。因此，我们只能证明T周期值函数是凹的。在我们简化的符号中，我们有vt（ω；Y）=（ω- sT（ω；Y）Ohm)Y）一,-σ1 - σ+βE VT-1[((1 - α） e+αsT（ω；Y））；Y] 。Chipeniuk，Katz&Walker：关于ωwe haveV′t（ω；Y）=Y1的近似聚合差异-σ(1 - s′T（ω；Y）Ohm)(ω - sT（ω；Y）Ohm)σ+βEαs′T（ω；Y）V′T-1[((1 - α） e+αsT（ω；Y））；Y] ，这样我们就有v′T（ω；Y）=-σY1-σ(1 - s′T（ω；Y）Ohm)(ω - sT（ω；Y）Ohm)1+σ+Y1-σ(-s′T（ω；Y）Ohm)(ω - sT（ω；Y）Ohm)σ+βE（αs′T（ω；Y））V′T-1[((1 - α） e+αsT（ω；Y））；Y] +βEαs′T（ω；Y）V′T-1[((1 - α） e+αsT（ω；Y））；Y] 。调用一阶条件，我们可以看到涉及s′Tcancel，leavingV′T（ω；Y）的项=-σY1-σ(1 - s′T（ω；Y）Ohm)(ω - sT（ω；Y）Ohm)1+σ+βE（αs′T（ω；Y））V′T-1[((1 - α） e+αsT（ω；Y））；Y] 。剩下的两个项都是负的：第一项的调查清楚地表明了这一点，第二项的单周期减值函数的凹性也是如此。这就结束了海因特的演绎。在分析γT（ω；Y）的导数时，我们将不得不面对值函数VT的导数-1（ω；Y）在一阶条件下出现。

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2022-5-6 03:35:30

我们需要公式2。V′T（ω；Y）=Y1-σ(ω - sT（ω；Y）Ohm)σV′T（ω；Y）=σY1-σ（s′T（ω；Y）Ohm- 1)(ω - sT（ω；Y）Ohm)1+σ.我们注意到，在对数效用的情况下，值函数的导数成为上述表达式的极限σ→ 1.这可以从与下面几乎相同（尽管更简单）的计算中看出。证据价值函数是我们通过将最优决策规则替换为代理人的贴现预期消费而得到的。用Chipeniuk、Katz和Walker区分得到的函数：关于ω的近似聚合，we g etV′T（ω；Y）=Y1-σ(1 - s′T（ω；Y）Ohm)(ω - sT（ω；Y）Ohm)σ+βαs′T（ω；Y）E-YV′T-1（αsT（ω；Y）+（1- α） e；Y）。使用一阶条件（19），涉及s′Tcancel的项，我们得到v′T（ω；Y）=Y1-σ(ω - sT（ω；Y）Ohm)σ与上述表达式f或V′不同，我们得到V′t（ω；Y）=σY1-σ（s′T（ω；Y）Ohm- 1)(ω - sT（ω；Y）Ohm)1+σ.接下来，为了限制γ相对于ω的导数，我们将进行分析，这将借助于我们为依赖于模型参数的表达式编写U（1）和O（1）的能力，使我们能够关注感兴趣的变量。这些表达式中有几个会涉及γ或1的事实r s- γ、因此，我们提供了以下技术引理序列，其最终结果是一个比0<γT（ω；Y）<1这一事实略强的陈述。我们首先观察到，面临有保障的失业的代理人将比有可能获得工资的代理人投入更大比例的收入。因此我们可以估计- γT（ω；Y）>1-γT（ω；Y），其中γT（ω；Y）是与所有就业冲击等于0的代理问题对应的储蓄函数。从下面的证据中可以明显看出，右手侧独立于ω，这是由于在非就业极端情况下缺乏异质性而应该预料到的。

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2022-5-6 03:35:33

因此我们可以写- γT（ω；Y）>1- γT（{Yt}Tt=2，Y）。引理3。我们有1个- γ（{Y}，Y）=1+βα1-σEY1-σ(OhmY）一,-σ1/σChipeniuk，Katz&Walker：近似聚合，对于T>2，我们有递归表达式1- γT（{Yt}Tt=2，Y）：=1+βα1-σEY1-σ(OhmY）一,-σ(1 - γT-1（{Yt}Tt=3，Y））σ1/σ. （22）证明前的备注：注意，在Log效用的情况下，引理给出的不等式简化为非常简单的表达式1-γT=1+β+…+βT-1.证据。proo f只是对一阶条件的重写。我们采用归纳法。当T=2时，代理最大化1-σω1-σ(1 -γ)1-σ1 - σ+βEαωOhmγ1-σY1-σ1 - σ取一阶条件，与γ对应，结果为1-σω1-σ(1 - γ)σ= βαωOhm1.-σγσE Y1-σ.在取消涉及ω的因素、取σth根并重新排列之后，这就给出了1- γ= 1 +βα1-σEY1-σ(OhmY）一,-σ1/σ，即T=2的估计值。归纳步骤进行得类似。假设我们已经证明了1-γT-1可以表示为（22）的右侧。T期案件的代理人1-σω1-σ(1 -γ)1-σ1 - σ+βE VT-1.αωγOhm; Y.应用引理2，我们可以写出一阶条件（用γ表示）asY1-σω1-σ(1 - γ)σ= βαωOhm1.-σγσEY1-σ(1 - γT-1（{Yt}Tt=3；Y））σ。重新安排，我们有γ1 - γσ= βα1-σEY1-σ(OhmY）一,-σ(1 - γT-1（{Yt}Tt=3；Y））σ,Chipeniuk，Katz&Walker：近似聚合，并将归纳假设应用于预期值的每一项中的后一个因素。上述结果的一个兄弟是下面的结果，这将允许我们为γt（ω，Y）本身写U（1）。对于e=0的事件，我们写下随机变量X的期望值Ee=0X。也就是说，Ee=0X=E X1e=0，其中1a表示事件A的特征函数。引理4。

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2022-5-6 03:35:37

Let1- γ（{Y}，Y）：=1+βα1-σEe=0Y1-σ(OhmY）一,-σ1/σ和for T>2 let1- γT（{Yt}Tt=2，Y）：=1+βα1-σEe=0Y1-σ(OhmY）一,-σ(1 - γT-1（{Yt}Tt=3，Y）σ！！1/σ（23）然后1- γT（ω；Y）≤ 1.- γT（{Yt}Tt=2，Y）。证据在一阶条件（20）中，只取e=0的那些项，我们得到1-σω1-σ(1 - γ)σ≥βαωOhmEe=0V′T-1.αωγOhm; Y.应用引理-σω1-σ(1 - γ)σ≥ βαωOhm1.-σγσEe=0Y1-σ(1 - γT-1(αωγOhm; Y））σ。在T=2的情况下，γT-1=γ=0，我们可以像前面的引理一样重新排列。然后归纳并假设- 1节课，我们可以绑定1节课- γT-1先于1- γT-1生活1-σω1-σ(1 - γ)σ≥ βαωOhm1.-σγσEe=0Y1-σ(1 - γT-1（{Yt}Tt=3，Y））σ。重新排列最后一个表达式将得到一般结果。Chipeniuk，Katz&Walker：近似聚合在实践中，我们不会直接应用上面的引理，而是参考下面的边界，它来自前两个引理中的术语的重新排列。引理5。我们有1个- γT（ω，Y）=U（1）γT（ω，Y）=U（1），其中隐式常数可以独立于N和ω。4.3储蓄函数的导数我们现在准备证明定理2。让我们≥ 2（在T=1的情况下，没有什么可以证明的）。我们将（20）重新排列为（1）- γ)σ=βαωσOhmY1-σE V′T-1.αωγOhm+ (1 - α） e；Y.与之前一样，这个条件意味着最大化储蓄函数γT=γT（ω；Y）。我们的第一步是隐式区分最后一行与ω的关系。我们得到σγ′T（1）- γT）1+σ=βασωσ-1.OhmY1-σE V′T-1.αωγTOhm+ (1 - α） e；Y+βαωσOhmY1-σαγTOhm+αωγ′TOhmE V′T-1.αωγTOhm+ (1 - α） e；Y.求解γ′T，得到γ′T（ω）=βαωσ-1.OhmY1-σhEσV′T-1.αωγTOhm+ (1 - α） e；Y+αωγTOhmV′T-1.αωγTOhm+ (1 - α） e；Yihσ（1）-γT）1+σ-βαOhmω1+σY1-σE V′T-1.αωγTOhm+ (1 - α） e；Y我们可以把分子简化一点。

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2022-5-6 03:35:41

我们让x=αωγTOhm并将其改写为Ohmω1-σY1-σEσV′T-1（x+（1- α） e）+xV′T-1（x+（1- α）（e）（25）引入Random变量y=x+（1）- α）用引理2重写la stexpression的一个典型术语，得到βαOhmω1-σY1-σσY1-σ（x+（1）- α） e- 圣-1（y）Ohm)σ+σxY1-σ（s′T）-1（y）Ohm- 1）（x+（1）- α） e- 圣-1（y）Ohm)1+σChipeniuk，Katz&Walker：与sT-1是T的简写- 1期决策规则，sT-1（y）=sT-1（y；y）。这将进一步简化为Ohmω1-σY1-σY1-σ(1 - α） e- 圣-1（y）Ohm+ xs′T-1（y）Ohm（x+（1）- α） e- 圣-1（y）Ohm)1+σ. （26）理解这个表达-圣-1（y）Ohm+ xs′T-1（y）Ohm, 我们注意到-圣-1（y）Ohm+ xs′T-1（y）Ohm= -圣-1（y）Ohm+ 不是吗-1（y）Ohm- (1 - α）埃斯特-1（y）Ohm.然而，我们也有γT的定义-1（y）=sT-1（y）Ohm就你得到γ′T而言，我是如此的不同-1（y）=s′T-1（y）OhmY-圣-1（y）Ohmy、由此-圣-1（y）Ohm+ 不是-1（y）yOhm= yγ′T-1（y）。所以-圣-1（y）Ohm+ xs′T-1（y）Ohm= yγ′T-1（y）- (1 - α）埃斯特-1（y）Ohm. （27）结合方程式（26）和（27），我们可以看到（25）等于βασOhmω1-σY1-σEY1-σ(1 - α） e（1）- 不是-1（y）Ohm) + yγ′T-1（y）（y）- 圣-1（y）Ohm)1+σ,返回到（24），我们得到γ′T=βασOhmω1-σY1-σEhY1-σ(1-α） e（1）-不是-1（y）Ohm)+yγ′T-1（y）（y）-圣-1（y）Ohm)1+σihσ（1-γT）1+σ-βαOhmω1+σY1-σE V′T-1（y；y）值函数的i连续性意味着lastChipeniuk，Katz&Walker:近似聚合表达式分母中的两个项都是正的。用前一项估计它们的和，我们得到γ′T≤2βαOhmω1-σY1-σEY1-σ(1 - α） e（1）- 不是-1（y）Ohm) + yγ′T-1（y）y1+σ（1）- γT-1（y））1+σ值函数的凹性和-1的增加意味着0<1- 不是-1（y）Ohm< 特别是- 不是-1（y）Ohm= O（1）。因此，我们从（4.3）t中看到γ′t是正的。

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nandehutu2022

2022-5-6 03:35:45

此外，将不依赖于N和ω的吸收因子转化为一个常数，我们可以将上述界限改写为γ′T=Oω1-σEe+yγ′T-1（y）y1+σ我们用γT-1是有界的，而agg regateshock是有界的。4.4证明定理2中的主要定理，我们可以继续建立近似的集合估计定理1。我们希望将我们的代理分组到多个容器中，使得单个容器中的任意两个代理具有大致相同的γT值（ω；{ej，T}Tt=2，{zt}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y）。对于当前的讨论，我们进一步简化我们的符号，将其改为γt（ω）：=γt（ω，Y）。固定时间段T的数量和错误参数>0。任何代理人拥有所有财富的情况都是微不足道的，因此我们可能认为不是。首先，我们使用就业冲击的类似未来前景条件，将代理人分为由A。。。，像 {1，…，N}所以对于j，k∈ 我们发现ej，tand ek，皮重在每个时间段的分布是相同的。接下来，对于集合Al的固定选择，我们估计γTasωrangesa在区间[0,1]上的总变化量。4.4.1我们通过归纳法进行储蓄函数的变化。当T=2时，γT-1= γ≡ 0.在我们的bo中使用这个，我们得到γ′=Oω1-σEey1+σ.Chipeniuk，Katz&Walker：将这个界积分到[0，1]中，我们可以用zγ′（ω）dω=O来定义这个区间上γ的总变化EZeω1-σy1+σdω=OEZeeω1-σy1+σdω+Zeeω1-σy1+σdω.在期望值下的第一项中，我们将y=U（e）绑定，因此贡献率szeeω1-σy1+σdω=OeσZeω1-σ= Oeσeσ= O（1）。在期望值下的第二项中，我们将y=U（ω）定界，给出了ω1-σy1+σdω=OeZeωdω= OEE- 1.= O（1）。结合最后三个计算，我们得到了所需的zγ′（ω）dω=O（1）。

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能者818

2022-5-6 03:35:48

T=2的情况到此结束。设T>2，假设T的总变差界已经建立- 1.我们现在有zγ′T（ω）dω=O简单eω1-σy1+σ+y1-σγ′T-1（y）ω1-σdω.积分下的第一项与T=2情况下的有界表达式相同，我们只需要使用归纳假设来约束第二项。这样做需要我们有一个ωγ′T的估计-1（ω）=O（1）。这是通过另一个直截了当的归纳来实现的，我们现在停下来建立这个归纳。Chipeniuk，Katz&Walker：近似聚合我们有ωγ′（ω）=OEeωσy1+σ= OEeωσ（ω+e）1+σ= O（1）使用简单的界eωσ<（ω+e）1+σ。进行归纳，假设ωγ′T的界-2（ω），我们有ω′T-1（ω）=OEeωσy1+σ+ωσy1-σγ′T-2（y）= OE1+ωσyσ= O（1）在第二行中，我们用诱导束缚了y1+σγ′T-2（y）。现在，在[0，e]范围内，我们应用上面的参数和大小为e阶的界yas，给出zey1-σγ′T-1（y）ω1-σdω=OE-σZeω1-σdω= O（1）（28）在[e，1]范围内，我们束缚了大小为ω级的yas，给出了zey1-σγ′T-1（y）ω1-σdω=OZeγ′T-1（y）dω由于我们在γ上有一个U（1）界，并且随着γ的增加，我们在y的导数上也有一个U（1）界，它对应于ω，由α给出Ohm（γT+ωγ′T）。因此，我们可以在最后一行的右侧更改变量，以获取Zey1-σγ′T-1（y）ω1-σdω=OZeγ′T-1（y）dy= O（1）根据归纳假设。Chipeniuk，Katz&Walker：综合上述计算，我们可以看到t hatZy1-σγ′T-1（y）ω1-σdω=O（1），因此zγ′T（ω）dω=O（1）。4.5综合之前的计算结果表明，对于固定的Al选择（以及就业冲击的分布），γ′t随着ω范围在区间[0,1]上的变化最多为O（1）。

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