基于Epstein-Zin效用的消费投资优化

2022-5-7 08:53:58

不完全市场下基于EPSTEIN-Zin效用的消费投资优化。在一个具有随机投资机会的市场中，我们研究了一个具有Epstein-Zin型递归效用的agent的最优消费投资问题。针对风险规避和跨期替代弹性均超过1的经验相关规范，我们通过后向随机微分方程描述了最优消费和投资策略。还获得了间接效用的支持，满足了使用Epstein Zin效用解决多个资产定价难题的应用需求。由于Epstein-Zin聚合器既不是Lip-schitz也不是其所有变量，因此经验相关的实用规范给优化问题带来了困难。1.引言风险厌恶和跨期替代弹性（EIS）是描述偏好的两个不同方面的两个参数：风险厌恶衡量代理人对风险的态度，而EIS调节代理人随时间替代消费的意愿。然而，通常情况下，美国的分时公用事业迫使EIS成为风险规避的倒数，这导致了大量关于资产定价异常的文献，如股权溢价之谜、无风险利率之谜、过度波动之谜、信贷风险之谜，Kreps-Porteus或Epstein-Zin类型和连续时间类比的递归实用程序解开了风险平均和EIS，为解决上述资产定价难题提供了一个框架，参见[2]和[1]中的股权溢价难题和无风险利率难题、[4]f中的超额波动率难题，以及[5]中的信贷利差难题。所有这些研究都要求EISψ大于1，以便与经验观测相匹配。

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2022-5-7 08:54:01

Bansal和Yaron[2]也根据经验估计ψ约为1.5。另一方面，经验证据表明风险规避γ超过1。然后从γ>1和ψ>1得出γψ>1。因此，具有此类实用性规范的代理人更喜欢提前解决不确定性（参见[30]和[41]），因此要求支付相当大的风险溢价，以补偿未来经济状态的不确定性。除上述公用设施规范外，在这些资产定价应用中，还有两个因素也很重要。首先，这些模型中的投资机会是由一些状态变量驱动的，这些变量通常会导致风险的无限市场价格；例如[9]、[26]和[31]中的赫斯顿模型，以及[24]和[43]中的金和奥姆伯格模型。其次，在所有这些应用中，第一步是了解代表代理人间接效用的超差，因为其日期为2015年11月13日。关键词和短语。消费投资优化，爱泼斯坦-辛效用，倒向随机微分方程。作者感谢安妮斯·马图西（Anis Matoussi）激发了讨论，保罗·瓜索尼（Paolo Guasoni）对撤回提出了宝贵意见，两位匿名裁判和编辑雅克萨·卡维塔尼（Jak'sa Cvitani’c）给出了准确的评论，帮助我改进了这篇论文。2使用爱泼斯坦锌效用的消费投资选择是读取均衡无风险利率和风险溢价的来源，参见[2，附录]。因此，重要的是要深入研究消费投资问题，同时考虑这三个因素：效用规格、具有无限市场风险价格的模型和间接效用的超差。然而，下面的文献回顾表明，在连续的时间背景下，这种研究仍然是文献中遗漏的。

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2022-5-7 08:54:04

本文填补了这一空白。在杜菲和爱泼斯坦[13]的开创性论文中，随机微分效用（递归效用的连续时间模拟，参见[28]）被认为具有Lipschitz连续聚合器。因此，不包括Epstein-Zin聚合器，即n on-Lipschitz。Schr oder和Skiadas[38]研究了θ=1的情况-γ1-1/ψ为正。然而，经验相关的参数规格γ，ψ>1导致θ<0。Kraft、Seifried和Steffeensen[29]研究了具有无限市场风险价格的不完全市场模型，但是他们对γ和ψ的假设（参见其中的方程式（H））排除了γ>1和ψ>1的情况。关于市场模型，Schroder和Skiadas[38]研究了具有有界风险市场价格的完整市场。施罗德（Schroder）和斯基亚达斯（Skiadas）[39，第5.6节]、查科（Chacko）和维切拉（Viceira）[9]都考虑了完整的市场和具有单位EIS的爱泼斯坦-辛公用事业。Chacko和Viceira[9]、Kraft、Seifried和Steffeensen[29]研究了一种市场模型，其投资机会由平方根过程驱动，从而产生无限的市场风险价格。关于间接效用的超差，其形式可通过使用效用梯度法的启发式计算获得，参见[15]。然而，严格的验证需要聚集器满足Lipschitz增长条件（参见[13]和[15]），或消费和效用变量的联合凹度（参见[16]）。正如我们稍后将看到的，当γ>1且ψ>1时，Epstein-Zin聚合器既不是Lipschitz连续的，也不是节理凹的。另一方面，对于θ>0的forEpstein-Zin效用，Schroder和Skiadas[38]通过可积条件验证了超微分（参见。

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2022-5-7 08:54:08

[38，引理2]）以及这样一个性质，即对于任意容许策略，衰减财富过程和衰减消费流的积分之和是一个超鞅，对于最优策略是一个鞅（参见[38，等式（1）]）。这两个条件在[38，定理2和4]中得到了验证，适用于风险市场价格有界的完整市场模型。在本文中，我们分析了一个具有Epstein Zin效用且γ，ψ>1的代理人和一个有限时间范围内的遗赠效用的消费投资问题。该代理人投资于一个不完全市场，其投资机会由一个多变量状态变量驱动。Campbell-Shiller近似被广泛应用于具有非单位EIS的公用事业，而不是研究精确解。如[29，第6节]所示，Campbell-Shiller近似与精确解可能存在相当大的偏差，这突出了精确解的重要性。卡夫、塞弗林和塞弗里德最近也研究了类似的问题[27]。本文去掉了文献[29]中γ和ψ之间的关系，认为γ和ψ的所有配置都包括γ，ψ>1的情况。根据效用梯度法[15]和[38]得出验证结果，并辅以最近关于γ，ψ>1情况的Seiferling和Seifried[40]注释。然而，[27]侧重于风险市场价格有界的模型（参见其中的假设（A1）和（A2））。这不包括Heston模型和Kim Omberg模型等在上述资产定价应用中广泛使用的模型。与[27]和上述所有现有结果相比，本文在三个方面扩展了之前的文献。[38]中的参数1+α在这里是θ。

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2022-5-7 08:54:11

因此，其中的等式（8c）表示θ>0。使用EPSTEIN-ZIN效用3进行消费投资首先，与效用梯度法相比，通过对比反向随机微分方程（BSDE）的结果，得出了修正结果。与[29]和[27]中采用的动态规划方法不同，最优消费和投资策略由BSDE解决方案表示，参见下面的定理2.14。扩展了Hu、Imkeller和M¨uller[20]以及Cheridito和Hu[11]研究时间可分效用的最优消费投资问题的技术，我们验证了Epstein-Zin效用的候选最优策略。其次，我们的方法是针对具有无限市场风险价值的市场模型设计的。利用[42，第10章]中的Glyapunov函数，我们在下面的引理B.2中证明了某些指数局部鞅是鞅，这是我们验证论点的一个关键组成部分。第三，我们验证了间接效用的超差。与[38]相比，当γ，ψ>1时，引理2中的可积条件满足。对于[38]和[27]中验证的第二步，它要求定义的财富过程和定义的消费流的积分之和对于任何可接受的策略是一个超鞅，对于最优策略是一个鞅。我们将此属性（见下面的定理2.16）作为验证结果的副产品。这一结果适用于具有无限市场风险价格的模型，当ce满足上述资产定价难题应用的需求时。我们在第2节中的一般结果专门用于第3节中的两个例子。这些数字结果揭示了一个有趣的现象。当ψ>1时，随着时间范围的缩小，有限范围解收敛到其稳定长期极限的速度非常慢。

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2022-5-7 08:54:14

图2显示，在经验丰富的公用事业和市场环境中，这种趋同至少需要60年时间。此外，收敛速度对时间贴现参数敏感：贴现参数稍微减小时，收敛速度会慢得多。这与ψ<1的情况相反，在ψ<1的情况下，收敛速度要快得多（大约20年），d对时间贴现参数不太敏感。这一观察结果表明，在ψ>1的情况下，即使我们考虑终身消费投资问题，最终期限最优策略也可能与其最终期限类似物相去甚远。本文的剩余部分组织如下。在第2.1节介绍了Epstein Zin效用之后，介绍了消费投资问题，主要结果在第2.2节中给出。然后在第3节的两个例子中专门介绍了主要结果，其中主要结果的一般假设在明确的参数限制下得到验证，其中包括许多经验相关的情况。所有证据都推迟到附录中。2.主要结果2。1.爱泼斯坦·辛偏好。我们研究的是一个过滤概率空间(Ohm, （英尺）0≤T≤T、 F，P）。这里（英尺）0≤T≤这是k+n产生的强化过滤-维维纳过程B=（W，W⊥), W和W在哪里⊥分别是前k个和后n个分量，满足正确连续性和完整性的通常假设。设C是[0，T]上的一类非负渐进可测过程。对于c∈ C和T<T，Ct代表T处的消耗率，Ct代表γ，ψ>1处的总消耗量与[38，第113页案例3]有关，后者建立了效用梯度不等式。即使其证明独立于市场模型，它也使用了Epstein Zin效用的存在性和凹性，这是在[38，附录A]中假设θ>0的情况下建立的。

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2022-5-7 08:54:17

因此，我们需要用命题2.2和命题2.4代替[38，附录A]，在命题2.2和命题2.4下，当θ<0时，可以确定Epstein-Zin效用的存在性和凹性。在本文的修订过程中，对于一般半鞅设置，这些性质也在[40]中得到了证实。4.消费投资选择EPSTEIN-ZIN效用。我们考虑一个比C更喜欢的代理-价值消费流由Kreps-Porteus或Epstein-Zi型的连续时间随机微分效用描述。为了描述这种偏好，让δ>0表示贴现率，0<γ6=1表示相对风险规避，d0<ψ6=1表示EIS。我们关注γ>1的情况。在这种情况下，定义Epstein Zin aggregatorf:[0，∞) × (-∞, 0] → R通过（2.1）f（c，v）：=δ（1）-γ） v1-ψc（（1）-γ） v）1-γ!1.-ψ-1..例如，这是[12]中使用的标准参数化。给定一个遗赠效用函数u（c）=c1-γ/(1 - γ），消费流c上的Epstein Zin实用程序∈ C在有限时间范围内，T是一个满足（2.2）Vct=Et的过程ZTtf（cs，Vcs）ds+U（cT）, 尽管如此，t∈ [0，T]，其中Et代表E[·| Ft]。备注2.1。Ep-stein-Zin效用推广了具有恒定相对风险规避的标准时间可分离效用。实际上，当γ=1/ψ时，聚合器减少到f（c，v）=δc1-γ1-γ- δv.那么t=0的（2.2）可以显式地表示为标准时间可分离效用：Vc=e“ZTδe-δsc1-γs1- γds+e-δTU（cT）#。正如导言中讨论的，我们对γ>1和ψ>1的经验相关情况感兴趣。在这种情况下，违反了γ=1/ψ，因此（2.2）不是时间可分的。当c遵循一个微分时，杜菲和狮子[14]通过偏微分方程技术确定了VCC的存在。

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2022-5-7 08:54:20

我们使用非马尔可夫设置，通过以下BSDE构造VCD：（2.3）Vct=U（cT）+ZTtf（cs，Vcs）ds-ZTtZcsdBs，0≤ T≤ T.表示θ：=1-γ1 -ψ.当γ，ψ>1，θ<0时。（2.3）中的发电机isf（c，v）=δc1-ψ1 -ψ((1 -γ） v）1-θ- Δθv。那么当θ<0时，f在vw中有超线性增长。因此，BSDE（2.3）没有Lipschitzgenerator。然而，考虑一下（Yt，Zt）：=e-Δθt（1）- γ）（Vct，Zct）和以下变压器组：（2.4）Yt=e-ΔθTc1-γT+ZTtF（s，cs，Ys）ds-式中F（t，ct，y）：=Δθe-δtc1-ψty1-θ.当θ<0时，（2.4）中的生成器F满足单调性条件，即y7→ F（t，ct，y）逐渐减小。这使我们能够确定（2.3）的解决方案的存在性和唯一性，进而确定（2.2）。使用EPSTEIN-ZIN实用工具5进行消费投资选择让我们介绍一组可接受的消费流asCa：=C∈ C:E中兴通讯-δsc1-ψsds< ∞ 和Ehc1-γTi<∞.提议2.2。假设γ，ψ>1和c∈ Ca.然后（2.4）允许一个唯一的解（Y，Z），其中Y是连续的，严格正的，并且是D类，RT|Zt|dt<∞ a、 s。。此外，Vct:=eΔθtYt/（1）- γ），t∈ [0，T]，满意度（2.2）。备注2.3。当BSDE满足单调性条件时，通常假定其终端条件为平方可积，参见[34，定理2.2]。然而，这对后面描述的效用最大化问题施加了不必要的限制，即遗产效用需要平方可积来定义相关的爱泼斯坦-辛效用。因此，命题2。2只要求终端条件是可积随机变量。定义了Vc之后，我们预计，作为一种实用功能 C7→ 它是凹的。当f（c，v）在c和v中联合凹时，这将遵循标准参数，参见[13，命题5]。

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2022-5-7 08:54:23

然而，计算表明，当γ>1和ψ>1时，f in（2.1）不是联合凹的。然而，利用[13，E x示例3]中介绍的Vc的有序等价变换，以下命题证实了C7的凹性→ Vc。让我们定义（Y，Z）：=（Y1/θ，θY1/θ-1Z）/（1-ψ). 计算表明，（Y，Z）满足（2.5）Yt=e-δTc1-ψT1-ψ+ZTtδe-δsc1-ψs1-ψ+(θ - 1） ZsYsds-ZTtZsdBs。当θ<1时，观察（2.5）的生成元现在在（c，Y，Z）中联合凹。提议2.4。当γ，ψ>1时，对于任何c，~c∈ Ca和α∈ [0,1]，如果αC+（1- α） ~c∈ Ca，然后是αVc+（1）- α） V~c≤ Vαc+（1）-α） c.备注2.5。Cadoes中的可积条件并不意味着Ca的凸性。事实上，由于ψ>1，E[RTe]-δsβ1-ψsds]<∞ 对于β=c和c，并不意味着αc+（1）具有相同的可积性- α） ~c.然而，命题2.4暗示了C7的凹度→ 关于Ca的任何凸子集，例如Ca={c∈ Ca:E[RTe]-δscsds]<∞}.2.2. 消费投资优化。在前一节中，我们证明了Epstein效用的存在性，然后考虑了一个具有这种效用的代理的最优消费投资问题。考虑一个具有无风险资产和风险资产S=（S，…，Sn）的金融市场模型，其中动态St=Str（Xt）dt，dSt=diag（St）[（r（Xt）1n+u（Xt））dt+σ（Xt）dWρt]，（2.6），其中diag（S）是一个对角线矩阵，其对角线上有S元素，1nis a n-每个条目1的维度向量。

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2022-5-7 08:54:26

给定一个相关函数ρ：Rk→ Rn×kandρ⊥: Rk→ Rn×n，满足此容许集与[11]中关于时间可分离实用程序的对应集相似，但大于[38]中的类似集，其中EhRTclsdsi<∞ 总之l ∈ 当且仅当γψ时，可容许消费流c.f在c和v中联合凹≤ 1.6使用EPSTEIN-ZIN效用ρ′+ρ的消费投资选择⊥(ρ⊥)′= 1n×n（n×n单位矩阵），Wρ：=R·ρ（Xs）dWs+R·ρ⊥（Xs）dW⊥sde定义了一个-二维布朗运动。在（2.6）中，X是E-满足（2.7）dXt=b（Xt）dt+a（Xt）dWt的有值状态变量s，X=X∈ 给你 RK是一个开放域，r:E→ R、 u：E→ Rn，σ：E→ Rn×n，b:E→ Rk，anda:E→ Rk×k。这些模型系数满足以下假设。假设2.6。r、 u、σ、b、a和ρ都是E中的局部Lipschitz；A:=aa′和∑=σ′是E的任何紧致子域中的正定义；r+2γu′∑-1u在E上从下方绑定，此外，（2.7）的动力学在有限时间内不会达到E的边界。在前面的假设中，系数的局部Lipschitz连续性和非爆炸假设相结合意味着（2.7）允许一个唯一的E值强解X。当利率r从下方有界时，由于2γu′∑-1u ≥ 0，r+2γu′∑-1u也从下方限定。爱泼斯坦Zin公用事业公司（Epstein Zin utility）描述了一位代理人的偏好，该代理人投资于这个金融市场。给定初始财富w、投资策略π和消费率c，代理人的财富遵循（2.8）dWπ，ct=wπ，ct（rt+π′tut）dt+π′tσtdWρt- ctdt，Wπ，c=W。在本文中，rt，ut，ρt，σt分别代表r（Xt），u（Xt），ρ（Xt）和σ（Xt），并且超级脚本（π，c）有时在W到simp lify符号上被抑制。如果c，则一对投资策略和消费流（π，c）是可容许的∈ CAA及其相关的财富过程是非负的。

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2022-5-7 08:54:31

代理人的目标是最大限度地利用风险投资。我们将进一步将可接受的策略限制在一个可允许的集合内。但让我们首先通过一个启发式论证来描述最优价值过程。根据Epstein-Zin效用的同感性质，我们推测在最优策略下评估的效用具有以下分解：（2.9）V*t=W1-γt1- γeYt，t∈ [0，T]，其中Y满足以下BSDE（2.10）Yt=zth（s，Ys，Zs，Z⊥s） ds-ZTtZsdWs-ZTtZ⊥sdW⊥s、让我们用下面的公式来确定发电机H。通过c=~c W参数化c，富裕过程满足DWTWT=（rt- ~ct+π′tut）dt+π′tσtdWρt。根据标准动态规划原理，我们期望-γt1-γeYt+Rtfcs，W1-γs1-γeYsDSA是任意策略的上鞅，也是最优策略的鞅。让我们计算前一个过程的漂移。计算表明DW1-γt=W1-γt(1 -γ）（rt）- ~ct+π′tut）-γ(1 - γ） π′t∑tπtdt+（1）- γ） W1-γtπ′tσdWρt.deYt=eYt-H（t，Yt，Zt，Z⊥t） +ZtZ′t+Z⊥t（Z）⊥t） \'dt+eYtZtdWt+Z⊥tdW⊥T.分解（2.9）广泛用于（时间可分离的）电力设施，参见[35]。消费投资选择EPSTEIN-ZIN实用程序7，因此-γs1-γeYt+Rtfcs，W1-γs1-γeYsds读取（省略时间下标以简化旋转）W1-γ1 - γY(1 -γ） r- Δθ+ZZ′+Z⊥（Z）⊥)′+H-(1 - γ） ~c+Δθe-θY~c1-ψi+-γ(1 - γ)π′Σπ + (1 - γ） π′（u+σρZ+σρ）⊥Z⊥)- H（·，Y，Z，Z）⊥).（2.11）我们预计上述漂移对于任意三元（π，~c）为负，对于最优策略为零。因此，（2.10）的生成元H可以通过在前一个d裂谷中取π和c的上确界并将其设置为零来获得。按照这个方向，我们注意到随机性inH只来自X，X由W驱动，而且（2.10）的终端条件为零。因此，Z⊥一定是零。

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2022-5-7 08:54:34

因此，我们可以将（2.10）减少到（2.12）Yt=ZTtH（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs，其中H由H（t，y，z）=（1）给出- γ） rt- Δθ+zz′+inf~ch-(1 - γ） ~c+Δθe-θy~c1-ψi+infπ-γ(1 - γ） π′∑tπ+（1）- γ） π′（ut+σtρtz′）=zMtz′+1-γu′t∑-1tσtρtz′+θΔψe-ψθy+ht-δθ.（2.13）这里，抑制下标t，∑：=σ′（X），M:=1k×k+1- γγρ′σ′Σ-1σρ（X），h:=（1）-γ） r（X）+1- γ2γu′Σ-1u（X），其中1k×kis是k×k-单位矩阵。回想第2.6节，r+2γu′∑-1u从下方绑定。因此，γ>1意味着存在一个正常数hmaxh≤ hmaxon E.在（2.13）中的最大值是由于γ>1，它们在（2.14）π处达到*t=γ∑-1tut+σtρtZ′tandc*tW*t=~c*t=Δψe-ψθYt，t∈ [0，T），其中W*财富过程是否与战略（π）相关*, C*). 因此π*c*是最佳策略。回到（2.12），尽管生成器H在y中有一个指数项，在z中有一个四次项，但参数规格γ，ψ>1允许我们推导y的先验界。特别是，Y从上方以一个常数为界。同时，由于hw中z的四次方项将被证明是非负的，因此可以通过研究不包含该二次项的BSDE whosegenerator来获得Y的下界。因此，（2.12）的解可以在以下温和的可积条件下构造。7.2假设。i） dPdP=ER1-γγu′Σ-1σρ（Xs）dWsTde定义了一个相当于P的概率测度P；ii）EPhRTh（Xs）dsi>-∞.8使用EPSTEIN-ZIN效用的消费投资选择E（RαsdWs）T:=exp-RT |αs | ds+RTαsdWs表示RTαSDW的随机指数。备注2.8。由于生成元H在z中包含一个线性项，所以应用Girsanov定理是自然的。假设2.7 i）允许我们这样做，并写出（2.12）底稿。这个假设可以用爆炸法来验证；有关示例，请参见第3节。

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2022-5-7 08:54:37

在ii）中，由于H的特殊结构，避免了[6]中的标准指数动量条件：z中的二次项是非负的，H（·，0，0）由hmax从上方限定- δθ.提议2.9。当γ，ψ>1时，假设2.7成立。然后（2.12）允许一个解（Y，Z），对于任何t∈ [0，T]，（2.15）EPtZTth（Xs）ds-Δθ（T）-t） +θΔψe（Δψ）-ψθhmax）T（T-（t）≤ Yt≤ -Δθ（T）-t） +日志EPt经验ZTth（Xs）ds,和E[RT|Zs|ds]<∞. 特别是自从h≤ hmax，Y从上方以（hmax）为界- Δθ）T。构造了（Y，Z），策略（π）*, C*) 在（2.14）中，定义良好。为了验证它们的最优性，我们需要进一步将可容许策略限制在一个容许集上：（π，c）是容许的，如果c∈ Caand（Wπ，c）1-γEy在[0，T]上为D类。验证（π）的最优性*, C*), 让我们为φ引入一个算子F∈ C（E），（2.16）F[φ]：=kXi，j=1Aijxixjφ+b+1- γγaρ′σ′∑-1u′φ +φ′aMa′φ+h，其中对x的依赖性在两个s IDE上都被抑制。以下假设中的函数φ称为李雅普诺夫函数。它的存在性证明了某些指数局部鞅实际上是鞅，从而验证了候选策略的最优性。该策略已应用于时间可分效用的投资组合优化问题，参见[18]和[37]。假设2.10。存在φ∈ C（E）使我→∞infx∈E\\Enφ（x）=∞, 其中（En）是E中的一系列开放域∪nEn=E、Encompact和En En+1，每n；ii）F[φ]在E上是有界的。主要结果之前的最终假设对风险λ的市场价格施加了可积性假设。这确保了EhRTe-δs（c）*s）一,-1/ψdsi<∞, 因此，最佳消费流c的可接受性*.假设2.11。存在λ：E→ Rn满足u=σλ，并通过dQ/dP=E（R）定义贴现资产价格的局部鞅度量Qf-λ′sdWρs）T。

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2022-5-7 08:54:40

此外，（2.17）EQ“e（ψ）-1） RTr+（Xs）dsEZλ′（Xs）dWsψT#<∞,其中W:=Wρ+R·λsds是Q-布朗运动与r+=max{r，0}。例如，当h从下方有界时，r和u′∑-1u有界，（2.15）表示Y也从下方有界。那么（π，c）是允许的，如果c∈ Caand（Wπ，c）1-γ在[0，T]上属于D类。这正是[11]中对γ>1的时间可分实用程序使用的容许性定义。消费投资选择EPSTEIN-ZIN实用程序9备注2.12。之前的假设是在最小鞅测度Q下进行的（参见[17]）。对引理B.4的仔细研究表明，这个假设可以被任何局部鞅测度Q所取代，使得EQ[exp（（ψ- 1） RTr+（Xs）ds）（dP/dQ）ψ]<∞.备注2.13。当r和λ为边界时，假设2.11 h自动变为假设2。10是不需要的，即使对于非马尔可夫模型也是如此。事实上，假设2.10被用来证明下面引理B.2中的随机指数是鞅。当r和λ有界时，h有界，因此h（·，0，0）也有界。因此，（2.15）意味着Y是有界的，andR·ZSDW是BMO鞅，参见[33，引理3.1]。然后，B.2中的随机指数可以直接证明为鞅。然而，许多模型没有风险的有界市场价值。因此，我们保留假设2.10和2.11的一般形式。这些条件施加了一些市场条件。特别是，对于马尔可夫模型，这些条件将在下面第3节的两个示例中指定为明确的参数限制。现在，我们准备好陈述我们的第一个主要结果。定理2.14。当γ，ψ>1时，假设2.6，2.7，2.10和2.11成立。然后π*c*在（2.14）中，在所有允许的策略中最大化爱泼斯坦-辛效用。

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2022-5-7 08:54:43

此外，最优Epstein-Zin效用由W1给出-γ1 -凯莉。下面的第二个主要结果集中在间接效用的超差上。让我们首先确定最佳价值过程（2.18）V*t:=（W）*t）一,-γ1 -γeYt，t∈ [0，T]，其中W*是最优财富过程，Y来自命题2.9。Schroder和Skiadas[38]在其中的假设C3中推测，超差为（2.19）D*t=wγe-是的Ztvf（c）*s、五*s） dscf（c）*电视*t），t∈ [0，T]。常数wγe-阴（2.19）使D正常化*成为1。事实上，将（2.1）、（2.14）和（2.18）结合起来，计算结果就证明了这一点*t=wγe-是的Ztδ（θ）- 1)((1 - γ）五*（s）-θ（c）*s）一,-ψds-Δθtδ((1 - γ）五*t）一,-θ（c）*（t）-ψ=expZt（θ）- 1） Δψe-ψθYsds-Δθt（Wπ）*（t）-γeYtw-凯莉。（2.20）因此，先前的身份意味着在D*= 1和D*是非负的。在[38，定理2和4]中*当市场完全具有有限的风险市场价格时，被证明是超差的。利用[38，引理2]中的可积性假设以及WD*+研发*scsds是任意策略的上鞅，是最优策略的鞅。[38，引理2]中的可积性假设在我们的例子中是满足的。事实上，（2.20）表明vf（c）*, 五、*) = (θ -1） Δψe-ψθY-Δθ，由于θ<0而有界，Y从上方有界。现在，以下结果证实了WD的上述属性*+研发*风险市场价格无限的市场中的SCSD。10消费投资选择爱泼斯坦锌效用MMA 2.15。对于D*由（2.20）给出，满足（2.21）dD*t=-rtD*tdt+D*T-γ(π*t） ′σtdWρt+ZtdWt, D*= 1，其中Z来自命题2.9。

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2022-5-7 08:54:47

因此，对于任何可容许策略（π，c），WD*+研发*SCSD是一个非负局部鞅，因此是一个超鞅。最后，我们下面的第二个主要结果证实*D*+研发*sc*sds实际上是一个鞅。这一结果已被证明适用于具有Lipschitz连续聚合器的递归实用程序，Lipschitz连续聚合器在其所有变量中也是凹的，参见[16，定理4.2和4.3]。然而，正如我们之前所看到的，当γ，ψ>1时，这些条件都不满足。定理2.16。当γ，ψ>1时，假设2.6，2.7，2.10和2.11成立。然后，对于最优策略（π）*, C*) 在（2.14）中给出，W*D*+研发*sc*这是一个鞅。因此，对于任何可容许策略（π，c），EWπ，cTD*T+ZTD*scsds≤ w=EWπ*,C*TD*T+ZTD*sc*十二烷基硫酸钠.在均衡环境中，代表性代理人具有爱泼斯坦-辛效用，给定消费流，均衡无风险利率和风险溢价可以从D中读出*, 提供一个框架来研究各种资产定价难题，如引言所述。3.例如，本节将前一节中的一般结果指定为两个广泛研究的模型，其中给出了明确的参数限制，以便满足前一节中的所有假设，因此定理2.14和2.16的陈述成立。这些参数限制涵盖了许多经验相关的规范。3.1. 随机波动。下面的模型有一个1-多维状态变量，遵循赫斯顿建议的平方根过程，同时影响利率、风险资产的超额收益及其波动性。[9]研究了具有单位EIS的递归效用，以及[26]、[31]研究了时间可分离效用。

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2022-5-7 08:54:50

该模型具体如下：（3.1）（dSt=diag（St）（r（Xt）1n+u（Xt））dt+√XtσdWρ,dXt=b(l - Xt）dt+a√XtdWt，其中r（x）=r+rx，u（x）=σλx，带r，r∈ R、 σ∈ Rn×n，λ，ρ∈ Rn和b，l, A.∈ R.这些参数满足消费3.1。Bl, r+2γλ′σ′∑-1σλ ≥ 0、a>0和bl >a、前面的假设确保X取（0，∞) r+2γu′∑-1u从下方限定，因此假设2.6满足E=（0，∞). 下面的结果提供了参数约束，使得定理2.14和2.16的陈述成立。提议3.2。当γ，ψ>1时，假设3.1和下列参数限制成立：i）r>0或λ′σ′∑-1σλ>0；ii）（ψ）- 1） hr+bλ′ρa+λ′（ψ1n×n）- （ψ）- 1） ρρ′）λi<b2a。使用EPSTEIN-ZIN效用11进行消费投资选择，则定理2.14和2.16的陈述成立。在第i）项中，利率或超额收益率在状态变量中具有线性增长成分。在第ii）项中，不等式要求状态变量的平均回复速度b大，或波动率a小，或EIS接近1。特别是，当r=0（即恒定利率）且ψ>1时，当（3.2）bλ′ρ≤ -ψaλ′λ。该条件涵盖了[32]中的经验相关规范，其中参数值为（3.3）λ=0.47，σ=1，b=5，a=0.25，ρ=-0.5.从[2]中取ψ=1.5，通过计算验证（3.2）。图1显示了最佳消费财富比c*/W*最优投资分数π*关于波动性√X表示风险规避和EIS的不同值。同时，我们的数值结果表明，E IS对最优投资比例几乎没有影响，不同的TRISK厌恶几乎不会改变最优消费财富比。图2比较了ψ=0.2（顶部面板）和ψ=1.5（底部面板）的最佳消费财富比。

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2022-5-7 08:54:53

当enψ=0.2时，有限期最优消费财富比迅速收敛到其有限期平稳极限。对于（3.3）中的参数规定，当期限超过20年时，时间最优消费策略已经接近其固定极限。然而，当ψ=1.5时，这种收敛速度要慢得多，当时间贴现参数δ=0.08时，r至少等于60年。此外，与ψ=0.2的情况相比，当ψ=1.5时，收敛速度对δ敏感。在这种情况下，δ值越小，收敛速度越慢。直觉上，折扣参数较小的代理更有耐心。但当ψ>1时，她仍然更喜欢早期消费。因此，这两种相互竞争的力量推迟了趋同。所有比较统计数据都是通过使用有限差分方法数值求解（2.12）的偏微分方程对应项得出的。3.2. 线性扩散。在下面的模型中，利率和风险资产的超额收益率都是状态变量的线性函数，状态变量遵循1-多维Ornstein-Uhlenbeck过程。[24]和[43]研究了时间可分离效用设置的模型，以及[7]研究了离散时间设置下的递归效用。模型动力学由（3.4）给出（dSt=diag（St）[（r（Xt）1n+u（Xt））]dt+σdWρt，dXt=-bXtdt+adWt，其中r（x）=r+rx，u（x）=σ（λ+λx），其中r，r∈ R、 λ，λ∈ Rn，σ∈ Rn×n，b，a∈ R、和ρ∈ 注册护士。这些系数满足消费3.3。a、 b>0，r=0或λ′σ′∑-1σλ> 0.这一假设意味着假设2.6满足E=R。在接下来的g参数限制下，定理2.14和2.16 h的陈述。提议3.4。当γ，ψ>1时，假设3.3和下列参数限制成立：由于ψ>1，（3.2）yieldsbλ′ρA+ψλ′（ψ1n×n）- （ψ）- 1)ρρ′)λ ≤bλ′ρa+ψλ′λ≤ 0

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2022-5-7 08:54:56

因此，命题3.2 ii）中的内在品质左侧是否定的。12使用爱泼斯坦效用的消费投资选择0.20.40.6 0.8 100.020.040.060.080.10.12波动性最优消费财富比ψ=0.2ψ=1.5ψ=20 0.2 0.4 0.6 0.8 10.040.060.080.10.120.160.180.20.220.24波动性最优投资组合γ=2γ=5γ=8图1。两个图都使用了（3.3）中的参数，r=0.05，δ=0.08，l = 0.0225.对于时间范围T=10年的问题，它们都是时间0值。左侧面板采用γ=5，右侧面板采用ψ=1.5。i）要么-b+1-γγaλ′σ′∑-1σρ<0或λ′σ′∑-1σλ> 0;ii）（ψ）- 1） hbλ′ρa+λ′（ψ1n×n）-（ψ）- 1） ρρ′）λi<b2a。然后定理2.14和2.16的陈述成立。在上述第i）项中，请注意：(-b+1-γγaλ′σ′∑-1σρ）X是X的漂移。因此，第i）项假设X是均值回复的下限，或者超额收益率具有状态变量的线性增长分量。第ii）项的解释与第3.2 ii）项类似。特别是，当ψ>1时，当（3.5）bλ′ρ满足第ii）项中的不等式≤ -ψaλ′λ。该条件已经涵盖了许多经验相关的规范。例如，在[3]和[43]中，考虑了单个风险资产，参数值（以月为单位）为：（3.6）λ=1，σ=0.0436，b=0.0226，a=0.0189，ρ=-0.935，ψ=1.5。图3显示了最佳消费财富比率*/Wπ*最优投资分数π*关于状态变量X.附录A.第2.1节中的证明，我们首先介绍几个符号，这些符号将在附录中使用请注意所有1的空格-密度连续适应过程（Yt）0≤T≤Tsuchthat the norm Esup0≤s≤T|Ys|< ∞.o 让我们∞是S的子空间，该规范sup0≤s≤T|Ys|∞< ∞.o 用T表示所有F的集合-停止时间τ为0≤ τ ≤ T

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2022-5-7 08:55:01

如果族{Yτ；τ∈ T}是均匀可积的让Mdenote表示（多维）可预测过程类（Zt）0≤T≤Tsuch thatEhRT|Zs|dsi<∞.证明与脚注7相同。使用EPSTEIN-ZIN效用130 5 10 15 20 25 3000.10.20.30.40.50.60.7倍[t]最优消费财富比δ=0.06δ=0.08δ=0.1δ=0.120 10 30 40 50 60 70 80 90 10000.020.040.060.080.10.120.140.16倍[t]最优消费财富比δ=0.06δ=0.08δ=0.1δ=0.12图2。当波动率为20%时，最优消费财富率是时间的函数。两个图都使用了（3.3）中的参数，r=0.05，l = 0.0225，γ=5。上面板需要ψ=0.2和T=30年。较低的p指数ψ=1.5，t=100年用BMO表示鞅M的类，使得supτ∈TkE[|hMiT- hMiτ| Fτ]k∞< ∞.命题2.2的证明。证据分为几个步骤。首先，当终端条件有界时，通过稍微修改[34，定理2.2]的证明来构造解。在一般终端条件下，通过[6]中的局部化技术获得了解。最后，证明了唯一性，并验证了（2.2）。为了简单起见，我们表示ξ=e-ΔθTc1-我要把这个证据通读一遍。第一步：有界终端条件。当ξ≤ C对于某些常数C，考虑以下gtruncated BSDE：（A.1）Ynt=ξ+ZTtFn（s，cs，Yns）ds-ZTtZnsdBs，其中Fn（t，ct，y）=Δθe-δt（c1）-ψt∧ n）（|y |∧ n）一,-θ. 注意y7→ Fn（t，ct，y）是Lipschitz，特别是在y=0时，由于1，它是可区分的-1/θ > 0. 前文（A.1）提供了一种独特的解决方案（Yn，Zn）∈ S×M。该解的第一个分量也是非负的。事实上，考虑（A.1），以零作为终端条件。

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2022-5-7 08:55:04

S uch BSDE提供独特的解决方案（~Yn，~Zn）≡ （0,0）在14个消费投资中选择EPSTEIN-ZIN效用-0.50.500.20.40.60.811.21.41.61.82x10-3状态变量（x）最优消费财富比ψ=1.2ψ=1.5ψ=2-0.5 0 0.5-8.-6.-4.-202468状态变量（x）最优投资组合γ=2γ=5γ=8图3。两个图都使用了（3.6）中的参数，r=0.0014，δ=0.0052。它们都是时间范围T=12个月的问题的时间0值。左侧面板的γ=5。ψ=0.2情形下的最优消费财富比远大于左盘情形下的最优消费财富比。右面板取ψ=1.5。S×M.自ξ≥ 0，根据带Lipschitz生成器的BSDE的比较定理≥~Yn=0。另一方面，由于θ<0，fn在n中减小，因此比较理论暗示（Yn）在减小。因此，Y：=↓ 画→∞Ynis定义明确且非负。为了得到（Yn，Zn）n的极限，让我们导出以下统一估计。将It^o’s公式应用于（Yn）产生（Yn）t+EtZTt | Zns | ds= Etξ+ 2 EtZTtYnsFn（s，cs，Yns）ds≤ Et[ξ]≤ C、对于任何t，n，其中第一个不等式从Yn开始≥ 0和Fn≤ 0.之前的估计收益率（A.2）（Yn）≤ C和EZT | Zns | ds≤ C、对于任何n，都存在Z∈ 使（Zn）弱地收敛于Z。请注意，limn→∞Fn（t，ct，y）=F（t，ct，y），limn→∞Yn=Y，和0≥ Fn（t、ct、Ynt）≥ F（t、ct、Ynt）≥ C-2θΔθe-δtc1-ψt，对于任何n，由于（A.2）中的第一个估计，等式中的第三个保持不变。然后，支配收敛定理意味着limn→∞ZTt | Fn（南部、南部、南部）- F（s，cs，Ys）| ds=0，对于任何t.消费投资选择EPSTEIN-ZIN效用15，现在我们证明了（Zn）nin M的收敛性。

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2022-5-7 08:55:07

将It^o公式应用于|Yn- Ym | yieldsE[| Yn- Ym |]+EZT | Zns- Zms | ds=2 EZT（Yns）- Yms）（Fn（Yns）- Fm（Yms）ds=2 EZT（Yns）- Yms）（Fn（Yns）- Fn（Yms））ds+ 2 EZT（Yns）- Yms）（Fn（Yms）- Fm（Yms）ds≤2 EZT（Yns）- Yms）（Fn（Yms）- Fm（Yms）ds≤4δ|θ| C-2θE中兴通讯-δsc1-ψs∧ N- c1-ψs∧ Mds,（A.3）由于y 7→ Fn（t，ct，y）正在下降，第二个不平等性出现在（A.2）中的第一个估计之后。自从c∈ Ca，支配收敛定理（A.3）的右边收敛为零，为n，m→ ∞. 结合（Zn）n的前收敛性和弱收敛性，我们得到了limn→∞EZT | Zns- Zs | ds= 0，Burkholder-Davis-Gund y不等式则意味着P- 画→∞监督≤TZTt（Zns）- Zs）dBs= 0，其中P-lim代表概率收敛。通过一个子序列，我们得到了几乎确定的收敛性。因此，发送n→ ∞ 在（A.1）中，我们得到（Y，Z）∈ s∞x Msolves（2.4）和Y为非负。此外| Ynt- Ymt|≤ZTt | Fn（南部、南部、南部）- Fm（s，cs，Yms）|ds+ZTt（Zns）-Zms）dBs,在对m和t上的上确界求极限后，我们得到了SUPT≤T|Ynt- Yt|≤ZT | Fn（南部、南部、南部）- F（s，cs，Ys）| ds+supt≤TZTt（Zns）- Zs）dBs.因此（Yn）在t中一致收敛于Y，这意味着Y是一个连续的过程。第2步：一般终端条件。当ξ没有界时，设置ξn:=ξ∧ n和considerYnt=ξn+ZTtF（s，cs，Yns）ds-ZTtZnsdBs。上一步的结果表明，该BSDE允许溶液（Yn，Zn）∈ s∞×MwithYn≥ 0.此外，由于F≤ 0，Ynt≤ 所有n和t的Et[ξ]∈ [0，T]。这个先验界允许我们通过[6]中的本地化技术构造（2.4）的解。我们在下面概述结构。16考虑τk:=inf{t≥ 0:Et[ξ]≥ k}∧每k的T∈ N

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nandehutu2022

2022-5-7 08:55:12

然后（Yn，kt，Zn，kt）：=（Ynt∧τk，ZntI{t≤τk}）满足以下条件，kt=Ynτk+ZTtI{s≤τk}F（s，cs，Yn，ks）ds-ZTtZn，ksdBs。从0开始≤ 伊恩，ks≤ 锿∧τk[ξ]≤ k、我们有≥ F（s、cs、Yn、ks）≥ Δθk1-θe-δsc1-ψs.c∈ Caimplies E[RTF（s、cs、Yn、ks）ds]<∞. 另一方面，由于ξn≤ ξn+1和y 7→F（·，·，y）满足单调性条件，则比较结果（参见[34，定理2.4]）意味着Yn，k≤ Yn+1，k。利用与步骤1相同的参数，我们得到-Yk：=↑ 康涅狄格州林宁∈ Msuch limnZn，k=~Zkin M和（~Yk，~Zk）解出了BSDE（A.4）~Ykt=~Ykτk+ZTtI{s≤τk}F（s，cs，~Yks）ds-ZTtZksdBs，其中Ykτk=↑ limnYnτk.根据（~Yk，~Zk），~Yk+1t的定义∧τk=~Yktand~Zk+1tI{t≤τk}=~Zkt。因此，当t∈ [0，τk]。这种结构意味着限制→TYt=ξ。的确，关于{ξ≤ k} ，τk=T和limt→对于anyn，TYnt=ξ≥ k、因此限制→TYt=limt→τkYkt=limt→τkYn，kt=limt→在{ξ上TYnt=ξ≤ k} 当n≥ k、这个小鬼躺在床上→TYt=ξ，sin-ce↑ 林克→∞{ξ ≤ k} =Ohm. 现在发送k→ ∞ 在（A.4）的两侧，我们确认（Y，Z）解决了（2.4）。通过这种结构，Y是连续的且令人满意的0≤ Yt≤ t的Et[ξ]∈ [0，T]，因此Y属于D类。与[6，第612页]中的论证相同，显示了| Zt | dt<∞.第3步：剩余语句。为了进一步参考，我们证明了（2.4）的一个比较结果。设（Y，Z）（resp.（~Y，~Z））是（2.4）的超解（resp.子解），即Y+Z·F（s，cs，Ys）ds是局部s超鞅，~Y+Z·F（s，cs，~Ys）ds是局部s超鞅，带YT≥ ξ ≥~YT，同时Z和~Z由Doob-Meyer分解和鞅表示确定。假设Y和Y都属于D类，那么Y≥~Y。此外，如果t>YT，则任何t的YT>YT≤ T为了证明这个比较结果，定义αt:=（F（t，ct，Yt）-F（t，ct，~Yt）Yt-~Yt，Yt6=~Yt0，Yt=~Yt。从Y7开始→ F（·，·，y）在减小，我们有α≤ 0

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2022-5-7 08:55:15

然后得出eR·αsds（Y-~Y）是局部超鞅，因此是超鞅，因为指数f因子是有界的，并且Y和~Y都属于D类。因此，YT≥~Y简化≥~Y。此外，当YT>YT时，我们得到任何t的严格比较YT>YT≤ T唯一性直接来自比较结果。既然γ>1，那么ξ=e-ΔθTc1-γT>0。因此，严格比较得出Y>0。最后，我们验证了VCSaties（2.2）。为此，因为（Y，Z）解（2.4），（Vct，Zct）=eΔθt（Yt，Zt）/（1-γ） Saties（2.3），这意味着Vc+R·f（cs，Vcs）ds是一个局部鞅。使用EPSTEIN-ZIN效用17定位序列（σn）n进行消费投资选择≥对于Vc+R·f（cs，Vcs）ds，我们得到了Vc+ΔθEZT∧σnVCDS= EVcT∧σn+ZT∧σnδc1-ψs1-ψ((1 - γ） Vcs）1-θds.发送n→ ∞ 在这两方面，请注意Vc≤ 0和ψ>1，在左侧被积函数为负之前，右侧被积函数为正。Vc的单调收敛定理和D类性质则产生（A.5）Vc+ΔθEZTVcsds= EU（cT）+ZTδc1-ψs1-ψ((1 -γ） Vcs）1-θds.从0开始≥ EhRTVcsdsi=1-γEhRTeΔθsYsdsi≥1.-γ-EhRTYsdsi≥1.-γRTE[ξ]ds>-∞, 如果第二个不等式成立，因为γ>1，θ<0，那么第三个不等式来自Ys≤ Es[ξ]和γ>1。减去（A.5）两侧的Δθehrtvcsd，我们得到（2.2）。C7的凹度→ 下面的例子证明了这一点。这个证明同时利用了（2.5）的生成元的连通性和（2.4）的解的D类性质。命题2.4的证明。将（2.5）的生成元表示为F（t，ct，y，z）=δe-δtc1-ψt1-ψ+(θ - 1） zy。对于c，~c和αc+（1- α） ~c∈ Ca，表示X=αX+（1）- α）分别表示X=c，Y，Z和<<X=c，<<Y，<<Z。

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2022-5-7 08:55:18

这是由（2.5）得出的Yt=-δe-δtc1-ψt1-ψ-(θ - 1)ZtYt+Atdt+ZtdBt，其中，由于（ct，y，z）7的凹度→ F（t，ct，y，z），At=δe-δt1-ψc1-ψt- αc1-ψt- (1 - α） ~c1-ψt+(θ - 1)\"ZtYt- αZtYt- (1 - α） ~Zt~Yt#≥ 0，以及YT≤ E-δTc1-1/ψT/（1）- 1/ψ). 设置Y=（（1）- 1/ψ)Y） θ和Z=（1）- γ)((1 - 1/ψ)Y） θ-1.Z.It^o的公式yieldsdYt=(-Δθe-δtc1-ψtY1-θt+（1）- γ)Y1-θtAt）dt+ZtdBt，其中（1- γ)Y1-1/θtAt≤ 0.另一方面，YT≥ E-ΔθTc1-γT.因此(YZ）是华硕-解决方案（2.4）。另一方面Y是D类的。实际上，sin-ceθ<0，（A.6）Y=（（1）- 1/ψ) Y） θ≤ α ((1 - 1/ψ）Y）θ+（1）- α)((1 -1/ψ）~Y）θ=αY+（1）- α） Y，其中Y（resp.~Y）是（2.4）与c（resp.~c）的解的第一个组成部分。因此Ys属于D类，因为Y和Y都属于D类。现在考虑一下Ycas是（2.4）溶液的第一部分，其中c被替换为c、然后，根据（A.6）和前面证明的步骤3中的比较结果，αY+（1- α） ~Y≥ Y≥ Yc、 18消费投资选择使用EPSTEIN-ZIN效用除以之前的不平等（1-γ）在双方，我们确认αVc+（1-α） V~c≤ Vαc+（1）-α） ~c。附录B第2.2节中的证明尽管（2.12）中的生成器H在y中有一个指数项，但参数规格γ>1和ψ>1允许我们推导y的先验界。然后通过[6]中的定位技术构造（2.12）的解。命题2.9的证明。由于假设2.7 i），W:=W-R·1-γγρ′σ′Σ-1u（Xs）ds为aP-布朗运动。因此，（2.12）可以重写，并且所有的期望都是通过这篇文章得到的。另一方面，回想一下γ>1和r+2γu′∑-1u从下方限定。因此存在一个常数hmaxh≤ 嗯最大。

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2022-5-7 08:55:21

然而，u′∑-在许多常用模型中，1u是状态变量的无界函数，因此h和h（t，0，0）=ht-Δθ+θΔψ不是从下面有界的。因此我们引入（B.1）Yt=ξ+ZTtH（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs，其中Yt=Yt+Rt（hs- Δθ）ds，ξ=RT（hs- Δθ）ds和h（t，y，z）=zMtz′+θΔψeψθRths-Δθdse-ψθy.考虑（B.1）的截断版本：（B.2）Ynt=ξn+ZTtHn（s，Yns，Zns）ds-ZTtZnsdWs，式中ξn=RThs∨ (-n）- Δθds有界且hn（t，y，z）=zMtz′+θΔψeψθRths∨(-n）-ΔθdsE-ψθy∧ N.这个截断生成元在y中是Lipschitz，在z中是二次的。实际上，因为σ′∑的特征值-1σ为0或1，0≤ zρ′σ′∑-1σρz′≤ zρ′ρz′≤ |z |。Th enγ>1，而Mafter（2.13）的定义意味着（B.3）0<γ| z|≤ zM（X）z′≤ |z |。因此，从[25，定理2.3]可以看出，（B.2）允许一个解（Yn，Zn）∈ s∞此外，由于θ<0，Hn在n中减少。Ynin[25，定理2.3]yieldsYn的构造≥ Yn+1。在下面的wh at中，我们导出了n中一致的yn的先验界。这种一致估计有助于构造（B.1）的解。一方面，θ<0和（B.3）中的第三个不等式产生Hn（t，y，z）≤|z |。ConsiderYnt=ξn+ZTt | Zns | ds-ZTtZnsdWs，它有一个显式的解决方案ynt=log etherth∨(-n）-Δθdsi。然后（B.4）Ynt-Zths∨ (-n）- Δθds=对数以太∨(-n）-Δθdsi≤ （hmax）- Δθ（T）- t）。另一方面，消费投资选择EPSTEIN-ZIN效用19，而-香港电台∨(-n）-Δθds≤ （hmax）-Δθ（T）-t）（B.3）和θ<0 imp ly Hn（t，y，z）中的第一个不等式≥ θΔψe（Δψ）-ψθhmax）T。因此，考虑BSDEYt=ξ+θΔψe（Δψ-ψθhmax）T（T- （t）-ZTtZsdWs，其解为Yt=Et[ξ]+θΔψe（Δψ-ψθhmax）T（T- t）。现在由于Hnis以更简单的形式夹在两个发生器之间，比较结果产生（B.5）Et[ξ]+θΔψe（Δψ-ψθhmax）T（T-t） =Yt≤ Ynt≤Ynt=对数以太∨(-n）-Δθdsi≤ （hmax）-Δθ）T，对于任何n>0。

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2022-5-7 08:55:25

这些统一的界允许我们使用[6，定理2]中的局部化技术构造（B.1）的解（Y，Z）；另请参见命题2.2证明中的步骤2。结果满足（B.6）Et[ξ]+θΔψe（Δψ）-ψθhmax）T（T- （t）≤ Yt≤ log Etheξi.前面的不等式意味着limt→TYt=ξ。因此，Y满足（B.1）的最终条件。减去Rth后，Y的期望估计值如下- Δθds在前面不等式的两边，特别是，（B.7）Yt=Yt-Zths- Δθds≤ 对数以太（hs）-Δθ）dsi≤ （hmax）- Δθ（T）- t）。对于Z上的语句，取本地化序列（σn）nforR·ZsdWs，（B.1）yieldsEZσnZsMsZ′sds= Y- E[Yσn]- θΔψEZσneψθRshu-Δθ到期-ψθYsds.发送n→ ∞ 在两侧，将（B.3）中的第二个不等式应用于左侧，将（B.6）中的第一个不等式应用于右侧的第二项，并将（B.7）应用于第三项，我们确认E[RT|Zs|ds]<∞. 下面的几个结果准备了定理2.14和2.16的证明。首先我们展示-γ1-γEy是允许策略中最优值的上界。引理B.1。让假设2.7保持不变。对于任何允许的（π，c），（B.8）w1-γ1 -γY≥ Vc，其中Vc在命题2.2中定义，Y在命题2.9中构造，c i由πvia（2.8）融资。证据这个证明将[20]中的技术扩展到递归实用程序。对于允许的（π，c），定义π，ct:=（Wt）1-γ1 - γeYt+Ztf政务司司长（Ws）1-γ1 -γeYsds，t∈ [0，T]，其中W=Wπ，c.Th en（2.11）和（2.13）表示R是局部上鞅。由于DoobMeyer分解和鞅表示，存在一个递增过程A和Zr，使得Rπ，c=-A+R·ZRsdBs。在此之前，（W）一,-γ1-γeY，ZR是（2.3）的上解，其终止条件为（WT）1-γ/(1 -γ) ∈ L.事实上，自（W）1起-γEy是D类的，由容许率和YT=0，我们有E[（WT）1-γ] < ∞.

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