实值仿射过程驱动的仿射LIBOR模型

2022-5-7 21:20:55

由实值过程驱动的有效LIBOR模型Wolfgang M¨uller，Stefan Waldenberger关键词：LIBOR利率模型，远期价格模型，有效过程，波动率微笑摘要：有效LIBOR模型的类别很有吸引力，因为它满足了利率建模的三个核心要求。它是无套利的，利率是非负的，caplet和swaption价格可以通过分析计算得出。为了保证非负利率，Libor模型由非负利率过程驱动，这是一种限制，使得很难产生波动。我们修改了伦敦银行同业拆借利率模型，这样就可以在不破坏利率非负性的情况下使用实值伦敦银行同业拆借利率过程。数值例子表明，在这类模型中，显著的波动率微笑是可能的。1.简介市场模型，最著名的例子是伦敦银行同业拆借利率市场模型，在利率建模领域非常流行。如果这些模型产生非负利率，它们通常不会给出基本利率衍生品、上限和互换期权的半解析公式。一个例外是Keller Reselet等人[14]提出的一类有效LIBOR模型。使用非负的a ffine过程作为驱动过程a ffine LIBOR模型保证非负的远期利率，并得出资本和互换期权的半分析公式，因此可以校准利率市场数据。本文修改了Keller Ressel等人[14]的设置，以允许不一定是非负的有效过程。这种修改仍然会导致CAP和互换期权的半解析公式，并保证非负远期利率，但允许更广泛的驱动过程，因此在产生利率倾斜和微笑时更灵活。Fonseca等人[8]还提出了对伦敦银行同业拆借利率模型的修正。

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可人4

2022-5-7 21:20:59

驱动过程是一个在正半限定矩阵空间中具有值的过程。本文的方法的优点是，可以用更少的参数生成一类灵活的隐含波动率表面。本文的结构如下。在第2节中，我们回顾了各种工艺及其特性。第3节介绍了必要的符号和市场设置，并回顾了Libor模型。最后对实际实施提出了一些意见。第四部分是本文的主要部分。第一部分介绍了修改后的伦敦银行同业拆借利率模型，并推导了上限和互换期权的半分析定价公式。第二部分给出了一些可用的数值计算过程的例子。具有实值过程的伦敦银行同业拆借利率模型2。A ffine processlet X=（Xt）0≤T≤t值为D=Rm的齐次马尔可夫过程≥0×n在可测空间上实现(Ohm, A）过滤（英尺）0≤T≤T、关于哪个X被调整。当X=X时，用Px[·]和Ex[·]表示相应的概率和期望。如果X的特征函数具有formEx欧盟·Xt= exp（φt（u）+ψt（u）·x），u∈ i路，x路∈ D、（1）式中φ：[0，T]×i-Rd→ C和ψ：[0，T]×ird→ cdi-Rd={u∈ Cd:Re（u）=0}和·表示Rd中的标量积。

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2022-5-7 21:21:02

通过齐性和马尔可夫性，条件特征函数满足欧盟·Xt | Fs= exp（φt）-s（u）+ψt-s（u）·Xs）。因此，对于非齐次马尔可夫过程（见Filipovic[7]），也可以定义一个有效过程，在这种情况下，上述等式为：欧盟·Xt | Fs= exp（φs，t（u）+ψs，t（u）·Xs），u∈ i路，x路∈ D、用φs，t:i-Rd→ C和ψs，t:ird→ CD0≤ s≤ t、如果X是随机连续的，且setV的内部为：=（u），则X称为分析过程（见Keller Ressel[11]）∈ Cd:sup0≤s≤TExheRe（u）·Xsi<∞ 十、∈ D），（2）包含0。在这种情况下，函数φ和ψ连续扩展到V，在内部进行分析，因此（1）适用于所有u∈ V.一类有效过程包括布朗运动和更一般的所有L’evy过程。由于L′evy过程具有平稳的独立增量，在这种情况下，ψt（u）=u和φt（u）=tκ（u），其中κ是L′evy过程的累积量生成函数。OrnsteinUhlenbeck过程是更重要的过程示例。第4.2节对其进行了讨论。Duffee等人[4]是一个有效流程的标准参考。它们给出了一个有效过程的特征，其中φ和ψ被指定为一个微分方程组的解。在所有丰富的函数过程理论中，本文中的方法仅使用其矩母函数的特殊形式（1）和以下性质。引理1：设X为一维解析过程，Re（u）<Re（w），u，w∈ V.然后Re（ψt（u））<ψt（Re（w）），即ψt|V∩Ris在不断增加。V可以被描述为（凸）集，其中X的扩展矩母函数定义为所有时间t≤ T和所有起始值x∈ E

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2022-5-7 21:21:06

根据Keller Ressel和Mayerhofer[12]中的引理4.2，setV实际上等于看似较小的setnu∈ Cd:十、∈ int（D）：ExheRe（u）·XTi<∞o、这也意味着X是保守的，即Px（Xt∈ D） =1十、∈ D和0≤ T≤ T这一特征适用于所有随机连续过程的事实首先在inKeller-Ressel等人[13]中展示，随后在Keller-Ressel等人[15]和Cuchiero and Teichman[3]中展示了具有更一般状态空间的过程。具有实值过程限制的有效LIBOR模型：Keller-Ressel等人[14]中已经包含了D=R+的情况。在D=R的情况下，这个问题来自于凯勒·雷塞尔等人[13]中的命题3.3，对于某些常数β，ψt（u）=eβtu。备注：如果D=R+，已知ψ和φ都是单调递增的（KellerRessel等人[14]）。当D=R时，这对于ψ是正确的，但对于φ则不是，因为确定性a ffineprocess Xt=x- t秀。3.利率市场模型Classic market Models考虑了期限结构0<T<··<TN<TN+1=：T和由到期日为T的零息债券组成的市场，TN+1。它们的价格过程（P（t，Tk））为0≤T≤Tkare假设为过滤概率空间上的非负半鞅(Ohm, A、（英尺）0≤T≤T、 P），几乎可以肯定满足P（Tk，Tk）=1。如果存在一个等价的概率测度qt，使得规范化债券价格过程P（·，Tk）/P（·，T）是鞅，则市场是无套利的。在这种情况下，我们可以定义数值P（t，Tk）的等价鞅测度qtk，而不是P（t，t）byd QTkd QT=P（Tk，t）P（0，t）P（0，Tk）。（3）特别是在qtk指标下，远期债券价格过程P（·，Tk-1） /P（·，Tk）和远期利率过程Fk（·），Fk（t）=KP（t，Tk）-1） P（t，Tk）- 1., k=Tk- Tk-1，（4）是鞅。

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nandehutu2022

2022-5-7 21:21:09

这是本文其余部分使用的基本市场设置。在经典的LIBOR市场模型中，远期利率过程在各自的鞅测度QTk下被建模为连续指数鞅。从那时起，利率为正。使用无漂移几何布朗运动作为驱动过程，caplet价格由Black公式（Black[1]）给出，而swaption价格无法解析计算。或者，我们可以从建模远期债券价格过程P（·，Tk）开始-1） /P（·，Tk）而不是远期利率过程。再次使用指数鞅，比如无漂移布朗运动，就可以解析地计算出期权和互换期权的价格（见Eberlein和¨Ozkan[5]）。这种方法的缺点是，远期利率将为负，概率为正。Keller Ressel等人[14]提出了有效的伦敦银行同业拆借利率模型，其中远期利率为非负，而互换期权和caplet价格仍然可以半解析计算，即进行数值积分。上述方法针对单个度量对单个远期利率过程（分别为远期债券价格过程）进行建模。可以通过设置P（T，Tk）：=P（T，T）P（Tk，T）T>Tk来将债券价格过程扩展到[0，T]，因此P（·Tk）/P（·T）是[0，T]上的鞅当且仅当它是[0，Tk]上的鞅。从经济角度来看，这可以解释为立即将零息债券的收益投资于运行时间最长的零息债券。具有实值过程的有效LIBOR模型，它们是鞅。相反，凯勒·雷塞尔等人。

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kedemingshi

2022-5-7 21:21:12

[14] 对价格过程P（·，Tk）/P（·，T）进行建模，它们都是相同概率测度QT下的鞅。注：请注意，本文中提到的所有模型并没有完全说明整个术语结构，而只是其中的一部分。为了给不包含在特定结构中的衍生产品定价，有必要指定某种插值方案。任意插值可能会导致套利，但人们总是可以选择一种插值方法，这样模型就不会出现套利（Werpachowski[17]）。伦敦银行同业拆借利率模型本节概述了Keller Reselet等[14]中介绍的伦敦银行同业拆借利率模型。关于过滤概率空间(Ohm, A、（英尺）0≤T≤T、 QT）考虑一个非负的分析过程X，其起始值X固定∈ 研发部≥0.对于期限结构0<T<··<TN<TN+1=：T定义k=1，N和0≤ T≤ TkP（t，Tk）P（t，t）：=EQTeuk·XT | Ft= eφT-t（uk）+ψt-t（英国）·Xt，英国≥ 0，英国∈ 五、（5）式中，EQ[·]表示关于概率测量EQ的期望。这些价格过程是鞅，由此产生的模型是无套利的。写p（t，Tk）-1） P（t，Tk）=P（t，Tk-1） P（t，t）（4）中的P（t，Tk）P（t，t）（6）表明，非负的远期利率相当于（5）满足P（t，t）P（t，t）的标准化债券价格≥ .. ≥P（t，TN）P（t，t）≥ 1.（7）从x开始≥ （7）中的标准化债券价格的单调性满足，只要u≥ . . . 联合国≥ 0.应确定参数ukin（5），以使标准化债券价格P（0，Tk）/P（0，T）=exp（φT（uk）+ψT（uk）·x的起始值符合根据实际市场数据推断的初始期限结构。

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2022-5-7 21:21:15

对于大多数有效流程，每个期限结构都可以采用，对于当前非负远期利率，可以使用递减顺序u≥ ··· ≥ 联合国≥ 0（见Keller-Ressel等人[14]）。注：由于X是非负的，第k次标准化债券价格不仅大于等于1，而且从下方以时间相关常数exp（φT）为界-t（英国）），它比1大得多。因此，在伦敦银行同业拆借利率模型中，远期利率从下到下被严格的正时变常数所限定。伦敦银行同业拆借利率模型导致远期利率非负。此外，这一规定很有吸引力，因为度量变化的密度过程也是指数固定的，与第2节相反，从现在起，概率度量对马尔可夫过程X起始值的任何依赖都将被抑制。具有实值过程的LIBOR模型在Xt中有效，即将（5）插入（3）给定的QTkd QT=P（0，T）P（0，Tk）eφT-Tk（uk）+ψT-Tk（英国）·XTk。此外，由于（6）的原因，标准化债券价格和远期债券价格都是指数形式。因此，QTkis下标准化债券价格对数的矩母函数也是指数形式，通过一维傅里叶反演可以计算债券价格。如果驱动过程的维数为1，则也可以通过一维傅里叶反演计算互换期权价格（见Keller-Ressel等人[14]）。因此，这种方法既满足非负利率，又满足标准利率市场工具的分析可操作性。如果维度大于1，互换期权的确切价格只能通过更高的维度积分来计算，维度是基础互换的长度。或者Grbac等人。

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2022-5-7 21:21:19

[9] 提供交换选项的近似公式。伦敦银行同业拆借利率模型的实际应用尽管从理论角度来看，该框架很优雅，但实际实施面临着几个难点，本文将对此进行讨论。首先，利率和隐含波动率的校准不能分开。初始期限结构可以使用uk进行拟合，但uk参数也对隐含波动率有很大影响。这可以从远期债券价格（Tk）中看出-1，Tk=expφT-t（英国）-1) - φT-t（uk）+（ψt）-t（英国）-1) - ψT-t（英国））·XTk-1., （8）这是一个随机变量，负责一个小帽的支付。驱动过程通过两个不同的渠道影响该随机变量的分布。首先是驱动过程本身的参数，其次是uk参数（取决于X和初始利率期限结构）。因此，对于收益率曲线的变化，需要不同的参数来重现相同的隐含波动率面。如果X是一个L′evy过程，则如第2节所述，ψt（u）=u，因此（8）的分布取决于差值uk+1-这反过来又与初始产量曲线的陡度有关。因此，caplet隐含波动率对初始收益率曲线的陡度特别敏感。第二，该模型的利率和波动率取决于最终期限T。在使用相同的过程X时改变视界T将导致不同的结果，并且没有通用的方法来重新调整X的参数以消除这种影响。这与直觉大相径庭，因为扩展模型的范围不应改变已包含在较短范围内的数量的结果。第三，在完全可分析的一维情况下，可能的波动面类型相当有限。

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2022-5-7 21:21:22

例如，我们只能产生波动性偏差。这与大多数有效流程类似，但最明显的是L’evy流程。Keller Ressel等人[14]的微笑示例，图9.2，使用Ornstein-Uhlenbeck过程，对于小于0.4的打击，似乎在数值上是不正确的。在提到的初始收益率曲线中，潜在利率总是大于执行利率，这对应于零隐含波动率，破坏了显示的微笑。具有实值过程的有效LIBOR模型这可以通过使用高维非负过程来解决。然而，在多维的伦敦银行同业拆借利率模型中，期权不能再通过Fourier方法有效地计算。另一方面，允许任意过程破坏了远期利率的非负性，这是伦敦银行同业拆借利率模型的核心属性。我们提出了一种修正，即在不限制非负过程的情况下保持远期利率的非负性。4.基于过滤概率空间的修正伦敦银行同业拆借利率模型(Ohm, A、（英尺）0≤T≤T、 QT）考虑一个具有固定起始值X的一维分析过程X，即（2）中定义的集合V内部包含0。为了你∈ V与-U∈ V考虑鞅Mu，Mut:=EQT[cosh（uXT）| Ft]=eφT-t（u）+ψt-t（u）Xt+eφt-t(-u） +ψT-t(-u） Xt. （9）由双曲余弦的对称性Mu=M-u、因此，人们可能会限制你使用非负性。对于给定的基调结构0<T<·TN≤ TN+1=T和第3节的市场设置确定了k=1的标准化债券价格，N和t≤ TkasP（t，Tk）P（t，t）：=Mukt，英国∈ {v∈ V:V≥ 0, -五、∈ 五} 。由于mukt是一个QT鞅，该模型是无套利的。

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kedemingshi

2022-5-7 21:21:25

每x∈ R函数u 7→ 在美国，cosh（ux）正在增加∈ R≥0和满意度（ux）≥ 1所以ifu≥ U≥ ··· ≥ 联合国≥ 0，等式（7）持有和远期利率Fk（t）=K穆克-1千吨- 1., 0≤ T≤ Tk-1.对于所有t均为非负。要获得初始市场数据，必须选择序列（uk），以便Muk=P（0，Tk）/P（0，t）。下面的引理给出了一个有效过程X的条件，在此条件下，给定的初始项结构可以被复制，并表明Ukare是唯一确定的。引理2:IfP（0，T）/P（0，T）<supu∈五：-U∈VEQT[cosh（uXT）| F]，则该模型可以拟合任何非负远期利率的期限结构。此外，还存在一个独特的递减序列u≥ ··· ≥ n，使得P（0，Tk）/P（0，T）=EQT[cosh（ukXT）| F]=Muk。如果远期利率严格为正，则序列严格为递减。证明：m（u）=EQT[cosh（uXT）|F]是一个连续函数，它严格地随u递增≥ 根据定理的假设，存在u>0，m（u）>P（0，T）/P（0，T）。一个实值过程为m（0）=1的有效LIBOR模型，证明了引理。备注：通过设置mut=E“dYl=1cosh，可以将这种方法推广到d维驾驶过程u（l）X（l）T英尺#，u=（u（1），u（d））≥ 0.在这种情况下，可以保证Mut≥ MWTFU≥ w、这保证了远期利率的非负性。然而，以下章节中的期权定价公式并不能概括。正如在单调递减序列（uk）的伦敦银行同业拆借利率模型中一样，正向利率不仅是非负的，而且由严格正的时间相关常数（可以通过数值计算）限定。

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2022-5-7 21:21:29

如果这些界限接近于零，这不是一个大问题，但必须在校准过程中进行检查。在修改后的伦敦银行同业拆借利率模型中，根据比亚迪QTkd QT=P（0，T）P（0，Tk）MukTk=MukTkMuk，对Tk远期计量qtki的计量变化。（10）这里的mukt是Xt的指数之和，而在有效LIBOR模型中，相应的项是一个指数。这意味着，与伦敦银行同业拆借利率模型相反，过程X在QTk下不是一个不均匀的过程，并且不可能计算QTk下正向债券价格对数的矩母函数。然而，我们还是有可能得到头盖和交换期权价格的分析公式。4.1. 期权定价Caplet和Swaption定价公式的推导基于Jamshidian【10】中采用的方法。首先处理头巾，然后进行交换。注意如果uk=uk-1相应的远期利率始终为零。为了排除这些病理学的例子，假设序列（uk）是严格递减的。在本节中，随机变量通常被视为驱动过程X值的函数。具体考虑函数Mut:R→ R、 x7→ Mut（x）：=eφT-t（u）+ψt-t（u）x+eφt-t(-u） +ψT-t(-u） x. （11）鞅Muin（9）的时间t值为Mut=Mut（Xt）。在本文的其余部分，我们将同时指出随机过程的功能和价值，其中正确的解释应该从上下文中明确。（k+1）thforward rate Fk+1（Tk）与strike k的caplet的支付为k+1Fk+1（Tk）- K+=P（Tk，Tk+1）-~K+=MukTkMuk+1Tk-~K！+，实际上，caplet价格与只有一个基本周期的互换期权价格一致。这两种衍生品的区别在于支付时间。具有实值过程的伦敦银行同业拆借利率模型，其中K=1+k+1K。

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2022-5-7 21:21:32

由于该支付必须在Tk+1时支付卡普莱的价格和相应的层数isCpl（t，Tk，Tk+1，K）=P（t，Tk+1）EQTk+1“mukTmuk+1Tk-~K+Ft#，Flt（t，Tk，Tk+1，K）=P（t，Tk+1）EQTk+1”~K-MukTkMuk+1Tk+英尺#。由于价格过程是鞅，看跌/看涨平价成立，caplet的价格跟随fl oorlets，反之亦然。由于付息有界的情况下，傅里叶分析更容易对浮点数进行分析，因此推导了浮点数的公式。由于ln（MukTk/Muk+1Tk）的矩母函数未知，傅里叶方法不直接适用。然而，函数x7→ MukTk（x）/Muk+1Tk（x）有一个唯一的极小值，并且从这个极小值开始单调递增。使用这个方法可以去除正的部分，并使用傅里叶反演来计算上述期望。上述单调性是非常幸运的，它源于序列（uk）的单调性和函数ψ之间的密切相互作用，以及余弦双曲线的性质。下面引理的证明中列出了细节，可以在附录中找到。引理3：对于i=1，让你≥ 用户界面≥ 0，其中至少有一个i u>ui。设ci>0为正常数。定义函数g:R→ R byg（x）：=nXi=1ciMuit（x）Mut（x）。（12）那么g在某个点ξ有一个唯一的最大值∈ R和and在ξ的左右两侧严格单调递减为0。对于FLOORLET估值，当uk>uk+1时，这个引理不直接适用，这是错误的不平等。然而，只有一个和，并且引理可以应用于逆EMUK+1Tk（x）/MukTk（x）。因此，MukTk（x）/Muk+1Tk（x）在某个点ξ处有一个唯一的最小值，并且从左到右都在增加。因此，可以写入K-MukTk（x）Muk+1Tk（x）+=~K-MukTk（x）Muk+1Tk（x）！I{κ<x<κ}，（13）其中κ和κ是满足κ的两个唯一确定的常数≤ ξ ≤ κ.

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2022-5-7 21:21:37

如果κ=ξ=κ，则收益为零，对应于MukTk/Muk+1Tk>~K。如果远期利率从下方以K为界，则会发生这种情况，这只发生在非常低的利率K。在汇率中插入（13）后，会出现一个变化，即flt（t，Tk，Tk+1，K）=P（t，Tk+1）EQTk+1”~K-MukTkMuk+1Tk！I{κ<XTk<κ}Ft#=P（t，t）EQTh■KMuk+1Tk- 穆克I{κ<XTk<κ}Fti。（14）具有实值过程的有效LIBOR模型KMuk+1Tk- MukTkis是随机变量XTk的指数和。（14）中的期望值是在测量QT下计算的，其中条件力矩生成函数mxt | Xs（z）：=EQTezXt|Fs= EQTezXt|Xs= exp（φt）-s（z）+ψt-s（z）Xs）以z而闻名∈ V.因此（14）中的期望值可以通过傅里叶反演计算。引理4给出了上述形式项的傅立叶反演公式，附录中给出了证明。引理4：假设函数f:R→ R的表达式为f（x）=XkCkevkxI{κ<x<κ}，limx↓κf（x）=limx↑κf（x）=0，其中求和是在一个有限的指数集和Ck和vkare实常数上。然后是R∈ 五、∩R傅里叶反演公式[f（Xt）|Fs]=πZ∞重新MXt | Xs（iu+R）^f（u）- （红外）duholds，其中^f是由^f（z）=izzkvk给出的解析Fouier变换- 伊兹e（vk）-iz）κ- e（vk）-iz）κ, z 6=0，z 6=-伊夫克。（15）要计算（14）中的弗勒莱价格，请将引理4应用于fKk+1（XTk）和fKk+1（x）：=~KMuk+1Tk（x）- MukTk（x）I{κ<x<κ}。（16）其傅里叶变换为^fKk+1（z）=iz(1 + k+1K）hTkκ，κ(-伊兹，英国+1）- hTkκ，κ(-伊茨（英国）（17）其中htκ，κ（z，u）：=eφT-t（u）ψt-t（u）2（z+ψt）-t（u））e（z+ψT）-t（u））κ- e（z+ψT）-t（u））κ+ eφT-t(-u） ψT-t(-u） 2（z+ψT）-t(-u） )e（z+ψT）-t(-u））κ- e（z+ψT）-t(-u））κ.（18）交换期权的情况也类似。考虑作为期限结构一部分的掉期。

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2022-5-7 21:21:40

也就是说，考虑1≤ α < β ≤ N和相应的利率互换，远期互换利率α，β（t）=P（t，tα）- P（t，tβ）Pβk=α+1kP（t，Tk），k=Tk- Tk-1.具有实值过程的有效伦敦银行同业拆借利率模型在上述掉期中，行使K的看跌期权的支付为βXk=α+1P（Tα，Tk）k（k）- Sα，β（Tα））+=P（Tα，Tβ）+KβXk=α+1kP（Tα，Tk）- 1!+=MuβTαMuαTα+βXk=α+1KkMukTαMuαTα- 1!+.因为函数MuβTα（x）/MuαTα（x）+Pβk=α+1KkMukTα（x）/MuαTα（x）是引理3的形式，它有唯一的最大值ξ，可以找到常数κ≤ ξ ≤ κ，使得在改变测量值后，一个卖出期权的值是卖出期权（t，tα，tβ，K）=P（t，t）EQThfKα，β（XTα）Fti，其中fkα，β（x）=MuβTα（x）- MuαTα（x）+βXk=α+1KkMukTα（x）！I{κ<x<κ}。（19）这也是引理4中的形式，在这个例子中是^fKα，β（z）=izhTακ，κ(-iz，uβ）- hTακ，κ(-iz，uα）+KβXk=α+1khTακ，κ(-伊茨（英国）,（20）其中，htκ，κ（z，u）在（18）中定义。定价公式总结在以下定理中。定理5：让R∈ 五、∩R.在修改后的伦敦银行同业拆借利率模型中，远期利率看跌期权和看跌期权的价格为flt（t，Tk，Tk+1，K）=P（t，t）πZ∞重新MXTk|Xt（R+iu）^fKk+1（u）- （红外）du，（21）PutSwaption（t，tα，tβ，K）=P（t，t）πZ∞重新MXTα| Xt（R+iu）^fKα，β（u- （红外）du，（22）分别在（17）和（20）中给出了R的傅里叶变换^fKk+1^fKα和β/∈分别为{0，uk，uk+1}R/∈ {0，uα，…，uβ}。与弗罗莱的情况一样，如果κ=κ，则远期掉期利率总是大于走向。注意，Sα，β（t）也可以写成Sα，β（t）=Pβk=α+1wk（t）Fk（t），wk>0（参见例如Brigo和Mercurio[2]）。因此，如果远期利率低于正常数，那么远期掉期利率也是如此。

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2022-5-7 21:21:43

这个界限最多是相应远期利率界限的平均值，因此具有相同的数量级，对于一个有意义的模型来说，这个数量级足够小。具有实值过程的伦敦银行同业拆借利率模型为了分别计算^fKα，β，必须找到函数gkk（x）：=K的根κ，κ-MukTk（x）Muk+1Tk（x），（23）gKα，β（x）：=MuβTα（x）MuαTα（x）+βXk=α+1KkMukTα（x）MuαTα（x）- 1.（24）通过引理3，这相当于找到一个函数的根，该函数只有一个最优值，并且在远离该最优值时是单调的。用数值方法确定这种性能良好的一维函数的根并不成问题。在确定了边界后，数值积分可简化为一个函数的一维积分，该函数至少下降1/x（取决于有效过程的矩母函数），因此数值积分也是可行的。请注意，除了上限、下限和互换期权外，数字期权或资产或无期权等期权也可以以类似方式计算。4.2. 示例本节第一部分介绍布朗运动的基准情况，其中所有内容也可以用封闭形式计算。然后讨论了Ornstein-Uhlenbeck过程。本节最后给出了可能的挥发性表面示例。布朗运动选择Xt=Bt，一个从0开始的标准布朗运动。条件矩母函数isMBT | Bt（u）=EeuBT |英尺= 经验uBt+u（T）- （t）.因此，这是一个φt（u）=ut和ψt（u）=u的有效过程。考虑（14）中给出的t=0的一个浮点数的时间0。自从穆特(-x） =Mut（x）发现在这种情况下，κ=κ和κ=-κ、其中，如果gKk+1（0）<0，则κ为（23）的唯一正根，否则为κ=0。

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2022-5-7 21:21:46

通过（14）FLOORLET价格Flt（0，Tk，Tk+1，K）isP（0，T）EQT~Keuk+1（T）-Tk）cosh（英国+1BTk）- 欧克（T）-Tk）科什（ukBTk）我{BTk|≤ κ}.从0E[cosh（zBt）I{| Bt|开始的布朗运动的对称性≤ κ} ]=EezBtI{| Bt |≤ κ}= EE-zBtI{| Bt |≤ κ}= 埃茨Φκ√T- Z√T- Φ-κ√T- Z√T,具有实值过程的有效LIBOR模型，其中Φ表示标准正态分布随机变量的累积分布函数。HenceFlt（0，Tk，Tk+1，K）=KP（0，T）euk+1TΦκ√Tk- 英国+1pTk- Φ-κ√Tk- 英国+1pTk-P（0，T）eukTΦκ√Tk- ukpTk- Φ-κ√Tk- ukpTk.当B被一个布朗运动所取代时，存在着稍微复杂一些的公式，布朗运动具有恒定的漂移和波动性，起始值不同于0。交换选项也可以以同样的方式处理。如果gKα、β（0）>0，则κ为（24）的唯一正根，反之则为κ=0。假设（0，Tα，Tβ，K）=P（0，T）euβTΦκ√Tα- uβpTα- Φ-κ√Tα- uβpTα- P（0，T）euαTΦκ√Tα- uαpTα- Φ-κ√Tα- uαpTα+ P（0，T）βXk=α+1K基特Φκ√Tα- ukpTα- Φ-κ√Tα- ukpTα.Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程由L’evy过程L生成的OU过程X被定义为（见Sato[16]，第17节）dXt=-λXtdt+dLt，X=X.（25），然后Yt:=eλtXt=X+RteλsLsds。使用Eberlein和Raible[6]的关键公式，可以得出如下结论：尤克斯= 进出口E-λtuYti=expE-λtux+Ztκ（e-λsu）ds,其中，κ（u）=ln（E[L]）是L′evy过程L的累积量母函数。而这个过程是一个ψt（u）=E的函数-λtu和φt（u）=Ztκ（e）-λsu）ds=λZe-λtκ（vu）vdv。（26）根据杜菲等人[4]中的推论2.10，每个状态空间为R的过程实际上都是一个输出过程。因此，在实线定义的有效流程中，OU流程是需要考虑的正确类别。为了应用，应该可以用解析法计算（26）中的积分。

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2022-5-7 21:21:50

下面给出了两个可能的例子。备注：如果L是一个鞅，那么（25）中的过程是均值归零，但是通过使用Zt=θ+Xt可以很容易地将均值移到θ。那么dZt=λ（θ- Zt）dt+dLtandE尤兹特= 经验（φt（u）+θu（1）- E-λt））+ψt（u）Z.具有实值过程Z的LIBOR模型也是一个具有ψθt（u）=ψt（u）和φθt（u）=φt（u）+θu（1）的LIBOR模型- E-λt）。注意，该过程随后由L’evy过程Lt=Lt+θλt生成，即原始L’evy过程加上θλ的额外漂移。第一个例子是由布朗运动σB生成的经典OU过程，其中κ（u）=σu。这个过程用dxt=-λXtdt+σdBt，X=X，（26）中的积分是φt（u）=λZe-λtκ（vu）vdv=σu4λ（1）- E-2λt）。（27）布朗运动描述了L’evy过程的连续部分。，对于第二个例子，我们考虑一个纯跳跃过程，即双Γ-OU过程。Γ-OU过程由跳跃强度为λβ（λ与（25）相同）的复合泊松过程和期望值为α的指数分布跳跃生成。这个过程的极限分布是Γ分布，它给这个过程起了名字。当生成复合泊松过程严格增加时，生成的Γ-OU过程是一个从属过程，并且保持在0以上。为了找到具有R值的OU过程，考虑两个独立化合物Γ-OU过程L+，L的差异-参数为α+，β+，α-, β-设置λ+=λβ+，λ-= λβ-. 那么L=L+- L-是一个复合泊松过程，其中具有预期跳跃大小α+的正跳跃到达速率λ+，而具有预期跳跃大小α的负跳跃到达速率λ+-到达率λ-.指数跳跃复合泊松过程的累积量母函数λβuα-u、定义为u<α。

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2022-5-7 21:21:55

因此对你来说∈ (-α-, α+）组合过程的矩母函数euL= EheuL+iEhe-uL-i=expλ(β++ β-)u+（β+α）-- β-α+u（α）+- u）（α）-+ u）.将其插入（26）简单的计算中，结果ou过程的函数φ由φt（u）=β++β给出-自然对数(α+- E-λtu）（α-+ E-λtu）（α+- u）（α）-+ u）+β+- β-自然对数(α+- E-λtu）（α-+ u）（α）+- u）（α）-+ E-λtu）.（28）通过考虑由L’evy过程生成的OU过程，也可以将这两种方法结合起来，L’evy过程是两个复合泊松过程加上布朗运动的不同，所有这些过程都是独立的。然后，将两个函数（27）和（28）相加，得到φ，对于这个过程，V={u∈ C:-α-< Re（u）<α+}。通过前面的注释，也可以将这个过程移动θ。下面的数值例子中使用了这样的OU过程。具有实值过程的有效LIBOR模型0。020.030.040.050.060.071.52.02.53.03.54.04.55.00.100.150.200.250.30罢工图1：参数λ=0.02，α+=12，α的OU过程产生的CAPlet的隐含波动率偏差-= 10, β+= 50, β-= σ=0.3，θ=0.5，x=0.7，T=10。波动性表面通过上一节的OU过程，可以产生波动性微笑和波动性偏差。为了便于说明，我们考虑利率为3.5%的期限结构。期限结构和远期利率均以半年为基础。然后计算5年期内成熟度为0.02至0.07的小囊的隐含波动率。图1显示了一个扭曲的波动率表面，而图2显示了一个非常明显的微笑，这两个微笑都是由刚刚引入的OU过程产生的。如前几章所述，这类模型中的远期利率将从下方限定。

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2022-5-7 21:21:58

这些例子中的界限是半年后到期的远期利率为1%，5年后到期的远期利率基本上为0%。因此，它们在合理的范围内。为了完整性起见，图3显示了到期日和基础掉期利率在2至7年之间的掉期期权的现金隐含波动率示例。结论经典利率市场模型不能同时考虑caplet和swoptions的半解析定价公式，也不能保证非负利率。一个例外是Keller-Restel等人[14]提出的有效伦敦银行同业拆借利率模型。本文修改了他们的方法，也考虑了不一定是非负的驱动过程。Caplet和swaption估值可以通过一维数值积分实现。这允许快速计算这些类型的利率衍生品的隐含波动率。借助实值波动过程的额外灵活性，这种模型能够生成倾斜的隐含波动性曲面以及带有明显微笑的隐含波动性曲面。具有实值过程的有效LIBOR模型0。020.030.040.050.060.071.52.02.53.03.54.04.55.00.100.150.200.250.30罢工图2：参数为λ=0.02，α+=50，α的OU过程产生的小股隐含波动率微笑-= 5, β+= 50, β-= 10，σ=0，θ=0，x=1和T=10.234567823456780.100.150.200.250.300.350.40Swaption ExpireySwap Length图3：参数λ=0.02，α+=12，α的OU过程产生的Swaption隐含挥发物-= 10, β+= 50, β-= σ=0.3，θ=0.5，x=0.7，T=10。具有实值过程的伦敦银行同业拆借利率模型A。

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kedemingshi

2022-5-7 21:22:03

引理3的证明：对于函数f（x），用fe（x）=（f（x）+f表示其奇偶部分(-x）），fo（x）=（f（x）- f(-x））。注意，如果f是单调递增的，那么fo也是如此。然后（11）可以写为mut（x）=eφT-t（u）+ψt-t（u）x+eφt-t(-u） +ψT-t(-u） x= eφeT-t（u）+ψeT-t（u）xcosh（φoT）-t（u）+ψoT-t（u）x）和muit（x）Mut（x）=e（φeT-t（用户界面）-φeT-t（u））+（ψeT-t（用户界面）-ψeT-t（u））xcosh（φoT-t（ui）+ψoT-t（ui）x）cosh（φoT-t（u）+ψoT-t（u）x）。（29）如果ui=u，则（29）是常数，对单调性或最大值没有影响。因此，从现在起，假设所有i的函数u>ui。方程（12）的函数g可以写为g（x）=nXi=1ciaeeaixcosh（Bi+bix）cosh（B+bx），其中对于i=0，nAi=（φeT）-t（用户界面）- φeT-t（u）），Bi=φoT-t（ui），ai=（ψeT）-t（用户界面）- ψeT-t（u）），bi=ψoT-t（用户界面）。因为ψ是单调递增的（见引理1），所以ψois也是单调递增的。当ψo（0）=0时，bi≥ 0表示所有i。此外，请注意ai<b- biis等价于ψT-t（ui）<ψt-t（u）和-ai<b- Bi等价于ψT-t(-u） <ψT-t(-用户界面）。自CEU>ui≥ ψ的单调性产生|ai |<b- 毕。（30）一个基本的计算公式是：sg（x）=cosh（B+bx）nXi=1cieaixfi（x），其中fi（x）=aicosh（Bi+bix）cosh（B+bx）+bisinh（Bi+bix）cosh（B+bx）- bcosh（Bi+bix）sinh（B+bx）。具有实值过程的有效LIBOR模型fiisfi（x）=bicosh（B+bx）的导数aisinh（Bi+bix）+（Bi- b） cosh（Bi+bix）+bcosh（Bi+bix）aisinh（B+bx）+（bi）- b） cosh（b+bx）.（31）使用（30）（31）中每行括号内的术语严格小于|ai |（sgn（ai）sinh（Bj+bjx）- cosh（Bj+bjx））≤ 0，（j=i，0）。最后一个不等式成立，因为cosh（x）±sinh（x）≥ （31）中括号外的术语均为正值。因此f≥ 0，且函数单调递减。用（30）简单计算表明→-∞fi（x）=∞ 还有limx→∞fi（x）=-∞.

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2022-5-7 21:22:07

由于所有i的ci>0，因此pni=1ciaeixfi（x）也是如此。因此，g有一个最大值，并且从左到右递减。g（x）≥ 0，然后再次使用（30）limx→∞g（x）=limx→-∞g（x）=0。引理4:f的证明是紧支撑连续的。因此，扩展的fourier变换^f（z）=RRf（x）e-izxdx适用于所有z∈ C是分析型的。对于z 6=0，z 6=-ivk，由^f（z）=zκe给予-Izzf（x）dx=izZκe-izxf（x）dx=izxkvk- 伊兹e（vk）-iz）κ- e（vk）-iz）κ.自^f（u- iR）=O（u-2）对于固定R，它是绝对可积的。通过傅里叶逆变换f（x）=2πZIm（z）=-Reizx^f（z）dz=2πz∞重新e（iu+R）x^f（u）- （红外）du，其中最后一个方程来自f是实值且对称性^f（z）=^f的事实(-z）。真诚的|e（iz+R）Xt | | Fs|^f（z）| dz=MXt | Xs（R）R |^f（z）| dz是有界的，如果R∈ 五、∩ R、条件期望和积分可以互换。参考文献[1]菲舍尔·布莱克。商品合同的定价。《金融经济学杂志》，3（1-2）：167-1791976年。[2] 达米亚诺·布里戈和法比奥·马库里奥。利率模型——理论与实践：利率、通货膨胀和信贷（斯普林格金融）。斯普林格，第二版，2006年。[3] Christa Cuchiero和Josef Teichman。一般状态空间上单进程的路径性质和正则性。在S’eminaire de Probabilit’es XLV中，数学课堂讲稿，第201-244页。斯普林格国际出版社，2013年。[4] 达雷尔·杜菲、达米尔·菲利波维奇和沃尔特·沙切梅耶。一套财务流程和应用。《应用概率年鉴》，13:984-1053，2003年。具有实值过程的有效LIBOR模型[5]Ernst Eberlein和Fehmi–Ozkan。列维伦敦银行同业拆借利率模型。《金融与随机》，9（3）：327-3482005。[6] 恩斯特·埃伯林和塞巴斯蒂安·雷布尔。由一般L’evy过程驱动的期限结构模型。数学金融，9（1），1999年。[7] 达米尔·菲利波维奇。时间非均匀过程。

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