LIBOR模型的统一视图

2022-5-10 14:03:54

伦敦银行同业拆借利率模型的统一视图斯卡特林·格拉、佐拉纳·格巴克和安东尼斯·帕帕潘托洛纳摘要。我们提供了一个统一的框架来建模伦敦银行同业拆借利率，使用一般半鞅作为驱动过程，并使用一般函数形式来描述动态的演变。我们推导了模型无套利且易于验证的充分条件，以及LIBOR利率在相应远期测度下为真鞅的充分条件。我们将讨论何时也需要这些条件，并对进一步的理想性质进行评论，例如导致分析可处理性和速率正性的性质。该框架允许在一个框架下考虑文献中的几种常见模型，如布朗运动或跳跃过程驱动的伦敦银行同业拆借利率市场模型、列维远期价格模型以及伦敦银行同业拆借利率模型。此外，我们得出了有关伦敦银行同业拆借利率模型的结构性结果，并特别表明，只有远期价格是驱动过程的指数函数的模型，才能在不同的远期措施下保持其结构。1.简介伦敦银行同业拆借利率和欧洲银行同业拆借利率是全球最重要的利率之一。这些利率由一个银行小组每日确定，适用于多个到期日，而伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）也适用于多个到期日。伦敦银行同业拆借利率和欧洲银行同业拆借利率作为大量金融交易的基础利率。2012年，以伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）为参考的合同未偿价值估计约为300万亿美元；见惠特利（2012）。

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2022-5-10 14:03:57

因此，为公平计算伦敦银行同业拆借利率和欧洲银行同业拆借利率制定适当的政策和法规，以及为公平评估利率产品建立数学模型，对金融业至关重要，也符合公众利益。由于建模对象的高维性，LIBOR和EURIBOR利率的动态建模是一项具有挑战性的任务。从建模的角度来看，利率和股票价格之间的主要差异在于，一旦忽略了买入价和卖出价之间的差异，股票价格在每个时间点都被视为单一价值，而利率在几个到期日的每个时间点都被观察到。此外，这些不同的利率（针对不同的到期日）是相互依赖的。他们的联合建模是必不可少的，因为他们已经共同进入了基本利率衍生品作为基础利率。此外，不同时期长度的利率不能再从简单的无套利关系中推导出来。2010年数学学科分类。91G30，60G44。关键词和短语。伦敦银行同业拆借利率，远期价格，半鞅，伦敦银行同业拆借利率市场模型，列维远期价格模型，有效的伦敦银行同业拆借利率模型。感谢PROCOPE项目“转型中的金融市场：数学模型与挑战”和欧洲金融研究所项目“后危机时代利率市场”提供的资金支持。2 K.GLAU、Z.GRBAC和A.Papapantoleonided指出，2007-2009年的金融危机从根本上改变了市场参与者对银行间部门风险的态度，特别是交易对手风险和流动性风险，这对不同贷款期的伦敦银行同业拆借利率有直接影响；例如，参见菲利波维奇和特罗尔（2013）。

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2022-5-10 14:04:00

综上所述，伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）建模对以无套利的方式联合建模不同到期日和每一期的利率提出了挑战，从而得出的定价公式能够快速准确地计算所有流动性衍生品，如上限和互换期权。在这项工作中，我们为文献中一些最重要的现有LIBOR模型提供了统一的数学基础。在此基础上，我们对伦敦银行同业拆借利率进行了有价值的结构性建模。特别是，我们推导了强制模型特征有效性的充分条件，如无套利性和调查方法，这些特征通常支持计算简便性。byBrace、G,atarek和Musiela（1997年）以及Miltersen、Sandmann和Sondermann（1997年）的半文献介绍了LIBOR市场模型（LMM），也被称为BGM模型。该模型的知名度当然至少在一定程度上要归功于BGM模型复制了市场标准布莱克的上限公式。此外，Musiela和Rutkowski（1997）提出的LMM中LIBOR利率的后向构造已被证明是可扩展的，超出了布朗运动的模型。Eberlein和¨Ozkan（2005）的文章介绍了由跳跃过程驱动的第一个Libor模型之一，并提出了由Levy驱动的forwardprice模型。提出了一般半鞅驱动的LIBOR模型。在利率建模中，jum p过程有几个优点。首先，与股票价格建模一样，它们的分布灵活性允许更好地捕捉对数回归的经验分布，例如，见Eberlein和Kluge（2006a；2006b）。

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mingdashike22

2022-5-10 14:04:04

其次，对不同到期日的利率进行联合建模的传统方法是，为每个到期日引入多维布朗运动的一个组成部分，以便为每个风险源引入一个随机因素。相比之下，具有有限跳跃活动的L’evy过程引入了大量风险源，已经是一个一维过程。在这方面，跳跃过程显示出其潜力，可以降低定价和套期保值相关计算问题的维度。然而，它们也带来了新水平的技术挑战，尤其是前向测量之间的测量变化变得更加复杂，而后向施工通常需要更复杂的测量。此外，LIBOR市场模型对随机波动性的各种扩展也出现在文献中，参见Wu和Zhang（2006）、Belomestny、Mathew和Scho-enmakers（2009）以及Ladkau、Schoenmakers和Zhang（2013）。最近，inKeller Ressel、Papapantoleon和Teichmann（2013）提出了一种基于单一正向测量（终端测量）的建模方法，该方法基于一个有效的过程。我们参考ChoenMakers（2005）和Papapantoleon（2010）对建模方法和现有文献的概述。

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2022-5-10 14:04:07

关于危机后的伦敦银行同业拆借利率模型，我们参考了比安切蒂和莫里尼（2013年）以及GRBAC和伦格尔迪耶（2015年）。鉴于LIBOR模型在当今文献中已经达到了高度的技术成熟度，以及它们面临的新需求，我们对LIBOR模型提出了一个抽象的观点，以便获得：LIBOR模型的统一视图3o对不同建模方法的统一视图，如LIBORmarket模型，列维远期价格模型和伦敦银行同业拆借利率模型透明的条件保证：o 债券价格的积极性和无套利性——基本模型要求；o 远期价格在其相应的向前度量下的马丁尼性，这为改变计分方法和易于操作的定价公式铺平了道路；o 在不同的远期措施下，结构保护的一个特点是有利于改变计分法进一步理想的模型属性的有效性，这些属性导致分析上可处理的模型。本文的结构如下：在第二节中，我们介绍了主要的建模对象，形式化了模型公理，以及需要计算可处理性的模型属性。在第三节中，我们提供了两种基于一般半鞅和一般函数形式的利率演化的一般建模方法，并推导了模型无轨道和远期价格过程在相应的远期测度下一致可积鞅的充分条件；建筑业对碳d价格持积极态度。

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2022-5-10 14:04:10

在此基础上，我们确定了暗示伦敦银行同业拆借利率为正并确保计算可操作性的条件。作为另一个有趣的发现，我们表明，在不同的远期测度下，基本上只有远期价格过程是半鞅函数的指数的模型是保结构的。在第4节中，我们以通用建模框架的名义提出了几个IBOR模型，并研究了导致进一步重要模型特征的有效条件。最后，附录中给出了半马丁-盖尔理论所需的结果。2.公理和可重复属性集(Ohm, F=英尺*, F=（英尺）t∈[0，T*], PN）表示Jaco d和Shiryaev（2003，定义I.1.3）意义上的完全随机基，其中*表示一个完整的时间范围。考虑一个离散的结构T:={0=T<…<TN≤T*} δk=Tk- Tk-1对于k∈ K:={1，…，N}，定义K:=K\\{N}。我们假设到期日为T的零息债券，t在市场上交易，用B（t，Tk）表示到期日为Tk的零息债券的时间t价格，对于所有k∈ K.我们将基准对（B（·，Tk），Pk）与每个日期Tk相关联，这意味着基准B（·，Tk）贴现的债券价格是所有K的Pk-lo-cal鞅∈ 这些测度称为前向（鞅）测度。此外，让Mlo c（P）d enote关于测度P的局部鞅集。由L（t，Tk）表示的远期伦敦银行同业拆借利率是在时间t为未来应计区间[Tk，Tk+1]确定的离散复合利率。它与债券价格（t，Tk）=δk有关B（t，Tk）B（t，Tk+1）- 1., T∈ [0，Tk]，（2.1）4K.GLAU，Z.GRBAC和A.Papapantoleon代表K∈K.远期价格过程F（·，Tk，Tn）定义如下F（t，Tk，Tn）=B（t，Tk）B（t，Tn），t∈ [0，Tk∧ Tn]，（2.2）对于所有k，n∈ K

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2022-5-10 14:04:19

远期汇率L（t，Tk）和远期价格F（t，Tk，Tk+1）通过（t，Tk，Tk+1）=1+δkL（t，Tk）连接。（2.3）我们将在续集中描述LIBORmodels应该具备的几个公理和性质，以便一方面具有经济意义，另一方面也适用于实践。特别是，我们将区分三组不同的属性。FIRS t团队由必要的公理组成，这些公理是建立健全财务模型所必需的。它们是：（A1）债券价格为正，即所有k的B（·Tk）>0∈ K（A2）该模型是无套利的，即B（·Tk）B（·TN）∈ 所有k的Mlo c（PN）∈ K.第一条公理是正确的，因为债券价格是具有正效用的交易资产，因此应该具有正价格。第二个公理排除了套利机会的存在，可以在任何远期措施下等价地表述，即该模型是无套利ifB（·Tk）B（·Tn）∈ 所有k的Mlo c（Pn）∈ K和一些n∈ K另见索穆西埃拉和鲁特科夫斯基（2005，§14.1.3）和克莱因、施密特和泰奇曼（2015）。第二组由可处理性属性组成，简化了模型中的计算。在几种可能的选择中，我们将集中于以下几点：（B1）远期价格是真鞅，即B（·，Tk）B（·，TN）∈ M（PN）代表所有k∈ K.（B2）该模型是结构保持的，即驱动过程的半鞅特征在前向测度下以确定性方式转换。（B3）每个伦敦银行同业拆借利率在其相应的前向测度下是一个马尔可夫过程。（B4）初始伦敦银行同业拆借利率是直接的模型输入。这些性质不是建立无套利模型所必需的，但在几个方面非常方便。第一个属性允许将期权价格计算为条件预期，并通过密度过程关联远期指标。

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2022-5-10 14:04:22

因此，通过改变为更方便的远期计量，可以大大简化几种期权定价公式。第二个属性是，在每个远期指标下，驱动每个伦敦银行同业拆借利率的过程保持在同一类过程中。此外，（B1）与（B2）相结合通常可以推导出封闭形式或半解析式的液体产品定价公式，如caps和Swaption。（B3）还允许s简化某些期权定价问题，并使用PDE方法。此外，如果初始期限结构是模型中的一个直接输入，即（B4）成立，则我们避免使用数字程序来确定当前观察到的债券价格。最后，我们还讨论了以下模型性质：（C）伦敦银行同业拆借利率总是非负的。LIBOR模型的统一观点5直到最近的金融危机，LIBOR利率一直是非负的，因此利率变为负的可能性被认为是模型的一个缺点。因此，设计了几种伦敦银行同业拆借利率模型，以产生负伦敦银行同业拆借利率。如今，所报的伦敦银行同业拆借利率处于极低水平，甚至在更长的时间段内报告了几个期限的负伦敦银行同业拆借利率，这促使我们在建模时考虑到这一点。因此，重要的是要知道哪些模型允许负利率，以及哪些现有的正利率模型可以进行调整，以允许利率低于零。此外，用于构建非负伦敦银行同业拆借利率的技术通常可以用于建模其他相关的非负数量，例如多曲线模型中的利差。3.

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2022-5-10 14:04:25

LIBOR模型的统一构造——LIBOR利率演变的LSM模型在文献中使用后向归纳法构建，在后向归纳法中，利率在不同的前向测度下连续指定，或者通过在一个测度（通常是终端前向测度）下同时建模所有利率。前一种方法已用于构建伦敦银行同业拆借利率市场模型和远期价格模型，而后者则用于构建伦敦银行同业拆借利率模型和马尔科夫函数模型。本节的目的是通过强调这两种方法的共同特征，来实现银行间同业拆借模型的统一构建。3.1. 通过反向归纳法建模速率。本小节的目的是制定有效条件，并使用反向归纳法给出LIBOR（市场）模型的一般构造。驱动过程是一般的半鞅，动力学的函数形式也是一般的。Musiela和Rutkowski（1997）的以下主要观察结果是通过反向归纳法得出的结构的核心：oLI-BOR率（L（·，Tk））k的模型∈如果L（·，Tk）是所有k的Pk+1-lo-cal鞅，则Kis套利自由度∈K.o前瞻性措施（Pk）K∈通过氡Nikodympk导数dpkdpk+1=1+δkL（Tk，Tk）1+δkL（0，Tk）与所有k相关∈K.（3.1）因此，为了构建伦敦银行同业拆借利率模型，必须指定伦敦银行同业拆借利率L（·Tk）本身或远期价格过程F（·Tk，Tk+1）=1+δL（·Tk）对所有K的动态∈这两个选项也决定了（3.1）中的密度。我们的构造基于为远期价格过程的动力学指定一个指数半鞅，其函数形式如下：F（·，Tk，Tk+1）=efk（·，X），（3.2），其中fkare函数用于每个k∈K和X是半鞅。

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2022-5-10 14:04:28

该方法通过选择合适的FK和X构建LIBOR市场模型和远期价格模型，将在第3节中讨论。6 K.GLAU，Z.GRBAC和A.Papapantoleon考虑了Rd值半鞅X=（Xt）0≤T≤特农(Ohm, F、 F，PN）函数的anda集合fk：[0，TN]×Rd→ R代表所有k∈满足以下假设的函数K：（LIP）函数fk属于C1,2（[0，TN]×Rd）且全局为Lipschitz，即| fk（t，x）- fk（t，y）|≤ Kk | x- y |，每t∈ [0，TN]和任何x，y∈ Rd，其中Kk>0是一个常数。（INT）过程X是在PN下具有绝对连续特征（bN，cN，FN）的Rd值半鞅，因此以下条件保持tnzzrdn | X |{X|≤1} 对于某些常数C，C>0和dk=PN，t（dx）dt<C（3.3）和tnzkcntkdt<C，（3.4）-1k=1k。我们用k·k表示Rd上的欧氏范数，用h·i表示相关的标积。备注3.1。前向测度pki下半鞅X的特征三元组用（bk，ck，Fk）表示，而截断函数总是可以选择恒等式（即h（X）=X），因为（3.3）。此外，我们使用标准惯例= 0和Q= 1.定理3.2。考虑一个Rd值的半鞅X和函数FK，使得每个k的假设（LIP）和（INT）都满足∈K.假设远期价格过程通过f（t，Tk，Tk+1）=efk（t，Xt），t建模∈ [0，Tk]，（3.5），且以下漂移条件满足hdfk（t，Xt-), bNi=-ddtfk（t，Xt-) -dXi，j=1Dijfk（t，Xt-)（cNt）ij-hDfk（t，Xt-), cNtDfk（t，Xt-)我-N-1Xj=k+1hDfk（t，Xt-), cNtDfj（t，Xt-)i（漂移）-ZRdnefk（t，Xt）-+十）-fk（t，Xt）-)- 1.×N-1Yj=k+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)- hDfk（t，Xt-), xioFNt（dx）每个k的LIBOR模型的统一视图∈“好的。

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2022-5-10 14:04:32

然后，度量值（Pk）k∈`Kde定义的viadPkdPk+1=efk（Tk，XTk）efk（0，X）（3.6）是等价的向前度量，远期价格过程f（·Tk，Tk，Tk+1）是关于Pk+1的每k的一致可积鞅∈K.特别是模型（F（·，Tk，Tk+1））K∈“-Kis无套利和满足公理（A1）和（A2），以及财产（B1）。证据这种说法是通过反向归纳法证明的，其动机是伦敦银行同业拆借利率和远期价格模型的反向构造。第一步：我们从远期价格过程F（·，TN）开始-1，TN）谁是动力-1，TN）=efN-1（t，Xt），t∈ [0，TN-1] ，并检查其在PN措施下的性能。功能fN-1满意度（LIP）和p过程X满意度（INT），因此流程fN-1（·，X）是一个由命题a构成的指数特殊半鞅。2.利用命题A.1，我们得到了F（·，TN）-1，TN）是PN局部鞅，如果以下条件成立：hDfN-1（t，Xt）-), bNi=-ddtfN-1（t，Xt）-) -dXi，j=1DijfN-1（t，Xt）-)（cNt）ij-hDfN-1（t，Xt）-), cNDfN-1（t，Xt）-)i（3.7）-ZRdefN-1（t，Xt）-+十）-fN-1（t，Xt）-)- 1.- hDfN-1（t，Xt）-), xiFNt（dx），实际上是k=N的（漂移）- 1.此外，提案A.2允许F（·，TN-1，TN）是偶数PN一致可积鞅。因此，我们可以使用F（·，TN）-1，TN）作为确定测量PN的密度过程-1viadPN-1dPNF·=F（·，TN）-1，TN）F（0，TN-1，TN）=efN-1（·，X）efN-1（0，X），以及过程X在测量PN下的特性-1由BN提供-1t=bNt+cNtDfN-1（t，Xt）-)+ZRdefN-1（t，Xt）-+十）-fN-1（t，Xt）-)- 1.xFNt（dx）中国-1t=cNtFN-1t（dx）=efN-1（t，Xt）-+十）-fN-1（t，Xt）-)FNt（dx）；参见Lemma。4.8 K.GLAU、Z.GRBAC和A。

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2022-5-10 14:04:35

接着，我们通过考虑“下一步”的前向过程来向后推进-2，田纳西州-1）有动力（t，TN）-2，田纳西州-1） =efN-2（t，Xt），t∈ [0，TN-2] ，（3.8）并验证其是否符合（LIP），（INT）和（漂移）PN-1-一致可积鞅。因此，它可以作为密度过程来确定测量PN-2.接下来，我们给出了反向归纳法的一般步骤。一般步骤：让k∈ {1，…，N- 1} 确定并考虑流程X、功能fk+1等，fN-1和测量值Pk+1，通过DPK+1dPk+2递归定义的PnF·=F（·，Tk+1，Tk+2）F（0，Tk+1，Tk+2）=efk+1（·，X）efk+1（0，X）。假设远期价格过程F（·，Tl，Tl+1）已根据（3.5）建模为指数半鞅，并且对于所有l∈ {k+1，…，N- 1}. 通过反复使用lemma。4.我们推导了X的Pk+1-ch特征，其形式为BK+1t=bNt+cNtN-1Xj=k+1Dfj（t，Xt-)+ZRdN-1Yj=k+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)- 1.xFNt（dx）ck+1t=cNt（3.9）Fk+1t（dx）=N-1Yj=k+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)FNt（dx）。现在，远期价格过程F（·，Tk，Tk+1）与dynamiccsf（t，Tk，Tk+1）=efk（t，Xt），t∈ [0，Tk-1] 如果下列条件成立，则为Pk+1-lo-cal鞅-), bk+1i=-ddtfk（t，Xt-) -dXi，j=1Dijfk（t，Xt-)（ck+1t）ij-hDfk（t，Xt-), ck+1Dfk（t，Xt-)i（3.10）-ZRdefk（t，Xt）-+十）-fk（t，Xt）-)- 1.- hDfk（t，Xt-), xiFk+1t（dx）；参见命题A。1.通过将（3.9）替换为（3.10），经过一些简单的计算，我们发现后者相当于（漂移）条件。我们还可以验证命题A.2中的条件（A.4）和（A.5）是否适用于满足（LIP）的函数FK和满足（INT）的过程X。LIBOR模型9的统一视图的确，我们有Tnzkck+1tkdt=TNZkcNtkdt<C，因此条件（A.5）成立。

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2022-5-10 14:04:39

此外，使用（LIP）和（INT）我们得到了thatTNZZRd（|x）|∧ 1） Fk+1t（dx）dt+TNZZ | x | eKk | x | Fk+1t（dx）dt=TNZZRd（| x|∧ 1） N-1Yj=k+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)FNt（dx）dt+TNZZ | x |>1 | x | eKk-1 | x | N-1Yj=k+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)FNt（dx）dt≤TNZZRdn（|x|∧ 1） ePN-1j=k+1Kj | x |+1{| x |>1}| x | ePN-1j=kKj | x | of nt（dx）dt≤ const·TNZZRdn | x |{124; x|≤1} +|x | eK |x |{|x |>1}oFNt（dx）dt<C，其中倒数第二个等式成立，因为指数函数在单位超立方体中有界，且Lipschitz常数为正。因此，条件（A.4）也成立。T hus，P位置A.2在过程fk（·，X）上产生th是指数特殊的，远期价格过程F（·，Tk，Tk+1）是Pk+1-一致可积鞅。因此，正如在前面的步骤中一样，我们可以使用Pk+1-uniformlyintegrable鞅fk（·X）来定义度量PkviadPkdPk+1F·=F（·，Tk，Tk+1）F（0，Tk，Tk+1）=efk（·，X）efk（0，X）。然后，我们可以用引理计算X的Pk特征。4.考虑“下一步”远期价格过程-1，Tk=efk-1（·，Xk）-1).这个过程产生了一个无套利的半鞅模型，适用于远期价格过程，因此也适用于伦敦银行同业拆借利率，如果（漂移）条件适用于每个k∈最后，我们可以很容易地证明测度Pk确实是向前测度，即B（·Tl）/B（·Tk）是所有1的Pk鞅≤ k、 l≤ N.这直接遵循ACO d和Shiryaev（2003）中的命题III.3.8，使用ATB（·，Tl）B（·，Tk）dPkdPl+1=efl（·，X）10 K.GLAU，Z.GRBAC和A.Papapantoleon，后者是Pl+1-鞅。备注3.3。让我们指出，虽然远期价格过程的真正鞅性质不是保证不存在套利的必要条件，但它是定义远期测度和通过反向归纳构建模型所必需的。

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kedemingshi

2022-5-10 14:04:42

除此之外，远期指标在结构间模型中起着至关重要的作用，因为它们允许推导出利率衍生品的易于处理的公式。事实上，导数定价正向测度的主要优势在于，我们可以避免联合分布上的多维积分的数值计算。备注3.4。如果需要，我们可以假设≥ N- 1为了确保至少与远期定价过程的数量一样多的驱动因素。此外，通过对函数的适当选择，我们可以选择驱动某一远期价格过程的X分量。例如，见第4节。1.我们与一个-一维过程X，设置fk（X）=^fk（xk），对于X=（X，…，xN-1）和^fk:R→ R、即，每个远期价格过程由过程X.3.2的不同部分驱动。终端测量下的建模速率。构建远期伦敦银行同业拆借利率的模型f，或等效的远期价格过程的另一种可能性是，从期限结构中的远期债券价格B（·TN）的远期价格过程家族开始，即对于所有k，f（·Tk，TN）=B（·Tk）B（·TN）∈K，并在同一度量下同时对其建模，通常为终端正向度量PN。

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2022-5-10 14:04:45

与上一节类似，该构造基于为远期价格过程指定指数半鞅动力学，函数形式为F（·Tk，TN）=egk（·Xk），（3.11），其中gk是合适的函数，Xkare是d维半鞅，fork∈考虑一组Rd值半鞅Xk=（Xkt）0≤T≤特农(Ohm, F、 F，PN）和函数的集合gk:[0，TN]×Rd→ R代表所有k∈满足以下假设的函数K：（LIP′）函数gk属于C1,2（[0，TN]×Rd），全局为Lipschitz，即| gk（t，x）- gk（t，y）|≤~Kk | x- y |，每t≥ 0和任意x，y∈ Rd，其中Kk>0是一个常数。（INT′）过程Xkis是在PN下具有绝对连续特征（bk，N，ck，N，Fk，N）的Rd值半鞅，使得以下条件保持tnzzrdn | x |{x|≤1} +|x | e | Kk | x |{x |>1}OF k，Nt（dx）dt<| Ck（3.12）LIBOR模型的统一视图11和TNZKCK，Ntkdt<| Ck，（3.13）对于某些常数| Ck，| Ck>0。回想一下，截断可以通过标识来选择。定理3.5。考虑Rd值半鞅xk和fu-nc，假设（LIP′）和（INT′）对每个k都是满足的∈K.假设远期价格过程是通过（t，Tk，TN）=egk（t，Xkt），t建模的∈ [0，Tk]，（3.14），且以下漂移条件满足hdgk（t，Xkt-), bk，Nti=-ddtgk（t，Xkt-) -dXi，j=1Dijgk（t，Xkt-)（ck，Nt）ij-hDgk（t，Xkt）-), ck，NtDgk（t，Xkt-)i（漂移‘）-ZRdegk（t，Xkt）-+十）-gk（t，Xkt）-)- 1.- hDgk（t，Xkt）-), xiFk，Nt（dx），适用于所有k∈那么，对于所有K，远期价格过程是关于终端远期测度PN的一致可积鞅∈K.特别是，该模型是无套利的，满足公理（A1）和（A2）以及属性（B1）。证据与定理3的证明相比，这个证明更简单。2因为我们只在终端测量PN下工作。

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mingdashike22

2022-5-10 14:04:48

此外，我们还可以对每一个k同时进行所有正向p水稻过程F（·，Tk，TN）∈更准确地说，为了所有的K∈K函数gksaties（LIP′）和过程xksaties（INT′），因此过程gk（·Xk）是命题a的一个指数特殊半鞅。2.利用命题A.1，借助于（漂移′）条件，我们得到F（·Tk，TN）是一个PN局部鞅。此外，命题A。2得出F（·，Tk，TN）实际上是PN一致可积函数。备注3.6。在这个构造中，我们可以使用一个半鞅族Xk，k∈K，其中每个远期价格过程由不同的半鞅驱动。这是可能的，因为我们不必像我们在落后建设中那样进行计量变更，因为所有的远期价格过程都是在一个共同的计量下建模的。因此，在这个阶段，我们不需要知道过程xk之间的依赖结构，这在应用Girsanov定理时是必要的。然而，对于定价过程，以及连接反向和终端测量结构，我们回到一个公共值驱动过程X，其组件之间的依赖结构显然是完全已知的。当然，可以选择流程X的维度，使每个速率由流程的不同部分驱动；与Remark3相比。4.12 K.GLAU、Z.GRBAC和A.Papapantoleon备注3.7。基于（3.11），我们可以直接推导出远期价格过程F（·，Tk，Tk+1）和远期伦敦银行同业拆借利率L（·，Tk）的动力学∈K.使用1+δL（·Tk）=F（·Tk，Tk+1）=F（·Tk，TN）F（·Tk+1，TN），我们得到了1+δL（·Tk）=F（·Tk，Tk+1）=egk（·Xk）-gk+1（·，Xk+1）。（3.15）备注3.8。假设（LIP′）和（INT′）足以产生无风险的伦敦银行同业拆借利率系列，但它们绝非必要。

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2022-5-10 14:04:52

事实上，我们可以通过假设函数gk满足（LIP′）和过程xk具有指数矩来稍微削弱它们。然后，前面的定理产生了一个无套利模型，该模型满足公理（A1）和（A2），但不一定满足公理（B1）。然而，正如备注3.3中所指出的，后者对于确定非常有用的远期措施是必要的，因为它们通常会导致易于处理的定价公式。备注3.9。让我们考虑一个例子，其中所有的半马氏体Xkcoincide，即Xk≡ X代表所有k∈“K.然后，我们可以很容易地将使用第3.1小节中介绍的后向诱导的方法与本小节中介绍的终端测量下的方法联系起来。更准确地说，从函数族gk，k开始∈和满足（LIP′，（INT′）和（DRIFT′）的半鞅X，我们定义fk（t，X）：=gk（t，X）- gk+1（t，x）。（3.16）函数fk显然满足（LIP）常数Kk:=~Kk+~Kk+1。此外，假设半鞅X满足（INT）上述kka。那么（3.11）给出的终端远期价格模型可以等价地写成asF（·，Tk，Tk+1）=efk（·，X），k∈“\'K，其中fk由（3.16）给出，定理3.2的所有断言仍然有效。相反，假设远期价格（3.5）的模型是通过函数fk，k族给出的∈和满足（LIP）、（INT）和（漂移）的半鞅X，我们定义了K（t，X）：=N-1Xj=kfj（t，x）。（3.17）函数gk满足条件（LIP），且常数为Kk:=PN-1j=kKj。此外，假设半鞅X满足（INT′）和kkasasove，则远期价格（3.5）的模型可以等价地写成asF（·，Tk，TN）=egk（·，X），k∈K，其中gk定义在（3.17）中。这很容易从下面的伸缩产品F（·，Tk，TN）=B（·，Tk）B（·，TN）=N得出-1Yj=kB（·，Tj）B（·，Tj+1）=N-1Yj=kF（·，Tj，Tj+1）。

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2022-5-10 14:04:56

（3.18）伦敦银行同业拆借利率模型的统一观点13因此，我们得出以下结论：。5对半马丁盖尔X和函数gk，k有效∈\'K.3.3。观察和分支。接下来，我们将进一步讨论前两小节中构建的模型的性质。特别是，我们推导了LIBOR模型保持结构并产生非负利率的条件。为了提供两种脱钼方法的统一处理，我们假设Xk≡ 第3小节中的X。2.为了所有的k∈\'K.引理3.10。（i）如果函数FK对所有k都是非负的∈K，那么模型（3.5）中的利率是非负的，即属性（C）是满足的。（ii）如果函数gk是非负的，那么gk（t，x）≥ 对于所有k，gk+1（t，x）∈K和all（t，x）∈ [0，TN]×Rd，则模型（3.14）中的伦敦银行同业拆借利率为非负，即。财产（C）是令人满意的证据。这直接源于远期价格和伦敦银行同业拆借利率之间的关系，见（2.3）和（3.15）。第二个可处理性属性（B2）表明，如果驱动过程的特征在不同的正向度量下以确定的方式进行转换，则LIBOR模型具有结构性，从而确保在所有正向度量下，驱动过程保持在同一类别。为了使该陈述形式化，我们考虑以下假设。（E）设U:=Rd（分别为U:=Rd+）。测量PXt-Nis绝对连续，U上Lebesgue密度为正，对于所有t∈ [0，TN]。我们认为，如果元组（βl，Yl）定义了度量值从前向度量值PLPL到Pl的变化，则LIBOR模型是结构保持模型-1，f或l=N。

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2022-5-10 14:04:59

，1，通过Girsanov定理，如在Lemma中。4.是确定性的。注意，在假设（E）下，β是确定的当且仅当y是确定的；实际上，如果Yl（t，x）=efl（t，Xt-+十）-fl（t，Xt）-)假设是确定性的，函数FL必须满足FL（t，y+x）- fl（t，y）=hl（t，x）（3.19）每x，y∈ U、为了一些功能。取y的导数，我们得到每x，y的Dfl（t，y+x）=Dfl（t，y）∈ U、因此Dfl（y）是常数，因此fl（t，·）| Uis是一个有效函数。这意味着βlt=Dfl（t，Xt-) 是确定性的。相反，假设变量βlt=Dfl（t，Xt-) 是确定性的。因为PXt的支持-Nis U、Dflis连续和PXt-作为U上的正Lebesguemeasurement，我们得到了Dflis常数，因此在第二个变量中是有效的。因此，我们得出结论：Yl（t，x）是确定性的。下一个结果为（B2）满足命题3.11提供了必要和充分的条件。如果函数fk和gk在第二个变量中对每k∈那么（3.5）和（3.14）中的伦敦银行同业拆借利率模型是保持结构的。相反，假设（E）。如果（3.5）和（3.14）中的LIBOR模型是结构保持的，那么函数fk |[0，TN]×uan和gk |[0，TN]×uar在第二个变量中每k∈\'K.14 K.GLAU、Z.GRBAC和A.PAPAPANTOLEONProof。我们将集中讨论由反向归纳法构建的模型，而另一个模型则类似。遵循理论3中的论证。2、X和PLT的特性如下表BLT=bNt+cNtN-1Xj=l+1Dfj（t，Xt-)+ZRdN-1Yj=l+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)- 1.xFNt（dx）clt=cNt（3.20）Flt（dx）=N-1Yj=l+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)FNt（dx）。假设函数fk（t，x）是x中的一个函数，即。

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2022-5-10 14:05:04

存在αk（t）和βk（t），使得fk（t，x）=αk（t）+hβk（t），xi，那么我们可以很容易地推断（3.20）中的（bl，cl，Fl）只是（bN，cN，FN）的确定变换。相反的陈述已经被这个命题前面的论点暗示了。命题陈述。11可以推广到更一般的驾驶过程。例如，假设（E）可以用更一般的集合U来表示。例如，X可以是一个过程，在某些坐标系中是正的，在另一坐标系中是实的或负的。另一方面，具有固定跳跃大小的过程，如泊松过程，需要与上述证明略有不同的方法，考虑到过程的状态空间和跳跃度量的支持。下面的评论总结了LIBORrates的更多有趣特性，这些特性可以很容易地从这个通用建模框架中推导出来。备注3.12。如果函数fk在第二个参数中是有效的，即fk（t，x）=αk（t）+hβk（t），xi，（3.21），函数为αk，βk∈ C（R+）和工艺要求满足F（·，Tk，Tk+1）≥ 1，即产生非负的伦敦银行同业拆借利率，则流程X必须从下方绑定。4.例句4。1.伦敦银行同业拆借利率市场模型。首先，我们根据上一节开发的一般框架，重新审视伦敦银行同业拆借利率市场模型的类别。我们将专注于柏林和奥兹坎（2005）的列维伦敦银行同业拆借利率模型，以确定想法和流程，并作为其他也适用于该框架的伦敦银行同业拆借利率模型的代表，例如具有局部波动性、随机波动性或由跳跃式影响驱动的模型。

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2022-5-10 14:05:07

在许多其他参考文献中，见Brigo和Mercurio（2006年）、Schoenmakers（2005年）、Glasserman（2003年）以及Andersen和P Iterberg（2010年）。LIBOR模型的统一视图15我们假设驱动过程X是RN-形式为x=B+λ·L（4.1）的一值半鞅，其中L是一个Rn值的时间非齐次L’evy过程，在终端测度Pn下关于截断函数h（x）=x和∧=[λ（·，T），…，λ（·，TN）具有特征三重态（0，cL，FL）-1）是一个（N）- 1） x n volatility矩阵，其中，对于每k∈K，λ（·，Tk）是一个确定性的n维函数。此外，∧·L表示∧关于L的It^o随机积分，而漂移项B=R·B（s）ds=R·b（s，T）ds，R·b（南，田纳西州）-1） ds是一个（N）- 1） -多维随机过程。我们进一步假设满足以下指数矩条件：（EM）设ε>0和M>0，然后tnzz | x |>1ehu，xiFLs（dx）ds<∞ 为了所有的你∈ [-（1+ε）M，（1+ε）M]n；当波动率函数满足：（VOL）波动率λ（·，Tk）：[0，TN]→ Rn+是一个确定性的有界函数，对于s>Tk，λ（s，Tk）=0，对于每k∈K.此外，NXk=1λj（s，Tk）≤ 我代表所有人∈ [0，TN]，（4.2）每∈ [0，TN]和每个坐标j∈ {1，…，n}。Levy LIBOR模型的构建将遵循第3小节的反向归纳法。1.定义，适用于所有k∈\'K和x=（x，…，xN-1) ∈注册护士-1，函数sfk（t，x）：=log1+δkL（0，Tk）exk（4.3）和setF（t，Tk，Tk+1）=efk（t，Xt），k∈K.（4.4）那么，很容易得出f（t，Tk，Tk+1）=1+δkL（0，Tk）eXkt，这与Eberlein和¨Ozkan（2005）的列维伦敦银行同业拆借利率模型的动力学一致，后者由L（t，Tk）=L（0，Tk）exp提供tZb（s，Tk）ds+tZλ（s，Tk）dLs. （4.5）函数fkis Lips chitz连续，常数为1，因此条件（LIP）满足Kk=1∈“好的。

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2022-5-10 14:05:11

此外，由于假设（EM）和（VOL），条件（INT）也满足每k∈因此，应用定理3.2可得出该模型在终端测量下的漂移Bk=R·b（s，Tk）ds。更准确地说，我们已经做到了xkfk（t，x）=δkL（0，Tk）exk1+δkL（0，Tk）exk=：lk（xk）、16K.GLAU、Z.GRBAC和A.PAPAPANTOLEONandxjfk（t，x）=0，对于j6=k，而alsoddtfk（t，x）=0。此外xkxkfk（t，x）=δkL（0，Tk）exk（1+δkL（0，Tk）exk），以及xixjfk（t，x）=0，代表所有（i，j）6=（k，k）。根据inKallsen（2006）的命题2.4，X的PN特征（bN，cN，FN）由bnt=b（t）cNt给出=∧（t），cLt∧（t）（4.6）FNt（A）=ZRnA（λ（t）x）FLt（dx），A∈ B（注册护士）-1） \\{0}，因此定理3.2中的（漂移）条件变为lk（Xkt）-)b（t，Tk）=-lk（Xkt）-)1+δkL（0，Tk）eXkt-hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tk）i-(lk（Xkt）-))hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tk）i-N-1Xj=k+1lk（Xkt）-)lj（Xjt）-)hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tj）i（4.7）-ZRN-1小时efk（Xkt）-+xk）-fk（Xkt）-)- 1.N-1Yj=k+1efj（Xjt）-+xj）-fj（Xkt）-)- lk（Xkt）-xk）iFXt（dx）注意lk（Xkt）-)1+δkL（0，Tk）eXkt-+ (lk（Xkt）-))=δkL（0，Tk）eXkt-+ （δkL（0，Tk）eXkt-)（1+δkL（0，Tk）eXkt-)=δkL（0，Tk）eXkt-1+δkL（0，Tk）eXkt-= l（Xkt）-)对于所有的j=k，N- 1、efj（Xjt）-+xj）-fj（Xkt）-)=1+δjL（0，Tj）eXjt-+xj1+δjL（0，Tj）eXjt-=1+δjL（0，Tj）eXjt-+ δjL（0，Tj）eXjt-（例j）- 1） 1+δjL（0，Tj）eXjt-= 1 + lj（Xjt）-)（例j）- 1).LIBOR模型的统一视图17将上述简化插入（4.7）yieldsb（t，Tk）=-hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tk）i-N-1Xj=k+1lj（Xjt）-)hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tj）i-ZRNh（exk- 1） N-1Yj=k+11 + lj（Xjt）-)（例j）- 1)- xkiFXt（dx）=-hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tk）i-N-1Xj=k+1lj（Xjt）-)hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tj）i-ZRnh（ehλ（t，Tk），yi- 1） N-1Yj=k+11 + lj（Xjt）-)（ehλ（t，Tj），yi- 1)(4.8)- hλ（t，Tk），yiiFLt（dy），其中第二个等式后跟（4.6）。上述方程现在可以被视为L’evy LIBOR模型的漂移条件；参见Papapantoleon、Schoenmakers和Skovmand（2012年，eq。

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2022-5-10 14:05:14

(2.7)).备注4.1。伦敦银行同业拆借利率市场模型通过构造满足公理（A1）和（A2）以及属性（B1）和（B4）。另一方面，属性（B2）和（B3）不令人满意。关于（B2），紧接着是命题3。11（至少对于满足（E）的驾驶过程，这通常是这种情况），因为函数fk，k∈在第二个参数中没有。此外，包含随机项δjL（t，Tj）/（1+δjL（t，Tj））的漂移项（4.8）意味着伦敦银行同业拆借利率的向量（L（·Tk））k∈“\'K总体上看是马尔可夫的，但不是单一的伦敦银行同业拆借利率，因为它们的动态也依赖于其他利率。因此，（B3）不成立。最后，在这个模型中，属性（C）显然是满意的。4.2. evy远期价格模式ls。接下来，我们展示了从终端度量构造开始，L’evy forwardprice模型可以很容易地嵌入到我们的通用框架中；从反向归纳法开始更容易。埃伯林和奥兹坎（2005年，第342-343页）介绍了列维远期价格模型；另请参见Kluge（2005）的详细结构，以及Kluge和Papapantoleon（2009）的简要介绍。我们将在终端机测度PN，viaF（t，Tk，TN）=egk（t，Xkt），（4.9）下，对远期价格相对于终端机债券价格的动态进行建模，其中函数gk为以下有效形式gk（t，x）：=logf（0，Tk，TN）+x，（4.10），而过程xk为以下动态xk:=·Zbk，Nsds+N-1Xi=k·Zλ（s，Ti）dLs。（4.11）18 K.GLAU，Z.GRBAC和A.Papapantoleon驱动过程L和波动率函数λ（·Ti）是特定的，而裂谷期bk，由无套利（漂移）条件确定。特别是，L是一个Rn值的时间非齐次L′evy过程，具有满足条件（EM）和波动函数满足条件（VOL）的PN-lo-Cal特征（0，cL，FL）。

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kedemingshi

2022-5-10 14:05:18

函数gk通过常数1满足（LIP′）条件，而过程xk通过（EM）和（VOL）满足（INT′）条件；另见Criens、Glau和Grbac（2015年，备注3.7）。因此，我们可以应用定理3。5，经过一些计算，（漂移′）条件得到thatbk，Nt=-新界北-ZR（前- 1.- x） Fk，Nt（dx）。（4.12）此外，利用Kallsen和Shiryaev（2002b，引理3），随机积分过程的PN-lo-cal特征Xkareck，Nt=*N-1Xi=kλ（t，Ti），cLtN-1Xi=kλ（t，Ti）+（4.13）和fk，Nt（A）=ZRnAN-1Xi=khλ（t，Ti），xi！FLt（dx），A∈ B（R）。（4.14）现在，使用（4.9）–（4.11），我们得到远期价格过程的动力学F（·，Tk，Tk+1）由F（t，Tk，Tk+1）=F（t，Tk，TN）F（t，Tk+1，TN）=F（0，Tk，Tk+1）eXkt提供-Xk+1t=F（0，Tk，Tk+1）exptZ北卡罗来纳州- bk+1，纳秒ds+tZλ（s，Tk）dLs,因此，远期价格过程由其相应的波动率函数和时间不均匀的L’evy过程驱动，如L’evy远期过程模型中所述。我们必须检查dr if t项是否一致。事实上，使用（4.12）-（4.14），经过一些简单的计算，我们得到了bk，Ns- bk+1，Ns=-λ（s，Tk），cLsλ（s，Tk）-N-1Xi=k+1λ（s，Tk），cLsλ（s，Ti）-ZRnnehλ（s，Tk），xi- 1.ePN-1i=k+1hλ（s，Ti），xi- hλ（s，Tk），xioFLs（dx），这正是远期价格过程的PN漂移；与Klugean和Papapantoleon（2009，eqs.（19）-（21））相比。备注4.2。列维远期价格模型通过构造满足公理（A1）和（A2）以及属性（B1）和（B4）。此外，它满足（B2）和（B3）；参见提案3.11。然而，资产（C）并不令人满意，即伦敦银行同业拆借利率可能变为负值；参见备注3.12。LIBOR模型的统一视图194.3。伦敦银行同业拆借利率模型。最后，我们研究了一类由有效过程驱动的LIBOR模型，尤其是Keller-Ressel等人（2013）提出的有效LIBOR模型。

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2022-5-10 14:05:22

我们主要参考isDu FFIE、Filipovi’c和Schach er mayer（2003）的定义和特性。设X=（Xt）0≤T≤t根据定义2，这是一个保守的有效流程。1和2.5 Indufie等人（2003），状态空间D=R+。我们在这里考虑一维过程只是为了符号的简单性；d维酶可以用完全相同的方式处理。此外，状态空间受限于Keller-Ressel等人（2013）的正半线，这对于生成满足（C）的模型是必要的；另见备注3.12。我们同样可以选择状态空间D=R，模型中的利率也会取负值。过程X是一个具有绝对连续特征的半鞅，X的局部特征（bX，cX，FX）相对于截断函数h（X）：=1∧ x、为了x∈ D、给出了asbXt=~b+βXt-cXt=2αXt-FXt（dξ）=F（dξ）+Xt-F（dξ）对于某些b>0，β∈ R、 α>0和L\'evy度量Fand Fon D\\{0}（参见定理2.12 Induffeeet al.（2003）），其中b:=b+Zξ>0h（ξ）F（Dξ）。一个有效过程的特点是其动量生成函数具有以下性质：exp（uXt）= 经验φ（t，u）+ψ（t，u）x, （4.15）对于所有（t，u，x）∈ [0，TN]×IT×D，其中Ex表示关于Px的期望，即X=X的概率度量∈ D、 Px-a.s.此外，由其定义的设定：=U∈ R:前尤克斯顿< ∞, 为了所有的x∈ D, （4.16）而（φ，ψ）是一对确定性函数φ，ψ：[0，TN]×它→ R.函数φ和dψ作为广义Riccati方程的解给出（参见定理2.7 Indufie等人。

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2022-5-10 14:05:27

（2003年），也就是tφ（t，u）=Fψ（t，u）, φ（0，u）=0tψ（t，u）=Rψ（t，u）, ψ（0，u）=u，（4.17），其中f（u）=bu+Zξ>0euξ- 1.F（dξ），R（u）=αu+βu+Zξ>0euξ- 1.- 呃（ξ）F（dξ）。（4.18）我们接下来介绍一类有效远期价格模型，其中，远期价格是驱动有效过程X的指数函数。在20 K.GLAU、Z.GRBAC和a.Papapantoleon中，我们特别考虑了子部分3的终端度量构造的设置。2其中gk（t，x）=θk（t）+θk（t）x和Xk≡ X.（4.19）下一个结果表明，函数θk，θkar本身就是广义Driccati方程的解。提案4.3。设X是一个有效过程，其值为D，X=1且满足（INT′），gk，k∈是（4.19）给出的函数集合，其中θK，θK:[0，TN]→ R是C类的确定函数。那么，由f（t，Tk，TN）=eθk（t）+θk（t）Xt，t给出的正向价格过程∈ [0，Tk]，（4.20）是一个一致可积鞅，对于所有k∈如果函数θ和θK满足tθk（t）=-Fθk（t）,tθk（t）=-Rθk（t）,（4.21），其中F和R由（4.18）给出。证据过程X通过假设满足（INT′），而函数gk满足（LIP′）。因此，我们可以应用定理3.5，在简单的计算之后，通过将X的特征插入（漂移′）条件并使用该条件，得到结果tgk（t，x）=tθk（t）+tθk（t）x，xgk（t，x）=θk（t），xxgk（t，x）=0。备注4.4。（4.20）给出的有效远期价格模型满足公理（A1）和（A2）以及性质（B1）-（B3）。资产（B4）不令人满意，必须将模型校准到初始期限结构，类似于短期利率模型。

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2022-5-10 14:05:30

实际上，请注意，与前两个示例相反，初始远期价格F（0，Tk，TN）并未出现在函数gk（t，x）中。此外，这些模型满足性质（C）当且仅当函数θkandθkar是非负的；与备注3.12进行比较。Keller-Ressel等人（2013年）提出的伦敦银行同业拆借利率模型自然可以嵌入这种结构中。更准确地说，我们有以下几点。推论4.5。动态由f（t，Tk，TN）=EN提供的有效伦敦银行同业拆借利率模型eukXTN |英尺= eφ（TN-t、 uk）+ψ（TN）-t、英国）Xt，带有参数uk∈ R+代表k∈\'K，是θK（t）：=φ（TN）的一种特殊情况- t、 uk）和θk（t）：=ψ（TN）- t、其中φ（·uk）和ψ（·uk）是（4.17）的解。当然，我们可以使用以下函数gk（t，x）=log F（0，Tk，TN）+θk（t）+θk（t）x，模型会自动确定初始期限结构。然而，很难提供产生非负LIBOR利率的模型。LIBOR模型的统一视图21附录A.半鞅特征和鞅sLet(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T*], P）完全随机基与T*表示有限的时间范围。在此基础上，设X是一个Rd值半鞅，其特征是绝对连续的，即对于某些截断函数h，其局部特征由（b，c，F；A）给出，At=t；参见Jacod and Shiryaev（2003年，第二部分2.9）。此外，设f:R+×Rd→ R是类C1,2（R+×Rd）的函数。过程f（·，X）是一个实值半鞅，它又具有绝对连续性。让我们用（bf，cf，Ff）来表示转换函数hf的局部特性。

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mingdashike22

2022-5-10 14:05:33

然后，注意到函数f的^o公式成立∈ C1,2（R+×Rd）和推论的证明。6从Goll和Kallsen（2000）中，我们得到了bft=ddtf（t，Xt-) + hDf（t，Xt）-), bti+dXi，j=1Dijf（t，Xt-)cijt+ZRd高频f（t，Xt）-+ 十）- f（t，Xt）-)- hDf（t，Xt）-), h（x）iFt（dx）cft=Df（t，Xt）-), ctDf（t，Xt-)（A.1）Fft（G）=ZRdGf（t，Xt）-+ 十）- f（t，Xt）-)Ft（dx），G∈ B（R\\{0}）。提议A.1。设X是具有绝对连续特征（b，c，F）的Rd值半鞅，设F:R+×Rd→ R是c lassC1，2的函数，因此由Y定义的过程Y:=ef（t，Xt）（a.2）是指数特殊的。如果以下条件保持不变shdf（t，Xt-), bti=-ddtf（t，Xt-) -dXi，j=1Dijf（t，Xt-)cijt-Df（t，Xt）-), ctDf（t，Xt-)（A.3）-ZRdef（t，Xt）-+十）-f（t，Xt）-)- 1.- hDf（t，Xt）-), h（x）iFt（dx），那么Y是局部鞅。证据证明来自定理2.18 inKallsen和Shiryaev（2002a）：设置θ=1并将该定理应用于半鞅f（·X）。事实上，sincef（·，X）具有绝对连续的特征，它也是准左连续的，因此定理2.18的断言（6）和（1）。产量kf（·，X）（1）=eKf（·，X）（1）=Zbft+cft+ZR前任- 1.- hf（x）Fft（dx）dt。22 K.GLAU、Z.GRBAC和A.Papapantoleon通过定义指数补偿器和Kallsen和Shiryaev（2002a）中的定理2.19，得出以下结论：-Kf（·，X）（1）∈ 因此，ef（·，X）∈ 如果Kf（·，X）（1）=0，直到不可区分，则为Mlo cif和on ly。等效地，bft+cft+ZR前任- 1.- hf（x）Fft（dx）=0每t。将bf、cf和Ff、cf（A.1）的表达式插入上述等式条件（A.3）。提议A.2。设X是具有绝对连续c特征（b，c，F）的Rd值半鞅*ZZRd（|x|∧ 1） Ft（dx）dt+T*ZZ | x |>1 | x | eK | x | Ft（dx）dt<C（A.4）和t*Zkctkdt<C，（A.5）对于某些确定性常数C，C>0。

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