狄拉克过程与违约风险

2022-5-8 03:21:04

Dirac过程和违约风险Chris KENYON和ANDREW GREEN*2015年4月17日摘要我们使用Dirac delta函数引入Dirac过程，用于金融衍生品的短期利率类型定价。Dirac流程为现有的差异和跳跃构建块添加了尖峰。狄拉克过程是广义过程，以前没有直接使用过，因为非实数的多拉值是没有意义的。然而，短期利率定价是基于积分的，所以利率过程是自然的。这种整合直接意味着跳转是多余的，而dirac过程扩展了短速率方法的表达能力。实际上，我们证明了Dirac过程为CDS互换期权带来了高隐含波动性，而CDS互换期权在风险利率设置中一直存在问题。JEL分类：G12，C63。*两位作者：劳埃德银行集团，伦敦格雷沙姆街10号EC2V 7AE。免责声明：本作品中表达的观点是作者的个人观点，不一定反映当前或之前雇主的观点或政策。不保证用于任何目的。使用风险自负。致谢：作者感谢2015年PRMIA会议“CVA中当前危险率建模的局限性”与会者的反馈，以及与罗兰·斯塔姆的有益讨论。在这里，我们介绍了由狄拉克三角函数序列（狄拉克，1926；霍斯金斯，2009；Duistermaat和Kolk，2010）构建的狄拉克过程，并将其应用于金融衍生品的短期利率类型定价。Dirac过程扩展了数学金融中的构建块集，超越了Weiner和Poisson过程构建的微分和跳跃过程，还包括基于Dirac delta函数的微分和跳跃过程。

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2022-5-8 03:21:07

Dirac过程是广义过程的一个子集，它是It^o（It^o，1954；Gel’fand，1955）在介绍It^o引理（It^o，1944；D¨oblin，1940）大约十年后首次引入的，但之前没有直接用于数学金融。广义过程以前没有直接用于数学金融，因为不在R中的值的多拉值，例如原点处狄拉克δ函数的值，是没有意义的。然而，由于短期利率定价是基于积分的，所以广义过程，特别是我们在这里介绍的狄拉克过程，是自然的。狄拉克过程解决了短期利率定价中如何在衍生远期利率中引入跳跃的一般问题。这为短期利率型建模提供了所需的表现力，使其与长期使用跳跃的远期利率型建模处于更平等的基础上（Cont和Tankov，2003；Eberlein，Jacod和Sch¨onbucher，2006；Jiang和Yan，2009；Crosby，2008；Peng和Kou，2008）。对于一个特定的例子，我们展示了如何在信用违约掉期期权（CDS掉期期权）中获得高隐含波动率，这在风险率模型中是有问题的（Jamshidian，2004年；Brigo和Mercurio，2006年；Kokholm和Nicolato，2010年；Brigo和El Bachir，2010年；Roti，2013年；Weckend，2014年；Stamm，Gallagher和Lichters，2015年）。危机前的利率建模是由对混合型和异类定价的需求推动的，这导致了对期限远期利率模型的重视，如SABR（Hagan、Kumar、Lesniewski和Woodward，2002）和基于利维的模型（Eberlein等人，2006）。在信贷领域，重点放在结构性信贷（Brigo、Pallavicini和Torresetti，2010年）和基于前瞻性的模型上（Peng和Kou，2008年）。单名信用建模在很大程度上采用短期利率法（Brigo and Mercurio，2006）。

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2022-5-8 03:21:10

危机后，融资和信贷成本以及监管资本成本推动了估值调整的快速发展，这些调整被统称为XVA（Kenyon and Stamm，2012；Green，Kenyon and Dennis，2014；Green，2015；Stammet al.，2015）和XVA交易台，作为共同定价和管理交易对手净额设置的需要的一部分，主要基于蒙特卡罗技术。这让短期利率和HJM模型重新成为利率关注的焦点。我们在这里开发的Dirac过程通过向前速度的跳跃和可控微笑，从根本上扩展了短速率和危险速率方法的表现力。它们同样适用于大宗商品。对CDS定价中的风险率使用狄拉克过程意味着参考实体的生存概率从一天跳到下一天。鉴于referenceentity通常只会因未能付款而违约，这提供了一个明确的模型。例如，如图1所示，它可能必须在给定日期赎回债券，即偿还名义金额，但在日期范围内没有可比的付款。实际上，参考实体指出，均值回复过程既不是L’evy过程，也不是Sato过程（Applebaum，2004；Sato，2013），但可以从中构建（Schoutens和Carriboni，2009；Kokholm和Nicolato，2010）。图1。参考实体示例：已知债券利息和本金还款以及可能的融资还款。在特定赎回日期（或前一个周末）之外，违约可能性不大。可能会在每次付款前的前一个星期六违约，但在日期范围内没有其他重大违约可能性。因此，结合Dirac过程的危险率建模捕捉到了实际相关的动态。

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2022-5-8 03:21:14

此外，虽然CDS交易员可能会关注标准化CDS合同，根据定义，所有CDS合同每年只在四个日期到期（IMMdates，Markit（2009）），但一般来说，信贷定价，例如CVA或XVA（Kenyon和Stamm，2012；Stamm等人，2015；Green，2015）需要任意日期。从计量经济学角度来看，利率出现了跳跃（Das，2002；Johannes，2004；Piazzesi，2005），而具有跳跃的远期利率模型也很常见（Jiang和Yan，2009）。关于跳跃式利率期权的定价（Cont和Tankov，2003）和一般（L’evy）方法在远期利率领域有广泛的文献（Eberlein等人，2006）。然而，如果没有dirac过程，在短期利率设置中就无法产生远期利率或互换期权价格的跳跃。衍生工具定价中使用的大多数随机过程都是由布朗运动（连续）和跳跃过程（不连续，即泊松过程）组合而成。这些可以被描述为良好的积分器，Bichteler-Dellacherie定理（Protter，2010；Bichteler，2011）证明了这些积分器等价于半鞅。然而，Dirac过程逃避了Bichteler-Dellacherie定理和半鞅的定义，因为虽然Dirac过程是适应的，但它们不是c\'adl\'ag，也不是只在R中取值。相反，Dirac过程是l\'edc（limites\'egale deux c^ot\'es），而混合Dirac跳跃过程是，当至少一个跳跃与一个Diracδ函数重合时，ladc（双重限制）。一项相关但截然不同的研究涉及It^o微积分的函数扩展（Cont和Fournie，2010）。广义函数有其局限性，例如，尽管存在方法，但没有一种公认的方法来处理两个广义函数的乘法（Colombeau，1992；Grosser，1999）。

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2022-5-8 03:21:17

出于我们的目的，我们将始终使用Dirac delta函数的积分，因此这不是一个明显的限制。我们推迟了狄拉克过程的进一步理论定位及其实际应用，直到我们定义了它们。本文的第一个主要贡献是引入了短期利率定价的Dirac过程，将数学金融扩展到了差异和跳跃之外，以包括基于Dirac delta函数的尖峰。第二个主要贡献是展示了Dirac过程如何用于衍生品定价，包括对表现出高波动性的CDS互换期权进行定价。第三个贡献是从单一隐含波动率中检测不完整市场的可能性，而不是隐含波动率微笑。本文的结构如下：第一部分从短期利率定价中的Dirac过程入手，介绍了Dirac过程，然后回顾了Dirac delta函数的性质；然后我们定义Dirac过程，并描述一些（许多）可以用作构建块的方法。本文的第二部分讨论了利率衍生工具和单名信用衍生工具的定价，即为隐含波动率较高的CDS互换期权定价。最后我们讨论我们的结果并得出结论。I.Dirac过程我们首先从短期利率类型定价开始推动Dirac过程的发明，然后回顾Dirac delta函数的特征，然后定义Dirac过程及其与广义过程和随机积分的更广泛类别的关系。假设狄拉克过程是一个积木，与布朗运动或泊松过程类似，可以用任意数量的方法来构建。同样，没有必要单独使用狄拉克过程，但它们可以与微分和跳跃相结合。

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kedemingshi

2022-5-8 03:21:21

我们将介绍一组基本的构造，这些构造绝非详尽无遗，但其中一些用于下一节关于狄拉克过程的导数定价。A.动机考虑无风险零息票债券P（t，t）的价格，在t到期时，利率采用短期利率法建模：P（t，t）=EQthe-RTtr（s）dsi（1）r（t）是短期利率，即即时即期利率。Q是我们假设存在的风险中性度量，EQT是关于可用信息的预期，包括t（即t处的适当过滤），并使用Q。从等式1中，我们看到只有图2。过程（虚线）及其积分（连续线）：（LHS）连续过程；和（RHS）跳跃过程。短期利率的积分是相关的，对于价格为：P（t，t）=Iτ>tEQthe的可违约债券P也是如此-RTtr（s）+λ（s）dsi（2），其中危险率由λ（t）给出，参考实体的默认时间为τ，Iτ>参考实体存活的指示函数。同样，只有危险率的积分是相关的。一般来说，可观察和可交易的资产只使用短期利率和危险利率的积分。假设我们想要改变这些债券价格的波动性，我们必须改变短期利率和风险率的波动性。从工程的角度考虑图2和这个问题：在短期利率中引入跳跃过程对决定价格的短期利率（或风险率）的积分有什么影响。

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大多数88

2022-5-8 03:21:24

我们观察到，引入跳跃过程对质量没有显著影响：短期利率的积分保持连续。引入了一个不可微分点（没有广义函数），但如果短速率是基于布朗运动的，而布朗运动在任何地方都是不可微分的（没有广义过程），那么这不是一个定性的差异。显然，而且（回顾过去）很明显，从工程的角度来看，在短速率过程中增加跳跃对于获得质量上不同的挥发性行为是没有用的。如果我们在图2中的连续过程中加入一个单位位移的狄拉克-德尔塔函数，我们可以观察到积分中的ajump，如图3所示。因此，我们得到了短期利率积分的不同性质。因此，基于Dirac delta函数的过程是构建积分中定性不同波动性的合适工程解决方案。暂时忽略危机后利率的多曲线性质（Kenyon，2010年；Mercurio，2010年；Moreni和Pallavicini，2014年），考虑一个确定的远期利率期限，我们有时使用短期利率作为方法，包括任何资产类别，有时也包括利率——这应该从上下文中明确。图3。单位位移Dirac delta函数（虚线，包括t=1处的垂直截面延伸到单位，但在图中被截断）和积分（连续线）到Tde的连续过程定义为：t- TE-RTTr（s）ds- 1.（3）我们看到，短波率中的狄拉克δ函数也会在前进速度中产生跳跃，否则，仅使用微分和跳跃过程是不可能的。

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2022-5-8 03:21:27

现在，如果我们采用Kenyon（2010）中的贴现和期限短期利率方法（而不是inKenyon和Stamm（2012）中的贴现加利差版本），则远期利率协议的价格为f（t，t，t）=EQtE-RTTR折扣（s）dsT- TE-RTTrtenor（s）ds- 1.（4）其中，“贴现”表示使用贴现短期利率，“期限”表示使用期限贴现利率，例如，三个月期的美元Xibor。Xibor利率动态的跳跃可能出现在贴现率、期限或两者中。例如，在石油远期（Brigo、Chourdakis和Bakkar，2008年）中，可以使用折扣和便利收益率对商品远期利率进行直接类似的设置，从而在那里引入跳跃。现在让我们转向默认时间。考虑图1，它显示了一个债券本金和利息的支付计划示例。在短期内，比如说在这个例子中长达六个月的时间内，有许多已知的还款，但此后就更少了。一般来说，这种模式并不意味着参考实体无债务，而只是债务融资尚未安排。因此，我们既有确定性时间与随机事件结果（违约与否）的混合，也有随机事件时间与结果的区域。许多参考实体共享这种已知和不确定事件的模式。关键的一点是，在头六个月内，违约不太可能超过还款日期（以及非主权借款人之前的周末）。大型实体的大多数违约是流动性违约（即未能融资），而不是破产违约（由审计师声明）。这种事件类型的混合可以使用aDirac过程建模，该过程具有混合的确定性和随机事件到达。图4。逼近狄拉克三角函数（LHS）及其导数的函数序列，即Heaviside函数（RHS）。B

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2022-5-8 03:21:30

Dirac delta函数为了方便起见，我们在此提供了Dirac delta函数的基本细节（Arfken，2012；Hoskins，2009；Duistermaat and Kolk，2010）。Dirac delta函数最早以现代形式引入量子力学（Dirac，1926），并广泛应用于物理学（偏微分方程、格林函数、傅立叶分析、Arfken（2012））。Dirac delta函数是广义函数的一个例子（Hoskins，2009），也称为分布（Duistermatand Kolk，2010）。基于分布的严格数学处理在1950年建立，并在1980年代末扩展到代数（即处理广义函数的乘法）（Colombeau，1992；Grosser，1999）。理论上，广义函数可以被视为微分Duistermaat和Kolk（2010）下的UsualFunction（即R值函数）空间的最小闭包。它们不是普通函数，因为它们的性质通常只能在它们对其他函数（称为测试函数）的影响的上下文中理解，或者在集成以创建普通函数时理解。狄拉克δ函数可以看作是一系列函数的极限：fk（t- （a）=1/k a≤ T≤ a+k0其他情况下，特定的函数序列不是唯一的，许多其他序列是可能的（如图4），但极限的性质在适当意义上是唯一的（Hoskins，2009；Duistermatand Kolk，2010），例如在测试函数的宇宙中，它们的行为。现在积分是常数，即：Ik=Z∞fk（t）- a） dt=Za+kakdt=1（5）这个词重复使用了概率中的单词，有一些重叠。因此，狄拉克δ函数可以定义为：δ（t- a） =limk→0fk（t）- a）（6）显然这不是一个常见的功能。

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2022-5-8 03:21:33

作为一种常见的函数，等式6意味着函数在任何地方都是零，除了在一个不属于实数的元素的位置。除了方程5中的积分性质外，我们还将利用isits筛选性质（不含“h”）对任何普通函数g（t）：Z进行筛选∞g（t）δ（t）- a） dt=g（a）（7）微分的通常分布性质成立，即（g（t）δ（t）- a））=g（t）δ（t- a） +g（t）δ（t）- a） whereZ∞g（t）δ（t）- a） dt=-g（a）我们不会考虑广义函数的乘法，因为我们的应用不需要它。Dirac delta函数也可以被视为Heaviside阶跃函数的微分，即形式上的Dtu（t- （a）≡ δ（t）- （a）≡ δa（t）（8），其中u（t）是重阶梯函数，u（t）=0， t<0；1. T≥ 假设g（t）是一个性能良好的测试函数，其中性能良好意味着它在R中取值并且有界。使用Riemann-Stieltjes积分，我们可以看到，将该测试函数与Dirac delta函数相乘，等于将测试函数与Heaviside阶跃函数相积分，即Z∞-∞g（t）δ（t）- a） dt=Z∞-∞g（t）du（t）- a） =g（a）这提供了狄拉克过程和跳跃过程之间的另一种联系，以及狄拉克δ函数的另一种定义。也就是说，由于Dirac delta函数的积分得到了很好的推广，它们用普通函数表示，即阶跃函数。我们将看到泊松过程的导数是狄拉克过程，反之亦然。Dirac delta函数也可以被视为一个函数，而不是一个广义函数，因为它对积分中的测试函数有影响Hoskins（2009）；莱特希尔（2003）。C.狄拉克过程我们从定义狄拉克过程开始，然后在此基础上继续发展。

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2022-5-8 03:21:38

正如布朗运动不是特别有用一样，狄拉克过程也同样有用。定义1（狄拉克过程）：狄拉克过程D（t）是狄拉克δ函数序列(*)由指数分布的等待时间ej，即D（t）分隔（时移）：=∞Xi=0δ（t- Ei）Ei=j=iXj=0ejej~i、 i.d.指数随机变量，平均值ν命题1（Dirac过程性质）：Dirac过程是马尔可夫的、无记忆的、非对抗的。证据Dirac过程性质的证明：由于Dirac delta函数只存在于单个时间点，且Dirac delta函数之间的时间呈指数分布，且指数分布无记忆，因此所有三个性质都遵循。上述命题依赖于这样一个事实，即狄拉克δ函数是函数序列的极限（如等式I.B或类似），而不是该极限的任何元素。如果不是这样的话，那么就有一个潜在的问题，那就是能否提前预测下一个峰值何时出现。然而，事实并非如此。Dirac过程中尖峰的到达率与速率ν成常数。定义2（非齐次（或非齐次）狄拉克过程）：非齐次狄拉克过程有一个速率参数ν（t），它是时间的确定函数。定义3（复合狄拉克过程）：复合狄拉克过程Dx（t）是一个狄拉克过程，其中每个尖峰由非预期随机过程x（t，i）Dx（t）缩放：=∞Xi=0x（i，t）δ（t）- Ei）注意，上面的标度过程x（i，t）不需要是马尔可夫过程，并且知道它是标度的哪一个点（通过i）。缩放过程的效果是改变方程7中过程的积分。

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2022-5-8 03:21:41

我们也没有排除标度受尖峰发生时间（t）影响的可能性。定义4（确定性Dirac过程）：确定性Dirac过程是一系列时间偏移的Dirac delta函数，其中时间偏移是事先已知的。定义5（复合确定性Dirac过程）：复合确定性Dirac过程是指时间偏移事先已知的复合Dirac过程。复合确定性狄拉克过程模拟了已知的事件序列，其中事件的大小存在不确定性，但不确定它们应该发生的时间。例如，在利率建模中，英格兰银行货币政策委员会（MPC）的会议日期是已知的，而联邦公开市场委员会（FOMC）的会议日期至少提前一年。跳跃与这些会议日期有关（Piazzesi，2005）。在如图1所示的信贷中，还款日期可能是已知的，但不是每个还款日期违约的确切概率。从长期来看，对于信贷而言，新融资会产生还款，因此可能需要复合确定性Dirac过程和复合Dirac过程。同样，货币政策委员会和联邦公开市场委员会会议的确切日期也不早于一年。既然我们已经定义了狄拉克过程和一些变体，我们将把它放在Protter（2010）和Bichteler（2011）视角下的随机积分，以及泊松过程，尤其是以下两个定理的上下文中。然后，我们将用第三个定理证明广义过程框架的灵活性。

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2022-5-8 03:21:44

前两个定理是新的，而第三个定理是已知的，但这三个定理都有助于定位狄拉克过程。定理1（不好的Bichteler-Dellacherie积分器）：Dirac过程不是Bichteler-Dellacherie（Protter，2010；Bichteler，2011）意义上的好积分器。证据不好的Bichteler-Dellacherie积分器的证明：显而易见，因为它不是一个半鞅，因为它不是一个通常的函数，即仅在R中取值。定理2（积分器积分等价性）：关于泊松过程的积分与关于时间的Dirac过程的积分不同，反之亦然。证据积分积分等价性的证明：等式8的直接结果。上面的等价定理表明，从形式上来说，我们可以选择对跳跃过程进行积分，或者在建模方面对狄拉克过程w.r.t.时间进行积分。一般来说，我们选择将狄拉克过程整合为最直接、最自然的方法。这种方法还避免了指定跳转过程是被积函数（被积分的函数）还是积分器（积分所涉及的函数）的潜在混淆。如果我们与生存过程中存在跳跃（这是风险评估过程的组成部分）的生存过程方法进行比较，这种潜在的混淆在信贷方面尤其严重。http://www.bankofengland.co.uk/publications/Pages/news/2014/119.aspxhttp://www.federalreserve.gov/monetarypolicy/fomccalendars.htmFigure5.复合狄拉克过程及其积分的探讨——复合泊松过程。定理3（积分w.r.t.Dirac过程）：关于每个Dirac delta函数asZ定义的Dirac过程的积分∞-∞g（t）dδ（t）- a） =Z∞-∞g（t）δ（t）- a） dt=-g（a）（9）定义明确。证据整合。

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2022-5-8 03:21:48

Dirac过程：Dirac delta函数性质的基本结果和微分下广义函数的闭包。上述三个定理用于根据标准随机积分理论定义Dirac过程的积分和Dirac过程的积分（Protter，2010；Bichteler，2011）。尽管狄拉克过程不是一个好的积分器，但它也有可能与toit进行积分。我们只是为了方便才正式这么做，但机器是通过通用功能定义的。Dirac过程的积分，而不是Dirac过程的积分，也可以通过复合Dirac过程与其积分之间的关系来说明，如图5所示。从质量上讲，各个过程的集成（而不是通过）在下面向右移动。狄拉克处理器→ 跳转处理器→ 连续过程在广义过程空间中区分布朗运动是可能的，但这在数学金融中没有被证明是普遍有用的，尽管白噪声Seydel（2012）中提到了广义过程。It^o的第一种方法（It^o，1944）通过It^o积分是衍生工具定价的主要方法。It^o后来发明了广义过程（It^o，1954；Gel’fand，1955），但这些过程之前没有在数学金融中得到普遍应用。图6。美元CDS市场规模来源于提供方预先选定的主要数据提供商的报价，至少具有最低流动性。二、Dirac过程定价在上一节中，我们定义了Dirac过程和一组变体，现在我们讨论使用这些Dirac过程对金融衍生品进行定价。我们将首先考虑对线性产品有效的确定性Dirac（尖峰）到达率，然后讨论非线性产品的随机Dirac过程。

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2022-5-8 03:21:51

我们将为零息票债券的期权定价，然后在风险利率设置中为CDS互换期权定价。我们之所以选择CDS互换期权，是因为它们以前在风险率设置中定价时存在问题，即使有跳跃，也很难获得足够高的隐含波动率（Jamshidian，2004年；Brigo and Mercurio，2006年；Kokholm and Nicolato，2010年；Brigo and El Bachir，2010年；Roti，2013年；Weckend，2014年；Stamm等人，2015年）。Westess表示，本文提出的模型是第一个使用Dirac过程的例子。正如有任意数量的模型可以从微分和跳跃过程中建立一样，狄拉克过程本身以及与微分和跳跃过程相结合的情况也是如此。A.CDS和CDS互换期权美元CDS市场覆盖率从2002年的约200个参考实体迅速增长到2008年的约1600个，此后保持在大致相同的规模，见图6。与任何大型银行的交易对手数量相比，覆盖范围相对较小。我们按照标准（Brigo and Mercurio，2006年）从保护和高级腿部角度对以下CDS进行解释。然而，这忽略了一个事实，即信贷保护提供了监管资本减免（BCBS-1892011），这在解释CDS利差时可能非常重要（Kenyon和Green，2013）。我们将按照（Green等人，2014年）的思路将资本定价纳入本扩展部分，以备将来使用。单名CDS互换市场几乎完全是OTC（场外交易，即定制）。历史CDS价差波动性可能非常高，且取决于水平，见图7。图中的数据供参考实体使用，这些实体拥有（几乎）完整的5年期CDS报价数据系列HBPSLVOLability HPERCENTL5Y CDS2007-2011图7。2007年年中至2011年底的历史5年期CDS相对波动率和价差的密度图，使用一年窗口对两者进行分析。

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2022-5-8 03:21:54

Plot将122个参考实体的数据与该时期至少99%的数据覆盖率相结合。信用证是高级信用证（SNRFOR），以美元计价，并带有XRdocument条款（最常见的类型）。平均CDS价差的波动率以百分比为单位，水平以bps为单位（每个价差取自重叠的一年期窗口）。这是一个向下倾斜的样本，至少对于CDS水平而言，因为在整个危机期间需要（几乎）完整的数据。从2007年年中到2011年底，由于危机期间许多金融（和其他）参考实体的报价枯竭，因此数据中存在显著的向下偏差。我们确实观察到，至少在历史上，较低的CDS利差并不总是意味着较低的CDS利差波动性。单个引用实体显示了各种各样的模式，这里给出了所有引用实体的摘要。市场隐含波动率可能比历史波动率高得多，尤其是考虑到CDS指数波动率，例如CDX Stamm等人（2015年）多次超过100%。请注意，这里我们关注的是单名信用，而将多名信用留给未来的研究。B.短期利率和风险率原则我们给出了独立于模型的公式，我们将在后面的章节中进行扩展。对于信用衍生品，短期利率法通常被称为风险率法。无风险（即不可违约）零息债券isP（t，t）的价格：=Ethe-RTtr（u）dui其中r（u）是短期利率。可违约的零息债券isP（t，t）：=Ethe-RTtr（u）+λ（u）dui其中λ（u）是危险率。

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大多数88

2022-5-8 03:21:57

半违约零息债券isP（t，t，t）：=Ethe-RTtr（u）du-RTtλ（u）双半违约情况是指违约风险和贴现期限不同的情况。这不是一种（目前）交易的工具，但在下文的CDS定价中使用，是一般情况。CDS合同为参考实体提供违约保护，以换取一系列称为息票的定期付款。因此，在参考实体违约时，有一个支付1-recovery的保护段，以及一个支付优惠券的溢价段，前提是参考实体尚未违约。为了简单起见，我们将忽略应计项目，它们可以简单地添加。由于大额CDS利差是量化的，也就是说，它们只接受一组特定的标准值，任何差异都用预付费弥补。许多其他功能也被标准化，但这些细节在这里并不重要。实际上，违约并不是一个连续的过程，而是以大约一天的最小时间分辨率发生的，因此我们对保护段使用离散表达式，而不是更常见的积分形式（Brigo and Mercurio，2006）。这更准确，可以用我们已经拥有的原语来表达，即可违约债券和半可违约债券。CD市场，而不是天文数字。下面的公式与模型无关。定理4（CDS价格）：具有溢价R ISCDA，b（R）=ProtectionLega，b的保护CDS的价格[Ta，Tb]- 普雷米姆莱加，b（R）（10）=LGDdXi=c+1P（0，Ti）- P（0，Ti，Ti）-1)- RbXi=a+1αiP（0，Ti）（11），其中αi表示年份分数，[Tc，…，Td]表示[Ta，Tb]的每日分区，LGD表示损失的默认值。证据证据：溢价部分是指有条件的折扣息票支付，前提是参考实体没有违约。

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2022-5-8 03:22:01

这是一笔可违约债券的总额，按溢价支付比例计算。保护期限是每天的违约风险之和，贴现回零时间。C.具有确定性强度和严重性的定价本节给出了具有确定性强度和严重性的零息债券、无风险债券、可违约债券和半可违约债券的价格。在下一节中，我们将介绍随机情况和期权定价。C.1。零息债券考虑了一般确定性Dirac情况，其中我们使用s标度非均匀Dirac过程Dζ（u）：Dλ（u）=s dDζ（u）（u）给出的危险率λ（t）的不同缩写，其中s是每个尖峰的（确定性）严重性。该方程表明，危险率为零，除非它是s严重度Dirac delta函数，且过程与（速率）强度ζ（u）不均匀。很明显，假设利率短期利率没有跳跃和狄拉克过程成分，λ（u）与r（u）无关。定理5（债券：具有连续短期利率的狄拉克风险）：假设短期利率是连续的，在时间t到期的可违约零息债券在时间t的价格，单位名义利率危险率由dλ（u）=s dDζ（u）（u）给出，其中s，ζ（u）是确定性的；由以下公式得出：P（t，t）=P（t，t）expE-s- 1.ZTtζ（u）du我们将使用短期利率作为利率短期利率，风险利率作为违约率短期利率。半违约零息债券的价格由以下公式给出：P（t，t，t）=P（t，t）expE-s- 1.ZTtζ（u）du证据证明：我们将证明半违约情形，因为它更一般。由于无风险债券价格没有跳跃，半违约债券价格与之无关，与狄拉克过程和布朗过程无关。

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2022-5-8 03:22:04

因此：P（t，t，t）=P（t，t）Ethe-RTtλ（u）dui（12）=P（t，t）Et[e-sN（RTtζ（u）du）]（13）=P（t，t）expE-s- 1.ZTtζ（u）du（14）其中N（RTtζ（u）du）是一个具有泊松分布的随机变量，其标度为tζ（u）du。这些方程隐含的事实是，事件的到达和严重程度可以相互交换。从Brigo和Mercurio（2006）中得出的近似值（为了现在和清楚起见），即风险率=CDS spreadLoss给定违约率（15）λ=CDSLGD（16），然后将可违约零息票债券的两个表达式p（0，t）e相等-λt=P（0，t）e（e）-s-1） νt（17），这意味着到达率ν和严重程度s之间的权衡是ν=λ1- E-s（18）图8显示了两个CD级别的权衡。这些交易对于multi-namecredit更改默认时间相关性非常重要，但由于这超出了本文的范围，我们在此不再赘述。我们现在考虑的情况是，短期利率也是狄拉克过程。在此之后，我们将考虑混合情况，其中短速率是连续过程和狄拉克过程的混合。定理6（债券：Dirac Hazard with Dirac Short Rate）：假定短期利率和风险率为图8，在时间t到期的可违约零息债券在时间t的价格，单位名义利率。对于两种CDS传播水平（200bps和400bps），使用公式18，事件到达率和严重性之间可能存在权衡，详情见正文。分别是：dr（u）=sdDζ（u）（u）+sdDζ（u）（u）（19）dλ（u）=sdDζ（u）（u）+sdDζ（u）（u）（20）由以下公式给出：P（t，t））=expE-s- 1.ZTtζ（u）du+E-s- 1.ZTtζ（u）du（21）+E-s- 1.ZTtζ（u）du（22）半违约零息债券的价格由以下公式给出：P（t，t））=expE-s- 1.ZTtζ（u）du+E-s- 1.ZTtζ（u）du（23）+E-s- 1.ZTtζ（u）du+E-s- 1.ZTtζ（u）du（24）证据。

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2022-5-8 03:22:09

证据：几乎可以肯定，不同的狄拉克过程ζi（s）之间没有共同的尖峰。现在：P（t，t））=Ethe-（sN（RTtζ（u）du）+sN（RTtζ（u）du）+sN（RTtζ（u）du）+sN（RTtζ（u）du）+sN（RTtζ（u）du））i（25）每个泊松过程N(*) 是独立的，所以它们的指数是独立的，因为独立随机变量的函数保持独立，所以结果如下。半违约债券是一种直接延伸。定理7（债券：混合短期利率下的狄拉克风险）：在t时到期的可违约零息债券在t时的价格，单位名义利率，假设短期利率和风险率如定理6所示，除了无风险债券价格为：P（t，t）=PC（t，t）PD（t，t），其中PC（t，t）是连续短期利率给出的价格部分，PD（t，t）是Dirac过程给出的价格部分，由：P（t，t））=PC（t，t）exp给出E-s- 1.ZTtζ（u）du+E-s- 1.ZTtζ（u）du（26）+E-s- 1.ZTtζ（u）du（27）半违约零息债券的价格由：P（t，t））=PC（t，t）exp给出E-s- 1.ZTtζ（u）du+E-s- 1.ZTtζ（u）du（28）+E-s- 1.ZTtζ（u）du+E-s- 1.ZTtζ（u）du（29）证据。证明：连续过程和狄拉克过程之间没有相关性，因此结果遵循给定的定理6。产量和存活曲线的校准是直接的。然而，我们观察到，我们可以权衡狄拉克过程的严重性和强度，但这对价格没有影响，前提是不同狄拉克过程之间没有权衡。这可能会影响多人信用定价，但这超出了本文的范围。C.2。利率互换我们将注意力集中在利率互换（IRS）定价上，使用的是一条无风险的曲线。典型的例子是SONIA、EONIA和Fed Funds曲线分别代表英镑、欧元和美元。

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2022-5-8 03:22:12

多曲线定价不在本文讨论的范围内，因为本文的重点是信用卡应用。考虑到无风险贴现债券价格，IRS价格是基于方程式3和方程式4的标准价格，这使得通常的假设是，使用相同货币的现金抵押品进行完全抵押交易。为简单起见，我们选择初始保证金成本，以及任何投资组合影响。D.随机严重性定价：非线性工具为期权定价，我们需要考虑狄拉克过程中的随机强度或严重性。有许多可能的模型，我们展示了一种简单而直接的方法，即Dirac OU严重性模型。在所有模型中，关键是信息流，在这方面，狄拉克过程带来了特殊的挑战，因为它是唯一无记忆的。当没有狄拉克尖峰时，过程为零。图9。方程式31的图示显示了b=1，其中驱动程序映射到[0,1]，而b=3，其中驱动程序映射到[3/4,1]，详情见正文。这不同于以当前值存储某些状态的扩散或跳跃过程。在Diracprocess中，这些信息可以存储在许多地方，但最终会出现在尖峰强度、尖峰严重程度或两者中。这种随机的严重性或强度是由外部过程驱动的，就像跳跃过程的跳跃大小一样。示例模型：Dirac OU严重性Dirac OU严重性模型使用tanh transformedOrnstein-Uhlenbeck过程计算严重性，并确定Dirac尖峰的到达强度：严重性驱动因素dx=θ（u- x） dt+σdB（30）严重性v=tanh（x）+1。b+（b- 1） /b（31）=e2x1+e2x。b+（b- 1） /b（32）等式30意味着跃迁密度函数是解析已知的。

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大多数88

2022-5-8 03:22:15

它是条件正态的，方差和平均值低于var（OU）（θ，σ，t）=σ1.- E-2θt2θ（33）平均值（OU）（x，u，θ，σ，t）=u1.- E-θt+ xe-θt（34）方程31是严重性驱动因素转换，这个转换[-∞, ∞] 7.→ [1 - 1/b，1]，事件的真实性如图9所示。一减去严重性，就得到了在事件中存活的概率。我们在严重性过程的事件时间内进行操作，即我们对事件之间的单位事件时间进行缩放。这是金融建模中对离散事件过程（如jumpprocess）的常见思考方式。从属项概括了事件时间的概念，该模型是一个简单的例子，因为事件之间的所有时间都具有相同的日历分布（指数分布）。在这个Dirac OU严重性模型中，严重性与强度无关，因为强度是恒定的。通过这种建模设置，我们可以通过离散严重过程的状态空间来有效定价。D.1。零息债券OREM 8（债券：Dirac OU严重风险与持续短期利率）：在时间T到期的可违约零息债券在时间T的价格，假设o短期利率是连续的；o危险率由比亚迪λ（u）=s（u）dDζ（u）（u）（35）s（u）=（tanh（x（u））+1）/2（36）dx（u）=θ（u）给出- x（u））du+σdB（37），其中ζ（u）是确定性的；由以下公式得出：P（t，t）=P（t，t）h∞Xi=0（A（I）- S） iP{N（ZTtζ（z）dz））=i}！i半违约零息债券的价格由以下公式给出：P（t，t，t）=P（t，t）h∞Xi=0（A（I）- S） iP{N（ZTtζ（z）dz）=i}！这里：A是转移矩阵；S是对角严重性矩阵；h是表示t（“此处”）状态的行向量；I是单位列向量。证据证据：我们在事件时间内操作，即事件之间有单位事件时间。因此，对于每个新事件，转换矩阵A都是常数。

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kedemingshi

2022-5-8 03:22:19

在每个事件中都有违约概率，我们可以将其放在严重性矩阵S的对角线上。假设严重性由一个Ornstein-Uhlenbeck过程驱动，该过程是马尔可夫过程，因此S是常数。事件发展到新的严重程度和存活率的综合概率为a（I-S）这也是恒定的。由于短期利率是连续的，无风险债券P（t，t）独立于可违约部分。现在，在区间（t，t）中，狄拉克事件的数量与强度和泊松分布给出的SOI无关，标度为tζ（z）dz，henceP（t，t）=P（t，t）h Eth（as）N（ζ（t-t） i（38）=P（t，t）h∞Xi=0（A（I）- S） iP{N（ZTtζ（z）dz））=i}！I（39）半违约债券价格直接如下。请注意，一般来说，只要是有效的传递度矩阵，我们就可以完全自由地选择。使用Ornstein-Uhlenbeck过程是一种简单的方法，可以生成一个参数数量很少的模型。现在，我们将使用与危险率类似的过程对短期利率进行建模。在这种情况下，严重性不需要限制为[0,1]，而是可以有任意范围。

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2022-5-8 03:22:23

为了一般性，我们将在范围中引入比例因子，但为了简单说明，我们不包括它。定理9（债券：Dirac OU严重性风险和混合短期利率）：在时间t到期的可违约零息票债券在时间t的价格，假设短期利率和风险率的Dirac部分由以下公式给出：dr（u）=sdDζ（u）（u）+sadDζ（u）（u）（40）dλ（u）=sdDζ（u）（u）+sbdDζ（u）（u）（u）（41）ζi6=ζj，（42）和（43）P（t，t）=PC（t，t）PD（t，t）（44），其中PC（t，t）是连续短期利率给出的价格部分，PD（t，t）是狄拉克过程给出的价格部分o三个狄拉克过程的严重性如下所示，并使用公式31进行范围变换，dxa=θa（ua）- xa）dt+σadB（45）dxb=θb（ub）- xb）dt+σbdB（46）dx=θ（u）- x） dt+σdB（47）dx=θ（u）- x） dt+σdB（48）dBidBj=δi，jdt，i，j∈ {1,2,3}（49）xi（t=0）=0 i∈ {a，b，1，2}（50）那么半违约零息债券的价格由以下公式给出：P（t，t，t）=PC（t，t）Yk∈αhk∞Xi=0（Ak（I）-k） iP{N（ZTαtζk（z）dz）=i}！I（51）α={a，b，1，2}（52）Tα={T，T，T，T}（与α连用）。（53）其中：A*是一个转移矩阵；s*是对角线严重性（信用）或变化（比率）矩阵；表示t处状态的hkarea行向量；I是单位列向量。证据证据：无风险债券的非狄拉克部分没有跳跃，因此与所有狄拉克项无关。这只是定理8的推广，所以我们只需要证明等式51中的元素是独立的。首先注意，严重程度的驱动过程与结构无关，等式49。还有方程式42 dDζi，i中的狄拉克过程∈ 1、2、3在结构上是独立的。因为我们有可违约零息债券的价格，所以我们有可违约耦合债券的价格。因为我们有半违约零息票债券的价格，所以我们有定理4中CDS的价格。D.2。

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2022-5-8 03:22:26

在使用上述设置的Dirac OU严重性模型中，使用Dirac过程的选项定价选项很简单，因为我们已经离散了状态空间。它进一步简化了，因为不同的驱动过程是独立的，尽管它们可能对可违约债券的信用和利率部分都有贡献。考虑定理9和等式51，债券期权的定价是显而易见的，但很长，因为我们已经有了向量u，给出了等式中的当前状态。我们在世界上所有的州都有我（one）的未来回报。因此，由于我们有依赖于国家的半违约债券价格，我们自动有依赖于国家的CDS价格，因此有期权onCDS。定理10（债券期权：狄拉克短期利率）：假设短期利率为：dr（t）=s（t）dDζ（t）（t）（54）s（t）=（tanh（x（t））+1）/2（55）dx（t）=θ（u）- x（t））dt+σdB（56）那么，在到期日为t的无风险零息债券上，行使日期为TK和行使时间为K的欧洲看涨期权的计算公式为：CallZCB（t，K，TK，t）=h∞Xi=0（A（I）- S））iP{N（ZTK）-ttζk（z）dz）=i}！最大值∞Xi=0（A（I）- S））iP{N（ZT）-TKtζk（z）dz）=i}i-K、 0！（57）t<TK<t（58）K≥ 0（59）证明。证明：A和S矩阵都是常数。上面等式57第二行中的最大值给出了一个支付向量，具体取决于世界的状态。然后，第一行将其折回到t，h行向量得到当前世界状态下的价格。定理10表明，单因素期权定价与债券定价具有相同的复杂性。

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2022-5-8 03:22:29

相比之下，当涉及更多因素时，期权支付会在行使日期将这些因素联系起来，并产生更高的复杂性。定理11（债券期权：Dirac OU严重风险和短期利率）：与定理9的条件相同，但我们取PC（t，t）≡ 0，半违约零息债券的欧洲看涨期权价格，行使日期为TKisCallZCB（t，K，TK，t，t）=hXiXjXkp（TK，i）p（TK，j）pa（TK，k）pb（TK，k）×XiXjXkmax（p（T- TK，i）p（T）- TK，j）pa（T）- TK，k）pb（T- TK，k）- K、 0）我（60）pα（T，i）=（Aα（i- Sα）iP{N（ZTtζβ（α）（z）dz）=i}（61）α∈ {1,2,a,b}（62）β（α）={1,2,0,0}（63）证明。这是定理10、定理4和定理11的直接推广。很明显，我们可以根据我们确定的过程和我们使用的驱动过程的不同复杂程度，对CD上的期权定价。我们可以假设（Brigo and El Bachir，2010）（基于Brigo and Mercurio（2006）），无风险利率的波动几乎没有影响，并将其建模为常数。这是在假设短期利率是连续的情况下提出的。在这种情况下，危险率与狄拉克过程没有相关性。另一方面，如果我们假设利率是狄拉克，并且存在显著的共同冲击，那么独立性的假设是错误的，并且可能存在显著的相互作用。在任何市场中，我们都可能看到大公司违约率和利率之间的显著共同跳变，而公司被认为具有结构性重大影响。同样，如果政府冲击利率，这可能会对许多公司造成冲击，造成综合风险，即生存风险。因此，如何对总体情况进行建模是一个校准和判断的问题。

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2022-5-8 03:22:34

为了空间的利益，我们只考虑最简单的例子来证明狄拉克过程的能力。之前很少有模型能够提供非常高的隐含波动率，约为CDS期权空间所需的100%（Stamm et al.，2015）。在这里，我们将展示基于狄拉克的模型可以提供这种水平的隐含波动性。所谓隐含波动率，我们指的是使用CDS期权市场模型（Brigo和Mercurio，2006年）从价格中支持的波动率。这些模型直接类似于利率空间中的掉期市场模型。定理12（CDS期权：Dirac OU严重风险率）：假设短期利率是确定性的，风险率与之前一样，在CDSTa上具有行使日期Tk和利率R的欧洲看涨期权，Tb具有到期日T，由以下公式给出：CallCDSa，b=h EP（0，TK）（保护法A，b（TK）- 普雷米姆莱加，b（TK，R））+其中，保护和溢价分支使用半违约债券的未来价值（T，T，T）=∞Xi=0（A（I）- S） iP{N（ZTtζ（z）dz）=i}！下划线前的IAs表示向量，上面是列向量。带下划线的运算符，即max，按元素操作。证据证明：现在P（T，T，T）是一个向量，其中的条目对应于世界的未来状态。因此，结果直接来自于半违约债券的定义和状态空间的离散。请注意，除了azero息票债券上的期权定价外，CDS上的期权定价还需要边际效应。这是状态空间离散化方法的直接结果。D.3。示例CDS互换期权定价我们现在将考虑CDS互换期权定价的示例，以说明隐含的高波动性。

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2022-5-8 03:22:37

我们首先非正式地注意到，CDS利差通常主要平行移动（如利率收益率曲线），除非参考实体在其CDS利差曲线反转时陷入困境。当CDS利差曲线反转时，流动性从通常流动性最高的5年期CDS合约转移到1年期CDS合约，应仔细查看较长期合约的数据，以确定其是否可靠（即可执行的可比数量）。对平行CDS曲线移动的观察表明，可能存在显著的波动性期限结构（TSOV），如图10所示。我们使用带有两个部分的分段波动TSOV，直到期权行使日期和超过该日期（σ，σ），以获得隐含波动率的CDS互换期权，如图11所示。CDS选择参数设置示例如下：ob=6，T步=1，u=0.73，σ=60%，σ=10%，θ=0.1%，回收率=40%，r=2%，强度=2.or是当前的零收益率曲线水平Tstep表示严重性驱动OU过程的事件之间发生单位事件时间，强度表示每单位日历时间预计发生两个事件。图10。通过观察CDS曲线的大部分平行移动，即1，可以得出波动率形状的期限结构/√T图11。CDS掉期期权隐含波动率微笑，以1:5的CDS掉期期权为例。该模型非常简洁，Diracpart的参数数量相对较少（六个）。三、讨论和结论在本文中，我们将基于Dirac delta函数序列的Dirac过程引入数学金融，重点关注短期利率（利率）和风险率（信用）模型。Dirac过程提供了短速率类型的模型，其表达能力与远期速率（eitherinstantaneous，HJM，或tenor，LMM）在包含跳跃时已经具有的表达能力相同。

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