信息不对称且反映BSDE的美式期权

2022-5-8 05:54:30

信息不对称的美国选项和反映BSDENeda ESMAEELI的数学科学系哈里夫理工大学亚扎迪大道德黑兰14588-89694IranE-mail：nesmaili@mehr.sharif.irPeter伊姆凯勒*德国数学研究所林登国际学校610099柏林德国电子邮件：imkeller@math.hu-柏林。DeAbstracts我们考虑一个金融市场上的美国未定权益，在这个金融市场上，买方拥有额外的信息。两个代理（卖方和买方）都遵守相同的价格，但由于买方拥有一些额外的优势，他们可以获得的信息可能会有所不同。购买者的信息流通过参考过滤的初始放大来建模。在信息不对称的情况下，调查美式索赔的价值似乎很自然。我们根据反射后向随机微分方程（RBS-DE）的一些结果提供了额外信息成本的表示。这是通过使用美国未定权益价格的解释，以及适当RBSDE的buyerby解决方案的额外信息来实现的。2010年AMS科目分类：初级60G40、91G20；次级91G80，60H07。关键词和短语：美国未定权益；信息不对称；信息成本；初步扩大过滤；反映了BSDE。1简介或有权益是金融市场上的合同，其支付效果取决于到期或行权时的市场状态。Black和Scho les[5]、Merton[30,31]、Harrison和Kreps[20]、Harrison和Pliska[21]、Duffee[8]和Karatzas[26]等研究的完整市场上或有权益的估值和对冲问题，可以用反向随机微分方程（BSDE）来表述。

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2022-5-8 05:54:34

不完全市场上的定价和套期保值已经被许多作者研究了几十年。我们只提到了F？ollmer和Schweizer[13]、M？uller[32]、F？ollmer和Sondermann[14]、Schweizer[38]、Sch？al[37]、Bouchaud和Sornette[6]以及El Karoui和Quenez[10]的pionee rin g论文，他们是最先将这个问题与BSDE联系起来的人。BSDE是由Bis m ut[4]在布朗过滤的基础上引入的。Pardoux和Peng[35]证明了在系数和终端条件的适当平方可积假设下，适配解的存在性和唯一性。对于一些研究领域来说，BSDE代表了一个充满活力的研究领域，因为它与随机控制和数学金融密切相关。与欧盟的债权对应方不同，美国持续债权（ACC），如美国看涨期权或看跌期权，可以在到期前的任何时间行使。忽略利率，众所周知，美式未定权益过程的价值与支付过程的斯奈尔包络线有关，即支配它的最小的超级鞅。最佳运动时间由theSnell包络线的支付过程的击中时间给出。这一关键观察将最优停止问题与后向随机微分方程（RBSDE）联系起来，即BSDE被限制在给定屏障之上，在ACC的情况下，由Payoff函数给出。在El Karoui等人中首次研究了与ACC相关的连续时间RBSDE变异。[9]. 在这种情况下，溶液过程通过附加过程保持在反射屏障之外。2设置和预备工作2在经典的Skorok hod问题中，这个过程是非递减的。

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2022-5-8 05:54:36

关联d正态测度的支持包含在求解过程触及障碍的时间集合中。在本文中，我们考虑了买方比卖方拥有更好信息的情况下的美国未定权益。而后者的决策基于公共信息流F=（Ft）t∈[0，T]，买方拥有由某个rand om变量G建模的附加信息，该变量最初已经可用。Sohis的信息演变由放大过滤G=（Gt）t描述∈[0，T]且Gt=Ft∨ σ（G）。我们研究了这些额外信息对美国目标价值和最佳运动时间的影响。这种情况类似于一个内部人在简单的st可能模型中的最优投资问题，他的目标是从他的投资组合的终值中最大化预期效用，他的投资决策基于相关的更大信息流。Pi kovsky和Karatzas[36]首先在最初扩大过滤的基础上研究了这个问题。Elliott等人对模型的变体进行了研究。[11] Grorud和Pontier[16,17]，Amendinger等人[2]，或Ankirchner等人[3]。在Jacod[2 5]关于过滤初始放大的结果的基础上，在本文的第一部分中，我们将问题归结为一个标准的最优停止问题，前提是G对较小的过滤具有足够平滑的条件定律（密度假设）。在密度假设下，我们在扩大的空间上写出了用附加信息获得的美式未定权益的价值函数，作为修改后的美式未定权益的价值函数。

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2022-5-8 05:54:39

为了将其定义为潜在概率空间和G可能值的（真实）空间的乘积，我们给出了参数化F的G-st时间的系数化-停车时间。这是一个理性的选择，因为最初的扩张与该产品空间的量度变化有关；参见范例e Jacod[25]或Amendingeret al[2]。在第二部分中，根据El Karouiet等人[9]中的最优停止问题和RBSDE之间众所周知的联系，我们在布朗基础上定义了与过滤初始放大相关的产品空间上的相应RBSDE。EyraudLoisel[12]或Kharroubi等人[27]研究了（最初或逐渐）扩大过滤的BSDE。[12]中使用的方法是基于度量变化的，这是基于e的，但不是我们方法的主要工具。我们对RBSDE的处理是基于Ito演算和G中半鞅的正则分解。扩展El Karoui等人[9]的结果，我们根据RBSDE在杆uct空间上的解重写了具有不对称信息的美式未定权益的价值函数。这为RBSDE提供了更大过滤的解决方案。拥有额外信息的买方比卖方拥有更大的预期收益价值。我们根据两种不同RBSDE的解决方案研究买方的优势。论文的概要如下。在第2节中介绍了符号和假设之后，我们介绍了金融市场模型，其中包含了非对称信息。在第三节中，我们将G-停止时间分解为参数化的F-停止时间，并给出了一个具有不对称信息的ACC值的公式。我们还研究了条件期望值函数与小过滤的关系——一个最优投影问题。

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2022-5-8 05:54:42

第四节讨论了最优解与RBSDE之间的联系。我们调用了El Karo ui等人[9]的一些结果，并将其扩展到参数化RBSDE。我们定义了一个RBSDE，它对应于产品空间上的最优停止问题。通过改变这个RBSDE解中的变量，我们得到了一个具有附加信息的值函数的替代表达式，即初始放大过滤中RBSDE的解。在第5节中，我们根据效用差异确定了额外信息的成本。我们得到了一个关于不同空间上twoRBSDE解差异的代价公式。最后，我们在一个简单的例子中进行计算。2设置和初步设置let T>0表示一个固定时间。我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, F、 F，P），当F=（Ft）t∈[0，T]是满足右连续性和完整性通常条件的参考过滤比。此外，我们认为这是微不足道的。方程。涉及随机变量的线性性质通常被人们几乎肯定地理解。我们考虑一个随机变量G：Ohm → R.设G是F乘以G的初始放大，即G=（Gt）t∈[0，T]式中Gt=Ft∨ σ（G），t∈ [0，T].2设置和准备工作3我们用G和T的定律来表示e∈ [0，T]由PGt（ω，du）给出的G的条件定律的常规版本。在整个过程中，我们将假设雅科德的密度假设（[24]，[25]）在以下假设中得到满足。假设2.1。对于t∈ [0，T]，给出的G的正则条件定律与几乎所有ω的G定律等价∈ Ohm i、 e.P[G]∈ ·|[Ft]~ P（G）∈ ·) , 根据[25]的P–a.s.，对于每个t∈ [0，T]存在一个F B（R）-αt（u）（ω）的可测版本：=dPGt（u，ω）dPG（u），严格正。而对于每一个u∈ R、 {αt（u）}t∈[0，T]是鞅w.r.T.F。

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2022-5-8 05:54:46

我们记得[1，1.10上的命题]表明，fα的严格正性意味着过滤G的正确连续性∈ F中的R+和H过滤。我们用Tt表示，T（H）表示H的s et-值为[t，t]的停止时间s。定义2.2。考虑以下支付过程r=L1[0，T）+ξ1{T}，（1），其中L是F-适应实值c`adl`ag过程和ξan FT-可测量的随机变量，满足可集成性条件[supt]∈[0，T]| Lt |+|ξ|]<∞. （2）对于t∈ [0，T]，τ∈ Tt，T（F），美式未定权益的价值函数定义为vt=ess supτ∈Tt，T（F）E[R（τ）|Ft]。（3） τ是制动装置的停止时间，起到控制工具的作用。我们认为在整个过程中≤ 书信电报≤ ξ < +∞.我们考虑一项美国索赔，与卖方相比，买方拥有额外信息。这些额外的信息可能基于优秀的分析师或更好的软件。附加信息由我们用G表示的随机变量描述。人们可能会问一个自然的问题：“有附加信息的美式未定权益的价值是多少？”？“另一个解决了以下问题。由于买家有更多的信息，他可以访问更多的可用停工时间，从而获得更高的支出。这立即导致了一个问题：“这些额外信息的成本是多少？”？“过滤通常对信息流进行编码。因此，通过放大过滤对额外信息进行建模是很自然的。我们将考虑对参考过滤进行初始放大。这意味着我们在初始时间将所有额外信息添加到参考过滤中。如上所述，G=（Gt）t∈[0，T]是F乘以G的初始放大倍数。

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2022-5-8 05:54:50

从形式上讲，包含额外信息会导致处理以下ProductSpace，其第二部分是由重新赋值的随机变量给出的附加信息的可能值的空间。所以我们考虑概率空间（bOhm,bF，bF，bP），在哪里Ohm := Ohm *R，bFt:=\\s>t（Fs B（R）），t∈ [0，T]，bF:=（bFt）T∈[0，T]，bF=F B（R），bP:=P η、（4）式中η是（R，B（R））起附加信息定律作用的概率测度。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设（b）Ohm,bF，bP）已完成，且bF包含所有bP-空集ofbF。Wedenote bybE是英国石油公司的期望值。考虑到对tobP的预期，考虑到在最初扩大的过滤4中平均超过3个美国或有权益，附加信息可以假设的可能值，关于其在生产空间中管理第二个组成部分的法律。换句话说，对于定义在B上的随机变量XOhm 我们有（X）=EZRX（u）dη（u）. （5）其中X（u）=X（，u），u∈ R.由于对美式未定权益价值函数的定义（3），回答上述问题的第一步是研究支持τ∈Tt，T（G）E[R（τ）|Ht]，（6）式中，Ht=Gt。我们还研究了ca-se-Ht=Ft，这将被视为一个最优投影问题。你的主要想法是寻找一个合适的代表G-停止时间为“参数化”F-停止时间，然后将问题简化为包含参考过滤的产品过滤中的相应问题。我们将在本节中回答第一个问题，而第五节将讨论第二个问题。我们用vg表示：=ess supτ∈T0，T（G）E[R（τ）|G]具有额外信息的美式未定权益的价值。我们将使用密度假设，将该值写入产品过滤bf中的未定权益值。

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2022-5-8 05:54:54

为此，我们需要过滤G的一些属性。我们从以下备注开始。备注2.3。G=σ（G）。通过F是右连续且F是平凡的这一事实证明了这一点。很明显，VGis是-可测量的随机变量。因此，通过因子分解，它的形式是f（G）w，其中f是实值可测函数。3.美国应急cl目标在最初扩大的过滤中，我们在本节中展示了G的特征-停车时间。然后，我们推导出了一个公式，该公式表示具有额外信息的美式未定权益的价值函数。通过这一部分，我们研究概率空间（bOhm,bF，bF，bP）从（4）式中，η=PG.3.1 G-停止时间的因式分解我们从以下命题开始。提议3.1。让X:bOhm×R+-→ R是一个BF-适应过程。对于随机变量G，过程X（G）：Ohm ×R+-→ R是G-改编。证据我们定义：Ohm -→BOhmω 7-→ （ω，G（ω））。然后固定的∈ [0，T]，我们对每个B∈ B（R）Xt（ω，G（ω））-1（B）=Xt（`G（ω））-1（B）=G-1（X）-1t（B））。（7） 3.1 G-停止时间s 5x的因式分解-1t（B）∈bFt，有足够的证据证明-1（C×D）∈ GTC∈ Ftand D∈ B（R）。事实上，我们有-1（C×D）=C∩ G-1（B）∈ 英尺∨ σ（G）=Gt。备注3.2。通过类似的论证，我们可以证明如果X:bOhm ×R+-→ R是anbF-逐步可测量（或可预测）过程，然后X（G）：Ohm ×R+-→ R是G-逐步可测量（可预测）。下面的赞成立场是G的特点-在ofbF条件下停止时间-停车时间。提议3.3。设τ′：Ohm → R+b是一个随机时间。τ′是G-如果存在anbF，则停止时间为on-停止时间τ：bOhm → R+使得P的τ′（ω）=τ（ω，G（ω））-a、 e.ω∈ Ohm.证据首先假设τ是anbF-停车时间。

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2022-5-8 05:54:57

对于t∈ [0，T]我们必须证明{τ（ω，G（ω））≤ t}∈ Gt。我们在前面的位置{τ（ω，G（ω））中定义了G≤ t} =（τ）o“（G）-1(-∞, t] =`G-1(τ-1(-∞, t] )∈ Gt，（8）最后一个等式来自于这个命题的证明。现在，为了证明相反的说法，我们首先证明，对于每一个G-可预测集H存在anbF-可预测过程ss{Jt（ω，u）}t∈[0，T]可以在（T，ω，u）中测量，使得h（s，ω）=Js（ω，G（ω）），P- a、 s，s∈ [0，T]。我们是素食者∨ σ（G）=σ（{F）∩ G-1（B）：F∈ 英尺，B∈ B（R）}），t∈ [0，T]。从可预测σ的定义-代数，我们得到p（G）=σ（{（t），∞)×（F）∩G-1（B））：F∈ 英尺，B∈ B（R），t∈ [0，T]}∪{{0}×（F）∩G-1（B））：F∈ F、 B∈ B（R）}）。我们从P（G）的生成器中的一个集合开始。所以让我们∈ [0，T]，F∈ 英尺，B∈ 假设H=（t，∞) ×（F）∩ G-1（B））。定义（ω，u）：=1（t，∞)×F×B（s，ω，u），s∈ [0，T]。那么Js（ω，u）isbF-可测量和BF-可预测的，因为e（t，∞) xf×B是anbF-可预测集。此外，对于（s，ω）∈ [0，T]×Ohm 我们有h（s，ω）=1（t，∞)×F（s，ω）·1（t，∞)×B（s，G（ω））=Js（ω，G（ω））。对于H={0}×（F∩ G-1（B））与F∈ F、 B∈ B（R）我们争论得很激烈。N新定义∧：={H∈ P（G）|J:男朋友- 可预测的，使得1H（t，ω）=Jt（ω，G（ω）），P- a、 s代表t∈ [0，T]。]我们知道P（G）的生成集是∧的子集。此外∧是λ-系统，所以根据toDynkin的π- λ定理，我们有P（G） Λ. 现在假设τ′是G-停车时间。然后[0，τ′]∈ P（G）。因此，根据Been n所展示的，存在着anbF-可预测过程J wh ich在（ω，u）中是可测量的，因此[0，τ′（t，ω）=Jt（ω，G（ω）），P- a、 s，t∈ [0，T]。现在定义τ（ω，u）：=inf{t>0:Jt（ω，u）=0}。过程J是bf-这是可以预测的-逐步可测量。因此，根据D’ebu t定理，τ是anbF-停车时间。此外，对于P- a、 eω∈ Ohm 我们有τ′（ω）=τ（ω，G（ω））。

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2022-5-8 05:55:00

这就完成了证明。3.2初始放大过滤中的值函数6推论3.4。设τ：bOhm → R+b e anbF-停车时间。那么每一个u∈ R、 τ（u）=τ（·u）是F-暂停时间。证据让你∈ R和t∈ [0，T]。然后{ω|τ（ω，u）≤ t} ×{u}={（ω，u）|τ（ω，u）≤ t}∈bFt=\\s>t（Fs B（R））。因此{ω|τ（ω，u）≤ t}∈\\s> tFs=英尺。由于uis是任意的，因此证明是完整的。3.2值函数在最初扩大的过滤中，我们重新定义了条件期望的“参数化”版本。引理3.5。设（U，U）为可测空间，X：Ohm ×U→ R是F U-满足下列条件之一的可测随机变量（1）X为正（2）U∈ U、 E[|X（，U）|]<∞.然后存在一个G U-可测随机变量Y：Ohm ×U→ R、这样对于所有的美国∈ UY（，u）=E[X（，u）| G]，P- a、美国证据。见[39]，第15页。备注3.6。我们表示一个随机变量X:bOhm → R、 X（.）强调它对参数的依赖性。显然，我们的意思是X（u）=X（ω，u），ω∈ Ohm.在接下来的步骤中，我们需要引入以下符号。回忆一下支付过程R和setR:bOhm ×R+→ R、（u，t）7→ Ltαt（u）1[0，t[（t）+ξαt（u）1{t}（t）。（9）我们再次用R在pro-product空间上说明了这个新的支付函数。注意，对于第一个，它现在作用于两个变量。注释3.7。注意anbF的t-停止时间τ：bOhm → R+，R（，τ（.）：BOhm → R是一个积极的EBF-measu Rabrerandom变量。由于它是一个支付函数，引理3.5保证了Ft的存在 B（R）-u的E[R（u，τ（u））|Ft]的可测版本∈ R、 t型∈ [0，T]。提案3.8。让我们∈ [0，T]。然后下面的方程保持[R（u，τ（u））|Ft]u=G=bEhR（，τ（.））|bFtiG，P- a、美国证据。我们将证明，对于每一个有界英尺 B（R）-可测随机变量K：Ohm ×R→ 我们有[E[R（u，τ（u））|Ft]u=GK（G）]=EhbEhR（，τ（）|bFtiGK（G）i。

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2022-5-8 05:55:03

（10） 3.2初始y放大过滤7中的值函数，因为E[R（u，τ（u））|Ft]u=GandbEhR（，τ（.））|bFtiGare Gt-可测量的随机变量，断言接着来自（10）和单调类参数。要显示（10），请注意K（.）αt（.）是英国《金融时报》吗 B（R）-可测量，因此K（u）和αt（u）是Ft-可测量的∈ R.We o btainE[E[R（u，τ（u））|Ft]u=GK（G）]=E[E[E[R（u，τ（u））|Ft]u=GK（G）|Ft]=EZRE[R（u，τ（u））|Ft]K（u）αt（u）dPG（u）= EZRR（u，τ（u））K（u）αt（u）dPG（u）.另一方面，EhbEhR（，τ（）|bFtiGK（G）i=EhEhbEhR（，τ（）|bFtiGK（G）| Ftii=EZRbEhR（，τ（）|bFtiuK（u）αt（u）dPG（u）=bEhbEhR（，τ（）K（.）αt（.）|bFtii=EZRR（u，τ（u））K（u）αt（u）dPG（u）.最后两个方程由（5）中的BE定义满足。备注3.9。让我们∈ [0，T]，u∈ R和G=u等于常数P-a、然后从备注3.7我们得到[R（u，τ（u））|Ft]=bEhR（，τ（.））|英国石油公司- a、以下结果提供了一个有用的工具，可以计算与较大过滤相关的条件预期。引理3.10。假设X:bOhm ×R+→ R是一个过程，t∈ [0，T]和G:Ohm → R是一个随机变量，比如Xt（G）是Gt-可测量和P-可积的。那么对于s≤ tE[Xt（G）|Gs]=αs（G）E[Xt（u）αt（u）| Fs]u=G.证明。见[7]，第5页。定理3.11。莱特∈ [0，T]。在G上的假设2.1和R上的可积条件（2）下∈ [0，T]VGt:=ess supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Gti=αT（G）ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti！G.证据。设τ′∈ Tt，T（G）。根据命题3.3和引理3.10，我们得到了ehr（τ′）|Gti=E[R（τ（G））|Gt]=αt（G）E[R（τ（u））αt（u）| Ft]u=G，其中τ（.）∈ Tt，T（bF）.3.2初始放大过滤8中的值函数，由u的推论3.4扩展而来∈ R、 τ（u）是F-阻止蒂姆·e。

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2022-5-8 05:55:06

利用迭代条件期望和（αt（u））t的鞅性质∈[0，T]w.r.tf，我们得到[r（τ（u））αT（u）|Ft]=EE（Lτ（u）[0，T[（τ（u））+ξ1{T}（τ（u）））αT（u）| Fτ（u）|英尺= ELτ（u）ατ（u）（u）1[0，T[（τ（u））+ξ1{T}（τ（u））αT（u）|Ft= E[R（u，τ（u））|Ft]。因此我们有了supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Gti=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）E[R（τ（G））|Gt]=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）αT（G）E[R（τ（u））αT（u）|Ft]u=G=αT（G）ess supτ（.）∈Tt，T（bF）（E[R（u，τ（u））|Ft]）u=G=αT（G）ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiG.最后一个等式来自命题3.8。此外，bE[R（，τ（.））|bFt]在（ω，u）中是可测的，并且是可测族{bE[R（，τ（.））的本质上确界|bFt]；τ(.) ∈ Tt，T（bF）}在（ω，u）中也是可测的。因此，我们得到了supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiu=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti！u、 P- a、沙子这个仍然能保持P-a、如果我们用G（·）代替u。总的来说，我们得到了一个定义supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Gti=αT（G）ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiG=αt（G）ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti！G.从Neveu[33]可知，一个非负随机变量族的本质上限几乎肯定是唯一的随机变量。此外，如果A指向上面，即A∨ a′∈ A代表A和A′∈ A、然后存在一个序列（an）n∈在这样的情况下↑ 【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】→ ∞. 完整的证明见[33]中的命题（VI-1.1）。提案3.12。存在一个停止时间序列（τn）n∈n带τnin Tt，t或n∈ N这样的序列（E[R（τN）|Ft]）N∈Nis增加，使vt=limn→∞↑ E[R（τn）|Ft]，P- a、 s.3.2初始放大过滤证明中的值函数。充分证明了集合{E[R（τ）|Ft]；τ∈ Tt，T}是上面的方向。然后这个结果来自Neveu[33]关于本质上确界的已知结果。

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大多数88

2022-5-8 05:55:09

参见Ko bylanski和Quenez[28]，了解关于T0定理3.13中确定性时间t被停止时间代替的一般情况的预防和完整讨论。勒特∈ [0，T]。在G上的r假设2.1和r上的可积条件n（2）下，我们得到了t∈ [0，T]ess supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Fti=ZR（ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti）udPG（u）。证据设τ′∈ Tt，T（G）。根据命题3.3，存在anbF-停止时间τ（.）假设τ′=τ（G），P- A.s我们重新定义了havehr（τ′）|Fti=E[R（τ（G））|Ft]。通过使用给定的G的条件律，我们得到E[R（τ（G））|Ft]=E[E[R（τ（G））|Ft]=EZRR（τ（u））αT（u）dPG（u）| Ft=ZRE[R（τ（u））αT（u）|Ft]dPG（u）=ZREER（τ（u））αT（u）| Fτ（u）|英尺dPG（u）=ZRELτ（u）ατ（u）（u）1[0，T[（τ（u））+ξαT（u）1{T}（τ（u））|FtdPG（u）=ZRE[R（u，τ（u））|Ft]dPG（u）。这里我们使用（αt（u））t的鞅性质∈[0，T]w.r.T F.从备注3.9我们进一步推导出supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Fti=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）E[R（τ（G））|Ft]=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）ZRE[R（u，τ（u））|Ft]dPG（u）=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）ZRbEhR（，τ（）|bFtiudPG（u）=ZRess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiudPG（u），P- a、为了显示最后一个等式，我们需要证明supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiudPG（u）≤ ess supτ（.）∈Tt，T（bF）ZRbEhR（，τ（）|bFtiudPG（u），P- a、相反的不平等是标准。族{bE[R（，τ（.）的可测性|bFt]；τ(.) ∈ Tt，T（bF）}in（ω，u）意味着supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiu=（ess supτ（）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti）u.4 RBSDE从命题3.12开始，在一个初始放大的过滤中，存在sτn（.）∈ Tt，T（bF）使BP- a、 e。

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2022-5-8 05:55:13

我们有多余的supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti=limn→∞bEhR（，τn（）|bFti。因此通过控制收敛性supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiudPG（u）=limn→∞ZRbEhR（，τn（）|bFtiudPG（u）=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）ZRbEhR（，τ（）|bFtiudPG（u），P- a、这最终使我们能够推断出supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Fti=ZRess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiudPG（u）=ZR（ess supτ）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti）udPG（u）。对于Ht=Ft或Gt，我们可以根据产品空间中新的最优停止问题的值函数来计算最优预期收益（6）。由于最优停止问题和反射BSDE都可以通过斯奈尔包络连接，因此在产品空间中寻找相应的RBSDE似乎是很自然的。这将导致我们考虑参数化RBSDE，其中参数由一个随机变量G的可能值给出，该变量最初放大了一个n的基础过滤。研究这种参数化RBSDE将具有独立的意义。这是下一节的目标。由于性质上的鞅表示在RBSDE中起着重要作用，我们需要证明，参考滤波F是对fa布朗运动的自然滤波。4 RBSDE在最初扩大的过滤中4。1 El Karoui等人[9]对反映BSDE（RBSDE）的基本概念进行了布朗基础研究。这类方程的求解过程被限制为使一个给定的过程保持在称为障碍或障碍的状态。我们的工作将[9]归纳为参数化RBSDE，其中参考过滤是布朗运动的自然过滤。设B=（Bt）0≤T≤概率空间上定义的一维布朗运动(Ohm, F、 P）和F=（英尺）0≤T≤B是B的自然过滤，它满足了通常的完工和严格的连续性条件。

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2022-5-8 05:55:16

表示l={X:X FT- 可测随机变量E（|X |）<∞} ,H={X:X=（Xt）0≤T≤t连续可预测过程，EZT|Xt|dt<∞},S={X:X=（Xt）0≤T≤t连续可预测过程，E（sup0≤T≤T|Xt|）∞} ,I={K:K=（Kt）0≤T≤t非递减连续过程，K=0，KT∈ 五十} 。如El K aroui等人[9]所述，考虑满足以下条件的三组s标准参数（ξ，f，L）。2 RBSDE与最优s-topping问题11（i）ξ∈ L（二）f：Ohm ×[0，T]×R×R-→ R表示f（·，·，y，z）是可预测的，EhRTf（·，t，0，0）dti<∞, 对于固定的（ω，t），它在（y，z）中是全局Lipschitz连续的∈ Ohm ×[0，T]；（iii）L∈ Sξ被称为终端变量、f驱动器和L势垒过程。我们总是认为≤ ξ. 三胞胎（Y，Z，K）∈ S×H×I是与（ξ，f，L）相关的反射后向随机微分方程（RBSDE）的解，如果它分别满足以下方程：。任何t的不平等性∈ [0，T]Yt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds+KT- Kt-ZTtZsdBs，Yt≥ Lt，ZT（Yt）- Lt）dKt=0。（11） K控制Y保持在障碍物L上方。条件RT（Yt- Lt）dKt=0，这被称为Korokhod条件，它保证过程K以最小的方式起作用。如果标准三重态满足（i）-（iii），则存在（11）的唯一解（见El Karoui等人[9]）。如果屏障L只是可选的且右上半连续的，则存在RBSDE的唯一解决方案，见Grigorova等人[15]。在这种情况下，组件Y是cadlag。备注4.1。如果f不依赖于y和z，条件（ii）可以简化为（ii*）f：Ohm ×[0，T]-→ R是一个可预测的过程s.t.EhRTftdti<∞.4.2 RBSDE和最优停止问题斯内尔包络线在最优停止问题的值函数和相应RBSDE的解之间提供了良好的联系（例如参见[9]中的El Karoui等人）。

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2022-5-8 05:55:19

我们将把这一点扩展到产品空间中定义的参数化RBS框架。我们首先回顾古典altheory中的一些基本事实。提议4.2。设（Y，Z，K）为RBSDE（11）的解。ThenYt=ess supτ∈Tt，T（F）EZτtf（s，Ys，Zs）ds+Lτ[0，T[（τ）+ξ1{T}（τ）|Ft,其中Tt，T（F）是所有F的集合-值为[t，t]的停止时间。证据见[9]。提案4.3。支持f=（英尺）0≤T≤这是一个F-不依赖于y和z的渐进可测量过程。在假设（i）、（ii*）和（iii）下，带驱动因子f的RBSDE（11）有唯一的解{（Yt，Zt，Kt）；0≤ T≤ T}。证据参见[9]。4.3参数化RBSDE 12从前面的命题可以清楚地看出，在f不依赖于y，z的情况下，RBSDE与通过斯奈尔包络的最优停止问题之间的联系变得非常明确。这在[9]中提到的下列命题中有说明。提议4.4。假设f是一个f-不依赖于y和z的渐进可测过程。在假设（i）、（ii*）和（iii）下，y+R·fsds是一个最优停止问题的值函数，其payoff z·fsds+L1[0，T[+ξ1{T}，其中y i是具有系数f的RBSDE（11）的解三元组的第一个分量∈ [0，T]停止时间τ*= inf{s∈ [t，t]：Ys=Ls}∧ T是最优的，在意义上T=E“Zτ*tfsds+Lτ*[0，T[（τ）*) + ξ1{T}（τ）*)|英尺#。备注4.5。如果f≡ 那么，RBSDE（11）解的第一个组成部分Y是带payoff Lt[0，t[（t）+ξ1{t}（t）和τ的美国控制权的值函数*是买家的最佳交易时间。在续集中，我们假设(Ohm, F、 F，P）是携带一维布朗运动B的过滤概率空间，F=（Ft）0≤T≤这是布朗标准过滤。4.3参数化RBS召回我们的产品空间（bOhm,bF，bF，bP）从（4）开始。

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2022-5-8 05:55:22

为了在下一节的初始放大过滤中获得RBSDE的解决方案，在productspaces框架下的初始放大问题陈述现在引导我们考虑此类产品空间中的RBSDE。作为求RBSDE解的主要依据，我们需要一个鞅表示定理。为此，需要做一些准备。备注4.6。对于一个随机变量X:bOhm → R、我们写X（.），表示参数u∈ R.提案4.7。假设M:bOhm ×[0，T]→ R是anbF-可测量函数，使得对于每个u∈ R、 {Mt（u）}t∈[0，T]是鞅w.r.T F a n dRRE[|Mt（u）|]dη（u）<+∞. 然后{Mt（.）}T∈[0，T]是鞅w.r.tbF。证据对于t∈ [0，T]我们从富比尼的理论中得到了=ZRE[|Mt（u）|]dη（u）<+∞.假设这是≤ t、 C∈ Fs和D∈ B（R）。从Fubini定理和{Mt（u）}t的鞅性质∈[0，T]w.r.T如果我们有BP-a、 s.bE[Mt（.）1C×D（.）=E[ZRMt（u）1CD（u）dη（u）]=ZRE[Mt（u）1C]1D（u）dη（u）=ZRE[Ms（u）1C]1D（u）dη（u）=E[ZRMs（u）1CD（u）dη（u）]=bE[Ms（.）1C×D（.）]。（12） 4.3参数化RBSDE 13现在定义：={A∈bFs:bE[Mt（.）1A（）]=是[女士（.）1A（.）]，英国石油公司- a、 s}和h:={C×D；C∈ 财政司司长∈ B（R）}。从（12）开始，我们有H 此外，H是π-系统和E是λ-系统由Dynkinπ表示- λ定理，我们有A.∈bFs，bE[Mt（.）1A（）]=是[女士（.）1A（.）]。推论4.8。我们定义b:bOhm×[0，T]→ R bybBt（ω，u）：=Bt（ω），其中B=（Bt）t∈[0，T]是一种眉毛运动。r、 t.F.然后根据上述命题，bB（.）是布朗运动w.r.tbF。提案4.9。LetbX:bOhm ×[0，T]→ R和X：Ohm ×[0，T]→ R是两个随机过程，每个过程∈ [0，T]，bXt（ω，u）=Xt（ω），u∈ R.那么我们有σ（bXs（.），0≤ s≤ t） =σ（Xs，0≤ s≤ （t）{, R} ，t∈ [0，T]。证据很明显σ（Xs，0≤ s≤ （t） {, R} 在Bx（.）的自然过滤中继续在[0，t]上。

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2022-5-8 05:55:25

另一方面，由于Bx在第二个变量中是常数，所以Bx的自然过滤（.）在[0，t]上也包含在σ（Xs，0）中≤ s≤ （t） {, R} 。推论4.10。提案4.9意味着forbB（.）在Corolary 4.8中定义，我们有σ（bBs（.），0≤ s≤ t） =σ（Bs，0≤ s≤ （t） {, R} ，t∈ [0，T]。更进一步，因为F=（Ft）0≤T≤这是B产生的自然过滤，然后是σ（bBs（.），0≤ s≤ t） =英尺 {, R} ，t∈ [0，T]。上述命题意味着BB产生的自然过滤（.）是产品过滤BF=（bFt）0的子集≤T≤t按bft=Ts>t（Fs B（R）），t∈ [0，T]。因此，鞅表示性质是否可以推广到乘积空间尚不清楚。然而，利用乘积结构的简单直接论证将证明鞅表示定理从第一个因子延伸到整个空间。要了解更多细节，我们需要以下准备工作。推论4.11。让X:bOhm ×[0，T]→ R是一个BF B（[0，T]）-可测量函数，例如RTX（u）DBS为u定义∈ R、然后是（ZTXs（.）dBs）=bE（ZTXs（.）ds）。证据从E的定义、Fubini定理和Ito的等距thatbE（ZTXs（.）dBs=E[ZR（ZTXs（u）dBs）dη（u）]=ZRE（ZTXs（u）dBs）dη（u）=ZRE（ZTXs（u）ds）dη（u）=bE（ZTXs（.）4.3参数化RBSDE 14我们在（b）上引入了一些辅助空间Ohm,英国石油公司）。让我们来看看这一英尺的空间-平方可积的可测随机变量X，即bE（|X |）<+∞. 我们用BLL表示有界元素的Lconsisting子空间，用BLL表示形式为H（ω）K（u）的随机m变量的线性组合构成的BLL子空间，其中H是FT-可测且有界，K是B（R）-可测量且有界。定理4.12。让M:bOhm → R是anbFT-可测量的随机变量，如th atbE（|M（.|）<+∞.

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2022-5-8 05:55:29

然后就有了独一无二的-可测函数bz:bOhm ×[0，T]→ R、这是可预测的w.R.tbF，比如atbE（RT | bZs（.）|ds）<+∞ a ndM（.）=M（.）+ZTbZs（.）英国星展银行- a、 e，其中M（.）∈男朋友。证据首先我们假设M（.）∈ BL.每M（.）∈ 存在一个序列{Mn（.）}N∈N∈ sbl例如Mn（.）→ M（.）因此，通过线性证明M（ω，u）=H（ω）K（u）的定理∈ SBL。自从H∈ L(Ohm, F是一个布朗过滤比n，根据鞅表示定理，存在唯一的eF-可测量过程Z=（Zt）t∈[0，T]这是可预测的w.r.T Fand E（RT|Zs|ds）<+∞ 使得H=H+ZTZsdBs，P- a、 s，H在哪里∈ F.乘以K，我们得到η- a、 e u∈ RM（u）=M（u）+ZTbZs（u）dBs，P- a、其中M（u）：=HK（u）和bzs（u）：=ZsK（u）。很容易看出M（.）∈bFandbZ（.）isbF-可预测的此外，从K的有界性，我们得到了（ZT | bZs（.）|ds=E（ZT|Zs|ds）（ZRK（u）dη（u））<+∞.因为空集与u无关，所以我们有m（.）=M（.）+ZTbZs（.）英国星展银行- a、 e.现在是M（.）∈ BL，Mn（.）→ M（.）在Lwhere{Mn（.）}N∈N∈ SBL。因此，{Mn（.）}N∈这是科西岛。另一方面，我们必须|锰（.）- 嗯（.）|=是|锰（.）- 嗯（.）|+bE | ZT（bZns（.）-bZms（.））星展银行|！+2bE | Mn（.）- 嗯（.）||ZT（bZns（.）-bZms（.））星展银行|！！。从Mn（.）为了n≥ 1，和4.7的专业位置|锰（.）- 嗯（.）|=是|锰（.）- 嗯（.）|+bE | ZT（bZns（.）-bZms（.））星展银行|！，4.3参数化RBSDE 15自CeBe | Mn（.）- 嗯（.）||ZT（bZns（.）-bZms（.））星展银行|！！≤ cbEZT | bZns（.）-bZms（.）|dBs！andRT|bZns（.）-bZms（.）|DBS是一个具有零期望的鞅w.r.tbF。重新定义{Mn（.）}N∈Nis Cauchy inL和推论4.11{bZn（.）}N∈L（b）中的Nis CauchyOhm×[0，T]）。序列收敛到M（.）响应。bZ（.）。{Mn（.）}的后继c e收敛到M（.）福BP- a、 e.（ω，u）∈BOhm.

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2022-5-8 05:55:33

因此M（.）isbF-可测量的类似地，通过提取一个子序列，我们得到bz（.）isbF-在最终修改产品空间中的一组测量零点后可预测。利用推论4.11和L中极限的唯一性，证明了M（.）∈ BL.最后是M（.）∈ 五十、我们定义：=M（.·）1{| M（.）|≤n} ，n∈ N.然后{Mn（.）}N∈Nis是一个有界随机变量序列。因为∞, 我们有Mn（.）→ M（.）另一方面，在L.中，sinceMn（.）∈ 布莱恩∈ N、对于每一个N，我们得到形式mn（.）的代表锰（.）+ZTbZns（.）英国星展银行- a、 e.其中Mn（.）∈bFandbZn（.）这是anbF吗-可预测的过程。使用推论4.11 aga，以与证明的前一部分类似的方式，我们获得了M（.）∈ L.为了证明唯一性，假设有两个可预测的过程bz（.）和bz（.）就是这样M（.）+ZTbZs（.）dBs=M（.）+ZTbZs（.）英国星展银行- a、然后从推论4.11我们得到0=bEZT（bZs（.）-bZs（.））dBs=贝斯特（bZs（.）-bZs（.））ds！。这意味着对于a.a（ω，u，s）∈BOhm 我们有bZs（ω，u）=bZs（ω，u）。定理4.13。让M:bOhm ×[0，T]→ R是一个BF B（[0，T]）-一个可测函数，使得{Mt（.）}T∈[0，T]isa鞅w.r.tbF和be（|Mt（.|）<+∞, 对于t∈ [0，T]。然后就有了独一无二的-可测函数bz:bOhm ×[0，T]→ R、这是可预测的w.R.tbF，即（RT | bZs（.）|ds）<+∞ 对于t∈ [0，T]，Mt（.）=M（.）+ZtbZs（.）英国星展银行- a、其中M（.）isbF-可测量的证据

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2022-5-8 05:55:36

从鞅性质出发，自MT（.）∈ 我们有∈ [0，T]Mt（.）=bE（MT（）|英国石油公司- a、因此，从前面的定理来看，存在唯一性-可测M（.）∈ 获得独一无二的-可预测过程ssbZ（.）例如：M（.）+ZTbZs（.）英国星展银行- a、因此对于t∈ [0，T]Mt（.）=bE（MT（）|bFt）=M（.）+ZtbZs（.）英国星展银行- a、 e.4.3参数化RBSDE 16由于我们的研究将基于RBSDE和最佳停车问题之间的联系，我们应将注意力集中在RBSDE的发电机f仅为anbF的情况-逐步可测量的过程。现在，通过利用鞅的表示性质（取决于前推定理的参数），我们可以定义和求解乘积空间中的参数化反射BSDE。对于（b）上的概率度量Ohm,bF，bF），我们考虑以下空间sblq={X（.）：X（.）bFT- 可测量的随机变量，bEQ（|X（.|）<∞} ,bHQ={X（.）：X（.）=（Xt（.））0≤T≤t连续可预测过程，bEQZT | Xt（.）|dt<∞},bSQ={X（.）：X（.）=（Xt（.））0≤T≤t连续可预测过程，bEQ（sup0≤T≤T|Xt（.|）∞} ,bIQ={K（.）：K（.）=（Kt（）0≤T≤t非递减连续过程，K（.）=0，KT（.）∈bLQ}。Beq代表测量值Q的期望值。如果Q=bP，我们只需写下Be和al sobS，bH，bI。现在考虑过滤概率空间（bOhm,bF，bF，bP）。从Corolary 4.8开始，B仍然是一个布朗运动w.r.T这个概率空间。现在让一个三元组（ξ（.），f（.），L（.））被给予满意的（i\'）ξ（.）∈bL；（ii）f（）是一个可预测的过程s.t.bEhRTft（.）dti<∞;（iii）L（）∈bS。我们称之为三胞胎（Y（.），Z（.），K（.））∈bS×bH×bI一个参数化RBSDE的解，带有驱动器f（·）、终端变量eξ（·）和势垒L（·），如果Yt（.）=ξ(.) +ZTtfs（.）ds+KT（.）- Kt（.）-ZTtZs（.）dBs0≤ T≤ T、 Yt（.）≥ 中尉（.），0≤ T≤ T、 ZT（Yt（）- Lt（.））dKt（.）=0.（14）备注4.14。

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2022-5-8 05:55:39

对于ηa.e u∈ RYt（u）=ξ（u）+ZTtfs（u）ds+KT（u）- Kt（u）-ZTtZs（u）dBs0≤ T≤ T、 Yt（u）≥ Lt（u），0≤ T≤ T、 ZT（Yt（u）- Lt（u））dKt（u）=0。（15）是RBSDE w.r.t(Ohm, F、 F，P）。这就是我们称RBSDE（14）为参数化RBSDE的原因。与通常情况类似，我们应始终假定LT（.）≤ ξ(.). 利用这些概念，我们可以将RBSDE解的经典存在唯一性定理推广到参数化RBSDE（14），然后在下面的备注中重写Pro position 4.4。定理4.15。在假设（i’、（ii’）和（iii’）下，RBSDE（14）具有唯一的解决方案（Y（.），Z（.），K（.）。证据从（ii\'）开始，f是anbF-逐步可测量的过程，如tha tbEhRTft（.）dti<∞. 因此，根据[9]的术语，RBSDE（14）是一个后向反射问题（BRP）。现在我们可以重写校样了。[9]中关于产品空间BRP的命题5.1的参数化RBSDE 17：大多数证明是相似的。因此，我们只在步骤s中提到ma。为了证明解决方案的存在，我们引入了过程Y（.）=（Yt（.））T∈[0，T]定义的byYt（.）=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bE“Zτ（.）tfs（.）ds+Lτ（.）（.）1[0，T[（τ（.））+ξ(.)1{T}（τ（.））|bFt#，t∈ [0，T]。然后根据[9]中给出的参数，Yt（.）+Rtfs（.）ds是带payoff（）的最优停止问题的值函数=Ztfs（.）ds+Lt（.）1[0，T[（T）+ξ（.）1{T}（T）。根据斯奈尔包络理论，它是支配H（.）的最低空的超高层大风。Y（.）因为H（.）的连续性，所以B是连续的关于区间[0，T]和a假设LT（.）≤ ξ(.). 这意味着H（.）时间T为正。所以Y（.）∈B由下列不平等因素引起：sup0≤T≤TYt（.）≤ cbEξ（.）+ZTfs（.）ds+sup0≤T≤TLt（.）！。由Burkholder不等式和条件（i’，（ii’）和（iii’）得到。

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2022-5-8 05:55:43

用τ表示*（.）停止时间τ*（）=inf{t≤ s≤ T:Ys（.）≤ Ls（.）}∧ T.然后τ*（.）是最优的，在se nse thatYt（.）=bE“Zτ”*（.）tfs（.）ds+Lτ*(.)(.)1[0，T[（τ）*(.)) + ξ(.)1{T}（τ）*（.）bFt（16）现在是连续上鞅Yt（.）的Doob Meyer分解+Rtfs（.）ds产生一个适应的连续过程K（.）=（Kt（）T∈[0，T]和一个连续的非形可积鞅M（.）=（Mt（）T∈[0，T]这样Mt（.）-Ztfs（.）ds- Kt（.），其中K（.）=0和Kt=Kτ*(.). KT（.）的Skorohod条件与平方可积性遵循类似于产品空间中[9]的论点。因此他们-鞅（.）=bE（MT（）|bFt）=bEξ（.）+ZTfs（.）ds- KT（.）|bFt！也是正方形的，即bE（| Mt（.|）<∞, T∈ [0，T]。因此，我们可以使用定理4.13找到过程bz（.）这样Mt（.）=RtbZs（.）ds，wherebE（RT | bZs（.）|ds）<+∞.解的唯一性可以从[9]中的推论3.7中得到，该推论在假设s（i’），（ii’）和（iii’）下的乘积空间上满足。备注4.16。根据（i’，（ii’，（iii’）和（y）的假设+Rtfs（.）ds是一个带有支付函数的最优停止问题的值函数（.）ds+Lt（.）1[0，T[（T）+ξ（.）1{T}（T），其中Yt（.）是RBSDE的解决方案（14）。此外，停止时间τ*（）=inf{s∈ [t，t]：Ys（.）=Ls（.）}∧从某种意义上说，T是最优的=bE“Zτ”*（.）tfs（.）ds+Lτ*(.)(.)1[0，T[（τ）*(.)) + ξ(.)1{T}（τ）*（）|bFt#4.4初始放大过滤中的RBSDE 18，尤其是在f的情况下≡ 0，Yt（.），RBSDE（14）的解决方案，是一个美国式的包含支付的索赔的价值函数1[0，T[（T）+ξ（.）1{T}（T）和τ*（.）是买方的最佳停工时间。备注4.17。

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2022-5-8 05:55:47

通过[9]中定理5.2的证明，可以将定理4.1.5推广到f a lso依赖于y和z，且这两个变量具有全局Lipschitz连续性的情况。4.4 RBSDE在最初扩大的滤波中，我们现在将证明，在（9）中参数化支付函数R的适当条件下，相应的ngvalue函数是同一产品空间上参数化RBSDE的解。为此，请考虑产品空间（bOhm,bF，bF，bP）从（4）开始，其中bP=P Pg和Pg是随机变量G的定律，它携带额外的信息。我们考虑带f的RBSDE（14）≡ 0，L（.）=Lα（.），ξ（.）=ξαT（.），其中l和ξ分别是势垒。常规RBSDE的最终变量（11）。然后我们得到以下参数zedRBSDE-dYt（.）=dKt（.）- Zt（.）dBFt，0≤ T≤ T、 YT（.）=ξαT（.），Yt（.）≥ Ltαt（.），0≤ T≤ T、 RT（Yt）- Ltαt（）dKt（.）=0.（17）由于我们在本节中使用了两种不同的过滤，因此我们用BFta布朗运动w.r.t F.表示上一节中定理4.15和备注4.16中关于αξt（.）的条件（i\'）和（iii\'）和Ltαt（.），RBSDES（17）有一个独特的解决方案（Y（.），Z（.），K（.））∈bS×bH×bI和Yt（.）是支付（·）=Ltαt（·）的非最优停止问题的值函数1[0，T[（T）+ξαT（.）1{T}（T），T∈ [0，T]。定理3.11激励我们定义（.）：=Y（.）α(.). 回想一下，由于关于G，α（.）是一个正连续鞅，所以∈[0，T]αs（.）∞. 这说明我们的定义是合理的。我们将证明，ATBY（G）是RBSDE的解决方案，对应于大型过滤中的优化问题。请注意，对于每个u∈ R、 α（u）是一个鞅w.R.t F，对于每个t∈ [0，T]，它有一个anbF-微不足道的版本。因此从命题4.7，{αt（.）}T∈[0，T]是鞅w.r.tbF。

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大多数88

2022-5-8 05:55:50

如果我们假设它是BP-平方可积，则鞅表示定理4.13产生dαt（.）=βt（.）dBFt，其中β（.）这是anbF吗-与相应obP平方可积的可预测过程。根据伊藤公式，我们可以通过（.）以下RBSDE的满意度：-dbYt（.）=-（βt（）αt（）bYt（.）-Zt（.）αt（.）βt（.）dt+αt（.）dKt（.）-Zt（.）αt（.）-βt（.）αt（.）bYt（.）dBFt，0≤ T≤ T、比亚迪ξ、 bYt（.）≥ Lt，0≤ T≤ T、 RT（bYt）- Lt）αt（.）dKt（.）=0.（18）斯科罗霍德条件具有规定的形式，因为EZT（bYt（.）- Lt）αt（.）dKt（.）=ZT（Yt（）αt（.）- Lt）αt（.）dKt（.）=ZT（Yt（）- Ltαt（）dKt（.）=0，bP- a、 e.我们现在定义（.）=R·αs（.）dKs（.）和bz（.）=Z（.）α(.)-β(.)α(.)由（.）。自α（.）在t和positive中是连续的，bK（.）是一个不断增长的过程≡ 0和dbKt（.）=dKt（.）αt（.）。此外，通过（.），bK（.）和4。4初始放大过滤中的RBSDE 19bZ（.）阿雷夫-可预测的过程。这从BF开始-Y（.）的可预测性，Z（.），K（.），α(.), 和β（.）。此外，我们还有ZTBZ（.）ds≤ 2ZTZs（.）αs（.）ds+2ZTβs（.）αs（.）比斯（.）ds≤ 两杯∈[0，T]αs（.）ZTZs（.）ds+2sups∈[0，T]Ys（.）！小吃∈[0，T]αs（.）！ZTβs（.）ds<∞,英国石油公司- a、 e.，b因为Y（.）在t中是连续的，α（.）连续且严格正的，和Z（.）和β（.）是方形的吗Ohm ×[0，T]。因此，BZ的Ito积分过程与BFZ的对应关系仍然是确定的，并且是一个局部鞅（见[34]，第3页和第5页）。

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2022-5-8 05:55:54

通过类似的论证，可以证明∈[0，T]| bYs（.）|≤小吃∈[0，T]αs（.）！小吃∈[0，T]| Ys（.|）！<∞,英国石油公司- a、 e.此外，由于K（.）∈bI，我们有BKT（.）≤小吃∈[0，T]αs（.）！KT（.）∞,英国石油公司- a、 e.现在我们引入以下空间，对应于H=（Ht）t上的filtrati∈[0，T]在任意概率空间上：\'\'HH={X:X=（Xt）0≤T≤真实航向- 预测表过程，ZT|Xt|dt<∞},\'SH={X:X=（Xt（.））0≤T≤t连续H- 可预测的过程，sup0≤T≤T|Xt|<∞},\'IH={K:K=（Kt）0≤T≤t压痕连续过程，K=0，KTHT- 可衡量的，KT<∞.}因此（bYt（.），bZt（.），bKt（.））0≤T≤T∈“SbF×”HbF×”IBF解决RBSDE问题-dbYt（.）=βt（.）αt（.）bZt（.）dt+dbKt（.）-bZt（.）dBFt，0≤ T≤ T、比亚迪ξ、 bYt（.）≥ Lt，0≤ T≤ T、 RT（bYt）- Lt）dbKt（.）=0，（19）in（b）Ohm,bF，bF，bP）。Skorokhod条件来自（18），si nceZT（bYt（.）- Lt）dbKt（.）=ZT（比亚迪）- Lt）αt（.）αt（.）dKt（.）≤ （支持）∈[0，T]αT（）RT（bYt）- Lt）αt（.）dKt（.）=0.最后的不平等由（.）≥ 五十、自α（.）是积极和持续的。下面的命题回顾了s m aller filteration中局部鞅相对于较大局部鞅的正则分解。4.4 RBSDE在最初扩大的过滤中的应用4.18。任何F-局部鞅M是G-正则分解的半鞅nMt=MGt+Ztd<M，α。（G） >sαs-（G），其中mgg是- 当地的m artingale。证据见定理2.5。[25]中的c。还有[2]和[7]。前向命题与α（.）implybT=BGt+Ztd<BF，α。（G） >sαs-（G） =BGt+Ztβs（G）αs（G）ds。（20）现在考虑（bYt（G），bZt（G），bKt（G））0≤T≤注3.2，它是G的三元组- 可预测的过程。

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2022-5-8 05:55:57

在G处评估（19）并从ab-ove命题中替换bftf（bY（G），bZ（G），bK（G））∈“SG×”HG×”ig将满足以下要求：(Ohm, F、 G，P）：-dbYt（G）=dbKt（G）-bZt（G）dBGt，0≤ T≤ T、 bYT（G）=ξ，bYT（G）≥ Lt，0≤ T≤ T、 RT（bYt（G）- Lt）dbKt（G）=0。（21）RBSDE（21）是一种带有发电机f的初始放大过滤器G中的RBSDE≡ 0.正如我们将在以下章节中看到的，它与我们在初始放大过滤中的最优过滤问题有关。我们将在下面讨论解分量的平方可积性。RBSDE（19）具有一个与y无关的非平凡驱动。与SDE类似，我们可以应用Girsanov的理论来消除它。为此，我们设定为t∈ [0，T]qt（.）：=经验Rtβs（.）αs（.）dBFs-Rt（βs（.）αs（）ds. 那么Girsanov的理论意味着如果β（.）α(.)满足Novikov条件，即Beexp（ZT（βs（）αs（）ds）！<∞, （22）然后qT（.）是一个似然比，它定义了（b）上的一个新概率度量Ohm,bF）bybQ（A）=bEqT（.）1{A}（.）, A.∈bF，在其下BBT（.）：=BFt-Rtβs（.）αs（.）ds是布朗运动。我们现在假设（22）是满足的。在s步（b）上的概率度量Q下Ohm,bF，bF）我们重写（19）以得到以下标准参数（ξ，0，L）w.R.t布朗运动的rb（.），-dbYt（.）=dbKt（.）-bZt（.）dbBt（.），0≤ T≤ T、比亚迪ξ、 bYt（.）≥ Lt，0≤ T≤ T、 RT（bYt）- Lt）dbKt（.）=0.（23）注意BB（G）=BGfrom（20）。从[9]可知，如果（i*）ξ∈bLbQ和（iii*）L∈bSbQ，4.4 RBSDE在一个初始放大的过滤21然后（23）公顷是一个独特的解决方案（通过（.），bZ（.），bK（.））∈bSbQ×bHbQ×bIbQ。此外，由于α（.）严格地说是肯定的，我们有αt（.）=βt（.）dBFt=βt（.）αt（.）αt（.）dBFt。因此，伊藤的公式给出了α（.）=经验Z·βs（.）αs（.）dBFs-Z·（βs）αs（）ds= q（.），和α（.）作为NBP和BQ之间的似然比。备注4.19。

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2022-5-8 05:56:00

从BQ的定义可以很容易地看出，对于ξα（.）和Lα（.），如果α（.）有界吗-a、 e.因此，我们可以说，最优停止问题中的初始放大对应于参数化RBSDE中的一个度量的变化，该度量是基础概率空间和附加信息G取其值的状态空间的乘积。有关完整的讨论，请参见[23]。例如，如果βt（.）αt（.）isbP-a、 e.有界。[12]中研究了这种情况。但它是限制性的，从下面的例子中可以看出，它并不适用于简单的例子。让我们最后讨论R BSDE（17）具有唯一解的条件。因为我们以后会提到这些条件，所以让我们在下面的假设中收集它们。假设4.20。(1) ξ ∈ L（2） L∈ s（3） α：bOhm ×[0，T]→ R+是有界的- a、 e.定理4.21。在假设（4.20）下，RBSDE存在唯一的解决方案（17）。它与美国未定权益的价值函数一致，且支付αt（.）1[0，T[（T）+ξαT（.）1{T}（T）和τ*（）=inf{s∈ [t，t]：Ys（.）=Lsαs（.）}∧T是买家的最佳停车时间。此外，如果满足Novikov的条件（22），则RBSDE（23）具有唯一的解。证据在假设（4.20）下，第4.3节中的可积性条件（i\'）和（iii\'）由ξ（.）=ξαT（.）和L（.）=Lα（.）。因此，根据定理4.15和注释4.16，RBSDE（17）存在唯一解，并且它与产品空间上相应的最优停止问题的值一致。RBSDE（23）解的存在性和唯一性遵循备注4.19。下面的例子表明，对于t>0，βtαt的边界很容易被忽略，尽管α是边界。例4.22。

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