最大限度地减少按比例下降时的预期寿命

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收藏 2022-05-08

英文标题：
《Minimizing the Expected Lifetime Spent in Drawdown under Proportional
Consumption》
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作者：
Bahman Angoshtari, Erhan Bayraktar, Virginia R. Young
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We determine the optimal amount to invest in a Black-Scholes financial market for an individual who consumes at a rate equal to a constant proportion of her wealth and who wishes to minimize the expected time that her wealth spends in drawdown during her lifetime. Drawdown occurs when wealth is less than some fixed proportion of maximum wealth. We compare the optimal investment strategy with those for three related goal-seeking problems and learn that the individual is myopic in her investing behavior, as expected from other goal-seeking research.
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中文摘要：
我们为一个人确定在布莱克-斯科尔斯金融市场上投资的最佳金额，该个人的消费率等于其财富的固定比例，并且希望在其一生中将其财富用于提款的预期时间最小化。当财富低于最大财富的某个固定比例时，就会出现下降。我们将最优投资策略与三个相关目标寻求问题的最优投资策略进行了比较，发现个体的投资行为是短视的，正如其他目标寻求研究所预期的那样。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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Minimizing_the_Expected_Lifetime_Spent_in_Drawdown_under_Proportional_Consumption.pdf
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大多数88

2022-5-8 21:44:12

最大限度地减少比例消耗条件下的预期寿命Bahman Angoshtari*Erhan Bayraktar+Virginia R.Young密歇根阿伯大学数学系，48109，美国2015年8月21日摘要我们为一个消费率等于其财富的固定比例，并希望将其一生中财富用于提款的预期时间最小化的个人，确定投资布莱克斯科尔斯金融市场的最佳金额。当财富低于最大财富的某个固定比例时，就会出现下降。我们将最优投资策略与三个相关目标寻求问题的最优投资策略进行了比较，发现个体的投资行为是短视的，正如其他目标寻求研究所预期的那样。JEL学科分类。C61，G02，G11。AMS科目分类。初级，49L20，60H30；第二，35Q93关键词。水位下降，占用时间，最优投资，随机控制，自由边界问题。1简介当投资者投资组合的价值下降到其最大价值的固定比例时，就会发生减值。Angoshtari et al.[1]和Chen et al.[6]计算了最佳投资策略，以最大限度地降低投资者投资期间发生提款的可能性*电子邮件：bango@umich.edu+电子邮件：erhan@umich.edu，E.Bayrak tar感谢国家科学基金会在DMS-0 955463号拨款下提供的财政支持电子邮件：vryoung@umich.edu，V.R.Young感谢塞西尔·J.和埃塞尔·M·内斯比特教授的财务支持。生活如果出现下降，他们认为问题基本上就结束了；然而，当提款发生时，个人必须继续投资和消费。因此，在本文中，我们确定了一种投资策略，以最小化个体在其一生中花费在缩编上的预期时间。

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mingdashike22

2022-5-8 21:44:15

Bayraktar和Young[4]解决了将个人财富在特定时间间隔内花费的预期时间最小化的问题，即[-五十、在她的一生中，L>0大；也就是说，他们将预期终身职业最小化。本文的工作与[4]的不同之处在于，个人通过控制财富最大化来控制职业间隔（具体来说，是缩减区域）。在大多数涉及缩减的研究中，财富被限制在不经历缩减；早期参考文献见格罗斯曼和周[9]以及Cvitani\'c和Karatzas[8]，近期参考文献见Kardaras等人[10]。然而，如果个人持续从其投资账户中消费，那么就无法阻止提款，因此最小化提款的预期时间是一个合理、客观的目标。在一篇相关论文中，张[13]考虑了一维时间同质差异的缩减，他将缩减定义为财富以恒定量降至其最大值以下，而不是本文中所谓的相对缩减。在[13]的第4.5节中，作者计算了落差在独立指数时间之前所花费时间的拉普拉斯变换。然而，张[13]并没有像我们一样控制这种差异。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们描述了财务模型和提取过程中的定义（生命）时间。在第3节中，我们计算了在提取过程中花费的寿命的最小预期，并将最优投资策略与三个相关目标寻求问题的最优投资策略进行了比较。

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能者818

2022-5-8 21:44:19

在我们的主要结果定理3.2中，我们证明了个人在投资行为上是短视的，正如其他追求目标的研究所预期的那样。2在第2.1节中，我们描述了个人投资的金融市场，并定义了衡量提款预期寿命的价值函数。然后，在第2.2节中，我们提出了一个验证引理，我们在第3节中使用它来解决投资者的控制问题。2.1背景和问题陈述我们假设投资者在Black-Scholes市场持续交易，没有交易成本。允许借贷和卖空。市场由两种资产组成，一种是无风险资产组，另一种是风险资产组。无风险资产以恒定利率r>0获得利息。风险资产的价格遵循几何布朗运动，由dst=St（udt+σdBt）给出，其中u>r、σ>0和（Bt）t≥0是过滤概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P），其中fti是σ（Bu:0）的增大≤ U≤ t）。让WT表示在时间t时个人投资账户的财富≥ 0，让πt表示在时间t投资于风险资产的美元金额≥ 0.投资政策{πt}t≥如果是满足RTπsds<∞几乎可以肯定，尽管如此≥ 0.我们假设投资者的（净）消费率与她的财富成正比，也就是说，当财富等于w时，它等于κw，κ>r。然后，财富过程遵循动态SDWT=[-(κ - r） Wt+（u）- r） πt]dt+σπtdBt，t≥ 0，其中W=W>0。如果财富达到0，我们将0视为财富的吸收状态，因此所有t的Wt=0≥ inf{s:Ws≤ 0}.定义最大财富Mtat时间t byMt=最大sup0≤s≤tWs，M,其中包括M=M≥ w（可能不同于w=w）允许个人拥有财务过去。

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能者818

2022-5-8 21:44:23

我们所说的下降时间是指个人财富在0到αMt之间的时间，其中α∈ (0, 1). 具体地说，用XT表示在时间t上或之前所花费的时间，soXt=X+Zt{Ws≤αMs}ds，其中X=X≥ 0.我们所说的预期寿命是指个体在死亡前的预期寿命。具体来说，我们指的是Xτd的期望值，其中τd是投资者的随机死亡时间。我们假设τ以指数分布且危险率λ>0，即P（τd>t）=e-λt.如果财富达到0，那么个人的余生将在缩减中度过，预期时间为λ。用ψ（w，m，x）表示在提取过程中花费的最小预期寿命，其中w，m和x表示拥有财富的个人的一个条件是当前时间，最大（过去）财富m和（以前）在提取x中花费的时间。因此，ψ（w，m，x）=inf{πt}Ew，m，x（xτd），（2.1），其中我们最小化了过度允许的投资策略，Ew，m，xin表明我们将预期条件设置为w=w，m=m，x=x。如果r isky资产u的漂移小于无风险利率r，那么个人将最优地投资于风险资产，也就是说，她将“短”它。因此，为了保持对高风险资产的投资为正，我们假设u>r。此外，投资者希望在承担更多风险时获得更高的回报，因此我们假设u>r，因为eσ>0.2.2验证引理。本节，我们提供了一个验证引理，该引理将值函数ψ描述为一个边值问题的唯一解。我们不证明这个定理，因为它的证明与文献中的其他证明相似；例如，参见[11]、[6]或[1]。

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能者818

2022-5-8 21:44:26

LetD={（w，m）∈ （R+）：0≤ W≤ m} ，对于每个π∈ R、定义以下微分算子LπbyLπf=(-(κ - r） w+（u）- r） π）fw+σπfww- λf+1{w≤αm}，其中f是关于w的二次可微函数。引理2.1让φ=φ（w，m）是D上的C2,1函数（可能在w=αm时除外，当w=αm时，它将是C1,1，并具有左、右二次w导数），该函数随w递减和凸，随m递增。假设φs解决了以下边值问题。infπLπφ（w，m）=0，0<w<m，φ（0，m）=λ，limw→M-φww（w，m）=+∞.（2.2）然后，（2.1）中提取ψ所花费的最小预期寿命等于ψ（w，m，x）=φ（w，m）+x（D×R+），投资于风险资产的最佳金额由π以反馈形式给出*t=-u - rσφw（w）*t、 M*t） φww（W）*t、 M*t），（2.3）对于t∈ [0，τd），其中W*还有M*分别是最优控制财富和最大财富。备注2.1条件limw→M-φww（w，m）=+∞ 这意味着，当财富接近当前最大值时，风险资产的投资金额接近0，这防止了最大财富的增加，因为由此产生的负漂移和财富过程中的零波动是w→ M-. 对于我们的问题，以及Ch e n等人[6]考虑的相关问题，即在与财富成比例的消费下，使寿命下降的概率最小化，最大财富不超过当前最大值是最优的。就是说，M*t=m，概率为1，对于所有t≥ 0.直觉上，如果maximumwealth增加，那么提取水平也会增加，因此提取中的待处理时间将变得更像l。

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大多数88

2022-5-8 21:44:30

因此，最好不要让最大的财富增加。由φ∈ C2,1，我们的意思是φ相对于第一个参数w是cw，相对于第二个参数m是cw；同样，对于C1，1。这种行为只会发生在按比例消费的情况下；例如，在恒定消耗c>0的情况下，在最小化寿命下降的概率时，如果最大财富足够接近所谓的安全水平c/r，则最好将所有最大财富增加到安全水平；见Angoshtari等人[1]。如果我希望她一生中的财富持续减少，那么她一生中的财富也会持续减少。另一方面，在本文的设置中，没有安全级别，因为κ>r引理2.1允许我们将三维问题简化为二维问题。由于消费与财富成正比，我们可以进一步降低问题的维度，如下推论所述。推论2.1假设ζ=ζ（z）是[0,1]上的一个C函数（可能在α处除外，在α处，它将是C，并且具有左、右secon d导数），该函数减少了d凸。假设ζ解下列边值问题λζ = -(κ - r） zζz- Δζzζzz+1{z≤α} ，0<z<1，ζ（0）=λ，limz→1.-ζzz（z）=+∞,（2.4）其中δ=u - rσ. （2.5）然后，（2.1）中提取ψ所花费的最小预计寿命由ψ（w，m，x）=ζ（w/m）+x（2.6）在D×R+上给出，并且当w*t=w和M*t=由π给出的mis*（w，m）=-u - rσmζz（w/m）ζzz（w/m），（2.7）与水位下降时间X无关*t=x.3最小预期寿命s在本节中，我们解决了（2.1）中的优化问题。

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何人来此

2022-5-8 21:44:33

在第3.1节中，我们首先分析了一个辅助自由边界问题（FBP），然后在第3.2节中，通过勒让德变换将FBP的解与水位下降的预期寿命联系起来。在第3节。3.研究了最优投资策略的性质；特别是，我们将其与三个相关目标寻求问题的最优投资策略进行了比较。3.1相关自由边界问题考虑[y]上的以下FBP，∞), 0<y<yα<∞ 待定。λ^ζ（y）=-（r）- κ - λ） y^ζ（y）+δy^ζy（y）+1{y≥yα}，^ζy（y）=1，^ζy（y）=0，^ζy（yα）=α，limy→+∞^ζ（y）=λ。（3.1）在下面的命题中，我们给出了这个FBP的解。命题3.1[y]上自由边界问题（3.1）的解，∞) 由^ζ（y）给出=γ- γ1.- γγyyγ-1.- γγyyγ, Y≤ y<yα，λ+αyαγyyαγ、 y≥ yα，（3.2），其中γ=2δh（r- κ - λ+δ）+p（r- κ - λ+δ+4λδi∈ （0,1），（3.3）γ=2δh（r- κ - λ + δ) -p（r）- κ - λ+δ+4λδi<0。（3.4）自由边界的比值y1α：=yyα∈ （0，1）唯一解1- γγ- γy1-γ1α-1.- γγ- γy1-γ1α=α，（3.5）自由边界yα>0可以用y1αasyα=λ的项s表示1.- γγ(γ- γ） y1-γ1α-1.- γγ(γ- γ） y1-γ1α-αγ-1，（3.6）和自由束缚a ry y=yα·y1α。此外，除了y=yα外，^ζ是负的、凹的和c的，其中它是c，并且具有左和右的secon d导数。证据首先，请注意，存在唯一的解决方案y1α∈ （3.5）中的（0,1）。

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能者818

2022-5-8 21:44:36

实际上，（3.5）的左侧相对于y1α增加∈ (0, 1); 当y1α=0时，（3.5）的左侧等于0<α；当y1α=1时，左边等于1>α。由于这些性质，y1α的数值解（3.5）是非常稳定的。接下来，可以直接证明（3.2）中的表达式满足（3.1）中的微分方程，并且它满足自由边界条件^ζy（y）=1和^ζy（y）=0，以及边界条件limy→+∞^ζ（y）=1/λ。（3.5）中的表达式意味着（3.2）中的^ζ满足自由边界条件^ζy（yα）=α；类似地，（3.6）中的表达式暗示^ζ在y=yα时是连续的。因此，^ζ是Cat y=yα。另外，请注意，（3.6）中给出的yα是正的，因为括号中的三项都是正的。最后，我们证明了（3.2）中给出的^ζ是递增的和凹的。为此，观察^ζy（y）=1.- γγ- γyyγ-1.-1.- γγ- γyyγ-1，y≤ y<yα，αyyαγ-1，y≥ yα和^ζy（y）=-(1 - γ)(1 - γ)γ- γ\"yyγ-2.-yyγ-2#y，y≤ y<yα，-α(1 - γ） yαyyαγ-2，y>yα。（3.7）因为^ζy（y）<0表示所有y≥ y（y6=yα）和limy→+∞^ζy（y）=0，我们得出结论，（3.2）中给出的^ζ在[y]上增加且凹，∞). 3.2 FBP和预计使用寿命之间的关系在本节中，我们证明FBP（3.1）的解（3.2）的勒让德变换满足BVP（2.4），从而为最低预期使用寿命提供了一个隐式表达式。因为^ζ是凹的，我们可以定义它的凸对偶，就像下面的命题一样。我们通过使用ζ来表示^ζ的Legendretransform，稍微滥用了表示法，但正如我们将看到的，ζ因此定义为满足推论2.1的条件，并求解（2.4）。命题3.2通过ζ（z）定义^ζ的勒让德变换：=maxy≥Y^ζ（y）- yz, Z∈ [0, 1].

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mingdashike22

2022-5-8 21:44:39

（3.8）然后，ζ解了边值问题（2.4），并且是递减的、凸的和C，除了atz=α，当它是C时，它有左二阶导数和右二阶导数。证据（3.8）右侧的优化器y=y（z）求解一阶条件^ζy（y）- z=0；因此，y（z）=I（z），其中I是^ζy的反函数。因此ζ（z）=^ζ（I（z））- 子（z）。（3.9）（3.9）表示ζz（z）=I（z）；因此，y（z）=ζz（z）。此外，ζz（z）=I（z）意味着ζzz（z）=-1/^ζy（I（z）），由此得出ζ在[0,1]上递减且凸。很明显，ζ是C，除了z=α，这里是C，它有左二阶导数和右二阶导数。通过使用这些关系，并将y=I（z）=ζz（z）代入^ζ的FBP（3.1），我们得出ζ解（2.4）中的微分方程。接下来，z=0是y的“对偶”→ +∞因为当y接近时，^ζ的斜率接近0+∞; 因此，ζ（0）=limy→+∞^ζ（y）=1/λ。最后，z=1与y=y是“对偶”的，因为当y=y时，^ζ的斜率等于1；因此，林茨→1.-ζzz（z）=-1/利米→y^ζy（y）=+∞. 我们已经证明ζ解BVP（2.4）。下面的定理提供了一个隐式表达式，表示在下降过程中所花费的最小预期寿命。定理3.1下降ψ的最小预期寿命等于ψ（w，m，x）=x+λ+1 - γγαyαwαm-γ1-γ, 0 ≤ W≤ αm，y（1）- γ)(1 - γ)γ- γγyyγ-γyyγ, αm<w≤ m、（3.10）最优投资策略由π以反馈形式给出n*t=π*（W）*t、 M*t），其中*还有M*分别是最优控制的财富和最大财富，以及π*由π定义*（女，男）=u - rσ（1）- γ） w，0<w<αm，u- rσm（1）- γ)(1 - γ)γ- γ\"yyγ-1.-yyγ-1#，αm<w≤ m、（3.11）在（3.10）和（3.11）的第二个表达式中∈ [y，yα）唯一解1- γγ- γyyγ-1.-1.- γγ- γyyγ-1=wm，（3.12），其中Yan和yα在命题3.1中定义。z=α与y=yα“对偶”，因为当y=yα时，^ζ的斜率等于α。证据

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何人来此

2022-5-8 21:44:43

我们使用推论2.1从命题3.1和3.2证明这个定理。事实上，由于（3.8）中定义的ζ解BVP（2.4），因此推论2.1得出ψ（w，m，x）=ζ（w/m）+x和π*（w，m）=-u-rσmζz（w/m）/ζzz（w/m）。为了z∈ [0，α]，我们可以显式地计算^ζ的勒让德变换，得到ζ（z）=λ+1- γγαyαzα-γ1-γ;因此，我们得到了ψ和π的第一个表达式*分别在（3.10）和（3.11）中。为了z∈ （α，1），我们不能显式计算^ζ的勒让德变换，但我们有ψ和π的隐式（第二）表达式*分别在（3.10）和（3.11）中，就双变量y而言。具体而言，对于w∈ （αm，m]，y=y（z）∈ [y，yα）唯一地解出^ζy（y）=w/m，这相当于（3.12）。作为y的函数∈ [y，yα），ψ（w，m，x）=x+^ζ（y）- y·w/m，在我们将（3.12）中的w/m和（3.2）中的第一个表达式中的^ζ（y）替换后，它成为（3.10）中的第二个表达式。类似地，作为y的函数∈ [y，yα），π*（w，m）=-u-rσm y^ζy（y），在我们从（3.7）中的第一个表达式替换^ζy（y）后，它成为（3.11）中的第二个表达式。备注3.2请注意，风险资产的最佳投资金额与Y无关。事实上，解决方案yy∈ （3.12）的[1，yα/y）独立于y，一旦我们有了y，那么π的表达式*（w，m）对于αm<w≤ m独立于y.3.3最优投资策略在本节中，我们比较π*针对三个相关的目标追求问题，给出了最优投资策略。首先，Young[12]表明，在比例消费下，当破产水平wr>0时，使终身破产概率最小化的最优投资策略由πr（w）=u给出- rσ（1）- γ） w，（3.13）代表w≥ wr，其中γ如（3.3）所示。注意πris与破产水平wr无关。第二，陈等人。

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何人来此

2022-5-8 21:44:46

[6] 确定了最优投资策略，以最小化比例消耗下寿命下降的可能性。通过使用第3.1节和第3.2节的方法，我们可以证明，使寿命下降概率最小化的最佳投资策略由πd（w，m）=u给出- rσm（1）- γ)(1 - γ)γ- γ\"yyγ-1.-yyγ-1#，（3.14）表示w>αm，其中≥ 1（3.12）。第三，Cohen和Young[7]解决了最小化破产低贫困概率的问题（包括恒定消费和比例消费）。人们可以把他们的问题看作是财富占据给定时间间隔的最小化的概括；关于恒定消耗的占用时间问题的解决方案，请参见[4]。作为[7]的特例，πo（w）给出了使区间[0，αm]的预期占用时间最小化的最优投资策略，其中m>0固定且独立于财富过程=u - rσ（1）- γ） w，0<w<αm，u- rσ（1）- γ） w，w>αm，（3.15），其中γ和γ分别在（3.3）和（3.4）中给出。在下面的定理中，我们比较了最优投资策略π*在（3.11）中给出了这三种策略。定理3.2≤ w<αm，wr>0小，π*（w，m）=πo（w）>πr（w）。（3.16）对于αm<w≤ m、 π*（w，m）=πd（w，m）<πo（w）=πr（w）。（3.17）特别是π*（αm）-, m） >π*（αm+，m）。证据对于0<w<αm，π*（w，m）>πr（w），由1- γ> 1 > 1 - γ. 对于αm<w≤ m、 π*（w，m）<πr（w）等价于（1）- γ)(1 - γ)γ- γ\"yyγ-1.-yyγ-1#< (1 - γ） wm。将（3.12）中的w/m代入并简化后，该不等式被视为等价于γ<γ，这显然是正确的，因为γ<0<γ。从四种投资策略的表达式中可以清楚地看出（3.16）和（3.17）中的等式。

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mingdashike22

2022-5-8 21:44:50

在提款时，最小化预期提款时间的个人或最小化预期占用时间（相同间隔）的个人进行相同的投资，这是一种短视投资，这并不奇怪，因为当一个人处于提款时，她所做的任何事情都不会影响其最大财富，并且在提款或占用期间产生的时间惩罚是相同的。两种策略（π）*与最小化终身破产概率时相比，πo）在风险资产中的投资更大，因为在内向时，前者持续产生时间惩罚，而后者仅在破产发生时产生时间惩罚。当不在提款期时，最小化预期提款时间或最小化提款发生概率的个人投资相同，这是近视的另一个例子。这种对应关系一开始似乎令人惊讶，因为前者直到财富在αm以下花费正的时间才产生惩罚，但后者在财富达到αm的瞬间产生最大惩罚。然而，如果财富达到αm，那么它将在αm以下花费正的时间，概率为1。此外，当不处于下降状态时（或当不占用[0，αm]时，我们将αm视为独立于占用者的财富过程），最小化占用时间或最小化任何正破产水平的破产概率的个人进行相同的投资，即第三个近视样本。如前一段所述，这种对应关系一开始似乎令人惊讶，因为前者在财富在αm以下花费正的时间之前不会产生惩罚，但后者在财富达到毁灭水平（我们可以将其设置为αm）时会产生最大惩罚。

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nandehutu2022

2022-5-8 21:44:53

然而，如前一段所述，如果财富达到αm，那么它将在αm以下花费正时间，概率为1。最后，当没有下降时，π*= πdare小于πo=πr因为最小化预期提款时间的个人会进行投资，以使最大财富不会增加到当前水平以上，但如果财富增加到任意大的规模，最小化短期（独立于财富过程）占用时间的个人会感到高兴。我们观察到在其他目标寻求问题上的短视投资。Bayraktar和Young[3]发现，在持续消费和无借贷投资约束的情况下，最佳投资策略可以最小化终身破产的可能性，也就是说，个人在风险资产上的投资不得超过其当前财富。在这种约束下，当约束没有约束时（特别是在更高的财富水平上），个人投资就好像约束不存在一样。最近，Bayraktar等人[2]和Bayraktar及Young[5]分别确定了最佳投资策略，以最大限度地提高在有人寿保险和无人寿保险的情况下实现遗赠目标的可能性。在那些最好不要购买人寿保险的财富地区（特别是在较低的财富水平），个人投资就好像没有人寿保险一样。我们推测，这种关于约束和机会的短视是目标寻求问题中的规则，而不是例外。参考文献[1]巴赫曼·安戈什塔里（Bahman Angoshtari）、埃尔汉·贝拉克塔尔（Erhan Bayraktar）和弗吉尼亚·R·杨（Virginia R.Young）。在恒定消耗下最小化寿命下降的概率。工作文件，米希根大学，2015年。[2] Erhan Bayraktar、S.David Promislow和Virginia R.Young。购买人寿保险以在消费时达到遗赠目标。

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kedemingshi

2022-5-8 21:44:57

工作文件，密歇根大学，2015年。[3] Erhan Bayraktar和Virginia R.Young。在借贷约束下最小化终身破产的概率。保险：数学与经济学，41（1）：196–2212007。[4] Erhan Bayraktar和Virginia R.Young。最佳投资策略，最大限度地减少占用时间。运筹学年鉴，176（1）：389-4082010。[5] Erhan Bayraktar和Virginia R.Young。最佳投资以达到遗赠目标。工作文件，密歇根大学，2015年。[6] 陈新福、大卫·兰德里奥、李斌和李东辰。最大限度地降低终身投资的提款风险。工作文件，滑铁卢大学，2015年。[7] 阿萨夫·科恩和弗吉尼亚·R·杨。最大限度地减少贫困带来的终生破产的可能性。工作文件，密歇根大学，2015年。[8] Jaksa Cvitani\'c和Ioannis Karatzas。关于提款约束下的投资组合优化。IMA数学与应用课程讲稿，65:77–881995。[9] 桑福德·J·格罗斯曼和周仲泉。控制提款的最佳投资策略。数学金融，3（3）：241-2761993。[10] 康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯、扬·奥布·洛伊和埃克哈德高原。对于资金缩减受限的投资，num’eraire属性和长期增长最优性。数学金融，2014年。[11] 王婷和弗吉尼亚·R·杨。最小化终身破产概率的最优可交换年金。保险：数学与经济学，50（1）：200-2162012。[12] 弗吉尼亚·R·杨。最小化终身破产概率的最优投资策略。《北美精算杂志》，8（4）：106–126，2004年。[13] 张洪忠。占用时间、提取和一维常规差异提取。《应用概率的进展》，47（1）：210–230，2015年。

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