Hilbert空间中边界场的表示与逼近

2022-5-9 05:55:26

这类范围在分析上是可处理的，并为噪声系统动力学的概率描述提供了一个框架，它比传统的随机偏微分方程更为普遍（见Barndorff-Nielsen、Benth和Veraart[1]）。继Barndorff Nielsen和Schmiegel[5]之后，范围域定义为实值随机域R+×Rd和过滤概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥形式为（1.1）Z（t，x）=ZtZAg（t，s，x，y）σ（s，y）L（dy，ds）。这里，（t，x）∈ R+×A，A RDI是Borel可测子集，称为范围集，g是R+×R+×Rd×Rd上的可测重值函数，σ是R+×Rd上的实值可预测随机场。函数g有时被称为核函数，σ是对波动性或间歇性的建模。最后，L是一个L’evy基，其中σ和L是独立的。在本文中，我们将注意力限制为平方可积L′evy基。此外，我们假设L的平均值为零。利用沃尔什的积分概念（见沃尔什[23]），如果（1.2）Z[0，t]×Ag（t，s，x，y）E[σ（s，y）]Var（L′（y，s））c（dy，ds）<∞,其中c是控制测度，L′是与L相关的L′evy种子。事实上，Var（L′（x，t））c（dx，dt）等于L的协方差测度的Radon Nikodym导数。我们参考Barndorff Nielsend Schmiegel[5]或Barndorff Nielsen，Benth和Veraart[4]的最新调查论文，了解有关范围及其性质和应用的详细信息和讨论。关于沃尔什引入的随机场随机积分应用于范围场的分析，见Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[1]。请注意，我们考虑范围Z时不会出现漂移，并将注意力限制在积极的时间t上。

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2022-5-9 05:55:29

此外，在Barndorff Nielsen和Schmiegel[5]对范围的一般定义中，范围集A也可以依赖于时间和空间（t，x）。我们在这里避免这种一般性，因为在大多数情况下，这种依赖性可以包含在内核函数g的规格中。日期：2018年7月16日。F.E.Benth感谢挪威研究理事会资助的研究项目“管理能源市场中的天气风险（MAWREM）”和“金融、保险、能源、天气和随机（FINEWSTOCH）”提供的财政支持。H.Eyjolfsson感谢Finansmarkedsfondet的财务支持。2 BENTH和Eyjolfsson本文的目的是定义一类在Hilbert空间中具有值的Volterra过程，它提供了范围域的有限维公式。我们将这些过程称为Hambit场，指的是希尔伯特空间值结构。在定义了Hambit字段之后，我们讨论了一些具体示例，并将Hambit字段与（1.1）中的“经典”范围Z（t，x）联系起来。在温和的条件下，我们可以计算Hambit场的特征泛函的一个相当明确的表达式。如果Lis是维纳基，则Hambit场成为条件高斯希尔伯特值随机变量。我们的主要结果之一是将Hambit场表示为波动率调制Volterra过程的加权序列。波动率调制Volterra过程推广了L′evy半平稳过程，其中Ornstein-Uhlenbeck过程是一个特例。

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2022-5-9 05:55:32

L’evy半平稳过程已被应用于能源现货价格模型（见Barndorff-Nielsen、Benth和Veraart[2]），而在Barndorff-Nielsen，Benth和Veraart[3]领域已被提议作为能源远期市场的模型。因此，用波动率调制Volterra过程的加权序列表示Hambit场，为我们提供了基于Mbit场的现货和远期市场模型之间的有用理论联系。这个结果显示了将范围提升到Hilbert空间的能力，这提供了一种使用基函数展开来显示这种表示的简单方法。关于能源现货和远期市场以及多因素商品定价模型的广泛讨论，我们参考Benth、ˇSaltyt˙eBenth和Koekebakker[8]。Hambit场可以看作是Hilbert空间中的Volterra过程。通过积分和核函数中的简单时间分裂，它们可以被视为一阶随机偏微分方程的温和解，该方程在从R+到Hambit场状态空间的希尔伯特函数空间中形成。我们在R+上构造了此类函数的显式空间，推广了R+上实值绝对连续函数的Filipovic空间（参见Filipovic[17]）。通过一个评估图，我们可以将随机偏微分方程的解线性转化为一个Hambit场。随机映射的可交换性来自于线性映射的可交换性。利用Hambit场作为随机偏微分方程边界解的解释，我们发展了一种迭代有限差分格式。该格式是在Hambit场的状态空间中制定的，在核函数上的某些Lipschitz条件下，该格式的收敛速度是可控的。

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2022-5-9 05:55:35

我们的结果为范围域的数值研究提供了一个框架，与Eyjolfsson[16]提出的基于傅里叶的方法不同。我们的结果如下。在下一节中，我们将定义Hambit域，研究一些基本方面，并根据波动率调制的Volterra过程开发一个系列表示。在第3节中，我们引入了一个随机偏微分方程，我们可以将hambit场作为边界解。最后，第4节致力于发展和分析这个随机偏微分方程的有限差分格式。2.HAMBIT场的定义和分析在本节中，我们介绍了一类Hilbert空间值Volterra过程，它提供了（1.1）中定义的范围的一般定义。在续集中，我们将使用三个可分离的Hilbert空间U、V和H，其中我们用（·、·）和相应的范数······，i=U、V、H来表示各自的内积→ σ（t）是一个无值可预测的随机过程。介绍可测函数Γ：R+→ L（U，L（V，H）），其中L（V，H）是从V到H的有界算子空间，L（U，L（V，H））是从U到L（V，H）的有界算子空间。注意，因为H是希尔伯特空间，所以L（V，H）变成了Banach空间，这再次证明了L（U，L（V，H））在各自的算子范数下是Banach空间。通过过程σ的可预测性，我们发现∈ [0，t]7→ Γ（s，t）（σ（s））∈ L（V，H）是可预测的。最后，假设过程是可积的。用Q表示∈ L（V）L的协方差算子，是一个对称的非负有限迹类算子。请注意，我们使用符号L（V）表示L（V，V），并且我们不假设σ和L之间存在独立性。我们定义了一个Hambit字段，如下所示：定义2.1。

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2022-5-9 05:55:38

假设每个t≤ T，（2.1）E[ZtkΓ（T，s）（σ（s））Q1/2kHSds]<∞,HILBERT空间3中范围场的表示与逼近，其中k·Khsde注意到L（V，H）上的HILBERT-Schmidt范数。然后是H值随机过程{X（t）}t∈[0，T]定义的asX（T）=ZtΓ（T，s）（σ（s））dL（s），被称为Hambit字段。我们注意到，根据Peszat和Zabczyk[20，第8.6节]，Γ和σ的条件使得关于L的随机积分得到了很好的定义，事实上，以下等距保持（2.2）Eh | X（t）| Hi=EZtkΓ（t，s）（σ（s））Q1/2kHSds.下一个引理（引理2.2）给出了（2.1）的一个便利充分条件。假设每个t≤ T thatZtkΓ（T，s）kopE[|σ（s）|U]ds<∞,然后条件（2.1）成立。这里，k·kopdenotes是L（U，L（V，H））中的算子范数。证据如果{vm}m∈在V中是一个ONB，然后通过定义Hilbert-Schmidt范数和Γ（t，s）（σ（s））∈L（V，H）yieldkΓ（t，s）（σ（s））Q1/2kHS=∞Xm=1 |Γ（t，s）（σ（s））Q1/2vm | V≤ kΓ（t，s）（σ（s））kop∞Xm=1 | Q1/2vm | V≤ kΓ（t，s）kop |σ（s）| UkQ1/2kHS。由于Q是跟踪类运算符，因此结果如下。我们注意到，“核函数”Γ和“波动性”σ的可积性的充分条件与经典范围的类似条件有一些相似之处（见（1.2））。让我们来看一个由Benth、R¨udiger和S¨uss[12]的分析推动的哈姆比特领域的例子。考虑以下形式的随机波动率调制的Ornstein-Uhlenbeck过程：（2.3）dX（t）=AX（t）dt+σ（t）dW（t），X（0）=X∈ H、其中A是H上的一个（可能是无界的）线性算子，它被密集定义并生成一个Csemigroup S。此外，假设W是一个具有协方差算子Q的H值Wiener过程。因此，我们选择V=H。假设波动过程σ（t）是可预测的，并在H上的Hilbert-Schmidt算子空间中取值，表示为LHS（H）。

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2022-5-9 05:55:43

因此，我们假设U=LHS（H），并且回想一下，当H是一个可分离的Hilbert空间时，LHS（H）在HilbertSchmidt范数下就变成了一个可分离的Hilbert空间。（2.3）的温和溶液为（2.4）X（t）=StX+ZtSt-sσ（s）dW（s）。请注意，只要我们有（2.5）E，随机积分就可以很好地定义ZtkSt-sσ（s）Q1/2kHSds< ∞.现在，定义Γ（t，s）∈ L（LHS（H））asΓ（t，s）：σ7→ 圣-sσ。对于任何σ∈ LHS（H），圣-sσ变成了H上的一个线性带边算子，由于σ是希尔伯特-施密特，所以它是St-sσ也是希尔伯特·施密特。因此，Γ（t，s）将H上的Hilbert-Schmidt算子线性映射到它自己。此外，因为我们有kΓ（t，s）kop=supkσkHS≤1kΓ（t，s）（σ）kHS=supkσkHS≤1kSt-sσkHS≤ kSt-斯科普苏普∑kHS≤1kσkHS4 BENTH和EYJOLFSSONand因此kΓ（t，s）kop≤ kSt-skop<∞. 通过C-半群上的一般指数增长界和Hilbert-Schmidt范数估计，我们发现kΓ（t，s）（σ（s））Q1/2kHS=kSt-sσ（s）Q1/2kHS≤ kQ1/2kopMew（t）-s） kσ（s）KHSF表示正常数M和w。但是，根据引理2.2，中兴[kσ（s）kHS]ds<∞,以确保可集成性。因此，我们得出结论，（2.4）中定义的X中的随机积分是一个哈姆比特场。在Benth、R¨udiger和S¨uss[12]中，考虑了随机波动过程σ的特殊定义。实际上，他们提出了BNS随机波动率模型（见Barndorff-Nielsen和Shephard[6]）对算子值Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程的推广。为此，假设Y（t）是一个对称的非负有限过程，其LHS（H）中的值由dynamicdy（t）=CY（t）dt+dZ（t）定义，其中Z（t）是一个LHS（H）值的平方可积L′evy过程和C∈ L（LHS（H））。在C和Z上的适当条件下，我们可以确保Y（t）是对称的、非负的有限Hilbert-Schmidt算子（详见Benth、R¨udiger和S¨uss[12]）。此外，遵循Prop中的论点。

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2022-5-9 05:55:46

3.1在Benh，R¨udiger和S¨uss[12]中，我们可以证明Tr（Y（t））=Tr（eCtY）+Tr（ZteCsdsE[Z（1）]，andE[kσ（t）kHS]=∞Xk=1（σ（t）hk，hk）H=Tr（Y（t））。因此，由于C的C半群exp（Ct）是Bochner可积的，因为C是有界的，并且Z（1）有明确的预期值，因此根据Bochner积分的连续性，t 7→ Tr（Y（t））在有限的时间间隔上是可积的。这表明，我们可以将Y1/2（t）作为一个随机波动过程σ来定义一个Hambit字段。让我们回到汉比特领域的一般性讨论。我们的下一个结果涉及两个不同Hambit场的L-近邻。引理2.3。假设Hambit fieldsxi（t）=ZtΓi（t，s）（σi（s））dL（s），i=1，2，完全满足引理2.2的前提。那么，呃| X（t）- X（t）|嗨≤ kQ1/2kHSZtkΓ（t，s）- Γ（t，s）kopEh |σ（s）| Uids+kQ1/2kHSZtkΓ（t，s）kopE|σ（s）- σ（s）|Uds，尽管如此≥ 0.证明。通过恒等式Γ（t，s）（σ（s））- Γ（t，s）（σ（s））=（Γ（t，s）- Γ（t，s））（σ（s））+Γ（t，s）（σ（s）- σ（s）），等距（2.2）和引理（2.2的证明），它认为Zt（Γ（t，s）- Γ（t，s））（σ（s））dL（s）H#≤ kQ1/2kHSZtkΓ（t，s）- Γ（t，s）科佩赫|σ（s）|安第斯山Uids”ZtΓ（t，s）（σ（s）- σ（s））dL（s）H#≤ kQ1/2kHSZtkΓ（t，s）kopEh |σ（s）- σ（s）| Uids，希尔伯特空间5中范围场的表示和近似，由此得出结论。作为上述结果的应用，我们考虑将给定的Hambit场近似如下：设∏n:={si}ni=1，n=1，2，是一个[0，t]的分区序列，使得max1≤我≤N-1 | si+1- |↓ 0.让每n∈ N、 N（s）t=2-1Xi=1Γ（t，si）1（si，si+1）（s）和σn（s）：=n-1Xi=1σ（si）1（si，si+1]（s），是[0，t]上Γ（t，·）和σ（·）的相应分段常数近似。

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2022-5-9 05:55:50

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2022-5-9 05:55:54

考虑第一个术语：注意∈[0，t]E|σ（s）- σn（s）|U≤ 2个SUP∈[0，t]E[|σ（s）|U]+2个sups∈[0，t]E[|σn（s）|U]≤ 4杯∈[0，t]E[|σ（s）|U]，sincesups∈[0，t]E[|σn（s）|U]=supsi∈πnE[|σ（si）|U]≤ 小吃∈[0，t]E[|σ（s）|U].6 BENTH AND Eyjolfssonthus，ZtkΓ（t，s）- Γn（t，s）kopE|σ（s）- σn（s）|Uds≤ 小吃∈[0，t]kΓ（t，s）- Γn（t，s）kopZtE|σ（s）- σn（s）|Uds≤ 四餐∈[0，t]E[|σ（s）|U]sups∈[0，t]kΓ（t，s）- Γn（t，s）kop，当n→ ∞ 通过一致连续性。总之，对于这些关于Γ和σ的特殊正则条件，我们确保假设1成立。当Γ（t，s）等于一个C-半群，Γ（t，s）=St时，这种情况尤其相关-s、在下一个命题中，我们将介绍Hambit场的特征函数：命题2.4。假设假设1成立，假设σ独立于L∈ H、我们有[exp（i（H，X（t））H）]=E经验ZtψL（（Γ（t，s）（σ（s）））*h） ds,式中，ψLis是L（1）的累积量泛函。证据设{si}ni=1b是[0，t]的一个划分，并表示si=si+1- 西昂L（si）=L（si+1）- L（si）表示i=1，N-1.然后，通过L的独立增量性质和利用σ和L之间的独立性进行双重调节，我们得出“expi（h，n-1Xi=1Γ（t，si）（σ（si））L（si）H！#=E“E”表达式（h，n-1Xi=1Γ（t，si）（σ（si））L（si））H|σ（·）##=E“n-1Yi=1E[exp（i（h，Γ（t，si）（σ（si））L（si））H）|σ（·）#=E“n-1Yi=1E[exp（i（Γ（t，si）（σ（si）））*HL（si））H）|σ（·）#=E“n-1Yi=1exp（ψL（Γ（t，si）（σ（si）））*h）#。最后一个等式来自L’evy Kintchine公式（见Peszat和Zabczyk[20，Thm.4.27]）。根据柯西-施瓦兹不等式，它认为e[|（h，X（t））h- （h，Xn（t））h |]≤ |h |他|X（t）- Xn（t）|H1/2，其中Xn（t）由（2.7）定义。因此，援引不平等| eix- 艾伊|≤ |十、- y |，代表x，y∈ R、 andLemma 2.3，完成证明。考虑L=W，H中的维纳过程。

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mingdashike22

2022-5-9 05:55:57

那么，W（1）的累积量泛函是ψW（v）=-（Qv，v）v（见Peszat和Zabczyk[20，Thm.4.27]）。如果σ独立于W，我们通过命题2.4发现，对于任何h∈ 他[exp（i（h，X（t））h）]=E经验-Zt（Q（Γ（t，s）（σ（s）））*h、（Γ（t，s）（σ（s）））*h） Vds= E经验-Zt（h，Γ（t，s）（σ（s））Q（Γ（t，s）（σ（s）））*h） Hds希尔伯特空间7=E中边界场的表示与逼近经验-（h，ZtΓ（t，s）（σ（s））Q（Γ（t，s）（σ（s）））*dsh）H.我们将最后一个期望中的ds积分解释为算子空间中的Bochner积分。结论是，当L=W且σ与W无关时，Hambit场变成了一个高斯随机变量，条件是σ。实际上，X（t）|σ（·）是一个具有协方差算子qx（t）|σ（·）=ZtΓ（t，s）（σ（s））Q（Γ（t，s）（σ（s））的H值高斯过程*D和平均值等于零。我们讨论Hambit过程的平稳性。设Γ（t，s）：=Γ（t）- s）一会儿。选择与时间无关的非随机波动率σ（s）：=σ∈ 五、我们得到了[e xp（i（h，X（t））h）]=exp的特征泛函ZtψL（（G（s））*h） ds,式中G（s）：=Γ（s）（σ）。如果是7→ ψL（（G（s）*h）∈ L（R+），那么我们看到X（t）的特征泛函有一个极限→∞E[exp（i（h，X（t））h）]=expZ∞ψL（（G（s））*h） ds.阿苏米格∞千克（s）克朗∞, 我们可以定义H值过程（2.10）Xstat（t）=Zt-∞G（s）dL（s），其特征泛函[exp（i（h，Xstat（t））h）]=expZ∞ψL（（G（s））*h） ds.因此，X（t），当t→ ∞ 在分布中等于。过程Xstat（t）是X（t）的固定版本。我们注意到，范围通常被定义为静态过程（见Barndorff Nielsend Schmiegel[5]）。再次假设L=W，我们发现X的平稳分布在H中是高斯分布，协方差算子qxstat=Z∞G（s）QG（s）*平均值等于零。

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nandehutu2022

2022-5-9 05:56:00

作为Hambit场渐近平稳的一个具体例子，我们可以考虑具有恒定非随机波动性的Ornstein-Uhlenbeck过程（2.3）。在这种情况下，Γ（t，s）=St-s、其中s是由A.2.1生成的C-半群。与经典领域的关系。我们将Hambit领域与范围的经典定义联系起来，见（1.1）。设U是Borel可测子集a上实值函数的Hilbert空间 Rn，n∈ N.考虑可测实值函数（t，s，x，y）7→ g（t，s，x，y），其中0≤ s≤ t<∞, 十、∈ B、 y∈ A、 B Rd，d∈ N是Borel可测子集。设V是a的borel子集上的Hilbert测度空间∈ U、我们定义了VΓ（t，s）（σ）：=ZAg（t，s，·y）σ（y）上的线性算子，对于任何μ，由Γ（t，s）（σ）u=ZAg（t，s，·y）σ（y）u（dy）给出∈ V.如果设H是B上实值函数的Hilbert空间，那么在g上的适当假设和Hilbert空间的选择下，可以有Γ（t，s）（σ）u∈ H代表u∈ V和Γ（t，s）∈U（V，L））。假设σ（s）是一个U值随机过程，使得Γ（t，s）（σ（s））对于V值L’evy过程L是可积的。然后我们得到，X（t，X）=ZtZAg（t，s，X，y）σ（s，y）L（dy，ds），8 BENTH和Eyjolfsson，这是一个经典领域。请注意，我们在这里选择使用时间上非平稳的核函数g。在上面的X（t，X）中，L’evy过程L是一个度量。L’evy基不是一种度量，但非常接近（关于希尔伯特值过程和L’evy基的讨论，参见Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[1]）。更具体地说，选择n=d=1，让A=B=R+。

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kedemingshi

2022-5-9 05:56:03

假设U=V=H，设U为R+上绝对连续函数的Filipovic空间（见Filipovic[17]），即R+上的实值函数sf，其弱可微且（2.11）| f | w:=f（0）+Z∞w（y）| f′（y）| dy，对于非递减权函数w:R+→ [1, ∞) 令人满意的∞W-1（y）dy<∞. 我们用（·，·）w表示这个可分离的希尔伯特空间Uw及其内积∈ Uw，我们需要施加条件，使得Γ（t，s）（σ）f=Z∞g（t，s，·，y）σ（y）f′（y）dy是Uwfor all（t，s）中带s的元素≤ t<∞ 和f∈ Uw。接下来，我们需要有Γ（t，s）（σ）∈L（Uw）和Γ（t，s）∈ L（Uw，L（Uw）），而且是s7→ Γ（t，s）（σ（s））对于Uw值的L′evy过程L是可积的。我们在下一个引理中收集条件：引理2.5。设σ是一个可预测的Uw值过程，假设x7→ g（t，s，x，y）∈ 对于a.e.（t，s，y）来说，是这样的≥ s≥ 0Z∞W-1（y）| g（t，s，·y）| wdy<∞,o 和t≥ 0，Z∞W-1（y）Zt|g（t，s，·y）| wE[|σ（s）| w]ds dy<∞.然后我们有一个经典的范围x（t，x）=ZtZ∞g（t，s，x，y）σ（y）L（dy，ds）与x（t，·）∈ UWT<∞.证据对于σ，σ∈ Uw，我们显然有Γ（t，s）（σ+σ）=Γ（t，s）（σ）+Γ（t，s）（σ）。此外，forf，f∈ Uw，也可以直接看到Γ（t，s）（σ）（f+f）=Γ（t，s）（σ）f+Γ（t，s）（σ）f。因此，为了证明Γ（t，s）∈ 我们必须证明线性算子是有界的。为此，请注意kΓ（t，s）kop=sup |σ| w≤1kΓ（t，s）（σ）kop=sup |σ| w，| f | w≤1 | Z∞g（t，s，·，y）σ（y）f′（y）dy|w.通过定义（2.12）|Γ（t，s）（σ）f|w=（Z）∞g（t，s，0，y）σ（y）f′（y）dy）+Z∞w（x）（Z）∞gx（t，s，x，y）σ（y）f′（y）dy）dy，其中gx表示关于g的第三个参数的弱导数。

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2022-5-9 05:56:06

通过柯西-施瓦茨不等式，我们找到了第一项（Z∞g（t，s，0，y）σ（y）f′（y）dy）=（Z）∞W-1/2（y）g（t，s，0，y）σ（y）w1/2（y）f′（y）dy）≤Z∞W-1（y）g（t，s，0，y）σ（y）dyZ∞w（y）| f′（y）| dy≤Z∞W-1（y）g（t，s，0，y）σ（y）dy | f | w.HILBERT空间中范围场的表示与逼近9但根据微积分基本定理和Cauchy-Schwartz不等式，σ（y）=（σ（0）+Zyσ′（z）dz）≤ 2σ（0）+2（Zyσ′（z）dz）=2σ（0）+2（Zyw）-1/2（z）w1/2（z）σ′（z）dz）≤ 2σ（0）+2Zyw-1（z）dzyw（z）|σ′（z）|dz≤ 2（1+Z）∞W-1（z）dz）|σ| w。因此，我们发现（z）∞g（t，s，0，y）σ（y）f′（y）dy）≤ 2Z∞W-1（y）g（t，s，0，y）dy（1+Z）∞W-1（y）dy）|σ| w | f | w.对于（2.12）中的第二个积分，类似的论点如下：∞w（x）（Z）∞gx（t，s，x，y）σ（y）f′（y）dy）dy=Z∞w（x）（Z）∞W-1/2（y）gx（t，s，x，y）σ（y）w1/2（y）f′（y）dy）dx≤Z∞w（x）Z∞W-1（y）gx（t，s，x，y）σ（y）dy dx | f | w=Z∞Z∞w（x）w-1（y）gx（t，s，x，y）dxσ（y）dy | f | w≤ 2Z∞W-1（y）（Z）∞w（x）gx（t，s，x，y）dx）dy（1+Z）∞W-1（z）dz）|σ| w | f | w。这些估计意味着Γ（t，s）（σ）kop≤ |σ| w2（1+Z）∞W-1（z）dz）z∞W-1（y）|g（t，s，·，y）|wdy和kΓ（t，s）kop≤ 2（1+Z）∞W-1（z）dz）z∞W-1（y）| g（t，s，·，y）| wdy，因此Γ∈ L（Uw，L（Uw））通过引理的假设。对于L-可积性，我们首先注意到，由于σ（s）被假定为可预测的，因此s 7→Γ（s，t）（σ（s））是可预测的。我们必须证明可积条件（2.1）成立：ZtkΓ（t，s）（σ（s））Q1/2kHSds≤ EZtkΓ（t，s）（σ（s））kopkQ1/2kHSds≤ 2kQ1/2kHS（1+Z）∞W-1（z）dz）×z∞W-1（y）Zt | g（t，s，·y）| wE|σ（s）|wds-dy，由引理的假设确定。因此，证据是完整的。在X（t，X）的表示中，我们使用了符号L（dy，ds）=yL（y，ds）dy，在哪里Yi是关于y的部分（弱）导数。我们注意到，我们可以定义经典范围x（t，x）=ZtZAg（t，s，x，y）σ（s）L（dy，ds）10 BENTH和EYJOLFSSONbyX（t，x）=ZtZ∞g（t，s，x，y）1（y）∈ A） σ（s）L（dy，ds），对于某些Borel可测子集A R+。

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2022-5-9 05:56:09

我们注意到| g（t，s，·，y）1（y∈ A） | w=1（y）∈ A） |g（t，s，·，y）|w，因此∞W-1（y）| g（t，s，·y）1（y）∈ A） | wdy=ZAw-1（y）| g（t，s，·，y）| wdy≤Z∞W-1（y）| g（t，s，·，y）| wdy。因此，我们可以在g上施加稍微较弱的Uw范数可积性条件（上面的中间估计），或者我们可以假设引理2.5中给出的强条件。在后一种情况下，我们观察到，这种条件为我们提供了a.2.2所有选择的经典范围。用波动率调制的Volterra过程表示Hambit场。我们证明了在随机波动场σ：命题2.6上，在一定的正则性条件下，Hambit场可以表示为波动调制Volterra（VMV）过程的可数和。让{un}n∈N、 {vm}m∈南德{hk}k∈Nbe ONB分别在U、V和H。假设ztkΓ（t，s）kop∞Xn=1E[（σ（s），un）U]1/2！ds<∞.然后汉比特场X（t）可以用L表示(Ohm) 澳大利亚证券交易所（t）=∞Xn，m，k=1Yn，m，k（t）hk，其中t7→ Yn，m，k（t），0≤ T≤ T、 n，m，k∈ N是由yn定义的实值VMV过程，m，k（t）=Zt（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）UdLm（s），Lm:=（L，vm）V，m∈ N是均值为零的实值平方可积L′evy过程。证据我们可以用L（t）来代表L（t）=∞Xm=1（L（t），vm）Vvm，其中Lm:=（L，vm）相对于实值平方可积均值为零的L′evy过程。因此，X（t）=∞Xm=1ZtΓ（t，s）（σ（s））vmdLm（s）。但是Γ（t，s）（σ（s））vm∈ H、因此随机积分rtΓ（t，s）（σ（s））vmdLm（s）∈ 他很好。因此，a.s.，ZtΓ（t，s）（σ（s））vmdLm（s）=∞Xk=1（ZtΓ（t，s）（σ（s））vmdLm（s），hk）Hhk=∞Xk=1Zt（Γ（t，s）（σ（s））vm，hk）HdLm（s）hk。最后一个等式是定义H值适应过程相对于实值L’evy过程的随机积分。

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nandehutu2022

2022-5-9 05:56:12

这意味着x（t）=∞Xm，k=1Zt（Γ（t，s）（σ（s））vm，hk）HdLm（s）hk。HILBERT空间中边界域的表示与逼近最后，表示σ（s）=P∞n=1（σ（s），un）Uunto find（Γ（t，s）（σ（s））vm，hk）H=∞Xn=1（σ（s），un）U（Γ（t，s）（un）vm，hk）H，由内积的线性和算子Γ（t，s）的连续性决定。接下来我们展示zt（Γ（t，s）（σ（s））vm，hk）HdLm（s）=∞Xn=1Zt（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）UdLm（s）。注意，由于L’evy过程是一个平方可积鞅，我们通过对鞅的随机积分的定义（见Protter[21]）eZt（Γ（t，s）（σ（s））vm，hk）HdLm（s）-NXn=1Zt（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）UdLm（s）！= EZt∞Xn=N+1（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）UdLm（s）！= E[Lm（1）]中兴通讯∞Xn=N+1（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）U！dsBy Minkowski的不等式（见Folland[18，第186页]），我们有∞Xn=N+1（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）U！1/2≤∞Xn=N+1EΓ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）U1/2≤ kΓ（t，s）kop∞Xn=N+1E（σ（s），un）U1/2，因为，使用碱基是正交的，|（t，s）（un）vm，hk）H|≤ |Γ（t，s）（联合国）vm|H |香港|H≤ kΓ（t，s）（un）kop | vm | V≤ kΓ（t，s）kop|un|U.因此，中兴通讯∞Xn=N+1（Γ（t，s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）U！ds≤ZtkΓ（t，s）kop∞Xn=N+1E[（σ（s），un）U]1/2！ds，当N时趋于零→ ∞ 根据假设。结果如下。注意实值L′evy过程{Lm}∞m=1固定在支柱中。2.6以上均不独立。它们甚至不是零相关的，除非ONB{vm}k∈n由Q的特征向量组成。实际上，对于k，m，wehave[（L（t），vm）V（L（t），vk）V]=（Qvm，vk）V∈ N.此外，我们还观察到如果Γ（t，s）=Γ（t-s），也就是说，内核是以平稳形式指定的，然后是实值过程Yn，m，k（t）。2.6变成，Yn，m，k（t）=Zt（Γ（t- s）（un）vm，hk）H（σ（s），un）UdLm（s），12 BENTH和Eyjolfsson这实际上是一个L’evy半平稳（LSS）过程。

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2022-5-9 05:56:15

Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[2]将DLSS过程应用于能源市场的现货价格建模。此外，Benth等人使用涉及L’evy驱动的连续时间自回归移动平均过程的因子模型来描述电力现货价格。[10] 扩展了基于维纳驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的经典商品现货市场模型。连续时间自回归移动平均过程是LSS过程的特例（天气建模中的分析和讨论见Brockwell[13]和Benth andˇSaltyt˙e Benth[7]）。Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[3]提出将范围领域作为面向能源市场的建模工具。我们的结果是道具。2.6表明，任何范围都可以表示为一个有限的LSS（或VMV）因子模型，为使用LSS（或VMV）过程和范围作为商品市场价格建模工具的基本原理提供了强有力的理论依据。Prop中Γ和σ的可积条件。2.6强于引理2.2中关于Hambit场X的充分条件。事实上，根据Parseval恒等式（和Tonelli定理）E[|σ（s）|U]=∞Xn=1E[（σ（s），un）U]表示{un}n∈只要asP∞n=1E[（σ（s），un）U]1/2<∞, 存在N∈ N使得e[（σ（s），un）U]1/2<1表示N≥ N.因此E[（σ（s），un）U]≤ E[（σ（s），un）U]1/2。因此，道具中的条件。2.6意味着引理2.2的条件成立。假设{an}n∈这是一个严格的正数序列，比如P∞n=1a-1n<∞. 然后，通过柯西-施瓦兹不等式∞Xn=1E[（σ（s），un）U]1/2=∞Xn=1a-1n！∞Xn=1anE[（σ（s），un）U]！。因此，（2.13）∞Xn=1anZtkΓ（t，s）kopE[（σ（s），un）U]ds<∞,是道具的充分条件。2.6等待。让我们考虑一个例子。设U是均值为零且η为0的U值平方可积L′evy过程∈ L（R+）。

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2022-5-9 05:56:18

假设σ（t）是U值OU过程σ（t）=Ztη（t- s）杜（s）。这是一个在希尔伯特空间U中具有值的LSS过程的非常简单的定义。由于U是平方可积的，它有一个协方差算子qon U，我们假设ONB{un}是qu的特征向量集，具有相应的特征值λn。作为QUis正定义，我们有0≤ （qun，un）U=λn，即所有特征值均为非负。我们发现（σ（t），un）U=∞Xk=1Zt（η（t-s）英国，联合国）UdUk（s）=∞Xk=1Ztη（t-s）（英国，联合国）UdUk（s）=Ztη（t-s） dUn（s），其中Un（s）=（U（s），Un）Uis是一个平方可积实值L’evy过程，平均值为零。但是，E[（σ（t），un）U]=E[（Ztη（t- s） dUn（s））]=λnZtη（s）ds。Prop中的可积条件。2.6因此成为TkΓ（t，s）kop∞Xn=1pλn（Zsη（v）dv）1/2！ds=∞Xn=1pλn！ZtkΓ（t，s）kopZsη（v）dv ds。因此，由于η∈ L（R+），Prop中的可积条件。2.6满足ifRtkΓ（t，s）kopds<∞ 安德普∞n=1√λn<∞. 请注意∞ > kQUkHS=P∞n=1λn，弱于√λn.我们发现Tr（Q1/2U）=P∞n=1√λn，所以√λnis相当于假设Q1/2uh为有限轨迹。HILBERT空间中边界场的表示和近似13A Prop的自然应用。2.6是截断有限和，以获得Hambit场X的近似值。为此，定义（2.14）XN，M，K（t）：=NXn=1MXm=1KXk=1Yn，M，K（t）hk，对于N，M，K≥ 其中，Yn，m，k（t）在命题2.6中给出。此外，它还通过反复应用明可夫斯基不等式（见福兰德[18，第186页]）得出：E|X（t）- XN，M，K（t）|H1/2≤∞Xn=N+1∞Xm=M+1∞Xk=K+1 | hk | HE|Yn，m，k（t）|1/2，还要注意|Yn，m，k（t）|≤ （E[|Lm（1）|]）1/2Zt |（t，s）（un）vm，hk）H | E[|（σ（s），un）U |]ds。鉴于各自的ONB，因此可以使截断的Hambit场（2.14）引起的误差任意小。

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2022-5-9 05:56:21

另一方面，在一般集合中，收敛速度不容易导出，并且需要对希尔伯特空间上的一些更多结构进行量化。有时，可以方便地用H中给定的“好”向量的有限集合来表示Hambit场。为此，设{ξ，ξ，…，ξn}为H的n个线性独立元素，用Hn表示H的子空间。注意，{ξi}ni=1可以是H的基函数的子集，但通常不是。介绍投影算子Pn:H→ 定义为（2.15）Pn（f）=（f，~ξn）′HH-1n~ξn，表示f∈ 这里，（f，~ξn）′H=（（f，ξ）H，（f，ξn）H′∈ Rn，~ξ是坐标为ξ，ξ，…，的向量，ξn和hn坐标为（ξi，ξj）H，i，j=1，…，的对称n×n-矩阵，n被假定为可逆的。我们从基本泛函分析中回忆起，Pn（f）是Hn中使距离最小的元素，即| f-Pn（f）| H=infg∈Hn | f-g | H.在下一个命题中，我们陈述了高斯情况下投射到HN上的Hambit场的表示：命题2.7。设L=W为V值维纳过程。那么对于任何n∈ N存在一个N维标准布朗运动~B（t）=（B（t）。。。，使pn（X（t））=Ztγ（t，s）d~B（s）′H-1n~ξn，其中γ（t，s）是对称正定义随机n×n方差协方差矩阵x（t，s）={（Q1/2Γ（t，s）（σ（s））的平方根*ξi，Q1/2Γ（t，s）（σ（s））*ξj）V}ni，j=1。证据通过定义，我们得到了pn（X（t））=（X（t），~ξn）′HH-1n~ξn，可以写成asPn（X（t））=Tn（X（t））\'H-1n~ξn，对于运算符Tn∈ 由tn（f）定义的L（H，Rn）=（f，H）H，（f，hn）H′。注意，对于任何~x∈ Rn，我们有（f）′~x=（f，T）*n（~x））H，因此T*N∈ L（Rn，H）isT*n（~x）=~x′~ξn。

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2022-5-9 05:56:24

2.1在Benth和Kr¨uhner[11]中，我们得到了n维布朗运动B的存在性，使得tn（X（t））=Ztγ（t，s）d~B（s），14 Benth和Eyjolfsson对于γ（t，s）∈ Rn×nwhereγ（t，s）=TnΓ（t，s）（σ（s））QΓ（t，s）（σ（s））*T*n、但根据相关经营者的定义tnΓ（t，s）（σ（s））QΓ（t，s）（σ（s））*T*n（~x）=C（s，t）~x。通过定义，矩阵C（t，s）显然是对称的。因为，对于任何~x∈ Rn，我们发现~xTC（s，t）~x=|Q1/2Γ（s，t）（σ（s））*h | V≥ 0，其中h:=Pni=1xihi∈ H、 C（s，t）的正不确定性如下。因此，C有一个平方根，这个屋顶是完整的。在实际情况下，我们的目标是选择ξisuch，以便C中的元素易于计算。我们注意到~βn:=H-1/2n~ξ是Hn的正交基元的n维向量。3.HAMBIT场和双曲面通过变量的简单变化，人们可以将HAMBIT场视为在边界处计算的线性双曲面的解。在本节中，我们将进一步详细分析这种联系。为此，leteH是R+上强可测H值函数的可分Hilbert空间，并用Sξ表示ξ≥ 0由Sξf=f（ξ+·）定义的右移位运算符∈埃夫。我们假设{Sξ}ξ≥0是C-半群oneH。Sξ的发生器被视为ξ= /ξ、作为一个密不可分的无界运营者。以SPDE（3.1）dY（t）为例ξY（t）dt+Γ（t+·t）（σ（t））dL（t），初始值为Y（0）∈嗯。我们假设每f∈ H和t∈ R+，映射（3.2）R+7→ H:ξ7→ Γ（t+ξ，t）（σ（t））f是h的一个元素，而Γ（t+·t）（σ（t））是h的一个元素∈ L（V，eH）。此外，我们假设（3.3）EZtkΓ（s+·s）（σ（s））Q1/2kHSds< ∞这使得（3.1）中的随机积分项得到了很好的定义。

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2022-5-9 05:56:27

请注意，Hilbert-Schmidt范数与V-toeH的线性算子有关，被积函数的可预测性由Hambit场的定义来保证。假设（3.1）、（3.4）E中SPDE噪声项的附加可积性条件ZtkΓ（t+·s）（σ（s））Q1/2kHSds< ∞.然后，Peszat和Zabczyk[20，第9章]给出了（3.1）的唯一温和解，由可预测的EH值随机过程Y（t），Y（t）=StY（0）+ZtSt给出-sΓ（s+·s）（σ（s））dL（s）=StY（0）+ZtΓ（t+·s）（σ（s））dL（s）。（3.5）我们得到了以下结果，可用于将Y与Hambit场X联系起来。命题3.1。假设{Φ（s）}s∈R+是一个可预测的过程，L（V，eH）中的值是L-可积的。IfL∈ L（eH，H），然后lztΦ（s）dL（s）=ZtLΦ（s）dL（s）。希尔伯特空间中边界场的表示与逼近。首先请注意，RTΦ（s）dL（s）取H中的值，而TLΦ（s）dL（s）取H中的值∈ L（V，H）。此外，由于L是有界算子，|LΦ（s）v | H≤ 克尔科普|Φ（s）v | eH，安第斯山脉ZtkLΦ（s）Q1/2kHSds≤ 克尔科佩ZtkΦ（s）Q1/2kHSds< ∞,通过Φ的可积性假设。因此，s 7→ LΦ（s）是L-可积的。在L（V，eH）中，LeteΦ是一个简单的过程，例如eΦ（s）=nXk=1eΦk1（sk）-1.≤ s<sk）。ThenLeΦ（s）=nXk=1LeΦk1（sk-1.≤ s<sk），是一个简单的过程，在L（V，H）和lzteΦ（s）dL（s）=LnXk=1eΦk中(L（sk））=nXk=1LeΦk(L（sk））=ZtLeΦ（s）dL（s）。因此，这个命题适用于简单的过程。设{eΦn}n∈Nbe一系列简单的过程，例如Ztk（eΦn（s）- ΦQ1/hsds（2ks）→ 0n时→ ∞. 它能支撑，EZtk（LeΦn（s）- LΦ（s））Q1/2kHSds≤ 克尔科佩Ztk（eΦn（s）- Φ（s））Q1/2kHSds因此{LeΦn}n∈Nis是一个近似于LΦ的简单过程序列。

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2022-5-9 05:56:30

因此，通过定义随机积分，我们发现ztlΦ（s）dL（s）=limn→∞中兴通讯Φn（s）dL（s）。作为一个线性有界算子，我们找到任意序列{Xn}n∈Nof平方可积随机变量使E[| Xn- X |呃]→ 0代表X∈呃当n→ ∞, 撒林→∞E[| L（Xn）- 十） |H]≤ kLkoplimn→∞E[|Xn- X | eH]=0。因此，LxN在L中收敛到LX(Ohm; H）。因为，根据定义，ZtΦ（s）dL（s）=limn→∞中兴Φn（s）dL（s），它遵循LZTΦ（s）dL（s）=L limn→∞中兴Φn（s）dL（s）=limn→∞LZteΦn（s）dL（s）=limn→∞ZtLeΦn（s）dL（s）=ZtLΦ（s）dL（s）。这一命题如下。作为推论，我们得到以下结果：推论3.2。假设评估图δx:eH→ H代表x≥ 由δxf=f（x）定义的0是丰富的线性算子，即δx∈ L（eH，H）表示任何x≥ 如果Y（0）=0，那么X（t）=δY（t）表示Y in（3.5）。16 BENTH和EYJOLFSSONProof。靠道具。3.1因此，δZtΓ（t+·s）（σ（s））dL（s）=ZtΓ（t，s）（σ（s））dL（s），例如，评估图与随机积分交换。在接下来的第4节中，我们将基于SPDE（3.1）解Y的有限差分近似，为X开发一个迭代方案。接下来，我们构造一个Spaceh的显式示例。3.1. 一个例子。我们定义了R+上Hilbert空间值函数的Filipovic空间。我们的扩展基本上遵循了菲利波维奇[17]的步骤，并基于所谓的向量值函数的基本性质。给定一个可分希尔伯特空间H，其范数|·|由内积（·，·）H表示。让我们回顾一下我们需要的向量值函数的一些基本事实（见Hunter[19]）。首先，函数f:R+→ H是Bochner可积的当且仅当它是弱可测的且Zr+|f（x）|Hdx<∞.弱可测性意味着x7→ （f（x），g）H:R+→ R对于每个g都是可测量的∈ H

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2022-5-9 05:56:33

我们注意到，由于H是一个可分离的希尔伯特空间，弱可测性等价于强可测性（见Hunter[19]，Thm.6.16，第197页）。设Lloc（R+；H）是局部Bochner可积函数的空间SF:R+→ H.根据Def。6.31，亨特[19]第201页，函数f∈ 如果存在f′，则称Lloc（R+；H）是弱可微的∈ Lloc（R+；H）使得Zr+f（x）φ′（x）dx=-所有φ的ZR+f′（x）φ（x）dx∈ C∞c（R+）。上面的积分是博希纳意义上的积分。我们现在准备定义一个H值“光滑”函数空间。定义3.3。对于非递减函数w∈ C（R+）和w（0）=1，定义为=F∈ Lloc（R+；H）|存在f′的存在∈ Lloc（R+；H）使kf kw<∞,式中kfkw=|f（0）|H+Z∞w（x）| f′（x）|Hdx。用h·，·iw表示内积hf，giw=（f（0），g（0））h+Z∞w（x）（f′（x），g′（x））Hdx，代表f，g∈ 观察kfkw=hf，f-iw。提议3.4。（Hw，k·kw）是一个可分Hilbert空间。证据该证明采用了Thm的论点。5.1.1在菲利波维奇[17]中，对希尔伯特值函数进行了修改。为了方便读者，我们把细节包括在这里。观察到L（R+；H）是一个希尔伯特空间，H×L（R+；H）也是一个范数为k·k的希尔伯特空间*:= | · |H+k·kL（R+；H）。定义线性算子T:Hw→ H×L（R+；H）乘（3.6）tf=（f（0），f′）√w）。T是等距的，从kT fk开始*= |f（0）| H+Z∞|pw（x）f′（x）| Hdx=kfkw。强可测意味着f可以用简单函数来近似，即fn=Pnj=1cjEj，其中{Ej}j∈NBR+和{cj}j∈N H、使得| f（x）- fn（x）| H→ 0，a.e.代表x∈ R+当n→ ∞.HILBERT空间中边界场的表示与逼近我们称其逆是算子S:H×L（R+；H）→ hw定义的asS（u，h）（x）：=u+Zxh（y）w-1/2（y）dy。首先，自从h∈ L（R+；H）和w-1/2（y）≤ 1由于w为非递减且w（0）=1，我们发现该积分在Bochner意义下定义良好。

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kedemingshi

2022-5-9 05:56:36

它保持，T（S（u，h））=（S（u，h）（0），S（u，h）\'√w） =（u，hw）-1/2w1/2）=（u，h），其中我们应用了三卤甲烷。亨特[19]中的6.32（第201页）和6.35（第203页）。此外，S（tf）（x）=S（f（0），f′√w）（x）=f（0）+Zxf′（y）√w（y）w-1/2（y）dy=f（0）+Zxf′（y）dy=f（x），在上一个等式中，我们在Hunter[19]中使用了Thm 6.35（第203页）。因此，S=T-1，且Hwesisomorphic到Hilbert空间H×L（R+；H），这意味着Hw是一个完整的内积空间，即Hilbert空间。假设H是可分离的，这意味着对于任何f∈ L（R+；H）f（x）=∞Xk=1hf（x），对于a.e.x∈ ONB{ek}k的R+∈N 我们有fk:=hf（·），ekiH∈ L（R+；R）自bySchwartz不等式∞|fk（x）| dx=Z∞|hf（x），ekiH | dx≤Z∞|f（x）| Hdx | ek | H=Z∞|f（x）| Hdx<∞.但由于L（R+；R）是可分离的，我们找到了一个ONB{hn}n∈N L（R+；R）fk（x）=∞Xn=1（fk，hn）Lhn（x）。但是{hn n，k∈是L（R+；H）的一个ONB。这表明L（R+；H）是可分离的，henceH×L（R+；H）也是可分离的。通过同构T，我们可以得出Hw的可分性。证据是完整的。下一个引理为我们提供了Hw上微积分的一个基本定理：引理3.5。假设w-1.∈ L（R+）。那么对于任何f∈ Hw，f′∈ L（R+；H），kf′kL（R+；H）≤ ckf千瓦，和F（x+t）- f（x）=Zx+txf′（y）dy，每x∈ R+和t≥ 0.常数c由c:=R给出∞W-1（x）dx。证据为了f∈ 我们通过柯西-施瓦茨不等式发现∞|f′（x）|Hdx=Z∞W-1/2（x）w1/2（x）| f′（x）|Hdx≤ （Z）∞W-1（x）dx）1/2（Z∞w（x）| f′（x）|Hdx）1/2≤ （Z）∞W-1（x）dx）1/2kfkw<∞.因此，f′∈ L（R+；H）和范数估计如下。但是，通过Thm。亨特[19]中的6.35（第203页）给出了微积分的基本定理。18 BENTH AND Eyjolfsson这个结果还告诉我们，HW的任何元素都是绝对连续的，尤其是连续的。现在介绍移位半群（St）t≥0定义为（3.7）Stf:=f（·+t）。下一个引理显示了Ston-Hw的一致有界性。引理3.6。

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2022-5-9 05:56:39

假设w-1.∈ L（R+），则sti与kStkop一致有界≤p2（1+c）。这里，c是引理3.5中定义的正常数。证据因为，引理3.5和Thm。f=124f+t，f=124f+t∞w（x）| f′（x+t）|Hdx≤ |f（0）+Ztf′（y）dy|H+Z∞tw（y）- t） |f′（y）|Hdy≤ 2|f（0）|H+2|Ztf′（y）dy|H+Z∞w（y）| f′（y）|Hdy≤ 2 | f（0）| H+2（Zt | f′（y）| Hdy）+Z∞w（y）| f′（y）|Hdy。在第一个不等式中，我们应用了引理3.5，而在第二个不等式中，我们应用了初等不等式和w的单调性。最后，在最后一个估计步骤中，我们使用了Bochnerintegrals的范数不等式。因此，再次呼吁w，kStfkw的单调性≤ 2（1+c）KfK且证明完整。接下来，我们研究了移位半群St的连续性性质。为此，设（3.8）D:={f∈ Hw|f′∈ Hw}，我们注意到Dom(x） =D和作为导数运算符。引理3.7。如果w-1.∈ L（R+），移位运算符在Hw上仍然是强连续的。证据我们首先展示了（3.8）中定义的D的强连续性。的确，对于f∈ 我们通过引理3.5f（t）得到- f（0）=Ztf′（y）dy。此外，如果f′∈ 那么同样的引理产生f′（x+t）- f′（x）=Zx+txf′（y）dy=tZf′（x+st）ds。还有Stf=f（·+t）∈ HW是弱可微的（见引理3.5的证明）。因此，forf∈ D我们从Bochner积分的范数不等式和Cauchy-Schwartz不等式kStf中发现- f千瓦=| f（t）- f（0）| H+Z∞w（x）|f′（x+t）- f′（x）|Hdx=|Ztf′（y）dy | H+Z∞w（x）t|Zf′（x+st）ds|Hdx≤ （Zt|f′（y）|Hdy）+tZ∞w（x）（Z|f′（x+st）|Hds）dx≤ （Zt|f′（y）|Hdy）+tZ∞Zw（x）| f′（x+st）| Hds-dx≤ （Zt|f′（y）|Hdy）+tZkSstf′kwds。HILBERT空间中边界场的表示与逼近19第二个积分是有限的，因为它是Hwma 3.5引理中的一致有界算子。

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2022-5-9 05:56:42

因此，莱廷特↓ 0，我们得到了kStf- f千瓦→ 0，在D上表现出强连续性。通过对Hw中D的密度参数进行分析，我们可以得出结论，STI在Hw上是强连续的：引入子空间（在Filipovic[17]之后，第77页）D={f∈ C（R+；H）|f′∈ Cc（R+；H）}，其中C（R+；H）表示两次连续强可微函数和紧支集为一次连续强可微的Cc（R+；H）函数。道具亨特[19]中的6.29确保了Cc（R+；H）在L（R+；H）中是稠密的。为了f∈ 让{hn}n Cc（R+；H）是f′的近似序列√W∈ L（R+；H）。定义fn:=T-1（f（0），hn）表示（3.6）中定义的操作员。我们有fn∈ Dand kfn- fkw→ 0作为n→ ∞ 因为T是同构（见3.4号提案的证明）。这表明Hw中的密度不高。因此，对于f，g∈ Hw，三角形不等式以及St，yield，kStf的一致有界性- f千瓦≤ kSt（f）-g）千瓦+kStg- gkw+kg- f千瓦≤p2（1+c）kf- gkw+kf-gkw+kStg- gkw。但是，由于Hw不密集，我们选择g∈ 那么kf呢- gkw≤ /2（1+p2（1+c）。根据Ston D的强连续性，我们选择t，以便kStg- gkw≤ /2. 然后，sti在Hw上是强连续的。证据是完整的。我们得出结论：sti是一个带生成元的半群X定义在D上，这是一个密集的Hw子区。介绍了评价图δx；Hw→ H代表x∈ R+asδxf:=f（x）表示f∈ 嗯。我们证明了δxis是一个有界线性算子：引理3.8。假设w-1.∈ L（R+）。然后|δxf | H≤ Kkf kwk为正常数K，K=2 max（1，R∞W-1（y）dy）。证据为了f∈ Hwit通过引理3.5认为δxf=f（x）=f（0）+Zxf′（y）dy。然后通过Bochner的范数不等式和Cauchy-Schwartz不等式，|f（x）|H≤ 2|f（0）|H+2|Zxf′（y）dy|H≤ 2 | f（0）| H+2（Zx | f′（y）| Hdy）≤ 2 | f（0）| H+2Z∞W-1（y）dyZ∞w（y）| f′（y）|Hdy。证据到此结束。我们以H和Hw上的线性泛函的一些结果来结束这一小节。

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2022-5-9 05:56:45

为此，让我们来看看经典的菲利波维奇空间（可以通过在定义Hwabove时选择H=R获得）。范数用|·| w表示。我们有以下命题：命题3.9。为了我∈ H*和g∈ 实值函数x7→ R+上的L（g（x））是hw的一个元素。证据回想一下，如果∈ Hw，然后是g（x）∈ H代表任何x∈ R+，因此L（g（·））是R+上的一个实值可测函数，它是局部可积的。作为g∈ 根据Bochner积分L（g（x））=L（g（0））+ZxL（g′（y））dy的性质，Hwit是弱可微的，g（x）=g（0）+Zxg′（y）dy，20 BENTH和Eyjolfssonan。因此，x7→ L（g（x））是弱可微且x（L（g（x））=L（g′（x）），对于Xb是操作员。因此，|L（g（·））|w=|L（g（0））|+Z∞w（y）|L（g′（y））|dy≤ kLkop | g（0）| H+kLkopZ∞w（y）|g′（y）|Hdy=kLkop|g|H<∞.结果如下。注意，我们可以写出L（g（x））=Lo δx（g），而o δx∈ H*w、每当我∈ H*. 这意味着存在一个独特的l十、∈ 使L（g（x））=Lo δx（g）=hg，lxiw。我们可以描述lx:提案3.10。假设w-1.∈ L（R+）。它保持L（g（x））=hg，l希弗lx（·）∈ 在哪里lx（·）=L*（hx（·））用于y 7→ hx（y）=1+Rx∧yw-1（z）dz∈ 嗯。证据根据菲利波维奇[17]中的引理5.3.1，L（g（x））=δx（L（g（·））=（L（g（·）），hx）ww这里是Hw上的评估图。因此，L（g（x））=（L（g（·）），hx）w=L（g（0））1+Z∞w（y）L（g′（y））h′x（y）dy=（g（0），L*1） H+Z∞w（y）（g′（y），L*)(x′Hdy)。我们发现l′x（y）=L*（h′x（y））通过L的线性*以及微积分的基本定理。注意到Hx（0）=1，证明如下。4.有限差分格式本节介绍了一种有限差分格式，用于逼近双曲型SPDE（3.1）的一个稍微广义的解。更具体地说，我们考虑双曲SPDE集ineH（4.1）dY（t）=ξY（t）dt+β（t）dL（t），给定初始值Y（0）=Y∈嗯。

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2022-5-9 05:56:48

这里，β（t）∈ L（V，eH）是可预测的Ztkβ（s）Q1/2kHSds< ∞.对于Hambit过程的特殊情况，我们选择β（t）=Γ（t+·t）（σ（t））。然而，在本节中，我们通过考虑一般的随机被积函数β来简化符号。另外假设ZtkSt-sβ（s）Q1/2kHSds< ∞,HILBERT空间中范围场的表示和逼近然后由Peszat和Zabczyk[20，第6章]提出，SPDE（4.1）具有一个温和的解y（t）=StY+ZtSt-sβ（s）dL（s）。在接下来的内容中，我们可以很容易地在上面的SPDE中包含一个漂移，但我们避免使用简化和技术细节。允许x>0和t>0分别表示空间和时间上的离散步骤，并设置tn=nt、 xj=jx表示n=0，N和j=0，J代表一些J，N∈ N.我们的目标是在时间tn时引入近似的Y，形式为（4.2）eYn=J-1Xj=0十、- xjx（ynj+1）- ynj）+ynj[xj，xj+1）（·），对于x≤ xJandeYn（x）=ynjx>xJ。这里，{ynj}j=0，。。。J H.我们假设Eyn∈要注意的是，在eH=Hw的情况下，这个假设成立，因为在这种情况下，Eyn的弱导数是分段常数，x>xJ外为零。想到YNJ很方便≈ δjxY（n）t）也就是说，δxjeyn近似于点（n）处（4.1）的采样解t、 jx）。这里，我们回顾一下估值算子δx∈ L（呃，H）在上一节中介绍。对于初始值Y，我们引入近似值（4.3）eY:=J-1Xj=0十、- xjx（δxj+1Y）- δxjY）+δxjY[xj，xj+1）（·），对于x≤ xJandeY（x）=δxjy，对于x>xJ。这确实是元素ineH的线性插值。我们假设∈很明显，让yj:=δxjeY=δxjY。自β（t）∈ L（V，eH），δxβ（t）∈ L（V，H）。正如我们将看到的，我们需要β（t）的一个特殊近似值，用β（t）表示，用（x）表示≤ xJ）（4.4）eβ（t）=J-1Xj=0十、- xjx（δxj+1β（t）- δxjβ（t））+δxjβ（t）[xj，xj+1）（·），对于x>xj，andeβ（t）（x）=δxjβ（t）。

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