洗衣机销售的基础

2022-5-9 11:33:57

因此，对税收进行深思熟虑的分析是必要的。本文添加了明确的数学基础，以帮助理解水洗销售策略。*康涅狄格大学斯坦福德分校，计算机科学与工程系，斯坦福德康涅狄格。菲利普。bradford@uconn.edu，菲利普。Gbradford@gmail.comThe本文的主要目标是：为某些wa sh销售提供基础，包括可能发生的情况以及资本收益影响。这可能有助于区分管理型基金和非管理型指数基金的净销售额。洗牌出售有时是通过行使期权而产生的，因此，在某些情况下，投资组合经理可能无法避免洗牌出售。例如，假设投资组合中有一个货币内美式看跌期权。如果该期权仍在货币中，则持有人可在到期前的任何时间行使该期权。如果行使此认沽期权取代了在前30天亏损出售的股份，则这是一次洗售。此选项的操作超出了portfoliomanager的控制范围。这里给出的基础从概率论[1-3]中经典生日问题的变体开始。这项工作对洗衣机销售有影响。此外，Littlewood-O-Offord问题[4–6]被用于理解特定销售的资本收益。Littlewood-O fford问题是从概率论方法的角度来看的。为了方便起见，让[n]≡ {1,2，·n}。假设一种证券在d日亏损出售。如果在d日±30个日历日内购买了实质上相同的证券，则该出售为平仓出售，参见示例[7]。定义1（美国洗涤销售[7]）考虑三个日期d、d、d:d≤ 丹德≤这里| d- d|≤ 30个日历日。假设证券的s股在日期dat以p的价格购买。在稍后的日期d，s股以p<p的价格出售。

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2022-5-9 11:34:02

因此，s股将继续亏损。然后在d日起±30天内，以p价回购s股。自| d起- d|≤ 30天，则必须进行下一次调整[7]：1。损失p-不允许征税。也就是说，这一损失不能从利润或收益中扣除，也不能用于降低税率。2.回购股份的成本基础设定为p+（p- p）。持有期开始时在dhave买入的股票重置为d。空头仓位也可能被出售。例如，考虑从投资组合∏的日期开始持有100股证券的空头头寸。然后假设该空头仓位在d日买入100股以亏损结束。一旦该仓位在d日结束，则∏不包含该证券的股份。接下来，在dwhere | d上再做空100股基本相同的证券-d|≤ 30天。这些交易使投资组合保持不变，同时为损失获得税收优惠。wa sh销售规则也不允许这种税收优惠。与股票一样，期权也是可替代的，有特定的期权行使分配方法用于分配已行使的期权[8]。考虑定义1中所述的洗涤销售，其中（p- p）假设股票以p>的价格出售- p） +p>拍拍后面的日期d≥ d、在清洗销售的情况下，有一个资本收益P- [（p- p） +p]比大写字母g ain p小- 如果没有发生清洗。资本利得应纳税。资本收益- p是指以pon价格单次购买股份，并在D日以p价格单次出售股份，从而跳过亏损出售和回购。这意味着这样一次洗牌销售会给p- P- [p]- [（p- p） [p]]或p- 比以当日价格单次购买证券和以d价单次出售证券更稳定的收入。

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2022-5-9 11:34:05

当然，洗车销售的损失是不允许的。通过限制投资组合中的每种证券仅每31个日历日购买或出售，可以避免清洗销售。这种限制可能不适用于任何投资组合。在包含选项的对开本中，可能无法维持此限制。也有人建议，例如[9]，通过购买或出售（适度）相关但实质上不相同的证券，可以避免清洗销售。也就是说，ifa证券在亏损的情况下出售，然后在30天内购买不同但相关的证券，保持投资组合的一些特征，同时保持税收优势。从历史上看，许多证券每年仅在约n=252个工作日进行交易[10]。尽管考虑到全球市场，人们可能会认为没有365个交易日。1.1背景关于洗漱用品的销售没有太多研究，例如[9]。税收及其投资影响有着重要的作用。以[11,12]和[13]为例。生日问题很经典。根据Pat B[14]的一篇博客文章，生日问题可能最初是由哈罗德·达文波提出的，如[15]所述，后来由[1]发表。无论如何，据我们所知，冯·米塞斯给出了第一个出版版本。生日问题的天数界限包括[16]，他给出了线性年和循环年距离d的生日界限。在循环年份中，1月1日是同一年12月31日起的一天。[17]给出了周期年距离d的生日界限。[18]和[19]讨论了适用于男孩和女孩的生日问题（带不同标签的随机变量）。

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可人4

2022-5-9 11:34:09

也就是说，一个或多个男孩和一个或多个女孩共享多少个生日？[20]提供了一个全面的观点，包括停止男孩女孩生日问题。[21]和[2]给出了在线男孩女孩生日问题的非统一边界。[23]给出了生日问题的紧有界泊松近似。[19]给出了男孩女孩生日问题的二项分布的泊松近似。[26]使用Stein-Chen-Poisson近似来解决标准生日问题的变量。匹配和生日问题[27]给出。关联变量用于研究具有Par-eto型分布的生日问题[2-8]。生日问题的应用包括：计算机安全[20,21,28,29]、公共卫生和流行病学[30]、心理学、DNA序列比对、实验和游戏[31,32]。关于生日问题的工作总结见[32]、[31]和[33]。关于获得j个不同字母k碰撞的预期结果由[34]给出。它们的结果表示为截断指数或伽马函数。1.2本文的结构第2节回顾了此处应用的生日问题。首先讨论了经典的生日问题。接下来，本节将继续讨论±d生日问题。在给出了关于±d生日问题的定义和关键结果后，对男孩女孩生日问题进行了探讨。最后，定义了±d男孩女孩生日问题，并推导出了与洗衣销售必要条件相关的几个界限。第2.1小节给出了一个基于一天内男孩女孩生日冲突的洗衣销售示例。第3节概括了前面几节的结果。

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能者818

2022-5-9 11:34:13

特别是，它展示了如何计算Bd（n，b，g），b男孩和g女孩的数量，给出了男孩和女孩在n天内彼此的生日在d天内的概率。第3.1小节给出了一个基于男孩女孩生日碰撞的洗衣销售示例，范围为±d=30天。最后，第4节探讨了wash销售如何影响资本收益和损失。由于Wash销售是资本损失，它们可能会带来资本收益。包括利特-勒伍德-奥夫德问题在内的几个结果适用于资本利得和损失，因为它们可能会受到销售的影响。2生日问题和销售生日问题通常用于确定巧合的概率。因此，关于生日问题的各种变化有丰富的文献[31,32]。资产销售通常被认为是经过精心挑选的。然而，使用美式期权的投资组合可能会表现出资产出售或购买，而不受投资组合管理者的控制。定义2（生日冲突）假设两个随机变量X，X分别对应于相同范围[n]的X，xin，那么生日冲突是当X=X时。为了建模随机清洗销售，本文假设独立的同分布随机变量。关于生日问题的一个常见说法是：定义3（生日问题）考虑一年中的n天和k个范围为[n]和n]的独立同分布（iid）均匀随机变量≥ k、在这k个随机变量中，至少发生一次生日碰撞的概率B（n，k）是多少？一个关键问题是：在连续n天内，arg mink的整数k是多少B（n，k）≥保持k iid均匀随机变量？换句话说，给定n天，最小k iid均匀随机变量是什么，使得B（n，k）=？这个生日问题的基本变体的解决方案是众所周知的。

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2022-5-9 11:34:16

概率B（n，k）是k iid均匀随机变量没有生日碰撞概率的补充。因此，如果没有生日碰撞，那么k birt hdays可以加入nkKk个随机变量在[n]上的所有可能映射的置换。换句话说nkk个不同元素的子集[n]是k个变量在不发生冲突的情况下可以映射到的子集的确切数目。这些k变量可以按k排序！排列。也就是说，B（n，k）=1-nkKnk=1-N（n）- k） !·nk代表n≥ k和B（n，k）=1。从n开始，概率p=B（n，k），然后计算k通常使用不等式1- 十、≤ E-x、特别地，给出至少有一次生日碰撞概率的最小k要求k大致为p2（ln2）n或约为1.18√n、例如，参见[1,35,36]。另一个经典方法是将随机变量X视为k个人在n天内所有生日碰撞的总和，例如[19,27,37,38]。下面的[38]给出了一个简洁的位置。假设我所爱的人的生日∈ [k] 由Random变量Yi给出∈ [n] 。由于潜在的生日碰撞是aBernoulli试验，所以X是双对称分布的。因此，X∈ {0, 1, 2, ··· ,K} 哪里K是潜在碰撞的最大数量。最大生日碰撞次数的期望值是可能的K概率n=IP[Yi=t | Yj=t]，t∈ [n] 其中{i，j} [k] 。生日碰撞的预期最大次数为K. 如果n充分大于k，则X近似为泊松，其中λ=nK.

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2022-5-9 11:34:19

因此，IP[X≥ 1] ≈ 1.- E-（k） /n.在±d生日问题的情况下，如果两个随机变量X，Xmap彼此间隔天数，则这是±d生日碰撞[16]。两个生日x和xof距离|x-x |标记尺寸为1+| x的跨度-x |。例如，7月4日-7月3日|=1，所以这些日期在±d=±2范围内，但不是在±d=±1范围内。下一个定义基于[16,17,31]。定义4（±d生日碰撞）考虑一年中有n天，跨度小于±d天，k iid均匀随机变量的范围[n]：那么Bd（n，k）是概率至少有两个这样的随机变量有±d生日碰撞。也就是说，这两个随机变量的范围彼此相差不到d天。n天内，跨度为±d，然后是arg水貂Bd（n，k）≥给出最小的k，所以至少有两个这样的随机变量相隔不到d天。定义5（几天）让i:k>i>1。假设生日是asx安排的≤ 十、≤ ··· ≤ xk，那么对于生日xi来说，它最近的生日配对是（xi）-1，xi）和（xi，xi+1）。xi之间没有生日-1和西安西安和西安之间没有生日。一段日子的一个终点包含一个生日。生日与两个街区有关：-1，xi]和[xi，xi+1）。x和x之间的天数构成一个大小为| x的区块- x |因为x和x之间没有第几天。因此，包含在±d范围内的两个最近的生日对被一个大小为d的区块隔开- 1.取k iid均匀随机变量，考虑[n]天内的±d次生日碰撞。Naus[16]给出了下一个想法：如果没有±d的生日碰撞，那么必须至少有尺寸d- 1个街区，每个最近的生日对之间没有生日。这给出了（k）的总数- 1）（d）-1）在k没有生日的日子- 1个连续区块，至少包含d个- 每人1天。

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nandehutu2022

2022-5-9 11:34:24

因此，如果没有±d个生日碰撞，那么就可以使用k个生日N-（k）-1）（d）-1） kKk个随机变量的所有可能NKMapping的置换。因此，要得到至少一次±d生日碰撞的概率，可以考虑没有±d生日碰撞的概率。下一个结果如下。定理1（[16]）Bd（n，k）=1-N- （k）- 1）（d）- 1） kKnk=1-（n）- （k）- 1）（d）- 1))!（n）- （k）- 1）（d）- 1) - k） !·nk代表n≥ （k）- 1）（d）- 1） +k和Bd（n，k）=1。使用边界1- 十、≤ E-xon-Naus的结果给出了大约0.83pnd的k-4.见[16]。同样[31]对于循环版本，k约为1.2pn2d+1。注意，d=1的定理1给出了定义3的标准生日问题的解决方案。也就是说，跨度为d=1，块大小为d- 1 = 0.下降阶乘ismk=m（m- 1） ··（m）- k+1）=mkK在这些术语中，定理1可以表示为Bd（n，k）=1-（n）-（k）-1）（d）-1））knk。下一个经典结果很重要。引理1（经典）设m≥ K≥ 1.falling factorial mk是k的注入映射数≥ 1个元素到范围[m]。下一个定义基于[18,20,23]。定义6（男孩女孩生日）考虑一年中的n天和两组明显标记的iid均匀随机变量，所有变量的范围为[n]：其中g为女孩，b为男孩。那么B（n，B，g）是至少一个女孩和一个男孩发生生日碰撞的概率。例如，在n天内，ar g mink=b+gb=gB（n，B，g）≥给出了k=b+g和b=g的值，所以有可能至少有一个女孩和一个男孩有相同的生日。第二类斯特林数[24]计算给定集合中非空部分的数量。

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2022-5-9 11:34:27

例如，给定集合[m]，空子集[m]int o inon的分区数为惯性矩.由于斯特林数的性质，通常会递归定义第二类斯特林数[24]：惯性矩= 我M-1i+M-1i-1.基本情况M= 1和嗯= 1.最后，嗯+我= 对于任何i>0的情况，均为0。例如，=N{1, 2}, {3},{1, 3}, {2},{1}, {2, 3}o= 3.下一个经典等式计算从[n]个元素到[m]个元素的函数数，m≥ n、 mn=nXi=1镍mi（1）用引理1表示为[n]元素的非空i划分数和i划分的满射数。定理2（[18,20]）考虑一年中的n天和两组明显标记的iiduniform随机变量，所有变量的范围为[n]：g随机变量为女孩，b随机变量为男孩。那么B（n，B，g）是至少一个女孩和至少一个男孩生日碰撞的概率，B（n，B，g）=1-nb+ggXi=1（n- i） bgi镍。下一个引理来自[18,25]。引理2（[18,25]）考虑一年中有n天，两组明显的带标签的iidrandom变量，所有变量的范围都是[n]：g随机变量是女孩，b随机变量是男孩s。那么b（n，b，g）是至少一个女孩和至少一个男孩生日碰撞的概率，b（n，b，g）=1-nb+ggXi=1bXj=1北京gini+j.2.1 Wash sale示例1：当天购买和销售考虑一个组合∏={a，···，ak}，其中ai:k≥ 我≥ 1是我在∏持有的资产（证券）。当天营业结束时l, 以投资组合∏为例l= {a1，l, ··· , ak，l} 资产i在∏中的市场价值l是| ai，l| 以及∏的总值l是|∏l| =Pki=1 | ai，l|. 就在每个纳税年度开始之前，资产i的市值为| ai，0 |，而∏的总市值为|∏|。

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2022-5-9 11:34:31

假设每项资产都具有足够的流动性，这样我们的购买或销售不会影响其市场价格。假设投资组合∏在一个日历年的营业日内有T个总iid统一和随机交易。假设在交易年开始前，交易费用按资产权重分配，即从投资组合中每项资产的初始权重开始计算。因此，就在第一个交易日之前，在没有其他信息的情况下，资产ai预计将在一年内进行t（i）=t | ai，0 |∏交易。以t（i）交易为例，定义独立的RADEMacheradom变量η，···，ηt（i），代表投资组合中i类资产部分的买卖∏：ηj=+1如果交易j是购买资产i-1如果交易j是资产出售ifor j:t（i）≥ J≥ 1.也就是说，b独立的Rademacher随机变量，其中ηj=+1代表购买（男孩），g随机变量，其中eηj=-1名代表销售（g als）。应用切尔诺夫界[39，App endix a]的合适版本，其中IP[ηj=+1]=IP[ηj=-1] =，然后对于任何c>0IPη+··+ηt（i）> C< E-c/（2t（i））。例如，以c=1，t为例- g|≤ 当t（i）getslarge时，1的概率很高。当然，随着t（i）的增长，洗衣机销售的可能性增加。也就是说，我们对{0，1}结果使用伯努利随机变量，对{0，1}结果使用Rademacher{-1，+1}结果。随着交易总数的增长，买卖总数预计将趋于一致。然而，在这个过程中，购买或销售的数量可能并不平衡[2,40]。在资产类别aiare:t（i）102050E中，考虑到t（i）总交易额，选择购买和销售数量相同的概率-1/（2t（i））0.951 0.975 0.983 0.987 0.990假设h是第一天总交易t（i）的一半，即h← t（i）/2。

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2022-5-9 11:34:35

假设∈ {252365}交易日给出了单一资产类型的同一天女孩-男孩生日碰撞的概率为：h1 5 10 15 20 25 30 35B（252，h，h）0.0040 0.0946 0.3280 0.5909 0.7957 0.9162 0.9717 0.9921B（365，h，h）0.0027 0.0663 0.2399 0.4605 0.6660 0.8196 0.9150 0.9650实际上，B（252，13，13）=0.4891和B（252，14，14，0.5410）。因此，考虑到同一资产类型在n=252天内的买卖数量相等，14个女孩和14个男孩是第一个发生（当天）男孩-女孩生日碰撞的可能性大于50%的情况。假设port folio∏已经拥有这一单一资产类型，那么男孩女孩冲突只是洗衣服销售的必要条件。生日碰撞必须伴随着亏损出售和在30个日历日内回购基本相同的证券。3一般清洗销售此处给出了清洗销售的必要条件，其中购买和销售在±d个日历日内。因为在±d birt hday碰撞前后，在保持基本相同的投资组合的同时，购买和销售并不亏损。定义7（男孩女孩±d个生日）考虑一年中有n天，跨度为±d天，以及两组明显标记的iid均匀随机变量，所有变量的范围均为e[n]：g随机变量为女孩，b随机变量为男孩。当Bd（n，g，b）是至少一个女孩和一个男孩被映射到彼此少于d天的概率。例如，从n，d和k=g+b和g=b开始，然后是arg水貂Bd（n，k，k）≥给出了k，所以有可能≥所以至少有一个女孩和一个男孩有±d-生日碰撞。下一个结果基于[16]、[20]、[18]和[25]。定理3考虑一年中有n天，跨度为±d天，以及两组不同标号的iid均匀随机变量，所有变量的范围均为[n]：g随机变量为女孩，b随机变量为男孩。

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nandehutu2022

2022-5-9 11:34:38

当Bd（n，g，b）是至少一个女孩和一个男孩发生±d次生日碰撞的概率，并且：Bd（n，g，b）=1-nb+gbXi=1gXj=1毕gj（n）- （i+j）- 1）（d）- 1））i+j证明：这个证明计算了没有男孩女孩的概率。也就是说，1减去没有男孩女孩±d生日碰撞的概率。这给出了至少一个男孩女孩±d生日碰撞的概率。给定n天，a±d跨度，iid均匀随机变量分为g（女孩）随机变量和b（男孩）随机变量。然后，b和g变量对[n]的无约束映射总数为nb+g，分母位于双和前面。如果任意数量的男孩生日相同，或者任意数量的女孩生日相同，则Bd（n，g，b）值不受影响。老鼠她的Bd（n，g，b）受到男孩女孩碰撞的影响。因此，考虑b男孩和g女孩的划分。为了防止女孩的分区和男孩的分区碰撞到相同范围的±d个跨度，计算这些i和j非空分区可能映射的位置数，以便不存在±d>1的碰撞。引理1有（n- （i+j）- 1）（d）- 1））i+j=N- （i+j）- 1）（d）- 1） i+j（i+j）！（2） i的集合[n]的内射函数∈ [b] 男孩和j系列∈ [g] 有（i+j）的女孩-1）（d）块- 1）没有男孩或女孩的连续日子。现在，考虑将i和j分区放置在（n）中不同的位置-（i+j）- 1）（d）- 1））i+j函数映射到[n]。i分区o f[b]，其中每个分区位于不同的位置，j分区o f[g]，其中每个分区也位于不同的位置，通过等式2。

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2022-5-9 11:34:41

也就是说，考虑到我∈ [b] 还有j∈ [g] ，然后是产品毕gj是男孩到i个非空分区的内射映射的总数，与女孩到j个非空分区的内射映射的数目无关。这就完成了证明。3.1清洗销售示例2:d=±30个日历日，使用与第2.1小节中之前清洗销售示例相同的设置开始。设h为第i天交易总量t（i）的一半，即h← t（i）/2。假设∈ {252365}交易日和d=±30个日历日给出了GIRL boy±30天生日的概率——单一资产类型的碰撞为：H1234B（252，h，h）0.220 0.819 0.994 0.9999 8B（365，h，h）0.1550.667 0.953 0.99840仅考虑单一资产类型。这些概率背后的直觉是直截了当的。例如，考虑n=365天，为了避免男女冲突，每个女孩和男孩必须在第二天前后与另一性别分开至少30天。所以365天可能会被分为大约60天的六个区块。4对于美国税收计算，可将净售和整体资本收益以及基本资本收益或资本损失四舍五入至最接近的整数。前提是所有交易都是四舍五入的。四舍五入降低了美分部分等于或低于5美分的放弃。四舍五入在收益的美元比例中增加一美元，其美分部分大于50美分，同时降低百分比。损失也是如此。收益和损失必须四舍五入，否则必须四舍五入。所以，从现在开始，让所有的收益或损失都是整数。对长期资本收益和损失进行汇总，同时对短期资本收益和损失进行汇总。

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2022-5-9 11:34:45

在纳税年度结束时，将长期和短期合计加在一起，以获得税收的最终资本收益或损失。这里的重点是可能会影响销售的资本资产的资本收益或损失。洗车销售是亏损，但亏损可能会带来麻烦。期权及其相关保费的研究是经典的[10]，我们在这里不讨论它。因此，期权溢价被忽略了。在投资组合中，个人资本收益值和个人资本损失值通常是不同的。虽然罕见，但相同的资本收益和资本损失是可能的。对于使用期权构建的投资组合，相同的资本收益或损失是可能的。我们忽略了期权溢价。也就是说，资产购买可以通过行使现金覆盖的美式看跌期权进行。此外，资产出售也可以通过行使美式有担保看涨期权来完成。在这些情况下，当期权变成货币时，投资组合经理无法控制资产的出售或购买，也无法控制此类交易的时间。参见图1。多数情况下，看跌期权或看涨期权的执行价格是离散增量。例如，许多看跌期权和看涨期权的执行价以5美元或10美元为增量。假设投资组合只使用美式期权。许多资产收益和损失的金额可能相同。当然，这取决于隐藏位置的大小或写入的选项数。到期日相同且标的资产规模相同的期权可能具有非常不同的价值[10]。在这种基于期权的投资组合中，假设统一、独立和随机的资本损失和资本损失。

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2022-5-9 11:34:49

这可以用Littlewood-O fford问题来模拟。日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期在dasset上以100美元的成交价和90美元的成交价触发销售，并给出90美元的资本金，如果在30天内对10美元的dloss进行了兑现，则这是一个洗衣服的销售。图1：美式选项的潜在洗衣服销售定义8是经典的，可以在[6,41]等文章中找到广泛的讨论。它直接基于[4,6,41]定义8（Littlewood-O fford问题）。整数Littlewood和O fford问题被赋予一个整数多集V={V，V，·vn}，其中≥ 1.我∈ [n] 和sv=ξv+ξv+···+ξnvnso每个ξiis使得IP[ξi=-1] =IP[ξi=+1]=，fori∈ [n] 那么maxx是什么∈ZZIP[Sv=x]？假设收益和损失的概率相等且无漂移[10]。给定一个整数多重集V={V，V，··，vn}so vi≥ 1.我∈ [n] 。多组V代表资本损失和资本损失。资本收益和资本损失都来自销售。随机变量ξi∈ {+1, -1} 确定VIL是资本收益还是资本损失。所有变量均为正值，因为所有Rademacher变量都具有范围{-1、+1}，另见[5]和[40]。在一个纳税年度内，总资本收益或损失isSv=ξv+ξv+·ξnvn。在Littlewood-O fford问题的这个版本的最优解中，[5]显示了n元多集V={1,1，··，1}ha s maxx∈ZZ{IP[Sv=x]}=O√N.下一个引理的证明紧跟在给定拉德马赫随机变量的扩张线性之后。

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2022-5-9 11:34:52

例如，参见[39]。引理3考虑任意整数多集V={V，V，··，vn}，其中vi≥ 1.我∈ [n] 随机变量Sv=ξv+ξv+···+ξnvn，其中IP[ξi=-1] =IP[ξi=+1]=，对于所有i∈ [n] ，那么IE[Sv]=0。对于任何Rademacher随机变量ξi，它必须是IE[ξi]=0和IE[ξi]=1。Sinceviis常数σξivi=IE[ξivi]- IE[ξivi]=vi。因此，下一个定理的证明如下，因为独立随机变量和的方差就是方差之和。定理4考虑任意非负整数v向量v和随机变量Sv=ξv+ξv+·ξ+ξnvn，其中IP[ξi=-1] =IP[ξi=+1]=，对于所有i∈ [n] ，然后是[Sv]=v+v+···+vn和σSv=pv+v+··+vn。因此，当V={1,1，···，1}和| V |=n时，整数Littlewood-O-offord问题的最小方差σSv正好出现，我∈ [n] 是allRademacher随机变量，然后是IPx∈ZZ[Sv=x]被最大化为O（1）/√n） σSv=√n、定理4暗示了下一个推论。推论1假设1=v=v=····=VN和Sv=ξv+ξv+····+ξNVN其中[ξi=-1] =IP[ξi=+1]=，对于所有i∈ [n] ，则Sv的标准偏差为σSv=√n、推论1强调了一个例外情况，即所有资本收益和资本存量相同。清洗销售要求损失和收益基本上来自相同的安全性。定理4的普遍性也证明了巨大的差异。考虑集合V={2，2，·，2n-1} 然后根据定理4，σSv=Pn-1i=02i=2n-1.由于和是几何级数，所以最后一个等式成立。定义9（一个集合或多个集合V的不同和）考虑一个集合或多个集合V={V，V，·ξ，vn}a，并让列表中的每个元素H=H^ξ1,1，^ξ2,1，·ξn，1i和H=H^ξ1,2，^ξ2,2，从{-1, +1}.

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大多数88

2022-5-9 11:34:55

V，sv，1=^ξ1,1v+^ξ2,1v+·^ξn，1vnsv，2=^ξ1,2v+^ξ2,2v+·^ξn，2vn的两个和是不同的，因为有一些^ξi，16=^ξi，2∈ [n] 。给定任意多组正整数V={V，V，···，vn}，将所有2n个不同的和枚举为sv[1]≥ sv[2]≥ ··· ≥ 例如，sv[2n]参见图2。给定任意一组正整数V={V，V，··，vn}，其中2n个不同的和都不加在同一个值上，则给出sv[1]>sv[2]>·sv[2n]。[5]的一个重要观察结果是，对于任何固定和s，值s+viands-由2vi提供。接下来，这个观察被用来显示集合V={2，2，··，2n-1} 没有添加到相同值的不同总和。特别是，取任意具有相关固定值^ξi，1的不同总和sv，1和sv，2∈ {-1，+1}和^ξi，2∈ {-1，+1}，分别代表∈ [n] 。假设有一个矛盾，sv，1=sv，2。根据厄尔多斯的观测结果，sv，1和sv，2的值可以写成sv，1=2n- 1.- 2 mW，其中m=Pi∈二、-1 ANDI={i:^ξi，1=-1}和同样的sv，2=2n- 1.- 2 mW，其中m=Pi∈二、-1和I={I:^ξI，2=-1}，尽管我∈ [n] 。最后，二进制y-numberrepresentations的唯一性意味着m=m，而这反过来意味着对于所有i，1=2∈ [n] 。

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能者818

2022-5-9 11:35:00

实际上，sv，1和sv，2的和是相等的，这就产生了矛盾。因此，集合V={2，2，··，2n-1} 满足下一个定理的前提。定理5在所有不同的正整数集合中，没有两个不同的对同一个v值求和，集合v={2,2，··，2n-1} 有一个最小和sv=v+v+···+vn=n- 1.证明：为了矛盾起见，假设sv=v+v+·vn<2n-1对于一组不同的正整数V={V，V，···，vn}，其中没有两个差加在同一个值上。以2n个不同和的下一个枚举为例，sv[1]>sv[2]>·sv[2n]，根据我们的假设，是2n- 2.≥ sv[1]和sv[2n]≥ -2n+2，所以sv[1]- sv[2n]≤ 2n+1- 4.设{sv，1，sv，2} {sv[1]，sv[2]，···，sv[2n]}其中，和sv，1有固定值sh=h^ξ1,1，^ξ2,1，···，^ξn，1i的列表，因此sv，1=hv，v，···，vni·h，其中·是向量点积。同样地，总和sv，2具有固定值h^ξ1,2，^ξ2,2，···，^ξn，2i的列表。任意两个不同和sv的差，1- sv，2必须为偶数，因为任何值^ξi，1∈ {-1，+1}和^ξi，2∈ {-1，+1}，对我来说∈ [n] 是这样的，^ξi，1-^ξi，2∈ { 0, -2，+2}，givingsv，1- sv，2=nXi=1vi^ξi，1-^ξi，2这一定是公平的。从sv[1]到sv[2n]包含2n-1.间隔。因为所有的sv[i]，因为∈ [2n]是不同的，它们的差异必须是相同的[1]-sv[2n]跨度至少为2（2n- 1） =2n+1- 2.也就是sv[1]- sv[2n]≥ 2n+1- 2.这与假设sv[1]相矛盾- sv[2n]≤ 2n+1- 4.完成证明。给定一组不同的正整数V，其中| V |=n，定理5表明maxx∈ZZ{IP[Sv=x]}≤n、因此，在V的所有不同总和增加不同价值的情况下，消除洗牌损失可能会产生非常大的影响。特别是，多重集V={1，1，··，1}具有最大的损失sv[2n]=-n、其中定理5表示sv={2,2，··，2n-1} 损失最大的sv[2n]=-2n+1。

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2022-5-9 11:35:03

在这种情况下，当没有不同的和加到同一个值上时，让U={2n- （2i）- 1）：我∈ [2n]}givingmaxx∈U{IP[Sv=x]}=n.假设所有损失中的清洗销售以相同的随机均匀概率发生，预期不允许损失为-1n。这个isV={1,1,1}sv+1+1+1sv[1]=3-1+1+1 sv[2]=1+1- 1+1 sv[3]=1+1+1- 1 sv[4]=1-1.- 1+1 sv[5]=-1.-1 + 1 - 1 sv[6]=-1+1 - 1.- 1 sv[7]=-1.-1.- 1.- 1 sv[8]=-3图2：v=v=v=1且SV由,,,3，1，-1.-3.因为所有损失都是-（2i）-1），因为我∈ [n+1]，假设这些损失都具有相同的发生概率。由于引理3的IE[Sv]=0，Littlewood-O-Ford结果有助于理解可能的f或Sv值。就是maxx∈ZZ-{0}{IP[Sv=x]}给出了除预期值IE[Sv]=0以外的最有可能的资本收益方损失。图2中的SV值都不是0，但是如果V有偶数个1，那么最常见的值是0。[42]给出了以下尾界，其中kv，v，··，vnk=pv+v+··+vn，IP“nXi=1ξivi>tkv，v，··，vnk#≤ E-t/2IPSv>tqv+v+·vn≤ E-t/2IP[Sv>tσSv]≤ E-t/2根据定理4，σSv=pv+v+·vn。假设V={1,1，··，1}和| V |是奇数。由于V之和不等于0，因此存在资本收益和资本损失。这意味着如果Sv=tσ，则存在+tσ和n-tσ资本损失。损失对于销售是必要的。因此，束缚IP[Sv>tσSv]≤ E-t/2增加了至少比损失更大的可能性。也就是说，洗衣机销售的机会很少。如图2所示，给定| V |=n，那么sv[1]=n是零资本的情况。同样地，sv[2n]=-n是零资本收益的情况。通过引理3，sinceIE[Sv]=0和Sv[1]+·····+Sv[2n]=0，因此-n=sv[2]+···+sv[2n]。

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2022-5-9 11:35:06

此外，假设一次一次性出售不允许在所有相同的资本收益和损失中出现资本损失。一次性出售不允许出现单一资本损失，从而产生预期资本收益或损失：（sv[2]+1）+（sv[3]+1）+··+（sv[2n]+1）n- 1.sv[1]一词被排除在外，因为它没有损失，因此没有清洗销售。男孩女孩±30岁生日的问题为出售本质上相同的证券提供了必要条件。回忆B（252，g，B）是至少发生男孩女孩±30岁生日碰撞的概率，所以1- B（252，g，B）是没有这样的生日碰撞的概率。假设有任意数量的男孩女孩±30岁生日碰撞的安全性相同，并假设这些生日碰撞最多产生一次清洗销售。在这种情况下，如果所有收益和损失都相同，则将其设为应税收益或损失总额。假设这些收益和损失都是1。这就得到了，即[G]=（1- B（252，g，B）sv[1]+sv[2]+·sv[2n]n+B（252，g，B）（sv[2]+1）+·sv[2n]+1）n- 1=1 - B（252，g，B）n- 1（0）+B（252，g，B）n- 1（2n- 1.- n） =B（252，g，B）1.-nn- 1..5结论和进一步的指导销售可以通过多种方式建模。其中包括生日问题和投资组合的资本收益的变化，可使用Littlewood-O offord问题对wash销售影响进行建模。例如，参见[43]或[4]等，k-armed bandit似乎适用于清洗和生日问题。

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大多数88

2022-5-9 11:35:09

R obbins关于最大化从不同分布中选择的随机变量总和的期望值的讨论适用于通过写期权构建投资组合。6致谢感谢Noga Alo n提出有见地的评论。参考文献[1]冯·米塞斯，R.¨Uber Aufteilungs–und Besetzungs Wahrscheinlichkeiten，《伊斯坦布尔大学科学院评论》，1939年，4145-163页。[2] 费勒，W.，概率论及其应用导论，第三版，1968年（约翰·威利：新泽西州霍博肯）。[3] 《算法导论》，2001年第二版（麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥）。[4] Littlewood，J.和O offord，A.，关于随机代数方程（III）的实根数，Rec。数学（Mat.Sbornik）N.S.，1943，12（54）（3），277-286。[5] Erd"os，P.，O on Littlewood和O offord，Bull的引理。是Am的。数学Soc。，1945, 51, 898 -902.[6] Tao，T.和Vu，V.，《利特尔伍德-奥夫德锐逆定理》，随机结构与Algs，2010，37（4），525-539。[7] 美国国税局，《投资收入和支出（包括资本支出和损失）》，美国国税局第550号出版物，第。2014年纳税申报表第1509 3R号。见第59页+。可从以下网址获取：https://www.irs.gov/pub/irs-pdf/p550.pdf（2015年11月22日查阅）。[8] FINRA监管机构公告11-35，自2011年8月8日起生效（2011年）。网上提供：https://www.菲娜。org/sites/default/files/NoticeDocument/p124062。pdf（2015年11月22日查阅）。[9] Jensen，B.和Marekwica，M.，《带清洗销售约束的最优投资组合选择》，经济杂志。戴恩。

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大多数88

2022-5-9 11:35:13

和Cont.，2011，35（11），1916-1937。[10] 赫尔，J.，期权，期货和其他衍生品，第9版，2015年（皮尔森：纽约州纽约）。[11] 乔治·M·康斯坦丁尼德斯，《个人所得税下的资本市场均衡》，计量经济学a，1983，51（3），611636。[12] 乔治·M·康斯坦丁尼德斯：《个人所得税下的最优股票交易：对价格和1月异常收益的影响》，金融经济学杂志，1984年，13（1），65-89。[13] Dammon，Robert，Spatt，C.和Zhang，H.，《有资本利得税的最优消费和投资》，金融研究综述，2001年，14（3），583-616。[14] 帕特的世界数学博客（2012年）：http://pballew.blogspot.com/2011/01/who-created-birt日期为2011年1月14日星期五的hday问题和EV，检索日期为2012年11月16日。[15] W.鲍尔和H.科克斯特，《数学娱乐与散文》，第13版，1987年，第45-46页（多佛：纽约州纽约）。[16] Naus，J.，Bir t hday问题的延伸，Am。统计学家，1968,22（1），27-29。[17] 更多的生日惊喜，上午。数学月刊，1970年，77856-858年。[18] 克莱利，T.和南迪，S.，男孩和女孩的生日问题，数学公报，1987，71（455），19-22。[19] R.Pinkham，一个方便的解决女孩和男孩生日问题的方法，数学。公报，1988年，72（460），129-130。[20] K.西村和M.西布亚，《两种球的占用》，统计数学研究所年鉴，1988年，40（1），77-91。[21]Galbarith，S.，和Holmes，M.，应用于离散对数的非均匀生日问题，离散应用数学，2012，160（10-11），1547-1560。[22]Selivanov，B.，关于随机分配彩色文件方案中的等待时间，离散数学应用。，1995, 5(1), 73- 82.[23]Chatterjee，S.，Diaconis，P.，和Meckes，E.，可交换对和泊松近似，2005年，Prob。

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2022-5-9 11:35:17

调查，2，64-106。[24]R.格雷厄姆、D.克努特和O.帕塔什尼克，《具体数学：计算机科学基金会》，1994年（艾迪森·韦斯利：马萨诸塞州波士顿）。[25]Wendl，M.，随机变量集之间的碰撞概率，统计与概率。信件，2003，64（3），249-254。[26]Arratia，R.，Goldstein，L.，和Gordon，L.，泊松近似和ChenStein方法，统计学家。Sci。，1990, 5(4), 40 3-424.[27]DasGupta，A.《配对、生日和强烈的生日问题：当代评论》，J.of Stat.Plan。和Inf.，205130377-389。[28]Bradford，P.，Perevalova，I.，Smid，M.和Ward，C.，指标随机变量转换分析和生日问题。第31届IEEE本地计算机网络年会（LCN 2006），美国佛罗里达州坦帕，IEEE出版社，101 61023，2006年11月。[29]Stinson，D.，密码学理论与实践，第三版，2005年（华润出版社：佛罗里达州博卡拉顿）。[30]Song，R.，Green，T.，McKenna，M.，和Glynn M.，使用占用率模型估计数据系统中无唯一性的重复病例数，数据科学杂志，2007年，5月，53-66日。[31]Diaconis，P.和Mosteller F.《研究巧合的方法》，美国医学杂志J。《统计协会》，1989年，第84（408）页，第853-861页。[32]DasGupta，A.，序列、模式和巧合，2004年，手稿。可从以下网址获取：http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.121.8367（2015年11月22日访问）。[33]拉波波特，A.，生日问题：寻找初等解，数学公报，1998年，82（493），111-114。[34]Flajolet，P.，Gardy，D.，和Thimonier，L。，生日悖论，优惠券收集，缓存算法和自组织搜索，离散应用数学，1992，39（3），207-229。[35]莫特瓦尼，R.和拉格万，P.，随机算法，1995年（剑桥大学出版社：英国剑桥）。[36]米岑马赫，M.和厄普法尔，E。

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