违约风险下的一般动态期限结构

2022-5-11 00:56:25

违约风险下的一般动态期限结构克劳迪奥·丰塔纳和托尔斯滕·施密特摘要。我们考虑了可违约债券的期限结构建模问题，破坏了对违约时间的基本假设。特别是，我们不假设违约强度的存在，因此我们考虑在可预测的时间违约的可能性。事实证明，这需要在Heath、Jarrow和Morton（1992）的远期利率方法中引入一个附加术语。这个术语是由一个随机度量驱动的，它编码了关于违约可能以正概率发生的时间的信息。在此框架下，我们推导出了参考概率测度成为大型信贷风险债券金融市场局部鞅测度的必要条件和充分条件，同时考虑了一般的恢复方案。1.引言违约风险下债券价格期限结构演变的研究通常从远期利率模型开始，类似于[30]中Heath、Jarrow和Morton（HJM）的经典方法。在这种方法中，债券价格被假定为相对于债券的寿命（到期日）是绝对连续的。这一假设通常被以下论点所证实：在实践中，只有一定数量的债券是流动交易的，而完整的期限结构是通过插值获得的，因此是平滑的。然而，在存在违约风险的市场中，不连续性是规则，而不是例外：默顿[44]的开创性工作清楚地表明了这种行为，许多其他结构模型（例如，见[3,27,28]）。违约事件通常发生在公司或主权实体未付款的对应关系中，在许多情况下，付款日期是提前公开的。

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2022-5-11 00:56:29

阿根廷以290亿美元的名义（2014年7月30日；见[31]）和希腊以e1的名义错过了息票支付。50亿（2015年6月30日；见[14]）是在预定付款日期发生的信用事件的主要例子。因此，预期违约风险债券的期限结构在此类付款日期的对应关系中表现出不连续性是很自然的。另一方面，简化模型（参见[2,12,19,34,42]了解该方向的一些最早研究成果）对导致违约和忽视这一现象的精确机制没有那么雄心勃勃。简化模型通常假设违约强度的存在，从而简化了违约事件在任何可预测时间发生的概率。因此，可违约期限结构的简化HJM模型通常假设，在违约之前，债券价格相对于到期日是绝对连续的，即未到期：2017年11月3日。关键词和短语。信用风险、HJM、套利、远期利率、违约补偿、结构性方法、简化形式方法、大型金融市场、复苏。作者感谢安娜·阿克萨米特（Anna Aksamit）、约瑟夫·泰奇曼（Josef Teichman）和FWZ研讨会的参与者就本文主题进行了有价值的讨论，并感谢两位匿名推荐人提出了有助于改进论文的宝贵建议。作为一个说明性的例子，希腊债务支付日期的时间表可在http://graphics.wsj.com/greece-debt-timeline.2克劳迪奥·丰塔纳（CLAUDIO FONTANA）和托尔斯滕·施密特（THORSTEN Schmidtan）用（1.1）P pt，T q“1tτatuexp^Ttfpt，uqdu˙，τ表示随机违约时间和pf pt，T q0dTdTan瞬时远期利率来描述零恢复的假设。

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2022-5-11 00:56:32

这一方法已在众多著作中得到研究，并在很大程度上达到了概括性，从第一部著作[13,36,50,51]开始，并在[15,16,45,49]中向各个方向延伸（相关文献概述见[4，第13章]）。事实证明，假设没有套利，违约事件以严格正概率发生的可预测时间的存在与形式（1.1）的绝对连续期限结构不相容。这一事实已经在1998年的[51]中指出，它激发了[3]和[25]等更一般的方法（有关相关文献的概述，请参见第3.6节）。特别是，在最近的论文[25]中，通过允许默认补偿器具有与默认强度相对应的绝对连续部分，以及具有有限跳数的不连续部分，扩展了经典的简化形式HJM方法。跳跃的存在允许违约事件在可预测的跳跃时间以严格的正概率发生，在[25]中，假设在市场中提前披露。在这种情况下，为了排除套利的可能性，期限结构方程（1.1）必须通过引入与这些时间对应的不连续性来扩展。在本文中，我们介绍了在最小假设下可违约条款结构建模的一般框架，大大超出了基于强度的方法，并推广了[25]的设置。更具体地说，我们避免对违约时间τ以及违约补偿做出任何假设，尤其是允许违约事件在可预测的时间以严格正概率发生。据我们所知，以前的可违约期限结构建模方法总是对τ施加一些假设。

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2022-5-11 00:56:36

表示信用风险债券期限结构的一种自然而通用的方法，也考虑到不连续性，是将（1.1）扩展到以下规格：（1.2）P pt，T q“1tτatuexp^zTtfpt，uqduzpt，T sgpt，uqutpduq˙，其中putpduqqtě0是一个具有可能的奇异和跳跃部分的度量值过程，其中pfpt，T q0dTdTdT和pgpt，T q0dTdTdtar T是两个代表瞬时远期利率的随机域。额外的术语spt，T sgpt，uqutpduq可以解释为迄今为止可能收到的信息的影响债券剩余寿命pt，ts中的“风险日期”（即违约事件可能以严格正概率发生的时期）。有关术语结构规范（1.2）的简单说明，请参阅第3.2节。在这种一般情况下，我们获得了参考概率测度Q成为包含所有信用风险债券的有限维金融市场的局部鞅测度的必要和充分条件，从而确保在某种意义上没有套利，具体如下。此外，我们还研究了（1.2）对连续信用事件的一般恢复过程的扩展。总体而言，本论文可以被视为一个一般的HJM类型框架，弥合了基于强度的模型和结构模型之间的差距。此外，尽管具有一定的普遍性，但我们的HJM类型条件允许明确的经济解释，并且可以在几个具有实际意义的特殊情况下进一步简化，尤其是在过程putpduqqtě0由整数值随机测度生成的情况下。违约风险下的一般动态期限结构3金融文献中广泛承认，在可预测的时间允许跳跃的重要性。

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2022-5-11 00:56:39

这是因为价格上涨通常与宏观经济公告（参见[39]）对应，宏观经济公告在预定（可预测）日期发布。在这个方向上，在[46]中开发并测试了一个经济计量模型，该模型考虑了与联邦公开市场委员会会议日期不一致的跳跃。研究表明，政策相关跳跃的引入提高了债券价格，并允许产生现实的波动模式。[40]和[21]的分析进一步证实了这一点，其中表明宏观经济公告对一到五年的到期日有特别强的影响。最近的政治事件，如英国脱欧和2016年美国总统选举，突显了金融市场在预定日期发生的重大不连续性。从这个角度来看，本文首次提出了在计划日期出现跳跃时可违约期限结构建模的一般理论，为财务文献做出了贡献。本文的结构如下。第2节对设置和主要技术假设进行了描述，并对默认补偿器过程进行了一般分解。本文的主要结果见第3节，首先是在违约时零恢复的情况下，然后是一般恢复过程。还讨论了特殊情况和示例，以及与文献的关系（见第3.6节）。第4节包含我们所有结果的证明。2.一般可违约期限结构模型2。1.设置。

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2022-5-11 00:56:43

让pOhm, A、 Qq是一个概率空间，被赋予一个过滤F“pFtq0dtdt满足通常的条件（即，F是右连续的，如果ADB P A和QpBq”0，那么A P F），ta8表示最终的时间范围。我们假设过滤后的概率空间POhm, A、 F，Qq非常丰富，可以支持n维布朗运动W“pWtq0dtd和可选的非负随机测度upds，r0上的duq，Ts^r0，Ts。在本文中，概率测度Q将代表一个参考概率测度。我们遵循[33]的注释有关随机过程的详细信息，请参阅本文。2.2. 默认时间。我们考虑一个抽象经济体，其中包含一个实体（例如，一家公司或主权），该实体可能在随机违约时间τ违约。过滤F旨在代表市场上公开的所有信息。默认事件是可公开观察的，这意味着随机时间τ是F-停止时间。我们用Ht定义了相关的默认指标过程H“pHtq0dtdTby:“1tτtu，对于tpr0，Ts。我们还将利用生存过程1\'H。过程H“1rrτ，Tssis F-适应，有界，右连续，并在r0，Ts上递增。因此，通过Doob-Meyer分解（参见[33，定理I.3.15]），存在一个唯一可预测、可积且递增的过程“pHptq0dtdTwith Hp”0，称为defaultcompensator（或H的双重可预测投影），因此过程H\'Hp是p上的统一可积鞅Ohm, F、 Qq。还要注意的是，对于所有tpr0，Ts，Hpt“Hpτ^t。除了作为F-停止时间的最小假设外，我们不引入任何关于τ的进一步假设。

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2022-5-11 00:56:46

在这种一般设置中，默认补偿器HP不一定是绝对连续的（即，默认强度可能不存在），也可能包含奇点和跳跃部分，如以下引理所示（第4节给出了证明）。有限时间范围内的情况可以以类似的方式处理，并导致类似的结果，前提是μ是R\'上的随机度量，满足假设2.4.4的适当版本克劳迪奥·丰塔纳和托尔斯滕·施密特勒玛2.1。默认补偿器Hpt允许唯一分解（2.1）Hpt“zthsds`λt`"y0asdt对于所有的0dtdt，其中phtq0dtd是一个非负的可预测过程，使得sThsdsa8 a.s.和pλtq0dtd是一个具有λ“0的递增连续过程，使得dλspωq ds，对于aωpOhm.我们用t表示Hp‰0u“Tipnruiss默认补偿器Hp的跳转时间的薄集，其中puiqip是一系列可预测时间（见[33，命题I.2.24]）。根据[33，§I.3.21]，它认为qpτ“UidTq”Er回族人HpUisa0，对于所有i P N，意味着违约事件的发生概率与可预测日期pUiqiPN一致。经典的基于强度的方法可以通过让λ“分解中的Hp“0”（2.1）。连续奇异部分λ非空的典型示例由最后一段时间提供（例如，参见[19，第4节]）.2.3. 信用风险债券的期限结构。到期日为TPR0的信用风险债券是一种或有债权，承诺在到期日为T时支付一单位货币，前提是违约主体在T日之前不违约。对于所有0dTdTdT，我们用P pt，T q表示到期日为T的acredit风险债券的价格。

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2022-5-11 00:56:50

作为第一步，我们将注意力限制在零回收案例上，这意味着我们假设，当违约事件发生时，信用风险债券变得毫无价值，即P pt，对于所有0dTdTdT（关于一般回收方案的分析，请参见第3.5节）。随机过程家族tpP pt，T qq0dTdT；T P r0，Tsu描述了期限结构TThP pt，T q随时间的演变。根据[25]中建议的扩展HJM框架，我们假设信用风险债券的期限结构为形式P pt，T q“p1\'Htq exp^zTtfpt，uqduzpt，T sgpt，uqutpduq˙，对于所有0dTdT，（2.2）对应于引言中的等式（1.2）。这里upduq”putpduq0dTd是由utpduq定义的测量值过程：“upr0，ts^duq，对于tpr0，ts，其中upds，duq是第2.1节中引入的随机测量值。假设过程为fpt，f和fpg所有0dTdTdTdT的“fp0，tqztaps，tqdsztbps，tqdws，（2.3）gpt，tq”gp0，tqzTαps，tqdszTβps，tqdws，（2.4）。关于随机测量u以及（2.3）-（2.4）中出现的过程的精确技术假设将在下面的第2.4节中给出。目前，让usbrie对术语结构方程（2.2）的解释进行自由评论（关于g和u的作用）。与用于信用风险的经典HJM框架（参见[13,36,50,51]）相比，期限结构方程（2.2）的新颖之处在于随机测度u和相关的远期利率g的存在。随机测度u我们想指出，我们的结果可以推广到f和g是更一般的半鞅随机场的情况。

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2022-5-11 00:56:53

由于我们的主要目标在于研究由一般随机测度驱动的可违约项结构，因此我们更倾向于让f和g采用简单形式（2.3）-（2.4），以避免因太多技术问题而使陈述变得模糊。违约风险5下的一般动态期限结构对随着时间推移收到的关于可能的“风险日期”或“风险期”的信息进行编码，根据可用信息，违约事件被认为更有可能发生（下面将提供明确的例子）。更具体地说，u的第一个参数通常代表运行时间，而u的第二个参数确定了可能的风险日期和周期。因此，（2.2）中出现的与utpduq有关的积分代表了迄今为止收到的关于债券剩余寿命pt，ts内违约可能性的所有信息的影响。u是一个可选的随机测量值的假设只是捕捉到了这样一个事实：关于未来风险日期的信息是公开的，但可能会突然进入市场（因为u不一定是可预测的）。如下文所示，没有套利将意味着违约补偿和随机度量u之间的精确关系。远期利率g解码了该信息对期限结构的影响。在某些情况下，可以用zpt、ts＠fpt、uq＠tpduq（2.5）形式的单个项来表示sTtfpt、uqdu＠pt、T sgpt、uqutpduq，例如，当u是确定性的时，请参见第3.4.2节。然而，这可能并不总是可行或方便的，参见示例2.3。在本文中，我们决定讨论一般情况（2.2），而基于（2.5）的RM结构模型显然允许进行更简单的数学处理。以下示例说明了可能导致术语结构不连续的坏消息建模。

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2022-5-11 00:56:57

正如[25,37]所指出的，e1的故障。希腊按计划向国际货币基金组织（IMF）偿还50亿美元债务，以及阿根廷未能偿还290亿美元债务的息票，都是此类情况的突出例子。例2.3（令人惊讶的坏消息是主权信用）。考虑一个国家在最佳评级级别的信用。在正常情况下，这可以解释为在考虑的时间范围内没有违约风险（即τ“`8）然而，该国可能会遭遇意外事件，可能是灾难、市场崩溃或其他未经思考的风险。假设有关该风险的消息在随机时间S到达。下一次预期的信用证付款将在某个随机时间UaS到期，我们表示p r0，1s错过付款的概率。因此τ“$&%U的概率为p；`8的概率为1`p。让过滤G”pGtq0dtdTbe由过程p1tSdtup1`Uqq0dtdt生成，适当地增强。过滤F”pFtq0dtdtdt是通过G与τ的逐步放大得到的，即Ft“asatpGsdpτsqq”，对于所有的0dtdtdtdt。然后，关于ttaSu，没有额外的信息，因此τ“`8具有概率1\'pq。因此，对于所有的APbpr0、TsqTt`8u、ttaSuQpτpa | Gtq”1taSu QpU QpU pa | Gtq`p1\'pqδpAq\'\'1taSu QpU Aq`p1\'pqδpAq\'。否则，在ttěSu上，风险日期U是可测量的，因此ttěSuQpτpaGtqQpU A | Gtq | 1těqpδpAq |以及[14]中的公告[31].6克劳迪奥·丰塔纳和托尔斯滕·施密特在a点对应的狄拉克测度上做了δ调整。这个例子可以通过让upds，duq“1rrS，`8rrpdsqδUpduq包含在我们的框架中。为了简单起见，假设随机变量U有一个密度，因此QpUaT | Uatq可以写成关于勒贝格测度的积分。

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2022-5-11 00:57:01

然后，（2.2）之后的信用风险债券价格变成HJMform:P pt，T q“1 TτatuesTtfpt，uqduff TaS，p pt，T q“1tτatuexp^zTtfpt，uqdu\'gpt，Uq1ttaUdT U˙，对于tprs，ts。另一方面，如果随机变量U是离散的，可以考虑推论3.9中研究的广义默顿模型。2.4.技术假设和初步假设。术语结构模型的分析需要以下假设，我们从关于随机度量u的假设开始。假设2.4.随机测度upds，duq是一个非负的可选随机测度，在满足以下性质的r0，Ts^r0，Ts上[33，定义II.1.3]的意义上：（i）upω；ds，duq“1tsauuupω；ds，duq，适用于所有ps，uq p r0，Ts^r0，Ts和ωpOhm;（ii）停车时间存在一个序列pσnqnPNof，将a.s.增加到完整性，因此每n个p n的σNPR 0，Tsqsa\'8 a.s.。根据假设2.4第（i）部分备注2.2中给出的解释，在s日收到的新信息仅涉及未来（而非过去）违约的可能性。鉴于（2.2），这一假设不失普遍性。第（ii）部分确保在[33，定义ii.1.6]的意义上，随机度量u是可预测的σ-有限的，并且对于假设2的所有t P r0，Ts第（ii）部分，随机变量utpr0，Tsq是a.s.有限的。4相当于要求递增过程putpr0，Tsqq0dtd是局部可积的（参见例[32，备注3.9]）。除了假设2.4之外，随机测量u是通用的。以下引理给出了假设2.4的第一个结果。我们定义了过程“u”putq0dtdTbyut:“u`r0，Ts^r0，Ts”，对于所有的tpr0，Ts引理2.5。假设假设假设2.4成立。

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2022-5-11 00:57:05

然后“u”是一个可预测且不断增加的过程，允许独特的分解（2.6）‘ut’tmsds`νt`0asdtus，对于所有的0dtdt，其中pmtq0dtd是一个非负的可预测过程，因此，对于几乎所有的ωpOhm.随机变量“ut根据r0，ts上的所有可用信息，比较备注2.2，测量r0，ts期间风险日期的存在。以类似的方式，数量“ut”upr0，Ts^ttuq根据所有可用信息对时间t是否被视为风险日期进行编码。正如我们将在定理3.4中看到的，没有套利意味着分解（2.1）和（2.6）中出现的术语之间存在精确关系。以下温和的技术假设确保所有（随机）积分有很好的定义，我们可以应用（随机）富比尼定理的合适版本。在下文中，wedenote由O（P，resp.）可选（可预测，分别）σ-p上的字段Ohm, A、 Fq。违约风险假设下的一般动态期限结构2.6。

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何人来此

2022-5-11 00:57:09

以下条件适用于a.s.：（i）初始正向曲线TTh~nfpω；0，tq和TTh~ngpω；0，tq是Fb Bpr0，Tsq可测，实值，连续和可积的，对于所有的tpr0，Ts:zT|fp0，uq|dua\'8和zT|gp0，uq|utpduqa\'8；（ii）漂移过程apω；s、 uq和αpω；s、 uq是obbpr0，Tsq可测且实值，apω；suq 0 0 0 0和αpω；s，uq 0 0 0 0为所有0duas，地图u囎apω；s，uq和U22Q和U2222Qαpω；s，uq是可区分的，并且满足和满足380zt380zTzTzTzTzTzTzTzzTzTzTzT\"T | T\"T | | T | aps，aps，uq | | | | | | | | | | | p r0，Ts；（iii）波动过程bpω；s，uq和βpω；s，uq是ob Bpr0，Tsq可测量和Rn值bpω；s，uq0和βpω；s，uq“0”0为所有的0duas，地图uThbpω；s，uq和uTh和uThβpω；s，uq是可区分的，uq是可满足和满足zTzTzTzTzTzTzbps，uq}}}Bubps}Bubps，Bubps，uq，uq，uq 72888 418 418 418888888）的是从从从从8年到8年到8年到8年到8年到8年到8年到8年到8年到8年的美国的美国的美国的美国的英国的英国的英国的英国的英国的英国的英国的英国的英国的英国（2.3）-（2.4）中的普通积分和随机积分定义明确。与[20，命题6.1]的证明类似，pf-pt、tqq0dtd和pgpt、Tq0dtdtar的过程是连续的，因此是可预测的且局部有界的。通过一个类似的论证，可以证明，对于任何固定的tpr0，Ts和a.a.ωPOhm, 映射uTh~nfpω；t、 uq和uTh~ngpω；t、 uq是连续的。连同假设2.4的第（ii）部分，这意味着项结构方程（2.2）中出现的两个积分都是a.s.有限积分。最后，sgps，sqds被定义为一个可预测的有限变化过程。3.一般可违约期限结构的HJM类型条件本节包含我们的主要结果，并提供了在第2节中介绍的一般期限结构模型背景下无套利的特征。

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kedemingshi

2022-5-11 00:57:12

在第3.1节对金融市场和我们考虑的套利概念进行了详细描述之后，我们在第3.2节中讨论了我们主要结果的简单表述，以便以透明且易于设置的方式说明HJM类型条件的含义。第3.3节阐述了我们的主要定理，而第3.4节讨论了几个特殊情况，第3.5节介绍了对一般恢复方案的扩展。最后，我们将在第3.6节中讨论相关工作。第4.3.1节给出了所有结果的证明。信用风险债券的大型金融市场。经过考虑的金融市场假设包含一个价格过程严格为正的、经过调整的平均日价格，并用X“pXtq0dtdt表示。在不丧失一般性的情况下，我们假设X”1。此外，我们做了经典假设，即Xis是绝对连续的，即存在一个可预测的可积短速率过程r“prtq0dtdTsuch，Xt”exppstrsdsq，对于所有tp r0，Ts。在实际应用中，通常使用隔夜指数交换（OIS）建造num’eraire的费用。8克劳迪奥·丰塔纳（CLAUDIO FONTANA）和托尔斯滕·施密特（THORSTEN Schmidt）信用风险债券市场由不可数的tpP pt家族组成，T qq0dTdT；TPR0，Tsu，代表所有基本交易资产的价格过程。特别是，这种金融市场是有限维的，因此，按照[8,41]的精神，可以将其视为一个大型金融市场。这相当于考虑交易策略的顺序，每种策略只包含由数量众多但任意的信用风险债券组成的投资组合，并接受这些投资组合的限制。如果在Emery的半鞅拓扑中取极限，这就引出了[8]中最近在一般情况下引入的无症状无消失风险午餐（NAFLVR）的概念。

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大多数88

2022-5-11 00:57:15

特别是，如果概率测度Q是tpP-pt族的局部鞅测度，tqq0dTdT；T P r0，关于数值X的Tsu，即如果进程P¨，T q{Xis a q-局部鞅，对于每一个T P r0，Ts。在下文中，我们将导出该属性保持的必要条件和充分条件，从而确保信贷风险债券市场在NAFLVR意义上是无套利的。备注3.1.（i）当前设置可以扩展到考虑数值为一般严格正半鞅的情况（不一定是绝对连续的），沿着[41]的线。在这种情况下，人们可以得到定理3.4和3.12的广义版本，而代价是更复杂的公式。（ii）在局部有界债券价格的附加假设下，[41，定理5]表明等价局部鞅测度的存在性等价于无渐近自由午餐（NAFL）条件。在目前的情况下，NAFL相当于NAFLVR。这意味着，在这个附加假设下，我们的结果可以推断NAFLVR在信用风险债券的大型金融市场中持有的必要和有效条件。然而，在第2节介绍的一般设置中，局部有界性不一定成立。3.2. 第一个结果。在陈述我们的主要结果（下面的定理3.4）之前，让我们首先介绍一个特殊情况，它揭示了（2.2）-（2.4）形式的可违约期限结构模型的无套利限制。考虑满足假设2.4的整数值随机度量upds，duq[33，定义II.1.13]。

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2022-5-11 00:57:19

然后，根据[33，命题II.1.14]，存在一个停止时间序列pσnqnp和一个r0，Ts值可选过程γ“pγtq0dtdTsuch，定义Fσn-可测量随机变量τn:“γσn，对于所有n p n，它认为upds，duq“`8"yn”1δpσn，τnqpds，duq。（3.1）注意，由于upds，duq“根据假设2.4，我们得到了τnaσn，对于所有n P n。这个设置允许一个直观的经济解释：“每个停止时间σn表示一个宣布日期。在宣布日期，市场上发布了关于未来违约可能性的新信息。由于σ是一个一般停止时间，宣布可能会出人意料；每次停止。”g timeτn表示未来的一个风险日期，该日期在公告日期σn处披露。风险日期是一个被认为有可能以正概率违约的日期。这个日期本身并不令人惊讶（就像τnis Fσn-可测量和τnaσn一样），而违约是否发生在τ仍然是不可预测的。此类风险日期自然会导致期限结构的不连续性，从而违反（1.1）。该演示文稿（3.1）允许简化可默认的期限结构方程（2.2）toP pt，T q“p1\'Htq expTtfpt，uqdu"yσndttτnPpt，T sugpt，τnq,，0dTdT.违约风险下的一般动态期限结构9请注意，可违约债券的价格P pt，T q取决于迄今为止收到的所有关于债券剩余寿命pt，T s中未来风险日期的公告。在这种情况下，我们可以提出以下命题，代表推论3.7的特例（见第3.4.1节）。我们将本小节介绍的假设总结如下。假设3.2。

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2022-5-11 00:57:22

假设（i）upds，duq是表示式（3.1）中的整数值随机度量，具有形式为uppds的补偿器，duq“ξspduqds，其中ξspduq是pr0，Ts，Bpr0，Tsqq上的一个正有限度量，对于所有spr0，Ts；（ii）Qpτ“σnq”0，对于所有npn；（iii）出现在（2.1）中的连续奇异过程λ消失。特别是，假设3.2的第（ii）部分要求没有新信息与默认事件同时到达。我们为所有0dtdtdtdt，（3.2）设置apt，tq“zTtapt，uqdu，\'bpt，tq”zTtbpt，uqdu，\'αpt，tq“zpt，tsαpt，uqutpduq，\'βpt，tq“zpt，tsβpt，uqutpduq。请注意，只要满足假设2.4和2.6，上述所有积分都是很好定义的。命题3.3。假设假设假设假设2.4，2.6和3.2成立。那么，概率测度是关于Xif的tpP pt，tqq0dT；tp r0，Tsu的局部鞅测度，且仅当以下条件成立时：（i）f pt，tq“rt`ht，代表勒贝格-a.e.t P r0，Ts；（ii）tHp‰0uDTNPNRτnss和Hpτn“1\'e\'gpτn，τnq，对于所有的np n；（iii）对于所有的tpr0，Ts和Lebesgue-a.e.tpr0，Ts，它认为，\'apt，tq\'αpt，tq\'}bpt，tq\'\'βpt，tq\'\'T\'T\'e\'gpt，uq\'1tpduq“0。命题3.3中所述的必要和有效条件有一个明确的解释：\'要求可违约债券的瞬时收益率f pt，tq等于无风险利率Rt加上ht给出的违约风险补偿条款。这与基于强度的模型中的经典无套利限制相对应（参见[51，定理2]）条件（ii）要求以严格的正概率宣布违约事件发生的所有可预测时间为风险日期。

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2022-5-11 00:57:26

此外，条件（ii）的第二部分意味着，在每一个风险日期τn，可违约债券价格表现出ajump-ErPτn，T q | Fτn“0 a.s.”条件（iii）对应于经典的HJM漂移限制。额外的术语sTtpe\'gpt，uq\'1qξtpduq代表了由于未来可能的风险日期相关新闻的到来而导致的术语结构变动的补偿。3.3. 主要结果。现在，让我们利用环境的全部普遍性，继续说明我们的主要结果。对于每个tpr0，Ts，我们介绍了由（3.3）YpT qt定义的过程YpT q“pYpT q0dtdTde:“tztzTgps，uqupds，duq，对于所有0dtdt.10 CLAUDIO FONTANA和THORSTEN Schmidt，这将是引理4.1的结果，即YpT qi a.s定义为一个单位化过程。我们用upYpT q表示与二维半鞅pYpT q，Hq，Hq相关的跳跃度量[33，提案II.1.16]，带补偿器up，pYpT q，Hq。根据[33，定理II.1.8]，存在一个递增的可积可预测过程ApT q“pApT qtq0dtd和一个核KpT qpω，t；dy，dzqOhm ^r0，Ts，Pq转化为pR^t0，1u，BpR^t0，1uqq，使得（3.4）up，pYpT q，Hqpω；dt，dy，dzq“KpT qpω，t；dy，dzqdApT qtpωq.由于假设2.4的第（i）部分，它认为YpT qT“YpT qT'YpT qT'”sTgpT，uquptT u^duq”0。因此，我们可以在不损失一般性的情况下，假设1ty‰0uKpT qpω，T；dy，dzq“0，对于所有pω，tqpOhm ^r0，Ts.让upbe为u的补偿器，它与[33，定理ii.1.8]一起存在于假设2.4的第（ii）部分中。

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2022-5-11 00:57:30

如下面引理4.3所示，对于所有0dtdtdt，与upvia相关联的补偿度量up、pYpT q、hqi具有以下关系：（3.5）ApT qtzRy KpT qpt；dy^t0，1uqzRyup，pYpT q，Hqpttu^dy^t0，1uqzpt，T sgpt，uquppttu^duq。最后，我们定义函数ψ：Ohm ^r0，Ts^R^r0，1s~nR as（3.6）ψpω；t、 y，zq：“egpω；t，tq\'utpωq\'e\'y\'1p1\'zq。请注意，由于pgpt、tq0dtd和putq0dtdtar这两个过程是可预测的，因此函数ψisP b BpR^r0，1sq是可测量的。按照[33]的符号，我们用关于随机测度的积分表示。此外对于任意过程V“pVtq0dtdTof fifite variation，我们用vcIt连续部分表示，它可以进一步分解为Vc“s”（Vacsds`Vsg），类似于引理2.1。我们还将使用（3.2）中介绍的符号.我们现在可以陈述以下定理，它给出了使参考概率测度Q成为家族Pp pt，T qq0dTdT的局部鞅测度的必要和有效条件；TPR0，Tsu与num’eraire X有关。如上所述，这是确保NAFLVR意义上无套利的基石。第4.2节将给出该理论的证明。定理3.4。假设假设假设2.4和2.6成立。让ψ定义为（3.6）和gpt qpω；s、 uq：“1tudT ugpω；s，uq，对于每个tpr0，Ts。那么，概率测度Q是关于Xif的tpP pt，tqq0dT；tpr0，Tsu的局部鞅测度，并且仅当以下条件保持a.s.：（i）f pt，tq`gpt，tqmt“rt`ht，对于Lebesgue-a.e.tpr0，Ts；（ii）Hpt“1’e’gpt，tqut，对于所有t P r0，Ts；（三）pψup，pYpT q，Hqqt“0，适用于所有0dtdt.（iv）适用于所有t p r0，Ts和Lebesgue-a.e。

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2022-5-11 00:57:33

tpr0，ts，它认为，\'\'apt，tq\'\'αpt，tq\'\'bpt，tq\'\'βpt，tq\'\'pgpT quqact`PψuP，pYpT q，Hqqact“0；（v）对于所有0dtdtdt，它认为ztgps，sqdνs\'pgpT quqsgt`pψup，pYpT q，Hqqsgt“λt。由于设置的普遍性，定理3.4中给出的条件相当复杂。然而，正如我们现在要解释的，它们中的每一个都有一个精确的财务解释，类似于命题3.3的情况。这些条件将在第3.4节中结合几个实例和实际感兴趣的特殊情况进行进一步讨论。一般动态期限结构定理3.4中的违约风险11条件（i）要求信用风险债券累积的瞬时收益率fpt，tq`gpt，tqm等于无风险利率Rt加上ht给出的违约风险补偿项，该补偿项对应于违约补偿器Hp绝对连续部分的密度（见引理2.1）。因此，该条件类似于命题3.3中的条件（i）。条件（ii）是默认补偿器HP1的跳跃与引理2.5中引入的过程¨u的跳跃之间的精确匹配条件。特别是，让可预测时间puiqip表示Hp的跳跃时间，条件（ii）意味着Pω，tqpOhm ^r0，Ts:gpω；t、 tqutpωq‰0（“pω，tqpOhm ^r0，Ts：Hptpωq‰0（“dipnruiss.（3.7）由于可预测时间puiqipn与可能的违约日期（即Qpτ”UidTqa0，对于所有i P N）相关，且¨u的跳变对应于“风险日期”，关系（3.7）意味着“假警报”（即不存在违约可能性的日期被宣布为风险日期的可能性）不会发生。

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2022-5-11 00:57:36

此外，观察条件（ii）意味着，为了排除套利，信用风险期限结构必须在违约补偿的跳跃时间puiqipno处表现出到期的不连续性。换句话说，信用风险债券的价格在风险日期的对应关系中必须是不连续的（回想一下“ut”upr0，Ts^ttuq，用于所有P r0，Ts）。该条件类似于命题3.3中的条件（ii）。条件（iii）要求有关未来风险日期的新信息的总体影响在可预测的时间内驱动，且不与默认事件重合。这可以通过重写等价形式的条件（iii）来理解。”pψup，pYpT q，Hqqt“egpt，tqutApT qtzR^t0，1PE\'y\'1qp1\'zqKpT qpt；dy，dzq“E”egpt，tq“ut`e”YpT qt'1'1'HtiddsTtgpt，uqupttu^duq\'1\'1\'HtˇFti0，其中我们使用了[33，§II.1.11]和过程pgpt，tqq0dtdanddu的可预测性。请注意，如果过程YpT qi是准左连续的，对于每个pR0，Ts（参见[33，推论II.1.19]），这个条件总是满足的。条件（iv）表示对经典HJM漂移条件的常规默认设置的扩展。该条件类似于命题3.3中的条件（iii）。让我们分解ψpω；t、 y，zq“egpω；t，tqutpωq\'e\'y\'1egpω；t、 tq“utpωqz`e\'y\'1”：ψp1qpω；t，yq\'ψp2qpω；t，y，zq，因此（3.8）ψup，pYpT q，Hq“ψp1qup，YpT qp2qp，pYpT q，Hq，其中up，YpT qi是跳跃测量的补偿器uYpT qof YpT q，对于tp r0，Ts。

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2022-5-11 00:57:40

术语ψp1qup、YpT q和gpT qu表示对在时间t收到的有关未来时间段pt，ts违约可能性的信息的补偿，而术语ψp2qup、pYpT q、hqaccount表示新闻同时到达违约事件的可能性。最后，条件（v）将缺省补偿器hp12的连续奇异部分λ与（2.2）中的CLAUDIO FONTANA和THORSTEN SCHMIDTspt，T sgpt，uqutpduq的半鞅分解中出现的连续奇异过程联系起来。还请注意，利用（3.4），条件（v）中出现的术语pψup，pYpT q，Hqqsgt可以等价地重写aspψup，pYpT q，Hqqsgt“ztzR^t0,1upe\'y\'1qp1\'zqpt qps；dy，dzqdApT q，sgs.备注3.5（关于可预测违约的不可能性）。定理3.4的条件（ii）暗示：Hpta1 a.s.，自术语gpt，tq起，适用于所有TPR0，Ts“这是一个特别的名字。特别是，这意味着默认时间τ不能是可预测的时间（在[33，定义I.2.7]的意义上）。直观地说，很清楚为什么可预测的违约时间与形式（2.2）的无套利期限结构不兼容，前提是对于所有0dTdTdTdT，sTtfpt，uqduspt，T sgpt，uqutpduqa8 a.s。实际上，如果τ是一个具有QpτTdT q0的可预测时间，对于一些tpr0，Ts，那么基本策略“1rrτdTduwt”将实现套利机会，因为Pτ，T q“0和Pτ，T qa0保持TτdT u。这与一个事实有关，即没有必要的套利排除了在可预测时间发生的可预测大小的跳跃（见[22]）。然而，请注意，这个论点只排除了默认时间τ是可预测时间的情况，但不排除τ可以以严格正（但不是单位）发生的情况可预测时间的概率（即τ可以是一个可访问的时间，见[29，定义3.34]）3.4。

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2022-5-11 00:57:44

特殊情况。在本节中，我们将介绍practicalinterest定理3.4的几个特例。第3.6节给出了与现有文献相关的更多示例。我们从以下简单引理开始，它表明定理3.4的条件（iii）-（iv）-（v）可以在关于新闻到达过程的一个相当温和的附加假设下简化，该假设由随机度量u编码。引理3.6。假设假设2.4和2.6成立，并进一步假设（3.9）u`ttu^r0，TsHt“0 a.s.对于所有的tpr0，Ts.那么，定理3.4的条件（iii）-（iv）-（v）中出现的术语ψuP，pYpT q，hqa与（3.8）中引入的术语ψp1quP，YpT qin对于每个tpr0，Ts.尤其是回顾分解（3.8），这个引理表明，术语ψp2qup，pYpT q，hqo仅起到补偿同时到达defaultevent的新闻风险的作用。条件（3.9）可以等效为“新闻无默认”条件。从实际应用来看，这当然是一个合理的假设。3.4.1. 整值随机测度。我们现在考虑条件（3.9）成立且随机测度upds，duq为整数值的情况。如第3.2节所述，该额外假设对应于以下情况：在每个日期t，在该日期到达的新信息仅涉及未来时间段pt，ts中的一个时间点（可能的“风险日期”），见等式（3.1）。从实际应用的角度来看，这种情况仍然非常普遍，如下面的推论3.7所示，允许对定理3.4进行大量简化。

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2022-5-11 00:57:47

特别是，命题3.3是推论3.7的直接结果。回想第3.2节，对于整数值随机测度upds，r0上的duq，Ts^r0，ts2.4，存在一个稀疏的随机集D“TnPNrrσnss和相关的随机变量pτnqnPN，其中τnis Fσn-可测量和τnaσn，这样表示（3.1）成立。显然，条件（3.9）成立的条件是且仅当所有n p n的Qpτ“σnq”为0。根据[33，定理II.1.8]，补偿器uppds，duq ofupds，duq允许形式uppω；ds，duq的分解“fpω，s；duqdJspωq，违约风险下的一般动态期限结构，其中J”pJtq0dtd是一个递增可积可预测过程，而fpω，s；duq是pOhm ^r0、Ts、Pq分为pr0、Ts、Bpr0、Tsqq。推论3.7。假设假设2.4和2.6成立，并且假设条件（3.9）成立，并且随机度量upds，duq是整数值。然后，概率测度EQ是tpP pt，T qq0dTdT的局部鞅测度；TPR0，Tsu与Xif有关，且仅当以下条件成立时：（i）f pt，tq“rt`ht，代表Lebesgue-a.e.TPR0，Ts；（ii）THp‰0uDTNPNRτnss和Hpτn“1\'e\'gpτn，τnq，对于所有的npn；（iii）Jtspt、T spesgpt、uqs1qF pt；duq“0，对于所有的0dtdtdt；（iv）对于所有的TPR0、Ts和Lebesgue-a.e.TPR0、Ts，它认为'apt、Tq''αpt、Tq''bpt、Tq'βpt、Tq'JactzTtpe'gpt、uq'1qF pt；duq“0；（v）对于所有λt351PS、t spe gps、uq''1qF ps；DuqdJSG，对于所有的λtdt当且仅当补偿度量upadmit指定一个单数部分（上述推论的条件（v））时，默认补偿器HP可以有一个单数部分λ。

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2022-5-11 00:57:51

此外，条件（i）简单地要求无风险远期利率fpt、tq的短端等于无风险利率RTR加上违约风险的瞬时补偿Ht。还要注意，在上述推论中，必要和有效条件的制定不需要引入辅助跃变度量up，pYpT q，Hq。此外，如果补偿器的相位为uppd，duq“ξspduqds，对于某些正有限测度ξspduq（例如，当u是齐次泊松随机测度时，请参见[33，定义II.1.20]），如果λ“0.鉴于这些观察结果，命题3.3是上述推论的一个特例。定理3.4允许恢复[25]中最初考虑的两个特例。下面的第一个循环考虑了一个易于处理的设置，其中有一个有限的pτnqn“1，…，Nof riskydates（在第3.2节中定义）违约可能以严格的正概率发生，且在之前的某个公告时间公开宣布的违约概率σn，1dndn。这一结果也可以看作是示例2.3的推广。推论3.8。假设假设2.6成立，并进一步假设（a）默认补偿器满足λ“0和tHp‰0u“TNi”1rrτiss，对于某些N P N，以及Hpτiis Fσi-可测，其中，pσiqi“1，…，是一系列严格递增的停止时间，使得σiaτia.s.，对于所有i”1，…，N；（b）upds，duq“Ni”1δtσi，τiupds，duq；（c）补偿器uphas的形式为uppds，duq”ξspduqds；（d）Qpτ“σiq”0，对于所有i“1，…，N.那么，概率测度Q是关于Xif的tpP pt，tqq0dTdT；tp r0，Tsu的局部鞅测度，并且仅当以下条件保持a.s.：（i）f pt，tq“rt`ht，对于Lebesgue-a.e.tp r0，Ts；（ii）Hpτi“1\'e\'gpτi，τiq，对于所有i”1。

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2022-5-11 00:57:54

. . , N（iii）对于所有的tpr0，Ts和Lebesgue-a.e.tpr0，Ts，它认为\'apt，tq\'\'αpt，tq\'}\'bpt，tq\'\'βpt，tq\'\'Tt\'e\'gpt，uq\'1ξtpduq“0.14克劳迪奥·丰塔纳和托尔斯滕·施密特3.4.2.广义默顿模型。在R.默顿在[44]中提出的开创性模型中，sizeK的债务必须在某个（确定性）日期ua0偿还。在[27,28]中，有人提出了对更复杂资本结构的扩展在这些情况下，信用结构可以通过指出0auaua到期的义务付款日期来合并。auN（此类信息通常是公开的）。显然，在tu，联合国大学。下面的推论涉及这个简单的设置，我们称之为广义默顿模型（另见[26]）。推论3.9。假设假设2.6成立，并进一步假设（a）默认补偿器满足λ“0和tHp‰0u“TNi”1ruiss，其中puiqi“1，…，Nisa确定性时间序列，对于某些npn；（b）upds，duq“rNi”1δp0，uiqpds，duq。那么，概率测度Q是关于Xif的tpP pt，tqq0dT；tp r0，Tsu的局部鞅测度，并且仅当以下条件保持a.s.：（i）f pt，tq“rt`ht，对于Lebesgue.e.tpr0，Ts；（ii）Hpui“1\'e\'gpui，uiq，适用于所有的ip N；（iii）apt，tq``αpt，tq\'}bpt，tq``βpt，tq}，适用于所有的tpr0，Ts和Lebesgue-a.e.tpr0，Ts。特别是，将推论3.8的条件（iii）与条件（iii）进行比较在推论3.9中，我们看到关于未来风险日期的新闻的到来没有补偿。这仅仅是因为，在推论3.9的假设下，所有风险日期都是在初始日期t“0.3.5.一般恢复计划时公开的。

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2022-5-11 00:57:57

到目前为止，我们已经考虑了一旦违约事件发生，信用风险债券就变得一文不值的情况。在本节中，我们借鉴了[3,4,10]中的观点，将上述框架概括为包括一般恢复计划，其中信贷风险债券应在一系列连续信贷事件中损失部分价值。在介绍一般理论之前，让我们考虑一下下面的例子。例3.10（市场价值的恢复）。考虑一个F适应的标记点过程pτn，enqnPN，这意味着pτnqnpn是停止时间，每个随机变量enis Fτn是可测量的。每超过一个时间τn表示信用风险债券损失其市场价值一小部分的违约时间。我们假设部分损失以r0表示，1s（与en“1”对应的零回收特例）。注意，根据[51]，违约损失可能不可预测，但在相应的违约时间τn已知。在此假设下（市场价值的部分恢复），信用风险债券价格的期限结构可以假设为formP pt，T q“ττndt`1\'enexp^zTtfpt，uqduzpt，t sgpt，uqutpduq˙，适用于所有0dtdt。在这种情况下，我们可以通过ξt”τndt`1\'en定义所有0dtdtdt的恢复过程ξ“pξtq0dtdt”http://graphics.wsj.com/greece-debt-timeline/《华尔街日报》收集的希腊债务结构。违约风险下的一般动态期限结构15请注意，恢复过程ξ已调整，从ξ“1开始，并逐渐减少。在这个例子中，受债券价格事实行为的强烈启发，恢复过程是分段恒定的。然而，在下面，我们将考虑一个更一般的结构。受上述例子的启发，让我们考虑一个一般的恢复过程ξ”pξtq0dtdt，以满足以下假设。

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