随机波动和随机波动混合模型中的方差互换定价

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收藏 2022-05-11

英文标题：
《Pricing variance swaps in a hybrid model of stochastic volatility and
interest rate with regime-switching》
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作者：
Jiling Cao, Teh Raihana Nazirah Roslan and Wenjun Zhang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
In this paper, we consider the problem of pricing discretely-sampled variance swaps based on a hybrid model of stochastic volatility and stochastic interest rate with regime-switching. Our modelling framework extends the Heston stochastic volatility model by including the CIR stochastic interest rate and model parameters that switch according to a continuous-time observable Markov chain process. A semi-closed form pricing formula for variance swaps is derived. The pricing formula is assessed through numerical implementations, and the impact of including regime-switching on pricing variance swaps is also discussed.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了基于随机波动率和随机利率混合模型的离散抽样方差互换定价问题。我们的建模框架扩展了赫斯顿随机波动率模型，包括CIR随机利率和根据连续时间可观测马尔可夫链过程切换的模型参数。推导了方差互换的半封闭形式定价公式。通过数值实现对定价公式进行了评估，并讨论了包括制度转换对定价差异互换的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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Pricing_variance_swaps_in_a_hybrid_model_of_stochastic_volatility_and_interest_r.pdf
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nandehutu2022

2022-5-11 03:29:50

在随机波动率和利率的混合模型中，定价方差互换与政权更迭的曹继玲、赖哈娜·纳齐拉·罗斯兰和张文军抽象。在本文中，我们考虑了基于随机波动率和随机利率的混合模型的离散样本变量掉期定价问题。我们的建模框架扩展了Heston随机波动率模型，包括CIR随机利率和根据连续时间可观测马尔可夫链过程切换的模型参数。推导了方差互换的Asemi闭式定价公式。通过数值实现对定价公式进行了评估，并讨论了包括区域切换对差异互换定价的影响。1.简介差异互换是一种针对特定资产未来实现的收益差异的交换合约。在到期时间T>0时，方差互换率可按V（T）=（RV）进行评估- K） x L，其中K是掉期的年化交割或履约价格，RV是掉期的已实现变量，L是掉期的名义金额。测量RV isRV的典型公式=AFNNXj=1S（tj）- S（tj-1） S（tj-1)x 100，（1）其中S（tj）是标的资产在第j个观察时间的收盘价，tjand N是观察次数。年化因子AF遵循采样频率，将上述评估转换为年化方差点。假设一年中有252个公交线路日，那么对于每日采样频率，AF等于252。然而，如果采样频率为每月或每周，则AF将分别为12或52。衡量实际差异需要对基础价格进行离散监控，通常是在一个工作日结束时。

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mingdashike22

2022-5-11 03:29:53

为此，我们假设同样离散的观测值与实际市场一致，从而降低了toAF=t=NT。差额掉期的多头头寸在支出时支付固定的交割价格K，并收到年化已实现差额的浮动金额，而短期头寸则相反。自1998年首次推出方差互换以来，如何定价一直是数学和定量金融领域的一个活跃研究课题。Carr和Madan[2]将使用期权的静态回复与未来的动态交易相结合，以进行价格和对冲方差互换，而不指定波动过程。德米特尔金属公司。[6] 通过证明可变资产互换可以通过标准期权组合进行复制，我们也朝着同样的方向努力。通过降维2000数学科目分类的有限差分方法。初级91G30；中学91G20，91B70。关键词和短语。Heston-CIR混合模型，制度转换，已实现方差，随机利率，随机波动率，方差交换。2[12]探讨了曹继玲、赖哈娜·纳齐拉·罗斯兰和张文军的方法，以获得离散样本方差掉期定价的高效性和准确性。在[18,19]中，朱和廉扩展了[12]中的工作，将赫斯顿双因素随机波动率纳入离散抽样方差WAP的定价中。然而，在[15]中探索了一种更简单的方法，其中施瓦茨解程序用于推导偏微分方程的有效解。最近，为了扩展[18]中忽略随机利率的工作，Cao等人[4]采用了随机波动率模型和CIR利率模型的混合，用离散抽样研究了变量互换的定价率。在[9]中，Elliott等人。

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可人4

2022-5-11 03:29:56

提出了赫斯顿随机波动率模型的连续时间马尔可夫调节版本，以区分一个商业周期的不同状态。利用制度转换Esscher变换，得到了波动性加权平均值定价的解析公式，并对有无制度转换的模型进行了比较。[8,9]中说明了Heston随机波动率模型下的差异掉期定价的合并制度转换的必要性，其中一个常见的假设是“连续采样时间”。事实上，当使用连续采样作为近似值时，离散采样方差互换的选项被错误估值，并且在每个IOD的某些采样中出现了较大的不准确度，如[3,8,12,19]所述。在过去的十年里，许多研究人员考虑将马尔可夫区域切换技术与随机利率模型相结合。例如，为了发现不同业务阶段之间的企业跳跃和不一致性，Elliott等人[9]和Siu[17]使用了制度转换方法，分别扩展了Cox-Ingersoll-Ross（CIR）、Hull-White和Vasicek模型。然而，关于随机波动下的波动性衍生产品定价和具有制度转换的随机利率，文献中存在agap。据我们所知，唯一存在的研究是在[16]中进行的，它只关注连续采样变量和ESWAP，并采用PDE方法。在本文中，我们讨论了随机波动率和随机利率条件下的随机随机抽样方差互换问题。我们扩展了[4]和[8]的框架，将CIR随机利率纳入了赫斯顿随机波动率模型的马尔可夫调制版本。

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能者818

2022-5-11 03:29:59

该混合模型的参数根据连续的时间可观测马尔可夫链过程进行切换，该过程可解释为可观测宏观经济因素的状态。我们的方法与[16]不同。我们使用离散采样方法代替连续采样方法，以提高定价的准确性和计算效率。本文的其余部分组织如下。在第2节中，详细描述了体制切换混合模型，然后推导了该模型在t向前测度下的动力学。在第3节中，我们推导了前向特征函数，以获得方差WAP价格的半解析公式。在第4节中，给出了一些数值例子，说明了我们的解决方案的可行性和制度转换的影响。第5节简要总结了我们的结果，并将其与文献中的其他相关结果进行了比较。2.建模框架在本节中，我们开发了一个混合模型，该模型将赫斯顿随机波动率模型与单因素CIR随机利率动力学（包括制度转换效应）相结合。Elliot等人首先考虑了波动性衍生品定价的制度转换模型[9]。最近，Elliot和Lian[8]考虑了区域切换效应对Heston的随机波动模型的影响。我们的目标是通过将随机利率纳入建模框架来扩展[8]中的工作。2.1. 具有区域切换的Heston CIR模型。设{S（t）：0≤ T≤ T}是特定资产价格在一定时间范围内的过程[0，T]。

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大多数88

2022-5-11 03:30:02

Heston CIR杂交模型由dS（t）=uS（t）dt+pν（t）S（t）dW（t），0≤ T≤ T、 dν（T）=κ（θ）-ν（t））dt+σpν（t）dW（t），0≤ T≤ T、 dr（T）=α（β）- r（t））dt+ηpr（t）dW（t），0≤ T≤ T、（2）式中{ν（T）：0≤ T≤ T}是随机等价方差过程，{r（T）：0≤ T≤ T}是随机瞬时利率的过程。参数κ决定了ν（t）的平均回复速度，θ是其长期平均值，σ是其波动率。同样，α决定了利率过程的均值回归速度，β是利率结构，η控制着利率的波动性。如[5,11]所述，为确保平方根过程始终为正，要求2κθ≥ σ和2αβ≥ η分别为。在这里，我们假设上述模型中涉及的相关性由（dW（t），dW（t））=ρdt，（dW（t），dW（t））=0和（dW（t），dW（t））=0给出，其中ρ是一个常数-1.≤ ρ ≤ 1.根据Girsanov定理，存在一个风险中性度量Q，它等价于现实世界中的度量Psuch，在Q系统（2）下，它被转化为dS（t）=r（t）S（t）dt+pν（t）S（t）dfW（t），0≤ T≤ T、 dν（T）=κ*(θ*- ν（t））dt+σpν（t）dfW（t），0≤ T≤ T、 dr（T）=α*(β*- r（t））dt+ηpr（t）dfW（t），0≤ T≤ T、（3）κ在哪里*= κ + λ, θ*=κθκ+λ, α*= α+λ和β*=αβα+λ是风险中性参数，{fWi（t）：0≤ T≤ T}（1）≤ 我≤ 3）是Q下的布朗运动。这里，λj（j=1，2）是波动率或利率风险的溢价。市场动态由连续时间可观测马尔可夫链X={X（t）：0建模≤ T≤ 具有有限状态空间S={S，S，…，sN}的T}。在不损失通用性的情况下，S可以用单位向量集{e，e，…，eN}识别，其中ei=（0，…，1，…，0）∈ 注册护士。N×N速率矩阵Q=（qij）1≤i、 j≤Nis用于在Q下产生链的演化。

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能者818

2022-5-11 03:30:06

给你，琪琪≥ 0代表所有1≤ i、 j≤ N w，所有1的i 6=j和pni=1qij=0≤ J≤ N.根据[10]，过程X的半马丁加表示如下X（t）=X（0）+ZtQX（s）ds+M（t），（4），其中{M（t）：0≤ T≤ T}是一个RN值鞅，与Q下X生成的过滤系数有关。通过假设资产价格、其波动性和利率取决于市场趋势或由制度转换马尔可夫链X指示的其他经济因素，在我们的Heston-Cirton模型中，制度转换效应被吸引住了。更准确地说，长期方差均值θ*（t）资产价格的百分比由θ给出*（t） =hθ*, X（t）i，其中θ*= (θ*, θ*, ..., θ*N）θ*i> 0，每个1≤ 我≤ N，and h·，·i表示RN中的标量积。同样，长期平均利率β*（t）由β给出*（t） =hβ*, X（t）i，其中β*= (β*, β*, ..., β*N）β*i> 0，每个1≤ 我≤ NQ条件下的Heston-CIR模型和r-e模式切换由下式给出：dS（t）=r（t）S（t）dt+pν（t）S（t）dfW（t），0≤ T≤ T、 dν（T）=κ*(θ*（t）- ν（t））dt+σpν（t）dfW（t），0≤ T≤ T、 dr（T）=α*(β*（t）- r（t））dt+ηpr（t）dfW（t），0≤ T≤ T.（5）4曹继玲、赖哈娜·纳齐拉·罗斯兰和张文军应用乔莱斯基分解，我们可以将SDE（5）重写为dS（t）S（t）dν（t）dr（t）= uQdt+∑C×dW*（t） dW*（t） dW*（t）, 0≤ T≤ T、（6）带uQ=r（t）κ*(θ*（t）- ν（t））α*(β*（t）- r（t））, Σ =pν（t）00σpν（t）00ηpr（t）（7） andC=10ρp1- ρ0 0 1这样的话=1 ρ 0ρ 1 00 0 1还有dW*（t），dW*（t）还有dW*（t）在Q下是相互独立的dfW（t）dfW（t）dfW（t）= C×dW*（t） dW*（t） dW*（t）, 0≤ T≤ T.2.2。模型动力学下的T-前进措施。在本小节中，我们将在Q下具有区域切换的Heston CIR模型的动力学转换为在T前向测度QT下的动力学。

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大多数88

2022-5-11 03:30:09

为此，我们首先推导出Q下zer o息票债券价格P（t，t，r（t），X（t））的制度转换指数形式。假设Q下债券价格P（t，t，r（t），X（t））具有以下指数形式P（t，t，r（t），X（t））=eA（t，t，X（t））-B（t，t）r（t），（8）其中A（t，t，X（t））和B（t，t）将被确定。贴现债券价格是给定的p（t，t，r（t），X（t））=e-Rtr（s）dsP（t，t，r（t），X（t））。（9）应用它^o的公式toeP（t，t，r（t），X（t）），并注意到非马尔代尔数之和必须为零，我们得到Pt+α*(β*（t）- r）Pr+hP，QX（t）i+Prηr- rP=0，（10）终端条件P（T，T，r（T），X（T））=1，P=（P，P，…，PN）对于1，Pi=P（t，t，r，ei）≤ 我≤ N注意，X（t）取单位向量集合{e，e，…，eN}中的一个值。如果X（t）=对于某些1≤ 我≤ N，那么θ*（t） =hθ*, X（t）i=θ*i、 β*（t） =hβ*, X（t）i=β*i、 P（t，t，r（t），X（t））=P（t，t，r（t），ei）=Pi。结果，等式（10）变成N个耦合的偏微分方程圆周率t+α*(β*我- r）圆周率r+hP，Qeii+圆周率rηr- rPi=0，1≤ 我≤ N（11），终端条件Pi（T，T，r（T））=1。然后我们用PTP兰德Printo上述偏微分方程得出以下普通微分方程adB（t，t）dt=ηB（t，t）+α*B（t，t）- 1，dAidt=α*β*iB（t，t）- E-AiheA，Qeii，1≤ 我≤ N、（12）式中Ai=A（t，t，ei），eAi=eAiandeA=（eA，eA，…，eAN）, 1.≤ 我≤ N终端条件b ecome b（T，T）=0和Ai（T，T）=0。与[5]中的CIR模型类似，（12）isB（t，t）的第一个等式的解=e（T）-（t）√(α*)+2η- 1.p（α）*)+ 2 η+α*+p（α）*)+ 2 ηe（T）-（t）√(α*)+2η- 1..为了推导Ai和A（t，t，X（t））的表达式，让Υi（t）=α*β*iB（t，t）代表ach1≤ 我≤ N，并让diag（Υ（t））表示第i行和i列上的条目为所有1的Υi（t）的对角矩阵≤ 我≤ N

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nandehutu2022

2022-5-11 03:30:12

将eai=eAiinto（12）替换为（12），我们可以将（12）中的普通微分方程组改写为以下矩阵形式dead=（diag（Υ（t））- Q)eA（13），其中eA（T，T）=1，其中1=（1，1，…，1）∈ 注册护士。设Φ（t）为（13）的基本矩阵，Φ（t）=IN，其中inde表示N维单位矩阵。然后，终端条件a（T，T）=1的（13）的解可以表示为a（T，T）=Φ（T）1。结果是eai（t，t）=hΦ（t）1，eii和A（t，t，X（t））=ln（hΦ（t）1，X（t）i。现在，我们实现了从Q到QT的测量变换技术。为了简洁起见，让我们用N1表示数字eRtr（s），用n2，t表示数字P（t，t，r（t），X（t）。然后，d ln N1，t=r（t）dt=Ztα*(β*- r（s））dsdt+Ztηpr（s）dfW（s）dt。因此，由∑Q=（0,0,0）给出的数值N1的波动率. 类似地，区分ln N2，t=lneA（t，t，X（t））-B（t，t）r（t）给定ln N2，t=eA（t，t，X（t））茶（t，t，X（t））-B（t，t）tr（t）- B（t，t）α*(β*（t）- r（t））+DeA（t，t）eA（t，t，X（t）），QX（t）E！dt- B（t，t）ηpr（t）dfW（t）+DeA（t，t）eA（t，t，X（t）），dM（t）E。注意，dfW（t）和dM（t）是独立的。因此，计算值N2的波动率由∑T给出=0, 0, -B（t，t）ηpr（t）.6 JILING CAO、TEH RAIHANA NAZIRAH ROSLAN和WENJUN Zhang使用[1]中的公式，我们可以看到我们的SDE在QTwith regimeswitching下的漂移uTof由uT=uQ给出-∑×C×C×（σQ）- ∑T）=r（t）κ*(θ*（t）- ν（t））α*β*（t）- [α*+ B（t，t）η]r（t）带∑和CC如（7）所述。因此，qt下（5）的动力学由下式给出：dS（t）S（t）dν（t）dr（t）= uTdt+∑C×dW*（t） dW*（t） dW*（t）. （14）此外，在QT下，X的半鞅分解由X（t）=X（0）+ZtQT（s）X（s）ds+MT（t），（15）给出，速率矩阵QT（t）=（qTij（t））1≤i、 j≤由QIJT（t）确定=qijeA（t，t，ej）eA（t，t，ei），i6=j，-Pk6=iqikeA（t，t，ek）eA（t，t，ei），i=j，详见[13]。3.

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能者818

2022-5-11 03:30:15

定价公式的推导在本节中，我们将利用特征函数推导随机波动率和随机利率下的方差互换定价问题的半封闭形式解。设y（T）=lns（T+) - lns（T）。我们必须根据关于X从t=0到t=t+的样本路径的信息来评估价格. 首先，将F（t）、F（t）和F（t）定义为{W*（s）：0≤ s≤ t} ，{W*（s）：0≤ s≤ t} 和{W*（s）：0≤ s≤ t} ，分别是。LetFX（t）是由{X（s）:0生成的过滤≤ s≤ t} 。为了获得y（T）的特征函数，我们需要分两步评估以下条件期望：ET（eφy（T）|F（T）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t））=ET（ET（eφy（t）| F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ 外汇（T+))|F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t））（16）在第一步中，我们计算ETeφy（T）|F（T）∨ F（t）∨ F（t）∨ 外汇（T+). 在第二步中，我们计算ET（eφy（T）|F（T）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t））.3.1。给定路径FX（T+). 我们考虑一个放大的滤波，其中前向特征函数f（φ；t，t，, y（t）的ν（t），r（t））由f（φ；t，t）定义，, ν（t），r（t））=ET（eφy（t）|F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t））（17）提案1。

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mingdashike22

2022-5-11 03:30:18

如果标的资产遵循动力学（14），那么f（φ；t，t，, ν（t），r（t）|FX（t+))= eC（φ，T）j（D（φ，T）；t、 t，ν（t））·k（E（φ，t）；t、 t，r（t）），其中对于任何0≤ T≤ T，D（φ，T），j（φ；T，T，ν（T））和k（φ；T，T，r（T））由D（φ，T）=a+bσ1给出- eb（T）+-t）一,- geb（T）+-t），a=κ*- ρσφ，b=pa+σ（φ- φ），g=a+ba- b、（18）其中j（φ；t，t，ν（t））=eF（φ，t）+G（φ，t）ν（t），F（φ，t）=RTthκ*θ*G（φ，s），X（s）ids，G（φ，t）=2κ*φσφ + (2κ*- σφ）eκ*（T）-t） k（φ；t，t，r（t））=eL（φ，t）+M（φ，t）r（t）和C（φ，t）、E（φ，t）、L（φ，t）和M（φ，t）由以下常微分方程确定-dEdt=ηE- (α*+ B（t，t）η）E+φ，-dCdt=κ*θ*（t） D+α*β*（t） E，-dMdt=ηM- (α*+ B（t，t）η）M，-dLdt=α*β*（t） M.（19）证据。这里，我们给出命题1的一个简单证明。我们表示y（T）asf（φ；T，T，, ν（t），r（t）|FX（t+))= ET（ET（eφy（T）|F（T）∨ F（T）∨ F（T）∨ 外汇（T+)) （20） | F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ 外汇（T+)).我们首先关注于计算内部期望et（eφy（T）|F（T）∨ F（T）∨ F（T）∨ 外汇（T+)).通过定义函数u（φ；t，es，ν，r）=ET（eφy（t）| F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ 外汇（T+))和T≤ T≤ T+, 应用Feynman-Kac定理，我们得到Ut+vUes+σνUν+ηrUr+ρσνU锿ν+R-νUes+（κ）*(θ*（t）- ν))Uν+α*β*（t）- (α*+ B（t，t）η）rUr=0，U（φ；t=t+, es，ν，r）=eφy（T），（21），其中es（T）=ln S（T）- ln S（T）in T≤ T≤ T+. 为了解（21），我们假设[11]中的（φ；t，es，ν（t），r（t））具有以下公式（φ；t，es，ν（t），r（t））=eC（φ，t）+D（φ，t）ν+E（φ，t）r+φes。（22）8曹继陵、赖哈娜·纳齐拉·罗斯兰和张文军（22）替换成（2 1），我们得到以下三首颂歌-dDdt=φ（φ- 1) + (ρσφ - κ*)D+σD，-dEdt=ηE- (α*+ B（t，t）η）E+φ，-dCdt=κ*θ*（t） D+α*β*（t） E，（23）带有初始条件sc（φ，t+) = 0，D（φ，T+) = 0，E（φ，T+) = 0

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何人来此

2022-5-11 03:30:21

（24）然后，我们可以将（2-3）中第一首颂歌的解写成D（φ，t）=a+bσ1- eb（T）+-t）一,- geb（T）+-t），a=κ*- ρσφ，b=pa+σ（φ- φ），g=a+ba- b、（25）需要数值积分才能得到E和C的解。现在，我们继续求解0的外部期望值≤ T≤ T在t=t时，ET（eφy（t）|F（t）∨ F（T）∨ F（T）∨ 外汇（T+))= U（φ；t=t，es（t），ν（t），r（t））=eC（φ，t）+D（φ，t）ν（t）+E（φ，t）r（t）。定义ν（t）和r（t）的下列特征函数，分别为j（φ；t，t，ν（t））=ET（eφν（t）|F（t）∨ F（t）∨ F（t）），和k（φ；t，t，r（t））=ET（eφr（t）|F（t）∨ F（t）∨ F（t））。然后，我们得到相应的偏微分方程Jt+σνJν+ (κ*(θ*（t）- ν))Jν=0，j（φ，t=t，t，ν）=eφν，（26）和Kt+ηrKr+α*β*（t）- (α*+ B（t，t）η）rKr=0，k（φ，t=t，t，r）=eφr.（27）利用[7,11]中的有效形式求解技术，我们假设（26）的解的形式为j（φ；t，t，ν（t））=eF（φ，t）+G（φ，t）ν（t）。（28）函数F（φ，t）和G（φ，t）c可以通过求解两个常微分方程来求出-dGdt=σG- κ*G-dFdt=κ*θ*（t）初始条件为sf（φ，t）=0，G（φ，t）=φ。（30）解为f（φ，t）=ZTtκ*θ*（s） G（φ，s）ds，G（φ，t）=2κ*φσφ + (2κ*- σφ）eκ*（T）-t）。接下来，定义函数k（φ；t，t，r（t））=eL（φ，t）+M（φ，t）r（t），以导出（27）的解。初始条件为L（φ，T）=0和M（φ，T）=φ。然后，L和M满足以下条件-dMdt=ηM- (α*+ B（t，t）η）M，-dLdt=α*β*（t） M，（31）结合内外期望计算，我们得到了命题中的结果。3.2. 给定路径FX（t）的特征函数。在这一小节中，我们导出了特征函数f（φ；t，t，, ν（t），r（t））。

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nandehutu2022

2022-5-11 03:30:25

为了实现这一点，我们需要计算方程（18），其中θ*（t）和β*（t）取决于马尔可夫链过程X到t+,f（φ；t，t，, ν（t），r（t））=ET（eC（φ，t）·j（D（φ，t）；t、 t，ν（t））·k（E（φ，t）；t、 t，r（t）|F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t））=ETexpZT+Thα*β*E（φ，s）+κ*θ*D（φ，s），X（s）ids+ZTthκ*θ*G（D（φ，T），s），X（s）ids+ZTthα*β*M（E（φ，T），s），X（s）ids+2κ*D（φ，T）σD（φ，T）+（2κ*- σD（φ，T））eκ*（T）-t） ν（t）（32）+r（t）ZTtηM（E（φ，T），s）- (α*+ B（s，T）η）M（E（φ，T），s）ds！F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ 外汇（t）= ETexp（ZT）+thJ（s），X（s）ID）| F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t）！×exp（ν（t）G（D（φ，t），t））×exp（r（t）M（E（φ，t），t））。这里是函数J（t）∈ Rn由j（t）=（κ）给出*θ*G（D（φ，T），T）+α*β*M（E（φ，T），T））（1- HT（t））+（α*β*E（φ，t）+κ*θ*D（φ，t））HT（t）（33）以及HT（t），后者是定义为asHT（t）的重型单位阶跃函数=1.如果没有≥ T，0，其他。10曹继玲、赖哈娜·纳齐拉·罗斯兰和张文军。设{X（t）：0≤ T≤ T}是一个状态切换马尔可夫链，其动力学由（15）给出。在QT下，ex pRTthJ，X个ID是拜特给的经验RTthJ，X个IDF（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ 外汇（t）= hΦ（t，t；J）X（t），1i，（34），其中函数Φ（t，t；J）是由Φ（t，t；J）=expZTt（QT（s）+diag（J（s））ds！给出的N×N R值矩阵！，（35）带1=（1，1，…，1）∈ 注册护士。证据考虑Z（t，t）=expRTthJ，X个IDX（T）。区分Z（t，t）和使用（15）YieldZ（t，t）=expRTthJ，X个ID（QT（T）X（T）dT+dMT（T））+hJ（T），X（T）ie xpRTthJ，X个IDX（T）dT=expRTthJ，X个IDdMT（T）+hJ（T），X（T）iZ（T，T）dT+expRTthJ，X个IDQT（T）X（T）dT=expRTthJ，X个IDdMT（T）+QT（T）+diag[J（T）]Z（t，t）dT（36）积分（36）的两边给定的srttdz（t，s）=RTt（QT（s）+diag（J（s）））Z（t，s）ds+RTtexpRsthJ（w），X（w）idwdMT（s）。（37）Putψ（t，t；J）=EThZ（t，t）F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t）i。

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mingdashike22

2022-5-11 03:30:28

在（37）的两侧取期望值，得到ψ（t，t；J）=X（t）+ZTt（QT（s）+diag（J（s））ψ（t，s；J）ds。（38）假设Φ（t，s；J）是一般微分方程线性系统的N×N矩阵解dΦ（t，s；J）ds=（QT（s）+diag（J（s）））Φ（t，s；J），Φ（t，t；J）=diag（1）=IN。（39）与（38）相比，我们得到了结果ψ（t，t；J）=Φ（t，t；J）X（t），这最终得到了公式（34）。现在，将命题2中的结果代入（32）中，给出了y（T）=lns（T）的特征函数+)-ln-S（T）对于具有区域切换的Heston-CIR模型。提议3。如果标的资产遵循动力学（14），那么y（T）=ln S（T+) - lns（T）由f（φ；T，T）给出，, ν（t），r（t））=ET[eφy（t）|F（t）∨ F（t）∨ F（t）∨ FX（t）]=exp（ν（t）G（D（φ，t），t））×exp（r（t）M（E（φ，t），t））×hΦ（t，t+; J） X（t），1i，（40），其中D（φ，t），G（φ，t），J（t）和Φ（t，t+; J）给出了比亚迪（φ，t）=a+bσ1- eb（T）+-t）一,- geb（T）+-t），a=κ*- ρσφ，b=pa+σ（φ- φ），g=a+ba- b、 G（φ，t）=2κ*φσφ + (2κ*- σφ）eκ*（T）-t），J（t）=（κ*θ*G（D（φ，T），T）+α*β*M（E（φ，T），T））（1- HT（t））+（α*β*E（φ，t）+κ*θ*D（φ，t））HT（t），Φ（t，t+; J） =expRT+t（QT（s）+diag（J（s））-ds,（41）和E（φ，t）以及M（φ，t）由以下常微分方程确定-dEdt=ηE- (α*+ B（t，t）η）E+φ，-dMdt=ηM- (α*+ B（t，t）η）M.（42）现在，通过使用方差交换的公平交货价格估值，并总结前面的整个过程，我们可以为方差交换asET编写向前特征函数S（tj）S（tj）-1)- 1.F（0）∨ F（0）∨ F（0）∨ 外汇（0）= ETe2y（tj-1)- 2 ey（tj）-1） +1 | F（0）∨F（0）∨F（0）∨外汇（0）= f（2；0，tj）-1.t、 ν（0），r（0））- 2f（1；0，tj）-1.t、 ν（0），r（0））+1，（43），其中y（tj）-1） =ln S（tj）- ln S（tj）-1), t=tj- tj-1和特征函数f（φ；t，t，, ν（t），r（t））在等式（32）中给出。

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何人来此

2022-5-11 03:30:31

因此，根据T-ForwardMeasures下的即期汇率nc v（0）和即期利率r（0），方差Swap的公平执行价为asK=ET（RV）（44）=TNXj=1（f（2；0，tj）-1.t、 ν（0），r（0））- 2f（1；0，tj）-1.t、 ν（0），r（0））+1。公式验证和结果在本节中，我们通过考虑三种状态来评估公式（44）的性能，分别表示为{e，e，e}，代表商业周期的收缩、低谷和扩张状态。收缩状态可以定义为经济开始放缓时的情况，而低谷状态发生在经济触底时，通常是在衰退中。此外，扩张被定义为经济开始增长的情况。在这里，我们假设没有政权转换的赫斯顿CIR模型对应于第一个政权，并且随着时间的推移，它将转换为另外12个曹继陵政权、拉伊哈娜·纳齐拉·罗斯兰政权和张文军政权。表1显示了我们用于实现所有数值实验的参数集，除非另有说明。表1。具有区域切换的Heston-CIR混合模型的模型参数。SρVθ*κ*σrα*β*ηT1-0.40.05（0.05,0.075,0.04）2 0.1 0.05 1.2 (0.05, 0.04, 0.075)0.01 1此外，马尔可夫链X的速率矩阵由Q给出=-1 0.1 0.90.9 -1 0.10.5 0.5 -1..4.1. 根据蒙特卡罗模拟验证定价公式。我们首先用蒙特卡罗模拟验证公式（44）的有效性。在这里，采样频率从N=1到N=52不等，蒙特卡罗模拟是使用欧拉离散化进行的，有20万条采样路径。对比如图1所示。图1。

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何人来此

2022-5-11 03:30:35

采用区域切换和蒙特卡罗模拟的Heston CIR模型的罢工价格方差交换。0 10 20 30 40 50560580600620640660680700抽样频率（次数/年）计算出的方差掉期履约价格（方差点）我们的制度转换公式蒙特卡罗模拟如图1所示，我们对公式的定价为N=52的模拟提供了满意的结果，即每周抽样。事实上，当N=52时，我们的定价公式与模拟计算的误差小于0.077%，并且随着样本路径数的增加，该误差将减小。此外，应该强调的是，对于N=4，我们定价公式的运行时间仅为3.28秒，而模拟大约需要8200秒。很明显，与作为基准值的模拟相比，我们的定价公式在更短的时间内达到了几乎相同的精度。4.2. 政权更迭的影响。在or de r中，为了探索制度转换的影响，在图2中，我们展示了由公式（44）和Heston CIR模型（无制度转换）得出的结果【4】。对于无区域切换的Heston CIR模型，我们将参数值固定为θ*= 0.05和β*= 0.05.图2。Heston CIR模型在有或无制度转换的情况下的方差掉期执行价格。0 10 20 30 40 50480505050460580抽样频率（次/年）计算的差异互换履约价格（差异点）Heston-具有区域切换的CIR模型-无制度转换的CIR模型我们观察到，从有制度转换的Heston CIR模型中获得的方差掉期价格明显低于相应的无制度转换模型的价格。例如，对于N=52，根据两个模型计算的WAPS价格差异为7.32%。

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何人来此

2022-5-11 03:30:38

这可以用θ的值来解释*和β*保持不变，而θ的值*和β*在具有状态切换的HestonCIR模型中，状态的变化会导致状态的变化。此外，对于每周抽样的情况，两个模型之间的方差互换价格差异可能会更大，并且随着抽样频率达到52，差异会趋于稳定。其中一个可能的解释是，随着采样频率的增加，在Heston CIR模型中，状态切换的次数增加。此外，我们还通过允许Heston CIR模式l在三种制度之间切换，研究了变量互换价格的经济后果。特别是r，wedenoteθ*= 0.05和β*= 收缩状态θ为0.05*= 0.075和β*= 槽态为0.04，θ*= 0.04和β*= 膨胀状态分别为0.075。这些值是通过指出好（或坏）经济由高（或低）利率和低（或高）波动性来确定的。我们在表2.14中提供了这三种制度的varianceswaps定价结果，即曹继陵、赖哈纳·纳齐拉·罗斯兰和张文军。在我们的定价公式中，比较不同州之间的差异互换价格。抽样频率y状态收缩状态通过状态扩展n=4517.89661.93464.79N=12505.74648.32450.21N=26502.61644.83446.42N=52501.28643.37444.82从表2中我们发现，方差互换的价格在整个状态下最高，其次是收缩状态，在扩展状态下最低。这一趋势在N=4到N=52的所有采样频率中都是一致的。我们可以将这一发现与每个州的经济状况联系起来。特别是，在这三个州中，粗略州的经济状况最差，而扩张州的经济状况最好。

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kedemingshi

2022-5-11 03:30:41

因此，方差互换的价格在三者中经济最好的时候最便宜，在所有经济最差的时候最贵。这意味着制度转换对捕捉方差互换价格的经济变化具有重要影响。5.结论方差互换的评估近年来一直是一个活跃的研究课题。在[16]中，连续抽样方差互换是在体制转换的Ch–obel-Zhu-Hull-White混合模型下定价的。然而，在实践中，差异互换是基于每日收盘价在已实现的差异上进行的。为了提高这些合约的定价准确度，Zhu和Lian[18,19]基于Heston随机波动模型的框架，开发了离散抽样方差掉期的封闭式定价公式，其中利率遵循确定性过程。在[4]中，考虑了赫斯顿随机波动率模型和CI R随机利率模型的混合。混合模型通过将利息率建模为CIR过程，扩展了[18]中的赫斯顿随机波动率模型。证明了随机利率对离散样本方差互换的影响。Elliott和Lian[8]对Heston随机波动率模型的框架进行了另一次扩展，在模型中加入了制度转换动力学。研究表明，将制度转变为赫斯顿模型对波动性互换的价格有显著影响。由于制度转换和随机利率过程都会影响方差互换的价格，我们提出了一个包含随机利率和制度转换效应的模型。具体而言，该模型将CIR随机利率与赫斯托随机波动率的马尔可夫调制机制转换版本相结合。

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mingdashike22

2022-5-11 03:30:44

我们的模型能够捕捉几个宏观经济问题，比如交替的商业周期。特别是，我们假设风险股票的长期方差均值和利率的长期均值取决于制度转换马尔可夫链所指示的经济状态。我们演示了我们的解决方法，并导出了可变掉期定价的半封闭式公式。数值实验表明，与MC模拟相比，我们的定价公式在更短的时间内达到了几乎相同的精度。为了分析将制度转换纳入定价差异互换的影响，我们首先比较了根据制度转换Heston-CI R模型计算的差异互换价格与不进行制度转换的相应模型。我们发现，从制度转换Hesto n-CIR模型中获得的方差互换价格与不进行制度转换的Heston CIR模型中的方差互换价格有显著差异。在我们的例子中，没有政权转换的Heston CIR模型对应于状态收缩，从政权转换的Heston-C IR模型得到的方差Swap的价格远低于从没有政权转换的Heston CI R模型得到的方差Swap。如果没有政权转换的赫斯顿CIR模型对应于其他状态，结论可能会有所不同。接下来，我们通过允许Heston CIR模型在定义为最佳、最低利率和最差经济的三种制度之间切换，探讨方差互换价格的经济后果。我们注意到，方差互换的价格在三个经济体中最好的经济体中最便宜，在所有经济体中最差的经济体中最贵。这证实了将制度转换纳入差异掉期定价的本质。参考文献[1]D.Brigo，F。

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mingdashike22

2022-5-11 03:30:47

Mercurio，《利率模型——理论与实践：微笑、通货膨胀与信贷》，纽约斯普林格，2006年。[2] P.Carr，D.Madan，《走向波动性交易理论》，载于：R.Jarrow（编辑），《波动性：衍生品定价的新估计技术》，风险出版物，伦敦，1998年，第417-427页。[3] C.Bernard，Z.Cui，离散方差交换的价格和渐近性，应用。数学财务21（2）（2014）140-173。[4] 曹国强，连国强，罗斯兰，随机波动率和随机利率下的方差互换定价，应用。数学计算机。277 (2016), 72–81.[5] J.C.考克斯，J.E.英格索尔，S.A.罗斯，《利率期限结构理论》，计量经济学53（1985）385-407。[6] K.Demeter Fi，E.Derman，M.Kamal，J.Zou，比你想知道的更多关于波动性WAPS，高盛定量策略研究笔记，1999年。[7] D.Duffee，J.Pan，K.Singleton，《转换分析和资产定价促进效率跳跃——差异》，计量经济学68（2000）1343–1376。[8] R.J.Elliott，G.Lian，具有制度转换的随机波动率模型中的定价方差和波动率互换：离散观测案例，Quant。财务13（2013）687-698。[9] R.J.Elliott，T.K.Siu，L.Chan，在Heston的随机波动率模型下对波动率掉期进行定价，带制度转换，Appl。数学《金融》14（2007）41-62。[10] R.J.Elliott，C.A.Wilson，《隐马尔可夫环境下的利率期限结构》，载于：R.S.Mamon，R.J.Elliot（编辑），《金融中的隐马尔可夫模型》，斯普林格，2007年，第15-30页。[11] S.L.Heston，随机波动期权的封闭形式解，应用于债券和货币期权，修订版。财务顾问。6 (1993) 327-343.[12] T.Little，V.Pant，方差互换估值的有限差分法，J.Comput。财务5（2001）81-101。[13] Z.Palmowski，T。

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大多数88

2022-5-11 03:30:51

Rol ski，《马尔科夫过程测度指数变化的技术》，伯努利8（2002）767-785。[14] A.Papanicolaou，R.Sircar，波动率指数和标准普尔500指数隐含波动率的制度转换赫斯顿模型，Quant。《金融》14（2014）1811-1827。[15] S.Rujivan，S.Zhu，具有随机波动性的离散抽样变量互换定价的模拟分析方法，应用。玛莎。莱特。25 (11) (2012) 1644–1650.[16] 沈耀强，萧铁基，随机利率和波动率模型下的Prici-ng方差互换，操作。雷特。41 (2013) 180-187.[17] 萧泰光，马尔科夫政权下的债券定价，通过随机流动的跳跃增强Vasicek模型，应用。数学计算机。216 (2010) 3184-3190.[18] 朱世杰，连国强，随机波动率方差互换定价的封闭形式精确解，数学。《金融21》（2011）233–256。[19] 朱世杰，连国强，关于随机波动率方差互换的估值，Appl。数学计算机。219（2012）1654–1669.16曹继玲、赖哈娜·纳齐拉·罗斯兰和张文军（曹继玲）：奥克兰工业大学工程、计算机和数学科学学院，私人书包92006，奥克兰1142，新西兰邮箱：JILING。cao@aut.ac.nz（Teh Raihana Nazirah Roslan）：奥克兰理工大学工程、计算机和数学科学学院，新西兰奥克兰1142号私人包92006，马来西亚尤塔拉大学艺术与科学学院数量科学学院，马来西亚基达辛托克06010邮箱：Raihana。roslan@aut.ac.nz（张文军）：奥克兰工业大学工程、计算机和数学科学学院，新西兰奥克兰1142私人书包92006，邮箱：文军。zhang@aut.ac.nz

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