没有借贷或卖空的套利？

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收藏 2022-05-11

英文标题：
《Arbitrage without borrowing or short selling?》
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作者：
Jani Lukkarinen, Mikko S. Pakkanen
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
We show that a trader, who starts with no initial wealth and is not allowed to borrow money or short sell assets, is theoretically able to attain positive wealth by continuous trading, provided that she has perfect foresight of future asset prices, given by a continuous semimartingale. Such an arbitrage strategy can be constructed as a process of finite variation that satisfies a seemingly innocuous self-financing condition, formulated using a pathwise Riemann-Stieltjes integral. Our result exemplifies the potential intricacies of formulating economically meaningful self-financing conditions in continuous time, when one leaves the conventional arbitrage-free framework.
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中文摘要：
我们证明了一个交易者，一开始没有初始财富，不允许借钱或卖空资产，理论上可以通过持续交易获得正财富，前提是她对未来资产价格有完美的预见，这是由连续半鞅给出的。这种套利策略可以构造为一个满足看似无害的自筹资金条件的有限变分过程，该过程使用路径黎曼-斯蒂尔杰斯积分来表示。我们的结果举例说明了当一个人离开传统的无套利框架时，在连续时间内制定有经济意义的自筹资金条件的潜在复杂性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Arbitrage_without_borrowing_or_short_selling?.pdf
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mingdashike22

2022-5-11 06:10:00

没有借贷或卖空的套利？贾尼·卢卡里宁*Mikko S.Pakkanen+2016年10月4日摘要我们表明，一个没有初始财富且不允许借钱或卖空资产的交易者，在理论上能够通过持续交易获得正财富，前提是她对未来资产价格有完美的预见，这是由连续半鞅给出的。这种套利策略可以被构造为一个有限变化的过程，满足看似无害的自我融资条件，使用路径黎曼-斯蒂尔杰斯积分公式。我们的结果举例说明了当一个人离开传统的无套利框架时，在连续时间内制定具有经济意义的自我融资条件的潜在复杂性。关键词：卖空、自我融资条件、套利、Riemann–Stieltjes积分、随机积分、半鞅2010数学主题分类：60H05、90G10、60G44JEL分类：C22、G11、G141简介常识表明套利策略——从数学金融的意义上讲，不涉及初始财富——应该需要卖空或获得信贷——这是一个明显的预算限制。事实上，在现实世界中，以及在离散时间模型中，我们可以区分战略规定的风险资产的第一位。如果这个职位不短，就必须由借来的钱来提供资金。

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mingdashike22

2022-5-11 06:10:03

然而，在持续交易的情况下，可能不存在任何“第一位置”，因为投资组合的组成可以随时间自由变化，因此，如果不进行卖空或借贷，就不可能有任何风险策略，这一点在先验上是不明确的。自我融资条件是动态交易策略的一个重要方面。它们应该被视为执行一致会计的一种手段：所有利润都来自交易*赫尔辛基大学数学与统计系，芬兰赫尔辛基奥皮斯托FI-00014邮政信箱68。电子邮件：jani。lukkarinen@helsinki.fi+英国伦敦皇家学院南肯辛顿校区数学系，以及丹麦奥胡斯大学数学系。电子邮件：m。pakkanen@imperial.ac.ukmust并从货币市场账户中扣除所有交易成本。不连续时间、自我融资条件采用随机积分表示；例如，参见比约克[2，第6.1和6.2节]。特别是，对于自适应策略，当价格过程是半鞅时，可以使用它。然而，积分的选择是一个相当微妙的问题，因为并非所有的随机积分都适用于有经济意义的自我融资条件。（例如，Bj¨orkand Hult[3]的论文记录了在自我融资条件下使用Skorohodintegrals和Wick产品时产生的一些可解释性问题。）在任何情况下，任何良好的自我融资条件至少都应该排除没有卖空或借贷的套利策略。毕竟，这种能够创造财富的交易策略不应该是自我融资的。除了It^o积分外，路径黎曼-斯蒂尔杰斯积分（参见，例如，里加[10]、萨洛佩克[11]或索蒂宁和瓦尔凯拉[12]）通常被视为一种“安全”的方法，可以模拟合理的自我融资条件。

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何人来此

2022-5-11 06:10:07

原因是多方面的：与It^o积分一样，Riemann–Stieltjes积分可以透明地作为Riemann和的极限来获得，它反映了简单交易策略的自然自融资条件。此外，只要存在相应的It^o积分，路径Riemann–Stieltjes积分就会与相应的It^o积分重合。回想一下，Riemann–Stieltjes积分是保证存在的，例如，当积分器是连续的，被积函数是有限变量时。虽然它通常排除了动态套期保值和效用最大化中出现的马尔可夫交易策略，例如，有限变化假设在经济上是合理的，因为它相当于保持策略的交易量不变（这是交易成本下的一项基本要求）；例如，参见Longsta off[7]。然而，事实表明，仅基于路径黎曼-斯蒂尔杰斯积分的自我融资条件并不一定会禁止病态交易策略（即使是有限的变化）。我们在本文中指出，非常令人惊讶的是，基于Riemann–Stieltjes的自我融资条件实际上可能允许套利策略，如果交易者对therisky资产的未来价格有完美的预见性，则不需要借贷或卖空。如果价格过程是一个具有等价局部鞅测度和非退化二次变差的连续半鞅，我们对此类策略（定理2.7，如下）的存在性结果是有效的。虽然完美预见的要求是不寻常的，但一个良好的自我融资条件应该阻止即使是一个完全知情的交易者执行如此惊人的套利策略。更重要的是，从数学的角度来看，这个结果说明了随机积分，即使是按路径定义的，也可能并不总是像金融工具所建议的那样。

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大多数88

2022-5-11 06:10:10

此外，我们还表明，如果价格过程变化有限，这些套利策略实际上是不可能的（下文命题2.10）。这表明，本说明中记录的现象非常复杂。在许多情况下，只有在任意短的时间间隔内，才有充分的远见，如备注2.9所述。这与房地产的特性和价格过程的“粗糙度”有关。2模型和主要结果让我们考虑一个具有风险资产和无风险货币市场账户的连续时间市场模型，在该模型中，交易可以在有限的时间范围内进行∈ (0, ∞).风险资产的价格遵循一个连续的正值半鞅S=（St）t∈[0，T]，定义在完全概率空间上(Ohm, F、 P）。为简单起见，货币市场账户的利率为零。此外，我们用（FSt）t表示∈[0，T]价格过程S的自然过滤，增加了使其完整且正确连续的常用方法，并通过hSi使S的二次变化过程。在本文中，我们使用了 = ∞.考虑一个交易者，其交易策略由两个c`agl`ad（从左开始连续，从右开始限制）过程ψ=（ψt）t描述∈[0，T]和φ=（φT）T∈[0，T]分别记录她的货币市场账户余额和持有的风险资产。她的投资组合在t时的市值∈ [0，T]可以表示为vt=ψT+φtSt。（2.1）根据上面的讨论，我们感兴趣的是一种情况，即交易者试图遵循套利策略，因此她开始时没有初始财富，这转化为约束V=0。交易者还需满足自我融资条件。让我们暂时假设ψ和φ适用于过滤（FSt）t∈[0，T]。

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何人来此

2022-5-11 06:10:13

然后，按照通常的方式[2，第6.1节和第6.2节]制定自筹条件，要求任何t的VT=V+ZtφudSu=ZtφudSu∈ [0，T]，（2.2），其中关于S的积分被理解为It^o积分。在自融资条件（2.2）下，过程ψ变得多余，因为通过将（2.2）插入（2.1），我们可以求解ψt，即ψt=ZtφudSu- φtSt，t∈ [0，T]。（2.3）现在的关键问题是：是否存在非平凡过程φ，对于allt，φt>0∈ [0，T]，使得所有T的ψT>0∈ [0，T]？利用（2.3），我们可以将其转化为满足随机不等式ztφudSu>φtst的非负过程φ的存在性的估计∈ [0，T]。（2.4）在适当的情况下，如果我们假设S是无套利的，我们可以直接回答这个问题。事实上，如果存在一个概率测度Q(Ohm, F）使Q~ P（其中“~” 表示测度的相互绝对连续性，asusual），S是局部Q鞅，那么资产定价基本原理的合适版本（例如，[4，推论1.2]）意味着对于某些t，不存在满足（2.4）和P（Vt>0）>0的非负（自适应）过程φ∈ （0，T）。然而，如上所述，我们不会坚持适应性，因此我们考虑不一定适应过滤（FSt）T的过程∈[0，T]。那么（2.2），（2.3）和（2.4）中出现的关于S的tochastic积分可能不作为It^o积分存在。但如果我们假设φ是有限变化的，那么积分确实以黎曼-斯蒂尔杰斯积分的形式存在，参见[13，定理1.2.3和1.2.13]，对任何t∈ [0，T]byZtφudSu:=limn→∞knXi=1φτni（St∧τni- 圣∧τni-1） P-a.s.（2.5），其中x∧ y:=min{x，y}对于所有x，y∈ R和（τni）kni=0，n>1是一组随机时间，使得对于任何n>1和limn，0=τn6τn6··6τnkn=T→∞sup16i6kn（τni-τni-1) = 0.

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能者818

2022-5-11 06:10:16

定义（2.5）与（τni）kni=0，n>1的选择无关。此外，当φ是简单的，即分段常数时，它确保基于此类积分的自融资条件简化为通常的自融资条件。备注2.6。虽然数学金融文献中的交易策略通常被认为是适应价格过程的自然过滤，但非适应策略确实出现在关于内幕交易的文献中；参见，例如[1,9]。最近，也有人提出，高频交易者和做市商可能可以获得（不精确的）短期内未来价格变化的事先信息[5]。我们的主要结果表明，在这个替代框架中，实际上存在满足不等式（2.4）的非平凡、非负过程φ。这个结果的证明在下面的第3节中进行。定理2.7。假设正连续半鞅S=（St）t∈[0，T]满意度P（hSiT>0）>0。进一步假设存在一个概率测度Q~ Psuch认为S是局部Q-鞅。然后存在一个非负过程φ=（φt）t∈[0，T]，c`agl`ad样本路径具有有限的变化，例如φ=0，所有T的ztφudSu>φtst∈ [0，T]P-a.s.（2.8a）PZtφudSu>φtst对于所有t∈ （ρ，T]> 0，（2.8b），其中ρ：=inf{t∈ （0，T）：hSit>0}∧ TtSt0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.60.81.01.21.4tVt0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.51.01.5tψt0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0tφt0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.10.20.30.40.50.6图1：定理2.7的数值说明。在这个例子中，T=1，S是从1开始的布朗运动，所以ρ=0。

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kedemingshi

2022-5-11 06:10:19

（理论上，S为正的要求可以得到满足，例如，通过在0到1之间的某个水平上反射或吸收过程。）过程φ的实现是根据下面定理2.7的证明中给出的构造（3.14）生成的。回想一下ψt=RtφudSu- φtStand Vt=ψt+φtSt=RtφudSu。备注2.9。（i）虽然上面没有明确说明，但定理2.7中的过程φ并不（也不能）适用于（FSt）t∈[0，T]。φt的规定∈ （0，T]要求在时间T之前完全了解S的路径。然而，过程φ适用于过滤FSt:=FSt，T∈ [0，T]，对应于对S的完美预见，这也确保φ不依赖于S以外的任何（外部）随机性。（ii）还值得强调的是，时间范围T∈ (0, ∞) 可以自由选择，只要满足P（hSiT>0）>0。特别是，如果S具有严格递增的二次变化，那么我们可以选择任意小的T——也就是说，只需要在很短的时间间隔内预先了解S的变化。（iii）在数学金融文献中，通常会限制交易策略的可接受性；参见，例如[4，定义2.7]。虽然事实上对可采性有几个稍有不同的定义，但它们有一个共同点，即可采策略的价值过程是从下方（在某种意义上）界定的。受理条件的目的是排除一些完全病态的交易策略，例如加倍策略[4，第467页]。

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能者818

2022-5-11 06:10:22

值得强调的是，定理2.7的过程φ不会违反典型的可容许条件，因为相应的值过程Vt=RtφudSu，t∈ [0，T]是非负的，因为该属性（2.8a）。奇怪的是，定理2.7中关于正二次变化的假设——也就是说，S表现出“足够”的波动——相当关键：利用Riemann–Stieltjes积分正性的结果[8，定理3.1]，我们可以证明，如果价格过程也是有限变化的，那么在这种情况下，没有借贷或卖空的套利实际上是消除的：命题2.10。假设正连续半鞅S=（St）t∈[0，T]满意度，P-a.s.，hSiT=0。如果φ=（φt）t∈[0，T]是一个非负过程，其c`agl`ad样本路径具有有限的变化，例如p（φT>0，对于某些T∈ [0，T]）>0，（2.11）然后ZtφudSu<φtst对于某些t∈ [0，T]> 0 . （2.12）证据。Riemann–Stieltjes积分的分部积分公式[13，Theorem1.2.3]yieldsZtφudSu=φtSt- φS-ZtSudφu，t∈ [0，T]。注意，由于S是一个连续半鞅，假设hSiT=0意味着S的样本路径是有限变化的。现在如果φt对于某些t>0∈ [0，T]，然后从[8，定理3.1]得出，对于某些T，ztsudφu>0∈ [0，T]。因此，概率（2.12）大于或等于概率（2.11），评估如下。备注2.13。在某种程度上，定理2.7和命题2.10违背了通常的数学金融直觉，即“平滑”的价格过程比“粗糙”的价格过程更容易套利。在这里，S的“粗糙度”正是使我们能够构造定理2.7中的过程φ的性质。在定理2.7中，我们假设价格过程S是无套利的，而策略φ可能不适用。当然，这只是偏离标准的无套利环境的可能之一。

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可人4

2022-5-11 06:10:25

或者，我们也可以考虑这样一种场景，即过程S是一个非常普遍的连续过程，可能允许套利，φ是一种有限变化的适应策略，并询问如何排除没有卖空和借贷的更强形式的套利。这看起来不那么直截了当，可能需要一些新的技术和Riemann–Stieltjes积分的估计，所以让问题悬而未决：悬而未决的问题2.14。当S是一个一般的正的连续过程（不一定是半鞅）时，在什么情况下S的条件是套利而不借款或短期销售，在有限变异策略的背景下除外？我们注意到，为此，过程S应该满足某种非简并条件，对于表现出足够变化的确定性连续路径，可以构造类似于定理2.7中φ的积分；参见[8，定理2.1]。3定理2.7的证明在严格证明定理2.7之前，我们直观地描述了过程φ是如何构造的。其想法是从风险资产中一系列不重叠的静态头寸中构造φ，以便它们在ρ处有一个“累积点”，如图1，右下面板所示。这些静态仓位的大小被选择为逐渐增加（从零开始），并使用S的二次变化和完美的预见性对仓位进行计时，以便已知资产的价格在每个持有期内增加。虽然φ的构造原则上很简单，但选择静态位置的大小并不容易，因此[8，定理3.1]中的“非消失”一词可能具有误导性。适当的解释是，被积函数g不应等于零。还值得一提的是，其中的假设g（a）=0可以被轻微地削弱为g（a）>0；见[8，p。

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nandehutu2022

2022-5-11 06:10:28

401].o 每个仓位都可以使用之前仓位的利润（无需借款）获得全额资金。累积交易量仍然是固定的，相当于φ的变化是固定的。事实上，定理2.7证明中的大多数理论论点都围绕着验证这两个要求是否确实得到满足而展开。我们现在介绍一些续集中需要的附加符号。为了所有人，y∈ R、我们表示x∨ y:=max{x，y}和x+：=x∨ 如果X和Y是相同分布的随机变量，我们写Xd=Y。假设∈ 然后我们说，如果P（{P}），那么属性P（前提是它是“F-可测量的”）在a上保持P-a.s∩A） =P（A）。我们使用N:={1，2，…}的约定。作为准备，我们现在证明两个技术引理，它们将用于定理2.7的证明。引理3.1。让我们（yn）∞n=1是一个非负数序列→∞yn=0。假设有一天∈ (0, 1),∞Xn=1e-αnPk=1yk<∞. （3.2）如果我们设置β：=2α1+α并定义一个序列（xn）∞n=1of非负数byxn:=nYk=11+βyk，n∈ N，（3.3）然后∞n=1xn<∞ andxn<∞Xk=n+1xkyk<∞ 对任何人来说∈ N（3.4）证据。考虑一个序列（yn）∞n=1和α∈ （0，1）满足上述假设。确定β：=2α1+α和一个序列（xn）∞n=1（3.3）。很明显，对于所有n，n<0<α<β<1和0<xn6 1∈ N.根据定义（3.3），xn-1=（1+βyn）xn=xn+βxnyn，n>2。因此对于所有的n，n∈ 当N<N时，我们有βNXk=N+1xkyk=xn- xN。（3.5）IfP∞k=1xk<∞, 那么xk→ 0作为k→ ∞. 因此，我们可以采用N→ ∞在（3.5）中，得出每n∈ N、 xn<β-1xn=∞Xk=n+1xkyk<∞,因此，（3.4）成立。为了完成证明，还需要证明P∞k=1xk<∞.证明（yn）的假设∞n=1简化序列的可和性（xn）∞n=1，我们依赖于不等式log（1+x）>x/（1+x），它适用于所有x>0的情况。

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可人4

2022-5-11 06:10:32

（这个不等式可以用积分表示log（1+x）=Rx（1+y）证明）-1以及其中被积函数的单调性。）因此，对于所有的k>n>1，我们有-对数（1+βyk）6-γnβyk=-2γn1+αyk，其中γn:=1/（1+βsupm>nym）。自从limk→∞yk=0，这里γn%1为n→ ∞.特别是，存在n∈ N使得γN>（1+α）/2和对于所有k>N，乙烯具有-对数（1+βyk）6-αyk。将上述估计值用于表示xn=Qnk=1e- 因此，log（1+βyk）表明，对于所有n>n，0<xn6 xnexp-αnXk=n+1yk= xnexpαnXk=1yk经验-αnXk=1yk.所以（3.2）确保了，P∞n=1xn<∞.引理3.6。设B=（Bt）t∈[0,1]是标准布朗运动，且σ>0。如果我们确定一些∈ （0,1），ξn：=σBn-γ- σB（n+1）-γ+, N∈ N，那么对于任何大于0的α，E∞Xn=1e-αnPk=1ξk！<∞.证据根据布朗运动的自相似性，我们得到了任意n的ξnd=unB+∈ N、式中：=σpn-γ- （n+1）-γ.中值定理在函数x7中的应用→ 十、-γ、我们推导出γσ（n+1）-p6Un6γσn-p、（3.7）p:=γ+1∈, 1..现在，让我们计算xα>0。根据托内利定理和随机变量ξ，ξ。，我们在这里∞Xn=1e-αnPk=1ξk=∞Xn=1EE-αnPk=1ξk=∞Xn=1nYk=1~n(-αun），（3.8）式中，式中：ε（u）：=E欧盟委员会+, U∈ R.由于P（B+>0）=1，E（B+）∞ P（B+>0）=>0，我们有c:=infv∈（0，ασ）EB+e-vB+EE-vB+∈ (0, ∞) .由詹森的不平等性，为美国∈ (0, ασ),φ(-u） =EeuB+e-uB+EE-uB+> 解释B+e-uB+EE-uB+!> exp（uc），这意味着nyk=1(-αuk）6 exp- cnXk=1uk, （3.9）对于任何n∈ N.使用（3.7）中的下界，我们可以估计任意N∈ N、 nXk=1uk>γσnXk=1（k+1）-p> γσZn+2x-pdx>cn1-p、（3.10）其中c=c（γ，σ，p）>0是一个常数。现在请注意，对于任何指数θ>0，都存在一个常数c=c（θ）>0，使得ex>cxθ，x>0。

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能者818

2022-5-11 06:10:35

因此，应用（3.10）到（3.9），我们发现∈ N、 nYk=1(-α（uk）6 e-ccn1-p（cc）θcnθ（1）-p）考虑到（3.8），仍然需要选择θ>1-p、定理2.7的证明基于这样一个观察，即过程φ预期满足的性质（2.8a）和（2.8b）对时间变化和概率测度的等价变化具有鲁棒性。在定理2.7的假设下，我们可以将过程S表示为等价局部鞅测度下的时变布朗运动。因此，我们可以通过引理3.1和3.6证明（2.8a）和（2.8b）依赖于布朗运动的性质。定理2.7的证明。待构造过程φ的性质在过程S的正常数重标度下是明显不变的。通过重新缩放S，事件的可能性{supt∈[0，T]St6 1}可以任意接近1。特别是，我们可以假定，在不丧失普遍性的情况下监督∈[0，T]St6 1> 1.- P（hSiT>0），其中，根据假设，P（hSiT>0）为正，并且即使在过程被重新缩放后仍然如此。这意味着P（supt∈[0，T]St6 1，hSiT>0）>0，所以我们可以找到常数c>0，这样事件Ac:={supt∈[0，T]St6 1}∩ {hSiT>c}satifiesp（Ac）>0。让我们现在开始∈ （0，1），并引入停止时间ρn:=inf{t∈ [0，T]：hSit>cn-γ} ∧ T、 n∈ N由于过程S是连续的，其二次变化过程hSi也是P-a.S.连续的[6，定理17.5]。因此，我们在Ac上有P-a.s.，0.6ρ<·ρ<ρn<·ρ<·ρ<ρ<和ρn&ρas n→ ∞. 另外请注意，Hsiρn=cn-任意n的acn上的γP-a.s∈ N（3.11）我们还引入了随机变量szn:=（Sρn）- Sρn+1）+，n∈ N，这将有助于接下来的工作。现在让我们来看Q~ P是这样的，S是局部Q-鞅。

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能者818

2022-5-11 06:10:39

很明显，Q（Ac）>0。根据Dambis–Dubins–Schwarz定理[6，定理18.4]，存在一个标准布朗运动B=（Bt）t>0，定义在一个扩展上Ohm,\'F，\'Q关于(Ohm, F、 Q），这样缩放的布朗运动Bt：=√cBt，t>0，满意度t=S+Bc-1hs对于所有t∈ [0，T]\'Q-a.s。然后，根据（3.11），序列ξn:=（Bn-γ- B（n+1）-γ)+= (√cBn-γ-√cB（n+1）-γ） +，n∈ N，satis fieszn=ξN＠Q-a.s.对任何N∈ N（3.12）将引理3.6应用于随机变量ξ，ξ。带σ=√然后使用质量（3.12），我们推断出，对于任何α∈ (0, 1),∞Xn=1e-αnPk=1Zk<∞ （3.13）Q-a.s.在Ac上，因为随机变量Z，Z。在原始空间中定义(Ohm, F），条件（3.13）也适用于Ac上的Q-a.s，因此适用于ACA上的P-a.s（由于Q的关系）~ P）。我们现在用φt定义φ的过程：=∞Xn=1Hn{Zn>0}∩Ac（ρn+1，ρn]（t），t∈ [0，T]，（3.14），其中hn:=nYk=11+Zk，n∈ N（注意，在（3.14）中，对于固定t，最多有一个求和为非零，这消除了对随机和收敛性的担忧。）由于（3.13）包含P-a.s.onAc，所以带有α=的引理3.1确保了P∞n=1Hn<∞ Ac上的P-a.s.，这反过来意味着过程φ为P-a.s.c`agl`ad，且φ=0的变化有限。因此，根据[13，定理1.2.3和1.2.13]，对于任何t∈ [0，T]，由ztφudSu给出=∞Xn=1Hn{Zn>0}∩Ac（圣∧ρn- 圣∧ρn+1）。让n∈ N和t∈ （0，T.），然后我们在Ac上有P-a.s∩ {ρn+1<t6ρn}，ZtφudSu=∞Xk=n+1Hk{Zk>0}（Sρk- Sρk+1）+Hn{Zn>0}（St- Sρn+1）=∞Xk=n+1HkZk- Hn{Zn>0}Sρn+1+φtSt。再次调用（3.13）在Ac上保持P-a.s.的事实，引理3.1和α=意味着∞Xk=n+1HkZk>Hn>Hn{Zn>0}Sρn+1P-a.S.在Ac上，其中第二个不等式从Ac开始 {supt∈[0，T]St6 1}。另外注意ztφudSu=∞Xk=1HkZk>∞Xk=2HkZk>H>0=交流上的φtStP-a.s∩ {ρ<t}。因此，ZtφudSu>φStP-a.s。

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mingdashike22

2022-5-11 06:10:43

在Ac上∩ {ρ<t}，并且由于这个过程RtφudSuT∈[0，T]是连续的，（φtSt）T∈[0，T]是c\'agl\'ad，我们发现ZtφudSu>φtst对于所有t∈ （ρ，T]> P（Ac）>0，所以我们建立了（2.8b）。还有待观察ztφudSu=0=φtSt，P-a.s.开启Ohm \\ 当t6ρ时，也会出现（2.8a）。确认J.Lukkarinen的研究得到了芬兰研究院分析与动力学研究卓越中心（项目271983）和一个研究院项目（项目258302）的部分支持。M.S.Pakkanen感谢CREATES（DNRF78）的部分支持，该项目由丹麦国家研究基金会、奥胡斯大学研究基金会（项目“商品市场的随机和经济计量分析”）和芬兰科学院（项目258042）资助。参考文献[1]J.Amendinger、P.Imkeller和M.Schweizer（1998）：内幕人士的额外对数效用。随机过程。阿普尔。75(2), 263–286.[2] T.比约克（2009）：连续时间套利理论，第三版，牛津大学出版社，牛津。[3] T.Bj？ork和H.Hult（2005）：关于Wick乘积和分数BlackScholes模型的说明。金融斯托奇。9(2), 197–209.[4] F.Delbaen和W.Schachermayer（1994）：资产定价基本理论的一般版本。数学安。300(1), 463–520.[5] N.Hirschey（2016）：高频交易者是否预期买卖压力？预印本，可从以下网址获得：http://ssrn.com/abstract=2238516[6] O.Kallenberg（2002）：现代概率的基础，第二版，斯普林格，纽约。[7] F.Longstaff（2001）：最优投资组合选择和非流动性证券的估值。牧师。财务部。螺柱。14(2), 407–431.[8] J.Lukkarinen和M.S.Pakkanen（2013）：关于Riemann–Stieltjes积分的正性。公牛奥斯特。数学Soc。87(3), 400–405. [更正，Bull.Aust.Math.Soc.89（3），524-524（2014）。][9] 皮科夫斯基和我。

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大多数88

2022-5-11 06:10:46

Karatzas（1996）：预期投资组合优化。Adv.不适用。Probab。28(4), 1095–1122.[10] C.里加（2016）：连续时间交易的路径方法。预印本，可从以下网址获得：http://arxiv.org/abs/1602.04946[11] D.M.萨洛佩克（1998）：对套利的容忍。随机过程。阿普尔。76(2),217–230.[12] T.Sottinen和E.Valkeila（2003）：关于分数布莱克-斯科尔斯定价模型中的套利和复制。统计学家。第21（2）、93-107号决定。[13] D.W.Stroock（2011）：分析的整合理论要点。斯普林格，纽约。

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