使用基础资产对保险支取型合同进行定价

2022-5-31 00:07:11

以L’EVY资产Zbigniew PALMOWSKI和JOANNA TUMILEWICZAbstract为基础的保险提取型合同定价。在本文中，我们考虑了一些与提取和提取事件相关的保单，这些事件是由谱负几何L'evy过程建模的标的资产的对数收益。我们考虑四个契约，其中三个是在[16]中针对几何布朗运动引入的。第一种是保险合同，其中保护买方支付固定保费，直到回收固定大小的原木。作为回报，他/她在提款期收到一定的保险金额。下一份保险合同提供了针对任何特定支取的保护，包括支取意外开支。如果在固定提款之前发生特定的固定提款事件，则本合同提前到期。最后两份合同是前两份合同的扩展，增加了一个额外的取消功能，允许投资者提前终止合同。我们关注两个问题：计算基本合约的公平保费p和确定具有取消特征的保单的最优停止规则。为此，我们解决了一些与谱负L'evy过程的下降和上升相关的双边退出问题，这是一个独立的数学问题。我们还严重依赖于最优停止理论。关键词。保险合同？公平估价？提款？提取？Levy流程？最佳停车。内容1、导言22。预备阶段33。支取保险合同43.1。公平溢价43.2。取消功能54。纳入备用金84.1。公平溢价84.2。取消功能104.3。A=b 125时的一个非常简单的情况。数值分析145.1。提取保险的公平保费155.2。可撤销提款保险165.3。当a>b 175.4时，提取意外开支的公平保费。

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2022-5-31 00:07:14

当a=b 185.5时，提取意外开支的公平保费。a>b 195.6的可取消提取意外开支。a=b的可取消提取意外开支196。结论19参考文献21日期：2018年7月8日。1991年数学学科分类。C61、G01、G13、G22。这项工作得到了国家科学中心第2015/17/B/ST1/01102号（2016-2019）和第2016/23/N/ST1/01189号（2017-2019）拨款的部分支持。2 Z.Palmowski-J.Tumilewicz1。引言给定过程的下降是当前值与迄今为止达到的最大值之间的距离。同样，提取金额定义为当前价值超过运行最小值的上升。这两种方法通常都被用作动态风险度量。事实上，提款过程不仅提供了风险的动态度量，还可以被视为相对收益的度量。同样，起草过程可以被视为提供了相对满意度的衡量标准。因此，支取或支取可能表明投资者可以选择改变其投资头寸的时间，这取决于他/她对市场未来走势的看法和他/她对鲱鱼的厌恶。最近的金融危机极大地提高了人们对提款过程的兴趣。大规模市场缩减可能会带来投资组合损失、流动性冲击甚至未来衰退。因此，支取的风险管理在从业者中变得非常重要；例如，参见[2]了解在缩减过程约束下的投资组合优化，[1，5]了解漂移布朗运动的最大缩减分布和时间调整后的绩效度量（称为卡马尔比率），以及[11，13，14]了解作为风险动态度量的缩减过程。

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2022-5-31 00:07:18

有关市场崩溃分析的现有技术概述，以及对提款过程和最大提款过程的经验研究集合，请参见Sornette【12】。因此，基金经理很自然会有强烈的动机寻求针对提款的保险。事实上，正如文献[1、13、14]所指出的那样，一些市场交易的合约，如vanilla和回溯看跌期权，对防止市场下跌的能力有限。因此，提款保护对个人投资者也很有用。在本文中，我们遵循Zhang等人[16]的方法，根据指数L'evy过程建模的股票价格对数收益的下降（和上升）对一些保险合同进行定价，并确定最佳停止规则。我们还确定了这些合同的所谓公平保险费率，其中合同价格等于零。最简单的形式是，首次提取保险合同涉及投资者（保护买方）持续支付保费，以确保基础资产的原木收益在预先规定的水平上提取。本合同的潜在买家可能会认为不太可能出现大额提款，并且他/她可能希望停止支付保险费。因此，我们通过添加取消功能来扩展simplestcontract。在这种情况下，投资者有权提前终止合同，并为此支付罚款。我们表明，投资者的最佳取消时间基于日志返回过程提取的第一次通过时间。此外，我们还考虑了一项相关合同，该合同保护投资者在与资产价格相关的提取之前免受资产价格对数收益的提取。换言之，合同到期，ifa提前支取发生在支取之前。从投资者的角度来看，当提款发生时，几乎不需要为提款投保。

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2022-5-31 00:07:21

因此，这种提取意外开支会自动停止保费支付，这是一个有吸引力的功能，可能会降低提取保险的成本。最后，我们还为该合同添加了一个取消功能。Zhang等人[16]只考虑了由几何布朗运动建模的风险资产。然而，近年来，对财务数据的实证研究表明，股价对数收益率的分布呈现出正态分布无法捕捉的特征，如厚尾和不对称。为了更有效地复制这些特征，并复制各种隐含波动率偏斜和微笑，文献中出现了一个普遍的转变，即用指数L'evy过程而不是线性布朗运动的指数来建模风险资产；概述见Kyprianou【3】和Oksendal和Sulem【8】。因此，为了更好地拟合股票价格过程对真实数据的演变，本文采用一般几何谱负L'evy过程对市场上的衍生证券进行定价。也就是说，在我们的例子中，风险资产价格的对数将是一个具有平稳和独立增量的过程，没有正增量。本文分析的最后一份合同考虑到了提款和具有取消特征的提款，这是文献中首次考虑的。虽然它是最复杂的，但它产生了非常有趣和令人惊讶的结果。特别是，我们在合同中发现了一个新现象，即最优停止规则。在这一现象中，投资者的止损规则也是在原木返回过程的第一个支取时间，类似于没有支取应急的第二个合同。

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2022-5-31 00:07:26

尽管如此，考虑到提款事件，终止的程度是不同的。我们的方法基于光谱负L'evy过程的经典波动理论（与所谓的尺度函数相关）和反射L'evy过程的一些新退出恒等式。这些新公式确定了首个通过时间的上升和下降的双边退出问题。我们的方法的一个关键要素是路径分析和使用Mijatovi\'c和Pistorius的一些结果[6]。我们也大量使用最优停车理论。在股票价格过程的基本动力学由线性布朗运动的指数驱动的市场中，估值被转化为自由边界问题。然而，如果我们允许跳跃出现在股票价格动态过程的样本路径中，这种想法就会破灭。为了解决这些不确定的问题，我们使用所谓的“猜测和验证”方法。对于这种方法，我们猜测最优值函数和最优停止应该是什么，然后通过验证定理对候选解进行测试，以验证候选解确实是最优解。这意味着，应用于原木返回价格过程的猜测停止规则确定的价值函数构造了一个最小的，在某种意义上，折扣超鞅。在本文中，我们还分析了许多具体的例子，并进行了广泛的数值分析，显示了合同和停止时间对模型参数的依赖性。我们主要关注资产价格的对数是线性布朗运动或漂移减去复合泊松过程（一个Cram'er-Lundberg风险过程）的情况。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了主要定义、符号和主要函数恒等式。

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2022-5-31 00:07:29

我们分别在第3节和第4节分析了基于提取和额外提取的保险合同。我们通过第5节的数值分析和第6.2节的结论来完成。预备工作我们研究一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、 P）满足通常条件。我们用谱负L'evy过程Xt来模拟潜在风险资产价格对数St，也就是说，St=exp{Xt}是一个几何L'evy过程。这意味着XT是一个具有独立增量的平稳随机过程，具有左极限的右连续路径，并且只有负跳跃。许多恒等式将根据所谓的比例函数给出，其定义如下。我们首先定义Xt的拉普拉斯指数：（1）ψ（φ）=log E[EφX]，这对于φ是很好的定义≥ 0，因为没有正跳转。回想一下，根据L'evy-Khintchine定理，（2）ψ（φ）=uφ+σφ+Z（0，∞)e-φu- 1+φu（u<1）π（du），对Im（φ）进行分析≤ 0，其中u和σ≥ 0是实数，∏是所谓的L'evy度量，如1.∧ x个∏（dx）<∞. 很容易观察到ψ在原点为零，趋向于不完整，并且是严格凸的。我们用Φ表示：[0，∞) → [0，∞) ψsothatΦ（r）=sup{φ>0：ψ（φ）=r}和ψ（Φ（r））=r的右连续逆≥ 0.对于r≥ 0我们在[0，∞) 带拉普拉斯变换∞e-φuW（r）（u）du=ψ（φ）- rforφ>Φ（r），（3），其中ψ是（1）中给出的XT的拉普拉斯指数。W（r）称为第一尺度函数。第二尺度函数与第一尺度函数相关：Z（r）（u）=1+rZuW（r）（φ）dφ。（4）在本文中，我们将假设（5）W（r）∈ C（R+）表示R+=[0，∞). 当过程XT具有非平凡高斯分量，或具有无界变化，或跳跃具有密度时，满足此假设；见【4，Lem.2.4】。比例尺4 Z.Palmowski-J。

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2022-5-31 00:07:32

Tumilewicz函数用于双边出口公式：Exhe-rτ+a；τ+a<τ-i=W（r）（x）W（r）（a），（6）Exhe-rτ-; τ-< τ+ai=Z（r）（x）- Z（r）（a）W（r）（x）W（r）（a），（7）其中x≤ a、 r≥ 0和τ+a=inf{t≥ 0:Xt≥ a} ，τ-a=inf{t≥ 0:Xt≤ a} （8）是第一次通过时间，我们设置inf = ∞. 对于任何事件，我们使用符号E[·{A}]=E[·；A]。设置：Xt=sups≤tXs，Xt=infs≤tXs。本文分析了一些与资产价格St的对数收益的提取和提取过程有关的保险合同，即与Xt的提取和提取过程有关的保险合同。提取和提取过程是马尔可夫过程，定义如下。下降是基础流程的运行最大值与其当前值之间的差值，而上升是当前值与运行最小值之间的差值。在这里，我们还假设下降和上升过程分别从一些点y>0和z>0开始。也就是说，Dt=Xt∨ y- Xt，Ut=Xt- Xt公司∧ (-z）。（9）这里是y和-z可解释为X的历史最大值和历史最小值。进一步研究的关键是水位下降过程和水位上升过程的以下第一次通过时间：τ+D（a）=inf{t≥ 0:Dt≥ a} ，τ-D（a）=inf{t≥ 0:Dt≤ a} ，（10）τ+U（a）=inf{t≥ 0：Ut≥ a} ，τ-U（a）=inf{t≥ 0：Ut≤ a} 。（11）稍后，我们将使用以下符号约定：P | y[·]：=P[·| D=y]，P | y | z[·]：=P[·| D=y，U=z]，Px | y | z[·]：=P[·| X=X，D=y，U=z]。最后，我们用P=P表示Px[·]：=P[·| X=X]，E | y，E | y | z，Ex | y | z，Ex，E是相应的期望值。我们用两个主要公式来结束本节（第一个公式在Mijatovi\'c和Pistorius[6，Thm]中给出）。

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2022-5-31 00:07:36

4] 第二个是从（6）中得出的，它确定了{τ+U，Xτ+U，Xτ+U}和{τ-D（θ），Xτ-D（θ）}：Ee-rτ+U（b）+uXτ+U（b）；Xτ+U（b）<v=eub1+（r- ψ（u））Rb-ve公司-uyW（r）（y）dy1+（r- ψ（u））Rbe-uyW（r）（y）dy- e-u（b-v） W（r）（b）- v） W（r）（b），（12）E | yhe-rτ-D（θ）；Xτ-D（θ）>-xi=Exhe-rτ+y-θ+x；τ+y-θ+x<τ-i=W（r）（x）W（r）（y）- θ+x）。（13） 3。提取保险合同3.1。公平溢价。在本节中，我们考虑一个保险合同，其中保护买方支付固定保费p≥ 持续0，直到发生规模大于0的资产价格的对数收益下降。作为回报，她/他收到了保险金额α≥ 水位下降时期为0。Letr公司≥ 0是无风险利率。合同价格等于未来现金流的贴现价值：f（y，p）=E | y“-Zτ+D（a）e-rtp dt+αe-rτ+D（a）#。（14）请注意，在本合同中，投资者希望保护自己免受资产价格St=Ext从之前的最大值下跌超过固定水平Ea的影响，部分a>0。换言之，定价保险每支取类型合同5她/他认为，即使价格在首次支取ea规模后再次上涨，这也不会给她/他带来足够的支持。因此，她/他准备签订此类合同，通过在支取阶段获得α>0来减少损失。注意（15）f（y，p）=pr+αξ（y）-pr，其中（16）ξ（y）：=E | yhe-rτ+D（a）是τ+D（a）的条件拉普拉斯变换，给定D=y∈ （0，a）。为了给合同（14）定价，我们首先确定关键函数ξ。提案1。条件拉普拉斯变换ξ（·）由ξ（y）=Z（r）（a）给出- y）- rW（r）（a）- y） W（r）（a）W0（r）（a）。（17）证明。注意τ-D（0）是提款过程Dt第一次通过0级，这意味着过程Xt达到其历史最大值。这是通过假定L'evy过程X的光谱负性连续发生的。

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2022-5-31 00:07:39

利用Dtatτ的强马尔可夫性-D（0）我们有ξ（y）=E | yhe-rτ+D（a）i=E | yhe-rτ+D（a）；τ+D（a）<τ-D（0）i+E | yhe-rτ-D（0）；τ-D（0）<τ+D（a）iξ（0）=Ea-yhe公司-rτ-; τ-< τ+ai+Ea-yhe公司-rτ+a；τ+a<τ-iξ（0）=Z（r）（a- y）- Z（r）（a）W（r）（a）- y） W（r）（a）+W（r）（a- y） W（r）（a）ξ（0），（18），其中第三个等式来自双边出口公式（6）-（7）。因此，查找ξ的问题被简化为识别ξ（0）。后者可从[10，Prop.2（ii），p.191]中获得：ξ（0）=Z（r）（a）- rW（r）（a）W（r）（a）W0（r）（a）。（19）这就完成了证明。因此，我们有以下定理。定理1。合同（14）的价值在（15）中给出，ξ在（17）中给出。当订立时的合同价格等于0时，对双方、保险公司和投资者来说都是公平的。因此，我们说保费p*当（y，p*) = 从（15）使用命题1，我们推导出以下定理。定理2。对于合同（14），公平保费等于（20）p*=rαξ（y）1- ξ（y）。3.2。取消功能。我们现在延长了以前的合同，增加了取消的可能性。换句话说，我们赋予投资者通过支付固定费用终止合同的权利≥ 在预先规定的提取规模为a>0的资产价格的原木收益之前的任何时间为0。本合同针对的是那些在认为资产价格可能大幅下跌后不愿再支付溢价的投资者。合同价值等于f（y，p）=supτ∈TE | y“-Zτ+D（a）∧τe-rtp dt- ce公司-rτ（τ<τ+D（a））+αe-rτ+D（a）（τ+D（a）≤τ） #，（21）式中，T是所有Ft停止时间的族。本文的主要目标之一是确定最优停止规则τ*这实现了价格f（y，p）。我们从一个简单的观察开始。6 Z.Palmowski-J.Tumilewicz提案2。

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2022-5-31 00:07:42

可取消支取保险价值允许以下分解：F（y，p）=F（y，p）+G（y，p），（22），其中G（y，p）：=supτ∈Tgτ（y，p），（23）gτ（y，p）：=E | yhe-rτИf（Dτ，p）；τ<τ+D（a）i，（24）~f（y，p）：=-f（y，p）- c（25）和f（·，·）在（14）中定义。证据使用（τ≥τ+D（a））=1-（τ<τ+D（a））在（21）中，我们得到f（y，p）=E | y“-Zτ+D（a）e-rtp dt+αe-rτ+D（a）#+supτ∈TE | y“Zτ+D（a）τ∧τ+D（a）e-rtp dt- αe-rτ+D（a）（τ<τ+D（a））- ce公司-rτ（τ<τ+D（a））#。请注意，第一个总和不取决于τ。第二个仅通过τ<τ+D（a）依赖于τ。然后根据强马尔可夫性质，F（y，p）=F（y，p）+supτ∈TE | y“Zτ+D（a）τe-rtp dt- αe-rτ+D（a）（τ<τ+D（a））- ce公司-rτ（τ<τ+D（a））#=f（y，p）+supτ∈TE | y“e-rτE | DτZτ+D（a）E-rtp dt- αe-rτ+D（a）- cτ<τ+D（a）#。这就完成了证明。现在注意，（25）中的▄f（y，p）是y的递减函数。因此，如果▄f（0+，p）<0，那么投资者的最佳停止策略是永不终止合同，即τ=∞. 为了消除这个微不足道的情况，我们从现在开始假设（26）~f（0+，p）>0，这等于topr- c>pr+αξ（0+）≥ 0。（27）为了确定合同的最优取消策略，有必要解决（22）中第二个和所代表的最优停止问题，即确定G（y，p）。我们将使用“猜测和验证”方法。这意味着我们首先猜测候选停止规则，然后使用下面的验证引理验证其最优性。引理3.1。设Υt是一个右连续过程，位于某个Borel状态空间B中，并在某个FΥt停止时间τ终止，其中FΥ是一个右连续的自然过滤。考虑以下停止问题：（28）v（φ）=supτ∈TΥEe-rτV（Υτ）|Υ=φ对于某些函数V和FΥT-停止时间族TΥ。

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2022-5-31 00:07:47

假设（29）P（limt→∞e-rtV（Υt）<∞|Υ=φ）=1。这对（v*, τ*) 是停止问题（28）的解决方案，即v*（φ）：=Ehe-rτ*V（Υτ）*)|Υ=φi，如果满足以下条件：（i）v*（φ）≥ V（φ）表示所有φ∈ B、（ii）过程e-rtv电视*（Υt）是右连续超鞅。定价保险L'evy支取型合同7证明。该证明遵循与[3，Lem.9.1，p.240]证明相同的论点；另见[9，Th.2.2，第29页]。使用验证引理3.1，我们将证明水位下降过程的首次通过时间dt低于某一水平θ是（23）的最佳停止时间（因此也是（22））。也就是说，我们将证明（30）τ*= τ-D（θ）∈ t对于适当的θ∈ 对于停止规则（30）和y>θ，我们将显式计算gτ-（24）中给出的D（θ）（y，p）。注意，如果y>θtheng（y，p，θ）：=gτ-D（θ）（y，p）=f（θ，p）E | yhe-rτ-D（θ）；τ-D（θ）<τ+D（a）i=~f（θ，p）W（r）（a- y） W（r）（a）- θ）。（31）此外，如果y≤ θ那么投资者将立即终止合同：g（y，p，θ）：=E | yhe-rτ-D（θ）~f（Dτ-D（θ），p）；τ-D（θ）<τ+D（a）i=~f（y，p）。（32）因此，对于θ∈ 我们有f（y，p，θ）=f（y，p）+g（y，p，θ）=pr+αZ（r）（a）- y）+公关部- cW（r）（a）- y） W（r）（a）- θ）-pr+αZ（r）（a）- θ） W（r）（a）- y） W（r）（a）- θ）-pr.（33）回想一下，从命题2，值函数F（y，p）仅通过函数G（y，p）依赖于停止时间。如果选择的停止时间τ-D（θ）是正确的猜测，然后是最佳水平θ*hasto最大化函数G（y，p）=supθ≥0g（y，p，θ）=g（y，p，θ*). 因此，从（22）开始，相同的θ*最大化值函数F（y，p）。我们定义θ*:= inf公司θ∈ [0，a）：θg（y，p，θ）=0和g（y，p，）≤ g（y，p，θ）表示所有≥ 0.（34）注意θ*> 0，因为g（y，p，θ）在θ=0时增加。

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2022-5-31 00:07:51

的确θg（y，p，θ）|θ=0=~f（0）W（r）（a- y） W（r）（a）+f（0）W（r）（a）- y） W0（r）（a）（W（r）（a））>0，其中不等式来自假设（26）和f（0）=-（pr+α）ξ（0）=0。现在我们将验证（30）确实成立，即τ-D（θ*) 是最佳停止规则。定理3。假设（27）成立。停车时间τ-D（θ*), 带θ*（34）中定义了停车问题（23）和（21）的最佳停车规则。此外，具有取消特征的提取保险合同的价格等于F（y，p）=F（y，p）+g（y，p，θ*).证据根据最优停车问题（23），有必要检查τ*= τ-D（θ*) ful用Υt=Dt，B=R+，τ=τ+D（a），V（x）=f（x，p）来填充验证引理3.1的两个条件。注意，在这种情况下，假设（29）明显满足。为了证明（i）验证引理3.1，有必要证明g（y，p，θ）-f（y，p）≥ 0表示某些θ。观察取θ=y表示y∈ （0，a）产量g（y，p，y）-f（y，p）=E | yhe-rτ-D（y）~f（Dτ-D（y），p）；τ-D（y）<τ+D（a）i-~f（y，p）=0，（35），其中~f（y，p）在（25）中给出。因此（i）根据θ*最大化g（y，p，·）。现在我们将证明（ii）。请注意，停止的进程-r（t∧τ+D（a）∧τ-D（θ*))g（Dt∧τ+D（a）∧τ-D（θ*), p、 θ*)8 Z.Palmowski-J.Tumilewicz是一个鞅。这源于强马尔可夫性：源于g（y，p，θ）的定义*) 在（31）和（32）中，我们有-r（τ+D（a）∧τ-D（θ*))g（Dτ+D（a）∧τ-D（θ*), p、 θ*)| 英尺∧τ+D（a）∧τ-D（θ*)i=Ee-r（τ+D（a）∧τ-D（θ*))E | Dτ+D（a）∧τ-D（θ*)他-rτ-D（θ*)f（θ*, p）；τ-D（θ*) < τ+D（a）i英尺∧τ+D（a）∧τ-D（θ*)= Ee-r（t∧τ+D（a）∧τ-D（θ*))E | Dt∧τ+D（a）∧τ-D（θ*)他-rτ-D（θ*)f（θ*, p）；τ-D（θ*) < τ+D（a）i英尺∧τ+D（a）∧τ-D（θ*)= e-r（t∧τ+D（a）∧τ-D（θ*))g（Dt∧τ+D（a）∧τ-D（θ*), p、 θ*).因此，ADg（y，p，θ*) - rg（y，p，θ*) = 0表示所有y∈ （θ*, a）对于过程D的完整生成器ado。此外，从（32）我们知道y∈ （0，θ*) 我们有g（y，p，θ*) =f（y，p）。

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2022-5-31 00:07:54

因此，对于y∈ （0，θ*),ADg（y，p，θ*) - rg（y，p，θ*) = ADf（y，p）- rf（y，p）=-ADf（y，p）+rf（y，p）+rc=-pr+α[ADξ（y）- rξ（y）]- r公关部- c.现在，过程dt的强Markov性质意味着过程e-r（t∧τ+D（a））ξ（Dt∧τ+D（a））=E | y[E-rsξ（Ds）| Ft∧τ+D（a）]是鞅。因此ADξ（y）- rξ（y）=0表示y∈ （0，θ*) 自θ起*< a、因此，过程e-r（t∧τ+D（a））g（Dt∧τ+D（a），p，θ*) 是一个超级艺术家，因为对于y∈ （0，θ*) 我们有ADG（y，p，θ*) - rg（y，p，θ*) = -r公关部- c≤ 0，其中最后一个不等式来自假设（27）。这就完成了证明。4、合并临时提款4.1。公平溢价。投资者可能希望购买具有某些到期条件的合同，这意味着合同将在这些条件完全满足时终止。因此，在本文中，我们还考虑了一份保险合同，该合同提供了针对特定提取或有事项的资产价格的任何特定提取原木收益的保护。特别是，如果固定提款事件发生在某些固定提款之前，本合同可能会提前到期。选择提款事件是很自然的，因为它对应于某种市场上升趋势，因此投资者可能希望在该事件发生时停止支付溢价。在风险中性度量下，本合同的价值等于k（y，z，p）：=E | y | z”-Zτ+D（a）∧τ+U（b）e-rtp dt+αe-rτ+D（a）（τ+D（a）≤τ+U（b））#（36）对于某些固定a>b>0。首先我们将计算该值函数，然后我们将确定公平溢价p*其中（37）k（y，z，p*) = 注意k（y，z，p）=pr+αν（y，z）+prλ（y，z）-pr，（38）式中ν（y，z）：=E | y | zhe-rτ+D（a）；τ+D（a）≤ τ+U（b）i，λ（y，z）：=E | y | zhe-rτ+U（b）；τ+U（b）<τ+D（a）i。为了得到ν和λ的公式，我们必须进行一些额外的观察。按支取型合同定价保险9提案3。

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2022-5-31 00:07:57

让y和z分别表示提取和提取过程的起始位置。对于a>b≥ 0以下事件等效：τ+U（b）<τ+D（a），D=y，U=z= {τ+b-z<τ-（y）-（a）∨(-z） }∪nXτ+U（b）∨ y- Xτ+U（b）<a，Xτ+U（b）≤ -zo，（39）τ+D（a）<τ+U（b），D=y，U=z= {τ-y-a<τ+（b-z），y- 一≥ -z}∪nXτ+U（b）∨ y- Xτ+U（b）≥ a、 Xτ+U（b）≤ -z、 Xτ+U（b）≤ b- z、 y型- a<-佐。（40）证明。我们使用几何路径参数。证明（39）注意τ+U（b）<τ+D（a），D=y，U=z=nτ+U（b）<τ+D（a），Xτ+U（b）>-z、 D=y，U=zo∪nτ+U（b）<τ+D（a），Xτ+U（b）≤ -z、 D=yo。事件{Xτ+U（b）>-z、 U=z}等于Xτ+U（b）=b的要求- z和X不能穿过y- τ+U（b）之前的a级。因此，nτ+U（b）<τ+D（a），Xτ+U（b）>-z、 D=y，U=zo=nτ+b-z<τ-（y）-（a）∨(-z），D=y，U=zo。（41）现在，让我们考虑当Xτ+U（b）时的情况≤ -z、如果Xτ+U（b）<Xτ+U（b）∨ y然后Dτ+U（b）=Xτ+U（b）∨ y-Xτ+U（b），它必须小于a，因为水位上升发生在水位下降之前。另一方面，如果Xτ+U（b）=Xτ+U（b）∨ y然后b=Uτ+U（b）=Xτ+U（b）∨ y- Xτ+U（b）<a，因为b<a。因此，我们得到nτ+U（b）<τ+D（a），Xτ+U（b）≤ -z、 D=y，U=zo=nXτ+U（b）∨ y- Xτ+U（b）<a，Xτ+U（b）≤ -z、 D=y，U=zo。（42）观察（41）和（42）完成（39）的证明。为了证明（40），我们再次考虑两种情况：τ+D（a）<τ+U（b），D=y，U=z=τ+D（a）<τ+U（b），D=y，U=z，y- a<-z∪τ+D（a）<τ+U（b），D=y，U=z，y- 一≥ -z.案例y- a>-z和假设b≤ a意味着b- a<y。这意味着在提取之前发生提取时的事件与过程X交叉时的事件相同- a在击中b之前- z、也就是说，τ+D（a）<τ+U（b），D=y，U=z，y- 一≥ -z=τ-y-a<τ+b-z、 D=y，U=z，y- 一≥ -z.如果y- 一≤ -z然后X穿过标高-z在提款事件发生之前。此外，X可以跨越y层，但不能跨越b层- z、因为否则会出现提款。

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nandehutu2022

2022-5-31 00:08:00

因此τ+D（a）<τ+U（b），D=y，U=z，y- a<-z=nXτ+U（b）∨ y- Xτ+U（b）>a，Xτ+U（b）≤ -z、 Xτ+U（b）≤ b- z、 y型- a<-佐。这就完成了（40）的证明。注意，对于b<a，我们有e | y | zhe-rτ+U（b）；τ+D（a）<τ+U（b）i=E | y | zhe-rτ+D（a）；τ+D（a）<τ+U（b）iEhe-rτ+U（b）i位置3和上述观察得出以下重要推论。推论4。对于a>b，我们有ν（y，z）=Ehe-rτ-y-一τ-y-a<τ+（b-z） i（y+z≥a） +Ehe-rτ+U（b）；Xτ+U（b）∨ y- Xτ+U（b）≥ a、 Xτ+U（b）≤ -z、 Xτ+U（b）≤ b- zi（y+z<a）Ehe-rτ+U（b）i10 Z.Palmowski-J.Tumilewiczandλ（y，Z）=Ehe-rτ+b-zτ+b-z<τ-（y）-（a）∨(-z） i+Ehe-rτ+U（b）；Xτ+U（b）∨ y- Xτ+U（b）<a，Xτ+U（b）≤ -zi。现在可以通过（12）的拉普拉斯逆变换计算函数λ和ν。定理5。合同价格（36）在（38）中给出，λ和ν在推论4中确定。从（38）我们得到以下定理。定理6。对于合同（36），（37）中定义的公平保费等于（43）p*=rαν（y，z）1- λ（y，z）- ν（y，z），其中函数λ和ν在推论4.4.2中给出。取消功能。我们还将考虑终止先前合同的可能性。现在，保护买家可以通过支付费用c终止该职位≥ 0、合同值则等于k（y，z，p）：=supτ∈TE | y | z“-Zτ+D（a）∧τ+U（b）∧τe-rtp dt+αe-rτ+D（a）（τ+D（a）<τ+U（b）∧τ）- ce公司-rτ（τ<τ+D（a）∧τ+U（b））#。（44）与可取消的提款合同一样，我们可以将合同价值函数表示为两部分的总和：一部分没有取消特征，另一部分取决于停止时间τ。提案4。可撤销提取保险价值允许分解k（y，z，p）=k（y，z，p）+H（y，z，p），（45），其中H（y，z，p）：=supτ∈Thτ（y，z，p），（46）hτ（y，z，p）：=E | y | zhe-rτИk（Dτ，Uτ，p）；τ<τ+D（a）∧ τ+U（b）i，（47）~k（y，z，p）：=-k（y，z，p）- c（48）和k（·，·，·，·）在（38）中给出。证据

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2022-5-31 00:08:05

使用（τ+D（a）<τ+U（b）∧τ） =（τ+D（a）<τ+U（b））-（τ<τ+D（a）<τ+U（b））我们得到k（y，z，p）=E | y | z“-Zτ+D（a）∧τ+U（b）e-rtp dt+αe-rτ+D（a）（τ+D（a）<τ+U（b））#+supτ∈TE | y | z“zτ+D（a）∧τ+U（b）τ∧τ+D（a）∧τ+U（b）e-rtp dt- αe-rτ+D（a）（τ<τ+D（a）<τ+U（b））- ce公司-rτ（τ<τ+D（a）∧τ+U（b））#。右侧的第一个总和不取决于停站时间，它等于具有备用金的基本合同，即等于（36）中给出的k（y，z，p）。另一方面，第二个和取决于通过事件{τ<τ+D（a）的τ∧ τ+U（b）}。现在的结果是强马尔可夫性质：K（y，z，p）=K（y，z，p）+supτ∈TE | y | z“e-rτ（τ<τ+D（a）∧τ+U（b））E | Dτ| UτhZτ+D（a）∧τ+U（b）e-rtp dti- αe-rτ+D（a）（τ<τ+D（a）<τ+U（b））- ce公司-rτ（τ<τ+D（a）∧τ+U（b））#。（49）定价保险L'evy支取型合同11首先注意，如果▄k（Dτ-D（θ），Uτ-对于所有θ，D（θ））<0，则终止合同不是最佳选择，因此τ=∞. 为了避免这种情况，我们假设从现在起存在θ，其中k（Dτ-D（θ），Uτ-D（θ））>0。我们可以将这一假设改写如下：pr- c>pr+αν（θ，y+z- θ） +prλ（θ，y+z- θ）≥ y+z为0（50）≥ a、 andpr- c>pr+αν（θ，y- x个- θ） +prλ（θ，y- x个- θ）≥ 0（51）表示y+z<a，其中x等于k（θ，y- x个- θ） =最小值∈（y）-一-z） k（θ，y- x个- θ）。此外，由于（47）中存在指示器，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设b- z>y- θ。为了确定合同K的价值，我们现在将计算（46）中定义的函数H。我们将再次使用“猜测和验证”方法。最优策略的候选值为（52）τ*= τ-D（θ）对于某些θ∈ [0，a）。我们表示h（y，z，p，θ）：=hτ-D（θ）（y，z，p）。（53）我们现在计算这个函数。

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2022-5-31 00:08:07

注意，对于θ>y，我们有h（y，z，p，θ）=k（y，z，p）。（54）此外，Uτ-D（θ）=Xτ-D（θ）- Xτ-D（θ）∧ (-z） =y- θ- Xτ-D（θ）∧ (-z）。因此，通过考虑两种不相交的可能情况{Xτ-D（θ）>-z} 和{Xτ-D（θ）≤ -z} ，可以为y重写（47）中的期望值≥ θash（y，z，p，θ）=k（θ，y- θ+z，p）E | y | zhe-rτ-D（θ）；τ-D（θ）<τ+D（a）∧ τ+U（b），Xτ-D（θ）>-zi+E | y | zhe-rτ-D（θ）~k（θ，y- θ- Xτ-D（θ），p）；τ-D（θ）<τ+D（a）∧ τ+U（b），Xτ-D（θ）≤ -zi。（55）我们现在将分析最后两个预期中出现的事件。提案5。以下事件等效：τ-D（θ）<τ+D（a）∧ τ+U（b），D=y，U=z=nXτ-D（θ）>y- a、 Xτ-D（θ）∧ (-z） >y- θ- 博。（56）证明。注意，停止时间τ-D（θ）是进程X到达y的时间- θ。这意味着X不能超过τ之前的水平y-D（θ），因此我们有xτ-D（θ）∨y=y。现在，第一个事件{Xτ-D（θ）>y-a} （56）右侧对应于τ+D（a）在τ之后的情况-D（θ）。关于第二个事件{Xτ-D（θ）∧ (-z） >y- θ- b} 在（56）的右侧，只有在y第一次通过后，起草过程U才达到b级- θ乘以X。在这种情况下，τ+U（b）不能在τ之前-D（θ）。这一观察完成了证明。命题5和（55）给出了（53）中正式定义的函数h的以下表示。引理1。对于y≥ θ我们有h（y，z，p，θ）=~k（θ，y+z- θ） W（r）（（a- y）∧ z） W（r）（y）- θ+（a- y）∧ z）（y）-θ<b-z） +E | yhe-rτ-D（θ）~k（θ，y- θ- Xτ-D（θ），p）；（y）- （a）∨ （y）- θ- b） <Xτ-D（θ）≤ -zi（（y-（a）∨（y）-θ-（b）<-z）。（57）注意，为了计算（53）（或（57）），我们只需要知道xτ的联合分布-D（θ）和τ-D（θ）。这可以使用（13）得出。为了满足（52），我们寻找使函数h（y，z，p，θ）最大化的θ。我们表示θ*= inf公司θ∈ [0，a）：θh（y，z，p，θ）=0，和h（y，z，p，）≤ h（y，z，p，θ）表示所有≥ 0.（58）12 Z.Palmowski-J。

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2022-5-31 00:08:12

Tumilewicz注意到，如果[0，a]上没有h的局部最大值，则τ-D（θ）不是所研究问题的最佳停止时间。定理7。假设（50）和（51）保持不变，存在θ*定义见（58）。然后τ-D（θ*) 带θ*（58）是（47）的最优停止规则解，合同（44）的值等于k（y，z，p）=k（y，z，p）+h（y，z，p，θ*) 对于h（y，z，p，θ*) 在（54）和（57）中给出，在（38）中给出k（y，z，p）。证据我们在这里处理的优化问题在（46）中有定义。我们将再次使用验证引理3.1表示Υt=（Dt，Ut），B=R+×R+，τ=τ+U（B）∧ τ+D（a），V（φ）=k（y，z，p），φ=（y，z）。这个证明类似于定理3的证明。VerifitionEmma 3.1中条件（i）的证明实际上遵循了第一步θ=y的相同模式。现在我们将证明验证引理3.1的第二个条件。设δ：=τ+D（a）∧ τ+U（b）∧ τ-D（θ*).注意，使用函数h（y，z，p，θ）定义的强马尔可夫性质*) （53）和（47）中给出了Υt=（Dt，Ut），我们得到了[h（Dδ，Uδ，p，θ*)| 英尺∧δ] =EhE | Dδ| Uδhe-rτ-D（θ*)k（Dτ-D（θ*), Uτ-D（θ*), p）我英尺∧δi=Ehe-r（t∧δ） E | Dt∧δ| Ut∧δhe-rτ-D（θ*)k（Dτ-D（θ*), Uτ-D（θ*), p）我英尺∧δi=e-r（t∧δ） h（Dt∧δ、 Ut公司∧δ、 p，θ*).因此，我们可以得出这样的结论：-r（t∧τ+D（a）∧τ+U（b）∧τ-D（θ*))h（Dt∧τ+D（a）∧τ+U（b）∧τ-D（θ*), Ut公司∧τ+D（a）∧τ+U（b）∧τ-D（θ*), p、 θ*)是鞅。因此，对于y>θ*,A（D，U）h（y，z，p，θ*) - rh（y，z，p，θ*) = 0，其中A（D，U）是过程（Dt，Ut）的完整生成器。此外，流程-r（t∧τ+D（a））ν（Dt∧τ+D（a），Ut∧τ+D（a）），e-r（t∧τ+U（b））λ（Dt∧τ+U（b），Ut∧τ+U（b））也是Ft鞅。因此A（D，U）ν（y，z）- rν（y，z）=0和A（D，U）λ（y，z）- rλ（y，z）=0。y的（50）、（51）和（54）求和∈ （0，θ*) 和z∈ （0，b）我们有a（D，U）h（y，z，p，θ*) - rh（y，z，p，θ*) = A（D，U）~k（y，z，p）- rk（y，z，p）=-r公关部- c≤ 0。这就完成了证明。4.3。

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2022-5-31 00:08:16

当A=b时，这是一个非常简单的情况。A=b的情况对应于当提款过程超过A级或提款达到A级时合同支付赔偿金的情况。在本小节中，我们将找到（38）和（43）中出现的函数λ（y，z）和ν（y，z）（因此也会出现在（45）和（57）中）。这种情况之所以简单，是因为我们可以将问题分为两个简单的子类。第一种情况是≤ z+y。然后可以使用双边现有公式（6）-（7）来识别λ和ν。实际上，λ（y，z）=E | y | zhe-rτ+U（a）；τ+U（a）<τ+D（a）i=Ehe-rτ+a-zτ+a-z<τ-y-ai=W（r）（a- y） W（r）（2a- y- z）（59）和ν（y，z）=E | y | zhe-rτ+D（a）；τ+D（a）<τ+U（a）i=Ehe-rτ-y-一τ-y-a<τ+a-zi=Z（r）（a- y）- Z（r）（2a- y- z） W（r）（a）- y） W（r）（2a- y- z）。（60）第二种情况是当a>z+y时。对于这种情况，以下身份至关重要：τ+U（a）∈ dt，τ+D（a）>t，Xt∈ dx公司=τ+x∈ dt，Xt∧ (-z）∈ d（x- （a）,（61）定价保险L'evy支取型合同13，适用于任何x∈ （y，a- z] （详见【15，式（46）】）。利用（61），我们观察到λ（y，z）=E | y | zhe-rτ+U（a）；τ+U（a）<τ+D（a）i=Z∞Z∞e-rtP | y | zτ+U（a）∈ dt；τ+D（a）>t；Xt公司∈ dx公司=Z∞Z∞e-rtPτ+x∈ dt；Xτ+X∧ (-z）∈ d（x- a），x∈ （y，a- z）=Za公司-齐河-rτ+x；Xτ+X∧ (-z）∈ dx公司- ai=Za-齐河-rτ+x；Xτ+X∈ d（x- a） i+Ehe-rτ+a-zXτ+a-z>-zi=Za-zy公司aW（r）（a）- x） W（r）（a）dx+Ehe-rτ+a-zXτ+a-z>-zi=W（r）（a）- y） W（r）（a）-rW0（r）（a）（W（r）（a））Z（r）（a）- y）- Z（r）（Z）,（62）我们使用了以下事实-rτ+x；Xτ+X∈ -酒后驾车=uW（r）（u）W（r）（x+u）(-du）。（63）可以使用（17）中给出的τ+D（a）的拉普拉斯变换ξ公式和上述λ表达式计算函数ν。

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2022-5-31 00:08:20

事实上，ν（y，z）=E | y | zhe-rτ+D（a）；τ+D（a）<τ+U（a）i=E | y | zhe-rτ+D（a）i- E | y | zhe-rτ+D（a）；τ+U（a）<τ+D（a）i=E | y | he-rτ+D（a）i- E | y | zhe-rτ+U（a）；τ+U（a）<τ+D（a）iEhe-rτ+D（a）i=Z（r）（a- y）- rW（r）（a）- y） W（r）（a）W0（r）（a）- λ（y，z）Z（r）（a）- rW（r）（a）W（r）（a）W0（r）（a）= Z（r）（Z）- Z（r）（a）W（r）（a）- y） W（r）（a）+rZ（r）（a）W0（r）（a）（W（r）（a））Z（r）（a）- y）- Z（r）（Z）.（64）通过对ν和λ的识别，我们还可以计算定理7中给出的值函数（44）中出现的函数h。精确地说，θ乘以（54）≤ y我们有h（y，z，p，θ）=▄k（y，z，p），其中▄k可以使用（38）和（48）来识别。对于θ>y，我们有h（y，z，p，θ）=E | yhe-rτ-D（θ）~k（θ，y- θ- Xτ-D（θ））；y- a<Xτ-D（θ）<-zi+~k（θ，y+z- θ） E | yhe-rτ-D（θ）；Xτ-D（θ）>（y- （a）∨ (-z） i（a>y+z-θ） =Za-yzk（θ，y- θ+φ）φW（r）（φ）W（r）（y）- θ+φ）dφ（a>y+z）+k（θ，y+z- θ） W（r）（（a- y）∧ z） W（r）（（a- y）∧ z+y- θ）（a>y+z-θ）。14 Z.Palmowski-J.TumilewiczNow，通过部分积分，我们得到h（y，Z，p，θ）=k（θ，a- θ） W（r）（a）- y） W（r）（a）- θ）（a>y+z）-k（θ，y+z- θ） W（r）（z）W（r）（y+z）- θ）（a>y+z）+▄k（θ，y+z- θ） W（r）（（a- y）∧ z） W（r）（（a- y）∧ z+y- θ）（a>y+z-θ）-Za公司-yz公司-pr+α1.-rZ（r）W0（r）（a）（W（r）（a））-prrW0（r）（a）（W（r）（a））rW（r）（φ）dφ（a>y+z）=h类-pr+α1.-rZ（r）W0（r）（a）（W（r）（a））-prrW0（r）（a）（W（r）（a））iZ（r）（a）- y）- Z（r）（Z）+k（θ，a- θ） W（r）（a）-y） W（r）（a）-θ）对于a>y+z，~k（θ，y+z- θ） W（r）（a）-y） W（r）（a）-θ）对于y+z- θ<a<y+z，0表示a<y+z- θ。（65）5。数值分析在本节中，我们对研究中的所有保险合同进行数值分析，并检查它们对模型所选参数的依赖性。我们关注两个经典的谱负riskL'evy过程。第一个是线性布朗运动：（66）Xt=ut+σBt，其中Bt是标准布朗运动。我们分析的第二个过程是具有指数跳跃的经典Cram'erLundberg过程：（67）Xt=ut-NtXi=1ηi，其中ηi等于i.i.d。

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2022-5-31 00:08:23

参数ρ>0的指数分布随机变量和强度β>0的非独立泊松过程。我们用（3）和（4）中定义的比例函数表示所有主要工程量和所有合同价值。从[4]可以看出，漂移为（66）的布朗运动的标度函数具有以下形式：W（r）（u）=σΞe-uσusinh（Ξu），（68）Z（r）（u）=e-uσucosh（Ξu）+μσsinh（Ξu）,（69）式中，Ξ=pu+2rσ。同样，对于Cram'er-Lundberg过程（67），W（r）（u）=eΦ（r）uψ（Φ（r））+eζuψ（ζ），（70）Z（r）（u）=1+reΦ（r）u- 1Φ（r）ψ（Φ（r））+reζu- 1ζψ（ζ），（71），其中Φ（r）=2u（β+r- uρ）+p（β+r- uρ）+4ruρ,ζ=2u（β+r- uρ）-p（β+r- uρ）+4quρ,ψ（φ）=u-βρ（ρ+φ）和ψ（·）是（1）中给出的拉普拉斯指数。在本节中，我们分析了我们模型的选定参数对所考虑的保险合同的价格和最高规则的影响。为了简化上述比较，我们按照本文中这些合同的出现顺序对数值分析进行排序。定价保险L'evy支取型合同155.1。提取保险的公平保费。我们从合同（14）开始使用（15）。设Xt为线性布朗运动（66）。从命题1我们得到ξ（y）=e-uσ（a-y） Ξcosh（Ξy）-uσsinh（Ξy）cosh（Ξa）-uσsinh（Ξa）。这导致了（14）中给出的值函数f（y，p）的公式和公平溢价p的表达式*在（20）中给出：f（y，p）=pr+αe-uσ（a-y） Ξcosh（Ξy）-uσsinh（Ξy）cosh（Ξa）-uσsinh（Ξa）-pr，p*=rα（Ξcosh（Ξy）-uσsinh（Ξy））Ξ（cosh（Ξa）- cosh（Ξy））-uσ（sinh（Ξa）- sinh（Ξy））。在图1中，我们描述了公平保费p*取决于起始水位下降位置D=y。图1。值p*对于带漂移的布朗运动的支取保险合同。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，α=100，a=10。对（67）中给出的Cram'er-Lundberg过程进行了类似的计算。

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2022-5-31 00:08:27

特别地，我们有ξ（y）=1+reΦ（r）（a-y）- 1Φ（r）ψ（Φ（r））+reζ（a-y）- 1ζψ（ζ）- reΦ（r）（a）-y） ψ（Φ（r））+eζ（a-y） ψ（ζ）·ψ（ζ）eΦ（r）a+ψ（Φ（r））eζaΦ（r）ψ（ζ）eΦ（r）a+ζψ（Φ（r））eζa=：c+cΦ（r）eΦ（r）（r）（a-y） +c-ζe-ζ（a-y），其中c=1-rΦ（r）ψ（Φ（r））-rζψ（ζ），cΦ（r）=rΦ（r）ψ（Φ（r））-rψ（Φ（r））ψ（ζ）eΦ（r）a+ψ（Φ（r））eζaΦ（r）ψ（ζ）eΦ（r）a+ζψ（Φ（r））eζa，cζ=rζψ（ζ）-rψ（ζ）ψ（ζ）eΦ（r）a+ψ（Φ（r））eζaΦ（r）（r）ψ（ζ）eΦ（r）a+ζψ（Φ（r））eζa（14）中给出的合同价值f（y，p）和公平保费p*（20）aref（y，p）中给出=pr+αc+cΦ（r）eΦ（r）（a）-y） +cζeζ（a-y）-pr，p*=rα（c+cΦ（r）eΦ（r）（a-y） +cζeζ（a-y））1- c- cΦ（r）eΦ（r）（a）-y）- cζeζ（a-y）。图2描述了公平保费p的相关性*在这种情况下，开始下降时D=y。请注意，对于线性布朗运动（66）和克莱姆-伦德伯格模型（67），公平溢价的形状非常相似。此外，增加起始水位降D=y可能会快速增加p值*. 事实上，对于有漂移的布朗运动，p的值*tends16 Z.Palmowski-J.Tumilewicz图2。值p*克拉姆-伦德伯格模型的提取保险合同。参数：r=0.01，u=0.05，β=0.1，ρ=2.5，α=100，a=10。到∞ 作为y↑ a、这是因为对于线性布朗运动，我们有W（r）（0）=0和公平溢价p表达式中的分母*作为y转到0↑ a、然而，对于克莱姆-伦德伯格过程（67），情况并非如此。实际上，对于这个有界变差过程，我们有W（r）（0）>0和limy→一-ξ（y）6=1，因此p公式中的分母*不收敛到0为y↑ a、 5.2。可撤销支取保险。我们现在对合同F（y，p）=F（y，p）+g（y，p，θ）进行定价*)（21）中定义，定理3中确定。我们还计算了最优停止规则τ*θ在（30）中给出*定义见（34）。

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2022-5-31 00:08:30

由于上一小节中给出的数值结果，它能够找到函数g（y，p，θ*) 和θ*.对于线性布朗运动模型（66），我们可以为g编写一个显式公式。特别是，对于θ<y，g（y，p，θ）=f（θ，p）W（r）（a- y） W（r）（a）- θ）=公关部- ce-uσ（a-y）新罕布什尔州- y））e-uσ（a-θ）新罕布什尔州- θ）（）-pr+αe-uσ（a-y）新罕布什尔州- y）（）Ξcosh（Ξθ）-uσsinh（Ξθ）新罕布什尔州- θ）（）Ξcosh（Ξk）-uσsinh（Ξk）,θ的和≥ y我们有g（y，p，θ）=f（y，p）=-pr+αe-uσ（a-y） Ξcosh（Ξy）-uσsinh（Ξy）cosh（Ξa）-uσsinh（Ξa）+pr- c、（72）图3。对于y（左）和p（右）的不同级别，漂移依赖于θ的布朗运动的值g（y，p，θ）。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，α=100，c=50，a=10，p=0.55，y=7。图3描述了g（y，p，θ）对θ的依赖关系。曲线图末端的直线段遵循以下事实，即通过（32），函数g始终等于θ的▄f（y，p≥ y、我们正在寻找17θ的提取型合同的定价保险*最大化g，如果θ*是在直线段的开头，投资者不应接受本保险合同。这是一个极端的情况。事实上，最自然的是θ*介于零和直线段的起点之间。还请注意，通过（31）最佳θ的定义*（34）中给出了θ级*只要y>θ，则不取决于水位下降的起始位置D=y*. 特别是，对于我们的参数集，对于常数溢价，我们有θ*≈ 图3还显示了g（y，p，θ）对保险费率p的依赖性。

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2022-5-31 00:08:34

请注意，保费越高，g值越高，因此（21）中给出的保险合同F值也越高。对于Cram'er–Lundberg模型（67），函数g的形式为g（y，p，θ）=f（θ，p）W（r）（a- y） W（r）（a）- θ） =ψ（ζ）eΦ（r）（a）-y） +ψ（Φ（r））eζ（a-y） ψ（ζ）eΦ（r）（a）-θ） +ψ（Φ（r））eζ（a-θ） ·h-pr+αc+cΦ（r）eΦ（r）（a）-θ） +cζeζ（a-θ）+公关部- ciforθ<y，and g（y，p，θ）=f（y，p）=-pr+αc+cΦ（r）eΦ（r）（a）-y） +cζeζ（a-y）+公关部- C或θ≤ y、图4：。Cram'er–Lundberg模型的g（y，p，θ）值取决于y（左）和p（右）不同级别的θ。参数：r=0.01，u=0.05，β=0.1，ρ=2.5，a=10，α=100，c=50，p=0.51，y=8。图4描述了g（y，p，θ）的行为与停止水平θ的关系，从而确定了也是最佳的。5.3。当a>b时，支取意外开支的公平保费。我们现在将对保险合同（36）进行数字研究，该合同提供保护，防止任何特定的支取规模为a的支取，并具有一定的支取规模为b的意外开支。根据定理5，它有助于计算函数λ和ν，以确定合同。如第4节所述，为此，我们将使用推论4计算这些函数，并对拉普拉斯变换（12）进行数值反转。值得一提的是，在线性布朗运动（66）的情况下，存在一种识别λ和ν的替代方法（反转拉普拉斯变换）。从推论4中，ν和λ的公式减少到（6）-（7）。也就是说≤ y+z，ν（y，z）=z（r）（a- y）- Z（r）（a+b- y- z） W（r）（a）- y） W（r）（a+b- y- z） λ（y，z）=W（r）（a- y） W（r）（a+b- y- z）。为了在a>y+z时识别λ和ν，可以观察到bxt：=-XT是一个带漂移的线性布朗运动-u。然后，alsobUt=dt，BDT=Ut。用Bx代替X，我们可以使用文献[6]中给出的Laplace18 Z.Palmowski-J.Tumilewiczofbd变换，并计算出ν和λ的精确公式。

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2022-5-31 00:08:38

准确地说，设cw（r）和bz（r）是（3）和（4）中定义的bx的标度函数。然后，对于a>y+z，ν（y，z）=cW（r）（b）cW0（r）（b）σ“（cW0（r）（b））cW（r）（b）-cW0（r）（b）#e-（a）-b∨（y+z）cW0（r）（b）cW（r）（b）z（r）（b）-rcW（r）（b）σ“（cW0（r）（b））cW（r）（b）-cW0（r）（b）#bZ（r）（b）- z）-bZ（r）（y）e-（a）-b） cW0（r）（b）cW（r）（b）Z（r）（b）（b>y+Z）和λ（y，Z）=rcW（r）（b）σ“（cW0（r）（b））cW（r）（b）-cW0（r）（b）#bZ（r）（b）∧ （a）- z）（）-bZ（r）（y）e-（a）-b） cW0（r）（b）cW（r）（b）（b>y）+cW（r）（b）cW0（r）（b）σ“（cW0（r）（b））cW（r）（b）-cW0（r）（b）#e-zcW0（r）（b）cW（r）（b）- e-（a）-b∨y） cW0（r）（b）cW（r）（b）！（a>z+b）+W（r）（z）W（r）（b）。使用上述表达式，我们可以找到公平保费p*定义于（43）：p*=rαν（y，z）1- λ（y，z）- ν（y，z），并分析下降和上升过程的起始位置对p的影响*. 图5显示了这种关系。图5：。值p*对于带漂移的布朗运动的预备役合同，预备役z（左）和预备役y（右）的起始位置不同。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，α=100，a=10，b=8。从图5中，我们可以推断出与基本提款合同相同的观察结果。对于线性布朗运动（66），p的值*倾向于∞ 作为y↑ a、这是因为limy→一-ν（y，z）=1和limy→一-λ（y，z）=0，因此，p的公式（43）中的分母*收敛到0.5.4。当a=b时，提取意外开支的公平保费。在此，我们分析第4.3小节中提出的特殊情况a=b。

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2022-5-31 00:08:43

这一次，我们使用恒等式（59）、（60）、（62）和（64）来计算合同值。因此，通过p的表达式（43）*,p*=rαν（y，z）1- λ（y，z）- ν（y，z）=rαZ（r）（a）- y）- Z（r）（2a- y- z） W（r）（a）-y） W（r）（2a-y-z）1.- Z（r）（a）- y） +W（r）（a）-y） W（r）（2a-y-z）Z（r）（2a- y- z）- 1.（73）对于≤ y+z和P*=rαZ（r）（Z）- Z（r）（a）W（r）（a）-y） W（r）（a）+rZ（r）（a）W0（r）（a）（W（r）（a））Z（r）（a）- y）- Z（r）（Z）1.- Z（r）（Z）-Z（r）（a）- 1.rW0（r）（a）（W（r）（a））（Z（r）（a- y）- Z（r）（Z））-W（r）（a）-y） W（r）（a）（74）为a>y+z的保险L'evy提取型合同19定价。使用Cram'er–Lundberg模型（67）的比例函数公式（70）-（71），可以发现p*在水位下降D=y和水位上升U=z的初始起始/历史位置。图6描述了这种依赖关系。请注意，与图6类似。值p*对于Cram'er–Lundberg模型的支取应急合同，支取z（左）和支取y（右）的不同起始位置。参数：r=0.01，u=0.05，β=0.01，ρ=2.5，a=10，α=100。无提款限制的提款合同，公平保费p*不倾向于∞ 作为y↑ 克拉姆-伦德伯格过程（67）。这是因为对于Cram'er–Lundbergprocess，我们有W（r）（0）>0，因此是limy→一-（ν（y，z）+λ（y，z））6=1，（43）中的分母不收敛于0.5.5。a>b的可取消支取意外开支。我们通过增加可取消性并考虑保险合同（44）继续进行数值分析。根据定理7，它可以确定（y，z，p，θ*) 对于（54）和（57）中给出的h和最佳水平θ*定义见（58）。为了计算a<b的（57），我们使用数值积分。结果如图7所示。注意，（58）最佳水位下降停止水平θ*最大化函数h。

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2022-5-31 00:08:47

从图7可以看出，似乎对于该合同，最优θ也没有依赖性*在水位上升和下降的初始位置SZ和y上。然而，很明显，有或无提取意外开支的合同的最佳终止水平是不同的。即使我们采用相同的参数，新参数的存在，即拔模的起始位置，也会显著改变θ*数量5.6。a=b的可取消提取意外开支。我们还分析了特殊情况a=b的结果。为了获得函数h的值，我们可以使用（65）。图8描述了Cram'er-Lundbergmodel的结果。我们可以观察到最佳停止水平θ同样缺乏依赖性*在水位下降和水位上升的起始位置。6、结论在本文中，我们分析了一些针对资产价格对数收益的提取和提取事件的保险合同。我们通过几何谱负L'evy过程对资产价格进行建模。确定了公平保费p*以及具有取消特征的合同的最优停止规则。我们使用L'evy过程的最优停止和波动理论对这些类型的合同进行定价。考虑几何L'evy过程St=eXt以外的其他过程是很自然的，例如几何跳跃扩散过程。当跳跃为混合指数型或更普遍的相位型时，进行更详细的数值分析也很有意义。我们的想法是考虑资产价格可能跳跃的密度的所有可能形状。此外，根据保险合同结束时观察到的过程X，可以考虑奖励α和费用c。事实上，对于更多的一般保险合同仍有巨大的需求，这些合同将作为针对重大违约事件的保单。这将是未来研究的主题。20 Z.Palmowski-J.Tumilewicz图7。

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2022-5-31 00:08:50

对于不同的y（左上）、z（右上）和p（下），漂移依赖于θ的布朗运动草拟应急契约的值h（y、z、p、θ）。参数：r=0.01，u=0.03，σ=0.4，a=10，b=8，α=100，c=50，p=1.35，y=7，z=2。图8：。起草的Cram'er–Lundber独立应急合同的值h（y，z，p，θ）在θ上表示不同的y（左上）、z（右上）和p（下）。参数：r=0.01，u=0.04，β=0.1，ρ=2.5，a=10，α=100，c=50，p=0.55，y=6，z=4。定价保险L'evy提取型合同21参考文献[1]Carr，P.，Zhang，H.和Hadjiliadis，O.（2011）最大提取保险。《国际理论与应用金融杂志》，14（8）：1-36。[2] Grossman，S.J.和Zhou，Z.（1993）《控制提款的最佳投资策略》。数学金融，3（3）：241–276。[3] Kyprianou，A.E.（2006）关于L'evy过程波动及其应用的入门讲座。斯普林格。[4] Kyprianou，A.E.、Kuznetsov，A.和Rivero，V.（2013）《光谱负L'evyprocess的尺度函数理论》。Levy Matters II，斯普林格数学课堂讲稿。[5] Magdon Ismail，M.和Atiya，A.（2004）最大水位下降。风险，17（10）：99–102。[6] Mijatovi\'c，A.和Pistorius，M.R.（2012）关于完全不对称L’evy过程的缩减。随机过程及其应用，122（11）：3812–3836。[7] Nguyen Ngoc，L.和Yor，M.（2005）一些与反映的列维过程相关的鞅。埃米奈尔·德波拉比利特（S’EminaireDeProbabilit’es），三十八：42–69。[8] Oksendal，B.和Sulem，A.（2004）应用了跳跃差异的随机控制。斯普林格。[9] Peskir，G.和Shiryaev，A.（2006）最优停止和自由边界问题。Birkh–auser。[10] 皮斯托利斯，M.R。

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