完全耦合FBSDE的投资组合特征

2022-5-31 05:57:53

投资组合优化的全耦合FBSDE中介的特征Samuel Drapaua，1，*, , Pen g Luob，2，§，Dewen Xiong，3，+2019年10月1日摘要我们提供了全耦合正反向随机微分方程中BSDEs的最优最大子解的验证和表征结果。我们举例说明了在概率和贴现不确定性条件下随机禀赋效用优化中的应用。我们通过明确的例子展示了如何量化使用效用差异定价时的不完全成本，以及为递归效用找到最优解决方案的方法。关键词：完全耦合的FBSDE、效用组合优化、随机禀赋、概率和贴现不确定性。作者InfoaSAIF/CAFR/CMAR和上海交通大学数学科学学院，中国滑铁卢大学统计与精算科学系，上海交通大学加拿大数学科学学院，Chinasdrapeau@saif.sjtu.edu.cnpeng.luo@uwaterloo。caxiongdewen@sjtu.edu.cn*中国国家科学基金会资助，资助号11971310。+国家科学基金资助，资助号11671257来自上海交通大学的资助，授予“金融风险和不确定性评估”NUMBE e r AF0710020。§加拿大自然科学和工程研究委员会的财政支持，RGPIN-2017-04054。论文信息分类：60H20-93E20-91B16-91G101。简介我们的动机是对经典投资组合优化的研究，如下所示：在布朗过滤概率空间中，我们考虑一个在时间T交付的代理具有一个dom禀赋或偶然目标。

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2022-5-31 05:57:58

从最初的财富x开始，她还有机会在一个金融市场上投资一种策略，其中n只股票S=（S，…，Sn），从而产生相应的财富过程x^πt=x+Zt^π·d^S，其中d^S/S：=（dS/S，…，dSn/Sn）。她打算选择一种策略*为了优化她的效用F+X^π*T≥ UF+X^πT对于所有容许策略^π。特此F 7→ U（F）是一个一般效用函数，拟凹和递增，将随机变量映射到[-∞,∞).例如，U（Y）=U-1（E【u（Y）】），其中u:R→ R是一个包含凹函数，对应于经典期望效用的确定性等价物lavon Neumann和Morgenstern【40】和Savage【37】。然而，它可能是一个更一般的con-cave和increasing运算符，由非n线性期望给出，即凹后向的解。一方面，准凹性反映了多样性方面一般偏好排序的潜在凸性，另一方面，单调性是偏好更好结果的结果，例如，参见[3，7]。随机微分方程–由Peng介绍【31】。在此设置中，效用U（F）由值Y给出，即凹向后随机微分方程Y=F的时间0处的解-ZTtg（Y，Z）ds-联合凸Lipschitz生成器g:R×Rd的ZTtZ·dw→ R和W是d维布朗运动。这个函数是凹的，并且是递增的。最近，Drapeau等人[9]引入了凸向后随机微分方程最小超解的概念，即本文中凹向后随机微分方程的最大子解，以扩展具有任意增长的生成器的经典向后随机微分方程的存在域。

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2022-5-31 05:58:01

在这种情况下，效用U（F）由凹向后随机微分方程的值Y（maximalsub解）给出Ys公司≤ 年初至今-Ztsg（Y，Z）du-ZtsZ·dW，0≤ s≤t型≤ TYT=F（1.1）此函数F 7→ U（F）是一个lso凹形且递增，因此是一个效用函数。此外，根据Drapeau等人【10】，它允许双重代表U（F）=infb，cE“DbTMcTF+ZTDbMcg*（b，c）ds#！其中g*是生成元g的凸共轭，Db=exp(-Rbds）是一个贴现系数，Mc：=exp(-Rc·dW-Rc/2ds）是一种概率密度。该效用函数的解释是，它评估了概率不确定性，如货币风险度量，见【16】，以及贴现不确定性，如子现金相加函数，见【12】。假设1≤ n≤ d并将效用U定义为（1.1）最大次分辨率0处的值，我们想要找到一个策略^π*最大化U（F+X^πT）。给出（1.1）对应的最大子解（Y，Z），使得Y=U（F+X^πT），继续变量变化Y：=Y-X^π和'Z：=Z-π，其中π=（^π，0）根据以下正向-反向随机系统得出以下等效公式X^πT=X+Zt^π·θdt+Zt^π·d^W？Ys≤ 年初至今-Ztshg（X^π+’Y，’Z+π）-^π·^θidu-Zts'Z·dW，0≤ s≤ t型≤ 对于风险θ的某个有界市场价格，T’YT=F（1.2）。

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2022-5-31 05:58:05

将对正向部分的终端依赖性转移到生成器，可以说明本文的主要结果，即验证z∈ Rd，我们将使用符号z=（^z，~z），其中^z和~z表示第一个d和最后一个d-z的n个分量，并约定如果n=d，z=（^z，^z）=^z。以及最优策略的表征*根据以下完全耦合的正反向随机微分方程Xt=x+Ztπ（x+Y，Z，V）·θds+Ztπ（x+Y，Z，V）·d？W？Yt=F-ZTthg公司\'Y+X，\'Z+π（X+\'Y，\'Z，^V）-^π（X+’Y，’Z，^V）·^θids-ZTt？Z·dWUt=UT+ZTt^V-V+^V·^θ！ds+ZTtV·dWUT=ZTyg公司X+’Y，’Z+π（X+’Y，’Z，^V）+zgX+’Y，’Z+π（X+’Y，’Z，^V）ds+ZTzgX+’Y，’Z+π（X+’Y，’Z，^V）·d▄W（1.3），其中oW=（^W，▄W）是d维布朗运动，其中^W和▄W表示第一个和最后一个d-n组分，分别为；og是凸生成器；oF是有界终端条件π（y，z，^v）：=（^π（y，z，^v），0）是^zg（y，z+π（y，z，^v））=^v+^θ，最优策略由^π给出*=^π（X+(R)Y，Z，^V）。至于Drapeau et al.（9）、Heyne et al.（19）介绍和研究的反向随机微分方程的最大子解，它们可以理解为反向随机微分方程的扩展，其中等式被放弃，而有利于不等式，从而允许生成器g具有较弱的条件。它允许实现存在，唯一性和比较定理，不需要对生成器进行增长假设，也不需要对正向过程和终端条件进行较弱的可积性条件。为了强调最大子解和倒向随机微分方程解之间的关系，在马尔可夫情形下，最大子解可以被描述为最大粘度子解，请参见[8]。

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2022-5-31 05:58:08

结果还表明，它们特别适合于凸性或对偶性等方面的优化问题，参见【10，20】和一类比反向随机微分方程更适合的生成器。文献讨论连续时间效用优化问题是金融领域的热门话题。Karatzas等人[24]考虑了在完整市场中，消费和终端财富的预期贴现效用的优化问题，他们明确得出了最优消费和财富过程。Cvitani'c等人[6]利用对偶方法，在不完全市场的半鞅模型中，刻画了具有r a n domendowment过程的代理的终端财富的效用最大化问题。Pardoux和Peng【30】在Lipschitz案例和Kobylanski【26】在二次型案例中的开创性论文中介绍了反向随机微分方程，揭示了反向随机微分方程在他汀和解决金融问题中的核心作用，见El Karoui等人【13】。Duffee和Epstein【11】通过倒向随机微分方程定义了递归效用的概念，推广了Chen和Epstein【4】以及Quenez和Lazrak【33】。El Karoui等人【14】根据随机微分方程的前向-后向系统处理了这种情况下的效用优化特征。Hu等人[23]利用鞅论证，通过q值倒向随机微分方程描述了具有封闭约束的不完全金融市场中小交易者的效用最大化。按照这条线，霍斯特等人[22]使用一般效用函数，通过一个完全耦合的前向-后向随机微分方程描述了最优策略。

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2022-5-31 05:58:11

Santacroceand Trivellato[36]考虑了当标的资产价格过程为连续半鞅时，终端随机负债的问题。Bordigoni等人【1】研究了在相对熵给出的概率模型不确定性下效用最大化中出现的随机控制问题，另见Schied【39】，Matoussi等人【29】。倒向随机微分方程可以被视为广义效用算子，即彭[31]提出的所谓g-期望，它与风险度量有关，Gianin[17]，Peng[32]，Gianin[18]。与经典情形一样，co n cave倒向随机微分方程的最大子解也是非线性期望。在这方面，Heyne等人[21]在该框架中考虑效用优化，使用对偶方法提供最优策略的存在性以及梯度的存在性。然而，它们并没有提供这项工作所致力于的最佳解决方案的特征。文献[8，9，19]中极大子解的存在唯一性主要取决于终端条件f的可积性、局部鞅部分的可容许性条件以及生成器的性质——正、下半连续、z上凸、y上单调或（y，z）上联合凸。然而，在目前的情况下，生成器不再是正的，即使是从下面均匀线性边界。因此，我们必须调整受理条件，以满足我们正在研究的优化问题。此后，我们在第2节中给出了在这些新的容许条件下极大子解的存在性和唯一性。

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2022-5-31 05:58:14

在此，我们进一步提出了效用最大化问题的公式和向前向后系统的转换（1.2）。有了这个结果，我们可以在第3节中讨论前向-后向随机微分方程最大子解的优化特征。我们的第一个主要结果，定理3。1，从最优策略的角度，提供了耦合前后向随机微分方程解的验证论证。由此产生的系统摘录了一个指定梯度动态的辅助反向随机微分方程。第二个主要结果是定理3.6，它提供了一个关于前向后耦合随机微分方程解的最优策略的特征。事实证明，为了指定解的梯度，需要一个辅助的倒向随机微分方程。这些结果扩展了Horst et a l[22]关于效用m a x imizationála Savage[37]的es。我们在第4节中通过在给定示例中使用明确的解决方案在金融环境中考虑效用优化来说明结果。这些明确的解决方案可以解决金融市场的不完整性成本等问题。最后，我们讨论了如何将结果应用于考虑递归效用的优化（la Kreps和Porteus[28]）或连续时间的当前情况（la Duffee和Epstein[11]）。附录a.1.1中提供了使用相同技术的极大子解的存在性和唯一性证明。注释lt>0是固定的时间范围，并且(Ohm,F，（Ft）t∈[0，T]，P）是一个过滤概率空间，其中过滤（Ft）由d维布朗运动W生成，并完全满足通常条件。我们进一步假设F=FT。

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2022-5-31 05:58:17

自始至终，我们将这个d维Br-Ownian运动分成两部分W=（^W，^W），其中，W=（W，…，Wn）和^W=（Wn+1，…，Wd），其中1≤n≤ d、我们用P-几乎确定意义下确定的FT-可测量随机变量集表示。随机变量之间的每一个不等式都几乎可以肯定地理解。此外，如引言中所述，为了尽可能减少符号负担，除非必要，否则我们不会将被积函数的索引写在t和ω中。我们进一步更一般地将短写r·用于进程t 7→Rt·。我们说，如果X对于每0是可积的，那么cádlág过程X是可积的≤t型≤ T我们使用符号ox·y=Pxkyk、x=x·x和| x |=√x·x表示Rd中的x和y。oRd+：=nx∈ Rd:xk≥ 0表示所有koand Rd++：=nx∈ Rd：对于所有ko，xk>0。o对于Rd中的x和y，如果y在Rd++，则设xy：=（xy，…，xdyd）和x/y=（x/y，…，xd/yd）对于x∈ Rm，y∈ R和A∈ Rm×nx·A·y：=hx。。。xmi公司一a1n。。。。。。。。。am1。。。amn公司yyn公司o Land L是在p几乎确定意义下确定的可测和p-可积随机变量X的集合，1≤ p≤ ∞.o S是一组cádlág适应过程。oL Rd值可预测p过程集Z，使得rz·dW是局部鞅H Z的局部鞅集rz·dW∈ 五十、 oL中Z的集合，使得kzklp：=E[（RTZdt）p/2]1/p<∞, 1.≤p<∞.o hpz的鞅集rz·dW∈ 有限合伙人bmo L中Z的集合，使得rz·dW是有界平均振荡鞅。也就是说，kZkbmo：=supτE[| RTτZ·dW | Fτ]∞< ∞ 其中τ在所有停车时间内运行。注意，根据[25]，bmopnorms对于1都是等效的≤ p<∞ 式中，kZkbmop：=supτE[| RTτZ·dW | p | Fτ]1/p∞< ∞ 其中τ在所有停车时间内运行。

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2022-5-31 05:58:22

特别是kZkbmo=supτkE[RTτZds | Fτ]1/2k∞.o B MO thoseRZ·W的集合，使得Z在bmo中D一致有界b的集合∈ 五十、 oMc c的随机指数，即Mc=exp(-Rc·dW-Rcdt）。oDb b的随机贴现，即Db=exp(-RBD）。oMbc=DbMc=exp(-R（b+c/2）dt-Rc·dW）。该isRTZdt<∞ P-几乎可以肯定。o对于bmo中的c，我们用Pc表示P的等效度量，密度Dpcdp=exp-ZTc·dW-ZTcdt！其中Wc：=W+Rcdt是布朗运动我们通常使用符号x=（^x，~x）将Rdin中的向量分解为第一个协成分和d-n最后一个。我们对空间L=（^L，~L）使用相同的约定，其中Z=（^Z，~Z）∈ 五十、对于H=（^H，^H），Hp=（^Hp，^Hp），bmo=（^bmo，^bmo）和bmo=（^bmo，^bmo）也是一样的。在n=d的情况下，以下所有带a的内容消失或等效设置为0，带a的内容变为不带。对于凸函数f:Rl→ (-∞,∞], 我们表示f*其凸共轭*（y） =supny·x-f（x）：x∈ Rlo，y∈ Rland表示为x个*f x处f的次梯度*在Rl中，即Rl中y的集合，使得f（x）-f（x*) ≥ y·（x）-x个*) 适用于Rl中的所有x。对于任何y inx个*f，根据经典凸分析，见[34]，得出f（x）≥ y·x-f*（y），每x∈ Rlf（x*) = y·x*-f*（y）。（1.4）如果次梯度是一个单态-如本文所述-它是一个梯度，我们将符号简化为f（x*).2、FBSDEs和效用函数g的最大子解：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ (-∞,∞] 如果G（y，z）对任何（y，z）可逐步测量，则称为生成器∈ 如果（Std）（y，z）7，则R×Rd.A发电机满足条件（Std）→ g（y，z）是下半连续的，凸的，具有非空的内域和梯度（对于每个ω和t）。备注2.1。

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2022-5-31 05:58:25

注意，如果g满足上述假设，作为一个正态被积函数，对于g域中的每一个（y，z）以及每一个t和ω，存在b和c可逐步测量，使得g（y，z）-g（y，z）：=gt（ω，y，z）-gt（ω，y，z）≥bt（ω）（y-y） +ct（ω）·（z）-z）对于每个y和z，请参见Rockafellar和Wets【35，第14章，定理14.46】。这些过程b和c分别是g对y和z的偏导数。为了防止符号过载，我们没有提到对ω和t的依赖，即g（y，z）：=gt（ω，y，z）。请注意，我们可以使用非空的次梯度，通过【35，定理14:56】，我们可以应用可测量选择定理，参见【18，推论1C】，在g的次梯度中选择可测量的梯度，并使用它们。我们进一步表示为byPg：=（（b，c）∈ D×bmo:E“ZTMbcg*（b，c）dtF·#∈ H）。对于L中的任何终端条件F，我们称之为一对（Y，Z），其中Y∈ S和Z∈ 倒向随机微分方程的一个子解Ys公司≤ 年初至今-Ztsg（Y，Z）du-ZtsZ·dW，0≤ s≤t型≤ TYT=F（2.1）过程Y和Z分别称为值过程和控制过程。子解决方案不是唯一的。实际上，（Y，Z）是一个子解，如果只有当K=0时存在一个自适应的cádlágincreasing过程K，使得yt=F-ZTtg（Y，Z）ds-（千吨-Kt）-ZTtZ·dw，由kt=Yt给出-Y-Ztg（Y，Z）ds-ZtZ·dW。（2.2）如引言中所述，最大子解的存在性和唯一性首先取决于F的正部分的可积性、局部鞅部分的可容许性条件以及生成元的性质–正性、下半连续性、z的凸性和（y，z）的单调性或联合凸性。然而，在本文中，我们去除了发电机上的条件，即我们正在寻找的优化问题的积极性。

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2022-5-31 05:58:28

为了保证最大子解的存在性和唯一性，我们需要以下容许条件。定义2.2。（2.1）的子解（Y，Z）称为容许ifRMbc（Z-Y c）·对于Pg中的每个（b，c），dW在hf中。给定一个终端条件F，我们用a（F）：=a（F，g）={（Y，Z）∈S×L：（Y，Z）是（2.1）}（2.3）的容许子解集的容许子解。A子解决方案（Y*,Z*) 在A（F）中，如果Y*t型≥ YT每0≤ t型≤ T，对于A（F）中的每个其他子解（Y，Z）。我们的研究结果涉及（2.1）的最大子解的存在性和唯一性。定理2.3。设g为满足（Std）和终端条件F的生成器，使得E[MbcTF | F·]对于每一个（b，c）i n Pg为h。如果a（F）为非空，则存在唯一的E最大子解（Y*,Z*) 在A（F）中，holdsY*t： =esssup{Yt：（Y，Z）∈ A（F）}，0≤ t型≤ T注意，子解的值过程Y是先验的cádlág，因此可以在时间T向上跳跃。因此，当考虑最大子解时，考虑具有随机禀赋YT的子解≤ [9]中的F等于YT=F，因为后者更大。定理的证明依赖于与[9]中相同的技术，并被推迟到附录中。如引言所述，我们在财务框架中介绍了maximalsub解决方案如何与效用公式问题相关。我们考虑一个金融市场，由一个利率为0的债券和一个根据tod^S^S=^udt+^σ·d^W和^S演变的n维股价^S=（S，…，Sn）组成∈ Rn+，其中d^S/^S：=（dS/S，…，dSn/Sn），^u是Rn值一致有界漂移过程，^σ是n×n波动矩阵过程。

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2022-5-31 05:58:31

为简单起见，我们假设^σ是可逆的，因此风险过程的市场价格^θ：=^σ-1·^u一致有界。给定一个n维交易策略^η，对应的财富过程为初始财富x atis fiesxt=x+Zt^η·d^S^S=x+Zt^η·σ·d^θds+Zt^η·σ·d^W=x+Zt^η·d^W^θ，其中W^θ=W+R^θdt Pθ下的运动，其中θ=（^θ，0）。为了去除波动性因素，我们一般设置^π=^η·^σ，并用X^π表示相应的财富过程。引理2.4。对于L中的每个终端条件F∞在^bmo中，它认为E[MbcT（F+X^πT）| F·]是h其中X^πT=X+Zt^π·^θds+Zt^π·d^W.证明。由于c在bmo中，因此从反向H"older不等式（见[25，定理3.1]）得出，存在p>1，使得E[（McT）p]<∞. 因为F是有界的，r^π·d^W是BMO鞅，所以我们只需要证明r^π·d^θds对于所有q>1都在lqf中。从bmo中的^π可以看出，对于ll q>1，R^πDWI在Hq中。由于^θ是一致有界的，对于任何q>1，它都成立ZT公司^π·^θds！q≤ CE公司ZT |^π| ds！第二季度< ∞对于某些常数C，因此，Doob不等式得出的结果是“sup0≤t型≤TEhMbcT公司F+X^πTFti公司!p#≤聚丙烯-1.pE公司MbcTF+X^πTp< ∞. 因此给出了L中的终端条件F∞, 对于^bmo中的每个^π，根据定理2.3和引理2.4，如果A（F+X^πT）是非空的，则前向-后向随机微分方程存在唯一的最大子解X^πt=X+Zt^π·θds+Zt^π·d^WYs≤ 年初至今-Ztsg（Y，Z）du-ZtsZ·dW，0≤ s≤ t型≤ TYT=F+X^πT（2.4）我们用U（F+X^π）表示该最大子解在时间0处的值，并假设ifA（F+X^π）为空，则U（F）=-∞. 从与[8-10]相同的论证得出，u是一个凹增函数，因此是一个效用算子。备注2.5。

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2022-5-31 05:58:34

众所周知，参见【21，示例2.1】，在一些适当的平滑度条件下，确定性等效U（F）=U-1（E[u（F）]）可以描述为倒向随机微分方程最大子解0处的值Ys公司≤ 年初至今-Zts公司-u′（Y）2u′（Y）！Zdu公司-ZtsZ·dW，0≤ s≤ t型≤ TYT=Fwhere（y，z）7→ g（y，z）=- （u′（y）z）/（2u′（y））是许多经典情形中的正联合凸生成器。例如，对于u（x）=exp(-x），g（y，z）=z/2，对于u（x）=xr和r∈ （0,1）且x>0，则得出g（y，z）=（1-r）（y，z）的z/（2y）∈ （0，∞) ×路。在我们继续描述最优策略之前，让我们先指出一个简单的转换，它是以下部分的基础。对于A（F+X^πT）中的（Y，Z）子解，变量变化Y：=Y-X^π，(R)Z：=Z-π，其中π=（^π，0）导致以下正反向随机微分方程系统Xt=x+Ztπ·θds+Ztπ·d^W？Ys≤“”年初至今-Ztshg（\'Y+X，\'Z+π）-π·θidu-Zts'Z·dW，0≤ s≤ t型≤ T’YT=F（2.5），其中θ=（^θ，0）。在下文中，我们始终使用符号“Y=Y”- X和d？Z=Z- π，其中（Y，Z）是效用问题的子解。3、耦合FBSDE系统的有效表征我们对L中随机禀赋F的效用最大化问题感兴趣∞, 对于效用函数U，在其他术语中，发现^π*in^bmo使得u（F+X^π*T）≥UF+X^πT针对所有交易策略∈^bmo。（3.1）我们称这种策略为^π*问题的最优策略（3.1）。自始至终，我们称任何tradingstrategy^πin^bmo为可接受的策略。我们将本节分为两部分，即验证结果和特征化结果，这是在经典预期效用优化的背景下完成的。3.1。

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2022-5-31 05:58:37

验证我们的第一个主要结果是验证由完全耦合倒向随机微分方程的解给出的最优解的定理。此外，如果g在y中增加，则满足子现金可加性属性，即U（F-m）≥U（F）-m forevery m≥ 0、【12】中介绍和讨论的属性。定理3.1。假设存在η（y，z，^v）：=（^η（y，z，^v），0），这样^zg（y，z+η（y，z，^v））=^v+^θ（3.2）假设随机微分方程的全耦合正反向系统Xt=x+Zt^η（x+Y，Z，V）·θds+Zt^η（x+Y，Z，V）·d^W？Yt=F-ZTtng公司X+’Y，’Z+ηX+’Y，’Z，^V-^η（X+’Y，’Z，^V）·^θods-ZTt？Z·dWUt=UT+ZTt^V-V+^V·^θ！ds+ZTtV·dWUT=ZTyg公司X+’Y，’Z+η（X+’Y，’Z，^V）+zgX+’Y，’Z+η（X+’Y，’Z，^V）ds+ZTzgX+’Y，’Z+η（X+’Y，’Z，^V）·dW（3.3）允许溶液（X*,是的*,\'\'Z*,U、 V）使^π*:=^η（X*+是的*,\'\'Z*,^V）在^bmo；o（Y）*,Z*) := （(R)Y*+ 十、*,\'\'Z*+ π*) 满意度（Z*-Y*c） ·第o（b）页中的每（b，c）个dW在HF中*,c*) 在PGB中，其中b*:= yg（Y*,Z*) 和c*:= zg（Y*,Z*);那么，^π*是问题（3.1）和u（F+X^π）的最优策略*T） =E“Mb*c*TF+X^π*T+ZTMb公司*c*g级*（b）*,c*)dt#=(R)Y*+ x、备注3.2。梯度（3.2）上的条件以及（U，V）中的辅助BSDE保证测量密度为Mb*c*它与线性空间{X^πT:^π}正交∈^bmo中的策略^π产生的财富过程。实际上，（U，V）中的辅助BSDE在度量方面与正交投影相关。在讨论定理的证明之前，让我们先给出以下关于（U，V）中描述最优解梯度的辅助BSDE的引理。引理3.3。让b∈ D和c∈bmo。

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2022-5-31 05:58:41

倒向随机微分方程Ut=Ut+ZTt^V-V+^V·^θ！ds+ZTtV·dWUT=ZTb+c！dt+ZTc·dWadmits a unique solution（U，V），V在bm o中。在这种情况下，如果我们定义了在mo中的c=（V+θ，c），那么mbct=exp-ZT？V+θ！dt+ZTV·dW-ZT^θ·d^W-U（3.4）证明。根据Kobylanski[26]，sinceRTbds是一致有界的，倒向随机微分方程y=ZTbds+ZTt^Z-~Z！ds+ZTtZ·dW（^θ，~c）允许唯一解（Y，Z），其中Y是一致有界的，Z是L（P（^θ，~c））。根据Briand和Elie【2，命题2.1】的观点，它还认为Z在bmo（P（^θ，~c））中，也在bmosice（^θ，~c）中，在bmo中。变量变化U=Y+Rc/2dt+Rc·dW，V=（^Z，Z-c）其中bmo yieldsUt=UT+ZTt^Z+^θ··^Z+℃·Z-Z-c！ds+ZTt^Z·d^W+ZTtZ-c·dW=UT+ZTt^V-V+^V·^θ！ds+ZTtV·DW显示第一个断言。现在定义c=（^V+^θ，^c），它在bmo中，如下所示：-ZTb+c！dt公司-ZTc·dW=-ZTb+~c！dt公司-ZTc·dW-ZT公司^V+^θdt公司-ZT公司^V+^θ·d^W=-U+ZT^V-V+^V·^θ！ds+ZTV·dW-ZT公司^V+^θdt公司-ZT公司^V+^θ·d^W=-ZTVdt-ZT^θdt+ZTV·dW-ZT^θ·d^W-U、以双方的指数计算，收益率（3.4）。有了这个引理，我们就可以解决定理3.1的证明了。证明（定理3.1）。Let^π*:=^η（X*+是的*,\'\'Z*,^V）其中（X*,是的*,\'\'Z*,U、 V）是（3.3）的解决方案。致命的*=是的*+ 十、*, Z*=\'\'Z*+ π*其中π*= （^π）*,0）并采用符号b*= yg（Y*,Z*),c*= zg（Y*,Z*). 自X起*= X^π*, 因此（Y*,Z*) 满意度X^π*= x+Zt^π*·θds+Ztπ*·d^WY公司*s=Y*t型-Ztsg（Y*,Z*)杜邦-ZtsZ公司*·dW，0≤ s≤ t型≤ 泰*T=F+X^π*t根据假设，t现在，^π*位于阿布莫和RMBC（Z*-Y*c） ·对于第页中的每个（b，c），dW在HF中。我们得出（Y*,Z*) 在A（F+X^π）中*T）因此Y*≤ U（F+X^π）*T）。

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2022-5-31 05:58:44

此外，由于（b*,c*) =(yg（Y*,Z*),zg（Y*,Z*)), 根据（1.4），g（Y*,Z*) = b*Y*+ c*· Z*-g级*（b）*,c*).亨西*t=F+X^π*T-ZTt（b*Y*+ c*·Z*-g级*（b）*,c*))ds公司-ZTtZ公司*·数据仓库。bmo空间在bmo测度变化下是不变的，参见[25，定理3.6]。自（b）起*,c*) 在Pgand^π中*在《圣经》中，我们推断*= E“Mb*c*F+X^π*+ZTMb公司*c*g级*（b）*,c*)dt#。至于定理的其余部分，因为（Y*,Z*) 在A（F+X^π）中*T），我们留下来证明，对于^bmo中的任意^π和A（F+X^πT）中的任意（Y，Z），Y*≥ Y、事实上，它将遵循*≥ A（F+X^π）中的每个（Y，Z）的Y*T）因此Y*= U（F+X^π）*T）；oY*≥ Y对于A（F+X^πT）中的每一个（Y，Z）和每一个^πin^bmo，表示Y*≥ U（F+X^πT）前向^πin^bmo。因此，设^π为^bmo。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设A（F+X^πT）是非空的。设（Y，Z）为A（F+X^πT），表示为Y：=Y-Y*, Z：=Z-Z*和^π=^π-^π*. 根据标记2.1，可以得出g（Y，Z）-g（Y*,Z*) ≥b*Y+c*·Z、因此Ys公司≤ 年初至今-Zts[g（Y，Z）-g（Y*,Z*)]杜邦-Zts公司Z·dW≤ 年初至今-Zts[b*Y+c*·Z] 杜邦-Zts公司Z·dW。通过变量ˇY=Mb的变化*c*Y和ˇZ=Mb*c*(Z-Y c公司*), 因此，（Y，Z）满足了≤ 兆字节*c*TX^πT-X^π*T-ZTtˇZ·dW=E“Mb*c*TZT^π·d^W^θ！Ft#sinceRˇZ·dW是一个鞅，是两个鞅的差；（b）*,c*) 在第页，但c*和b*满足引理3.3的条件，可以得出▄V尤其在▄bmo中。因此，W（^θ），-V）：=（^W+R^θdt，^W-RV dt）=（^W^θ，~W-RV dt）是m测度p（θ）下的布朗运动，-V）。自ˇY=Y、对于t=0，根据（3.4），我们有Y=ˇY≤ E“Mb*c*坦桑尼亚先令^π·d^W^θ#=E“exp-ZTVdt-ZTθdt+ZTV·dW-ZT^θ·d^W-UZT公司^π·d^W^θ#=经验(-U） E（^θ），-V）“ZT^π·d^W^θ#=0。因此，Y*≥ 这是证据的结尾。备注3.4。

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2022-5-31 05:58:47

注意，定理的证明特别表明，最优效用的最大子解是（Y*,Z*) 满足“线性”倒向随机微分方程*t=F+X^π*T-ZTt[b*Y*+ c*·Z*-g级*（b）*,c*)]ds公司-ZTtZ公司*·数据仓库。回想一下，^W^θ=^W+R^θdt。自然，系数a*, b*和c*依赖于^π*,十、*,是的*,\'\'Z*, 但实际上梯度是以最优解的值进行评估的。备注3.5。确定性等价U（F）=U的效用优化情况-1（E[u（F）]）或其在倒向随机微分方程背景下的预期效用E[u（F）]的等价公式一直是多篇论文的主题，尤其是[22]和[21]。这些论文中提供的最优解均对应于耦合的前向后随机微分方程组定理（3.1）。实际上，如备注2.5所述，生成器g对应于g（y，z）=-（u′（y）z）/（2u′（y））。

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2022-5-31 05:58:50

在这种情况下，T heorem3.1中的正反向随机微分方程耦合系统对应于Xt=x+Zt^θ·-^′Z-u′（X+’Y）u′（X+’Y）（θ+Ⅴ）！ds+Zt-^′Z-u′（X+’Y）u′（X+’Y）（θ+Ⅴ）·d^W？Yt=F-ZTt公司-u′（X+’Y）2u′（X+’Y）^θ+^V+u′（X+’Y）2u′（X+’Y）～Z！-^θ·-^′Z-u′（X+’Y）u′（X+’Y）（θ+Ⅴ）！！ds公司-ZTt？Z·dWUt=UT+ZTt^V-V+^θ·^V！ds+ZTtV·dWUT=ZTyg公司X+’Y，’Z+η（X+’Y，’Z，^V）+u′（X+’Y）u′（X+’Y）～Z！ds+ZT-u′（X+’Y）u′（X+’Y）～Z·dyg（x+y，z+η（x+y，z，^v））=0，在这种情况下，意味着^v=0，因此yg（x+y，z+η（x+y，z，^v））=-u′′（x+y）u′（x+y）-（u′（x+y））2（u′（x+y））（u′（x+y））（u′（x+y））^θ+~z！=0^zg（x+y，z+η（x+y，z，^v））=^θ在这些条件下，正反向随机微分方程变成Xt=x+Zt^θ·-^′Z-u′（X+’Y）u′（X+’Y）^θ！ds+Zt-^′Z-u′（X+’Y）u′（X+’Y）^θ·d^W？Yt=F-ZTt公司-u′（X+’Y）2u′（X+’Y）θ+u′（X+’Y）2u′（X+’Y）～Z！-^θ·-^′Z-u′（X+’Y）u′（X+’Y）^θ！！ds公司-ZTt？Z·dWUt=UT+ZTt-Vds+ZTt▄V·d▄WUT=ZTu′（X+\'Y）u′（X+\'Y）▄Z！ds+ZT-u′（X+’Y）u′（X+’Y）～Z·dw与[22]中的前向-后向随机微分方程系统一致，注意到（u，V）中的辅助后向随机微分方程通过变换消失。对于具有随机禀赋的指数和无禀赋的幂或对数等经典效用函数，可以通过求解二次倒向随机微分方程来解决优化问题，请参见【23】。他们的方法依赖于那些经典效用函数共享的“变量分离”特性。

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2022-5-31 05:58:53

在指数效用的情况下，如第4节的第一个案例研究所示，在β=0的情况下，我们的前向-后向随机微分方程系统简化为一个简单的后向随机微分方程系统。3.2。特征我们的第二个主要结果是关于前向-后向随机微分方程全耦合系统的最优解的特征定理，如图3.1所示。定理3.6。假设^π*in^bmo是解决问题的最佳策略（3.1）。用（Y）表示*,Z*)^π问题（3.1）对应的极大子解*并表示“Y”*:= Y*-X^π*以及“Z”*:= Z*-^π*. 在假设下o子解决方案（Y*,Z*) 是一种解决方案；o凹函数R m 7→ f（m）：=U（f+Xm^π+π*T）-U（F+X^π）*T），在0 forevery^πin^bmo时可区分（b）*,c*) 在PGB中，其中b*:= yg（Y*,Z*) 和c*:= zg（Y*,Z*);o 逐点隐式解η（y，z，^v）=（^η（y，z，^v），0）到^zg（y，z+η（y，z，^v））=对于每个给定的y，z和^v，^v+^θ是唯一的；那么它认为^π*=^η（X*+是的*,\'\'Z*,^V）Pdt几乎可以肯定，其中（U，V）是唯一的解决方案，V在bmo中为Ut=Ut+ZTt^V-V+^V·^θ！ds+ZTtV·dWUT=ZTb*+（￠c）*)!ds+ZT~c*·dW（3.5）尤其是，定理3.1中的完全耦合正倒向随机微分方程组有一个解（X^π*,是的*,\'\'Z*,U、 V）。证据设^π为^bmo。根据假设，函数f是凹的，在0处允许最大值，在0处可微分。特别地，在0的邻域上，f是实值的。对于suchneighborhood中的m，我们用（Ym，Zm）表示A（F+Xm^π+^π）中的最大子解*T）。自（b）起*,c*)在Pg中，紧随其后的是r（Mb*c*Zm公司-兆字节*c*dW是一个鞅。根据与定理3.1证明中相同的论证，它保持SF（m）=UF+Xm^π+^π*T-UF+X^π*T≤ mE“Mb*c*对于0附近的每m，TZT^π·d^Wθ。

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2022-5-31 05:58:57

特别是E[Mb*c*TRT^π·d^Wθ]位于脂肪0的次梯度中，由于f是凹的，在0处最大，在0处可微分，因此等于0。下面是“Mb”*c*TZT^π·d^Wθ#=0表示所有^π∈^bmo。因为M=E[Mb*c*T | F·]是H中的严格正鞅，根据m a rtingale表示定理，它遵循m=m+ZM^H·d^W+ZMH·dWF，使用与引理3.3中证明相同的论证方法，H在bmo中。因此，它认为mtmθt=M+ZtM^HMθ·d^W+ZtM▄HMθ·d▄W+ZtM^θMθ·d^W+ZtM^θMθdt+ZtM^HMθdt=M+ZtM^H+^θMθ·d^Wθ+ZtMHMθ·dW.Hence0=E“Mb*c*TZT^π·d^Wθ#=EθZTM公司^H+^θMθ·^πdt对于所有^π∈^b表示^H=-^θ，Pdt-几乎可以肯定，因此，t=MexpZH·dW-Z▄Hdt-Z^θdt-Z^θ·d^W！。自Mb起*c*T=MT，我们推断-ZTb公司*+（c）*)!dt公司-ZTc公司*·dW=ln（M）+ZTH·dW-ZTHdt-ZT^θdt-ZT^θ·d^W。定义V=（^c*-^θ，~H）Ut=-ln（米）-Zt（^c*-^θ）-（￠H）+^θ·^c*-^θ!ds公司-Zt公司^c*-^θ·d^W-ZtH·dw表明（U，V）满足辅助倒向随机微分方程（3.5），该方程通过引理3.3允许唯一解。因此^θ+^V=^c*= ^zg（X*+ Y*,Z*+^π*) P几乎可以肯定的是，通过点wize解的唯一性^η（y，z，^v）意味着^π*=^η（X*+Y*,Z*,^V）P几乎可以肯定。备注3.7。最优策略的存在性*使得U（F+X^π*T）≥ U（F+X^πT）对于^bmo中的每一个^π，通常使用函数分析和对偶方法显示，有关预期效用的情况，请参见示例【27，38】。由于对偶表示[10]，BSDE的最大子解给出的现有泛函也足以保证最优策略的存在，如[21]所示。

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2022-5-31 05:59:00

关于最优解^π的方向可微性条件*, 有必要确保用其逐点版本确定最佳解决方案。通常会根据具体情况检查该条件，例如确定等效条件。4、财务应用和示例在下文中，我们将对不同案例研究的理论3.1的特征进行说明。我们给出了在完全和不完全情况下，指数效用最大化的最优策略的显式解，并应用该解说明了在面对不完全市场与完全市场时，不完全性的成本差异。最后，我们讨论了在梯度条件下具有某种特殊性的递归效用优化问题。4.1。插图：完整市场与不完整市场我们将使用的运行示例来自于[10]中的双重表示，其中u（F）=infb∈D、 c类∈bmo（E“MbcTF+ZTMbcg*（b，c）ds#），F∈ L∞根据贴现和概率不确定性的双重表示，我们考虑以下简单示例：*（b、c）=γcif b=β∞ 否则，β是一个正有界的可预测过程；oγ也是一个正的可预测过程，严格以常数为界远离0；请注意，即使我们考虑贴现因子β，也没有关于他的不确定性。这是一个次级现金加性估值的例子，而不是经典的现金加性估值，参见【12】。如果β=0且γ为常数，则我们有一个经典的指数效用优化问题。因此，g（y，z）=βy+z2γ，（y，z）∈ R×Rd（4.1）为了简化完全市场和不完全市场之间的比较，我们假设我们有一个简单的市场，其中d个股票遵循动态ss=udt+σ·dw，其中σ=Id（d×d）是恒等式。

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2022-5-31 05:59:03

换句话说，驱动股票i的随机性是布朗运动i。因此θ=u是一致有界的。在完全情况下，代理人可以投资所有股票，而在不完全情况下，代理人只能投资第一批股票。完整市场：对于等式（4.1）中给出的发电机g，可以得出^η（y，z，v）=γ（v+θ）-z、特别地，z+^η（y+x，z，v）=γ（v+θ）。因此，为了找到优化问题的最佳解决方案，由于yg=D中的β，可以求解以下耦合的正向反向随机微分方程Xt=x+Ztγ（V+θ）-\'\'Z·θds+Ztγ（V+θ）-\'\'Z·dW，(R)Yt=F-ZTt公司β（X+(R)Y）+γ五、-θ+\'Z·θds公司-ZTt？Z·dW，Ut=ZTβds+ZTtV+V·θ！ds+ZTtV·dW，带解决方案X*,是的*,\'\'Z*,U、 V满足oπ*= γ（V+θ）-\'\'Z*在bmo中；o（b）*,c*) 在PGB中，其中b*= β和c*= V+θ；oRMbc人民币\'\'Z*+ π*-十、*+是的*c*·dW位于Pg中所有（b，c）的Hf中。可以很容易地推断，由于β的假设，最后一个倒向随机微分方程允许在bmo中有V的唯一解，参见【23】。为了提供明确的解决方案，我们进一步假设Mθ有界。备注4.1。如果（Y，θ）是以下二次倒向随机微分方程的解Y=H+ZTtθds+ZTtθ·dw，对于某些H∈ L∞. 实际上，在这种情况下，MΘT=exp（H- Y）这是有界的。如果加上h=f（WT），其中f:Rd→ R是有界Lipschitz函数，那么θ是有界的，请参见[5]。相反，由于θ有界，因此在bmo中，如果Mθ有界，（lnMθ，θ）是以下反向随机微分方程lnMθt=lnMθt+ZTtθds+ZTtθ·dW的唯一解。

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2022-5-31 05:59:06

定义文本：=DβTC+ZTDβγ（V+θ）dt+ZTDβγ（V+θ）·dW！-Fand注意到ztdβV+DβθV！dt+ZTDβV·dW=U+ZTβDβUdt-DβTZTβdtZTDβθdt+ZTDβθ·dW=ZTβDβlnMθdt-DβlnMθTit遵循XTis有界，我们选择常数C，使得Eθ[XT]=x。因此，根据鞅表示定理，bmo中存在一个可预测过程，使得XT=x+RTΓ·dWθ。定义十、*:= x+Zθ·Γdt+Z·dW'Y*:=DβC+ZDβγ（V+θ）ds+ZDβγ（V+θ）·dW！-十、*\'\'Z*:= γ（V+θ）-ΓisC=EθD-βTx+Eθ[F]-EθDβTZTDβγ（V+θ）dt+ZTDβγ（V+θ）·dW！.因此（X*,是的*,\'\'Z*,U、 V）是正倒向随机微分方程的解。我们将检查此解决方案是否满足可积性条件。第一，π*= Γisin bmo。第二，b*= β有界，因此b∈D、第三，c*∈ bmo和G*（b）*,c*) =γ（c*)=γ（V+θ）≥ 因此，它认为≤ E“ZTMb*c*g级*（b）*,c*)dt#=E“ZTMc*数据库* γ（c*)dt#=E“ZT-Mc公司*c*·dWZT公司-γDb*c*·dW#=E“Mc公司*T-1.ZT公司-γDb*c*·dW#<+∞.因此（b*,c*) ∈ 最后，为了证明RMBC\'\'Z*+ π*-十、*+是的*c*· 根据R emarkA的说法，对于Pg中的所有（b，c），dW都是HF。1，我们只需要检查每个（b，c）∈ Pg，sup0≤t型≤T | Mbct（X*t+？Y*t） |在L中，它直接遵循与Lemma2.4中类似的技术，注意到X*+是的*=DβC+ZDβγ（V+θ）ds+ZDβγ（V+θ）·dW！。因此，π*= Γ=γ（V+θ）-Z*是优化问题的最优解。备注4.2。在效用优化方面，由于U（F+XπT）=Y*+ x、接下来就是你F+Xπ*T=是的*+ x=C=EθD-βTx+Eθ[F]-EθDβTZTDβγ（V+θ）dt+ZTDβγ（V+θ）·dW！（4.2）备注4.3。如果β与不完全市场中的一样具有确定性，那么我们不必假设Mθ是有界的，我们仍然可以得到一个显式解，我们将给出获得该解的详细方法。

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2022-5-31 05:59:09

不完全市场：仍然使用等式（4.1）中给出的发电机g，但现在在不完全情况下，即n<d且^θ=^u，则^η（y，z，^v）=γ^v+^θ-^z.特别是，^z+^η（y+x，z，v）=γ^v+^θ. 再来一次yg=β，自~zg=~z/γ，为了获得优化问题的最优解，有必要求解以下耦合的前向反向随机微分方程Xt=x+Zt^θ·γ^V+^θ-^′Zds+Ztγ^V+^θ-^′Z·d^W，(R)Yt=F-ZTt公司β（X+(R)Y）+γ^V-^θ+^θ·^′Z+Z2γds公司-ZTt？Z·dW，Ut=Ut+ZTt^V-V+^θ·^V！ds+ZTtV·dW，UT=ZTβ+Z2γ溶液X的ds+ZT Zγ·dW*,是的*,\'\'Z*,U、 V满足^π*= γ^V+^θ-^′Z*在bmo中；o（b）*,c*) ∈PG其中b*= β和c*= （^V+θ，￠Z*/γ）；oRMbc（(R)Z*+ π*-（十）*+是的*)c*) ·dW在HF中表示所有（b、c）∈ Pg.为了提供完整市场中的明确解决方案o我们在此假设β是确定性的；首先，如果我们先验地假设c*=Z*/γ在bmo中，由于β是确定性的，最后一个后向随机微分方程允许V=（0，-c）在bmo中。实际上，下面的二次BSDE\'\'t=\'\'t-ZTt^θ·^∧+∧∧Dβ2γ！ds公司-ZTD∧·dW'T=DβT（F+x）+ZTDβγ^θdt允许在bmo中有∧的唯一解，因为'是有界的，请参见[23]。

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2022-5-31 05:59:12

因此Υt=Υt-Ztγ^θDβ-DβTds公司-ZtγDβ-DβT^θ·d^W^Γt=^∧t-γDβt-DβT^θt▄t=▄∧t表示以下二次BSDEΥt=Υt-ZTt^θ·^Γ+ΓDβ2γ！ds公司-ZTtΓ·dWΥT=DβT（F+x）+ZTDβγ^θdt-ZTγDβ-DβT^θdt-ZTγDβ-DβT^θ·d^wwhithΓin bmo。因此，系统的解决方案是^π*= γ^θ-^′Z*= γ^θ-^ΓDβT▄c=▄Z*γ=-<<V^>>Z*= γ^θ-^π*=^ΓDβT Z*=^1ΓDβ^V=0X*= x+Z^π*·θdt+Zπ*·d^W'Y*=DβΥ+ZDβγ^θds+Z▄Dβ2γds+ZDβγ^θ·D^W+Z▄·D▄！-十、*定理3.1的条件已满足，这一事实与不完全市场的论点相同。备注4.4。再次，在效用优化方面，我们得到F+X^π*T=是的*+ x=DβTx+E^θ“DβTF+ZTDβγ^θdt-ZTΓDβ2γdt#（4.3）不完全性成本——计算明确的投资组合最优策略——允许我们进一步解决效用差异定价等经典金融问题。考虑到一个持续的索赔F，我们正在考虑起始财富x*使得u（F）=UF+x*+ZT^π*·d^W^θ！其中^π*是相应的最优策略。换句话说，x*代表一个人通过进入金融市场而愿意为达到相同效用而支付的差异定价价值。由于我们的函数只是上半连续的，为了区分完全市场和不完全市场，我们需要如下处理。x个*= inf（x∈ R：supπ∈bmoUF+x+ZTπ·dWθ！>U（F））=inf（x∈ R:UF+x+ZTπ·dWθ！>某些π的U（F）∈ bmo）y*= inf公司y∈ R：sup^π∈^bmoUF+y+ZT^π·d^Wθ！>U（F）= inf（y∈ R:UF+y+ZT^π·d^Wθ！>U（F）对于某些^π∈^bmo），分别表示在完全和不完全情况下，不同于F的财富效用差异量。直觉上，在不完全情况下，达到同一水平所需的财富量更高，即x*≤ y*.

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2022-5-31 05:59:15

事实确实如此，因为^bmo是bmo的子集。在前一个例子中，明确的解决方案就在眼前，我们有以下明确的进入金融市场的限制成本。实际上，在β是确定性的情况下，根据等式4.2和4.3，我们得到了uF+x*+ZTπ*·dWθ！=DβTx*+ Eθ“DβTF+ZTDβγθdt#。另一方面，根据（4.3），它保持suf+y*+ZT^π*·d^W^θ！=DβTy*+ E^θ“DβTF+ZTDβγ^θdt-ZTΓDβ2γdt#。我们推断x个*=U（F）DβT-DβTEθ“DβTF+ZTDβγθdt#y*=U（F）DβT-DβTE^θ“DβTF+ZTDβγθdt+DβTE^θ”ZTΓDβ2γdt 4.2。不确定性的跨时间分辨率我们用一个在梯度特征方面具有一些有趣特殊性的经典效用函数来总结。为了解决不确定性的跨时间解决方案，Kreps和Porteus【28】引入了一类新的跨时间效用，将即时消费与后来的消费和随机支付进行加权。爱泼斯坦（Epstein）和津恩（Zin）[15]在离散情况下对这一想法进行了扩展，随后杜夫（Du of e）和爱泼斯坦（Epstein）[11]在连续情况下对倒向随机微分方程进行了扩展。给定累积消耗流c、正增长函数和右连续函数，递归效用的时间内生成器的一个常用示例为f（c，y）=βρcρ-（αy）ρ/α（αy）ρ/α-其中ρ，α∈ （0,1）和β≥ 我们参考[11]了解此生成器的解释、属性和推导以及相应的常数。请注意，如果ρ，则此生成器在y方向为凹面≤ α≤ 1、假设我们会遵守。在经典情况下，发电机在倒向随机微分方程中用一个正号表示效用。

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2022-5-31 05:59:18

在我们的背景下，成本为0<ρ≤ α≤ 1和β≥ 0我们定义（y）=βρ（αy）ρ/α-cρ（αy）ρ/α-1=βαρy-γy1-ρ/α如果y≥ 0∞ 换句话说，这是y中的c凸函数，其中γ=cρ/αρ/α。就成本而言，考虑到确定性权利持续增长的消费流c，代理人的权重基本上是今天消费的机会，用一个参数ρ加权，该参数的最大确定性相当于明天消费的功率ρ/α，相对于明天等待和不消费的确定性等价的成本。具有终端支付F的执行效用U（F）作为Ys公司≤ 年初至今-Ztsg（Y）ds-ZtsZ·dWYT=在这种情况下，给定随机报酬F、起始财富x和消费流c，代理根据其消费选择c在投资策略π方面优化其递归效用U（F+xπT）。为了简单起见，我们考虑复杂市场的简单情况。递归实用程序的特殊性在于生成器通常不依赖于z。因此，条件zg=0=v+θ根据辅助反向随机微分方程强制条件ut=ZTyg（X+(R)Y）ds-ZTtθds-ZTtθ·dW。自从yg（X+(R)Y）=βαρ1.-γ1.-ρα（X+Y）-ρ/α我们可以假设X+(R)Y=Φ，其中t 7→ Φ（t）是一个确定性函数。然后得出'Yt=F-ZTtβαρΦ-γΦ1-ρ/α-π*·θ！ds公司-ZTt'Z·dw表示f='Y+ZTβαρΦ-γΦ1-ρ/α-π*·θ！dt+ZT'Z·dW。背景π*= -\'\'ZX*= x+Zπ*·θdt+Zπ*·dW年*=\'Y+ZβαρΦ-γΦ1-ρ/α-π*·θ！dt+Z'Z·dW'Z*=从X+，Y=Φ，我们推断，如果Φ是普通微分方程的解Φ′=βαρΦ-γΦ1-ρ/α当系统有最优解时，Φ（T）=Eθ[F]+x。A、极大imal子解的存在唯一性证明（定理2.3）。

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