利用布朗运动估计交易对手风险敞口

2022-5-31 08:26:57

利用布朗运动当地时间估计交易对手风险敞口Michele BONOLLO*1、Luca DI PERSIO+2、Luca MAMMI3和ImmacolataOLIVA§4IMT Lucca、Iason Ltd和Numerix LLCDept。维罗纳大学信贷集团计算机科学系。维罗纳大学经济学系，2017年4月12日摘要近年来，交易对手信用风险度量，即场外（OTC）衍生品合同中的违约风险，受到了银行监管机构的高度关注，特别是在巴塞尔协议II和巴塞尔协议III的框架内。更明确地说，为了获得相关的风险图，首先必须计算与给定时间t的市场标记（MtM）位置相关的中间输出函数∈ [0，T]，T是一个正的、有限的时间范围。后者意味着需要大量的计算工作，需要执行相关的高时间消耗程序，从而产生巨大的成本。为了克服这个问题，我们提出了一种巧妙地利用布朗运动所花费的（局部）时间接近给定值的特性的方法。关键词：交易对手信用风险、违约风险敞口、当地时间Br ownian motion、场外衍生品、巴塞尔金融框架1简介几年来，由于2007年至2008年期间发生了导致金融危机的事件，监管机构已迫使金融机构采用特别程序来预测违约，从而预防违约。换句话说，银行必须能够衡量和管理其违约风险。就信用风险和交易对手风险而言，2006年，巴塞尔银行监管委员会在著名的新巴塞尔协议改革中加入了两种计算银行资本要求的其他一般方法，即：标准化方法和内部方法。

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2022-5-31 08:27:01

前者基于使用外部信用评级机构的评级，后者设想评估某些风险参数，如违约风险敞口（EAD），[4]。一个有趣的观点是所谓的交易对手信用风险（CCR），它代表与场外（OTC）衍生品合约相关的违约风险。后一种情况*米歇尔。bonollo@imtlucca.it，则，mbonollo@numerix.com+卢卡。dipersio@univr.it卢卡。mammi@unicredit.eu§immacolata。oliva@univr.itimplies作为中间输出，计算与未来时间范围内，在给定时间t的头寸市值（MtM）相关的大量不同泛函∈ [0，T]，其中T<+∞ 是时间范围。评估此类暴露的标准技术基于经典蒙特卡罗方法，其特点是强烈依赖于所考虑资产的数量和相关的高计算时间成本，参见，例如，【38】。也给出了其他方法，例如，从几何角度考虑，见[45]，或一般范围的随机过程，如[21]，或一些最优投资控制问题，如[17]，即使作为一般基准，蒙特卡罗方法集是最广泛使用的。然而，如前所述，蒙特卡罗技术在计算上并不令人满意，即使是在简单的情况下。

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2022-5-31 08:27:05

例如，一家中型银行需要D=O（10）个主动交易和U=O（10）个风险因素，在K=20个时间步中使用N=2000个模拟进行评估，这就为风险因素模拟提供了K·N·U=4·10个网格点，为交易评估提供了K·N·D=4·10个任务。为了克服后一个缺点，文献最近提出了新技术，例如矢量量化[8、12、13、14]，或更多增强的硬件技术，例如在网格计算和图形处理单元（GPU）能力的情况下，参见，例如[16]、[41]和其中的参考文献。在美式期权定价的背景下，最近研究的其他方法有基于马丁格尔的拉罗杰斯方法（见[34]）和简单最小二乘法（见[1]、[26]），以了解更多详细信息。利用所谓的多项式混沌展开方法可以实现不同的解决方案，例如参见[6]、[20]和其中的参考文献。另一种可能性在于利用适当的数学模型的性质，例如在布朗当地时间下的衍生品定价案例。给定概率空间(Ohm, F、 P），我们考虑标准布朗运动{Wt}t≥0对其进行定义。那么，对于ω∈ Ohm a级，一个有趣的点是确定样本路径Wt（ω）接近a所花费的时间。一个可能的答案可以追溯到保罗·莱维（PaulLévy）1948年的著作，作者在其中引入了布朗当地时间的概念，参见[37]。正确的方法是从现在起将布朗当地时间BLT定义为以下密度：Lt（a）：=2lim-→0u{x：| x- a |≤ （1）其中u表示实线上的Lebes-gue度量。备注1。值得一提的是，这里的t并没有列出定义BLT的标准符号，因为一些作者更喜欢将公式中的限值相乘。

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2022-5-31 08:27:08

（1） by4，而不是by2，参见，例如，[32]。更正式地说，当地时间可以通过所谓的占用公式来定义，参见【32】，即通过以下等式ztf（Ws）ds=2ZRf（x）Lt（x）dx，（2）其中左侧是一个随机度量，称为占用度量或逗留度量，在时间t和级别x∈ R、当f是l函数时，f:R→ R、有关BLT属性的更详细讨论，请参阅第3.2节。关于当地时间的具体属性，例如，其分布函数和相关密度函数和矩的识别，我们参考了[23]、[32]、[46]以及其中的参考文献。另一方面，值得一提的是，对于BLT的理论应用，存在着广泛的文献，例如将It^os公式扩展到凸函数，定义布朗运动的占位测度相对于Lebesgue测度的密度，参见例[8]等，关于LT的具体应用及其特性的文献相对有限。后者很容易在与经济和金融相关的框架中得到承认。然而，BLT的理论方面可以有效地用于分析广泛的金融工具，尤其是对一些依赖于外部路径的期权的定价，例如范围应计期权和累加器的定价，其中支付效果取决于基础在低于或高于给定水平时所花费的时间。在两个边界之间。除此之外，参见例如[39]。此外，风险管理领域几乎没有使用BLT。

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2022-5-31 08:27:11

目前的工作旨在填补后一个空白，表明BLT密度函数的数值积分可用于评估风险敞口，从而获得与经典蒙特卡罗基准算法相比非常引人注目的结果。本文的组织结构如下：第2节我们介绍了财务框架，重点是监管观点，并重点介绍了EAD和信用价值调整（CVA）的计算说明，然后在第3节中，还介绍了数学设置，以调用BLT的主要属性，而在第4节中，我们为上述类型的财务问题提供了当地时间方法，并与EAD应用中的更多标准技术相比，分析了其性能；最后，在第5节中，我们陈述了主要结论，并概述了未来的研究方向。2交易对手风险：财务框架2.1巴塞尔协议中的信用交易对手风险接近巴塞尔协议II框架，交易对手信用风险，即从现在起的CCR，是更广泛信用风险类别的一个特定类别。让我们回顾一下巴塞尔委员会（简称BCBS）的定义，如【4】：定义2.1所述。交易对手信用风险（CCR）是指交易对手可能在交易现金流最终结算前违约的风险。如果与交易对手的交易或交易组合在违约时具有正经济价值，则会发生经济损失。与企业通过贷款面临的信贷风险不同，CCR产生了双边损失风险：交易的市场价值不确定，对任何一方都可能是正的或负的，并且随着基础市场因素的变化而变化。IRS的givenby就是一个典型的例子。

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2022-5-31 08:27:14

监管范围内考虑了几类金融交易，但大多数CCR来自场外（OTC）衍生品，与可违约交易对手建立对等关系。从实际角度来看，任何期权的买方或具有正MtM的衍生工具的持有人都面临CCR。如果两个交易对手就交易达成一致意见，例如在他们的交易中有一个持续的补偿过程，那么当前的风险敞口将由所有交易代数和的正部分给出。与整个巴塞尔协议一样，必须通过设定银行的监管资本金额来处理风险，该金额与称为资本要求的风险度量相关联，le t us用K表示，并在[5]中规定，如下K=EAD·1.06·LGD（Φ“1.- ρ0.5Φ-1（P D）+ρ1- ρ0.5Φ-1（0.999）#- P D）·c，（3）其中：oEAD是违约风险敞口，即对银行在违约情况下可能向交易对手暴露的程度的估计；oLGD是违约损失，即对破产情况下不可收回信贷百分比的估计；oP D是违约概率，即对违约发生可能性的估计；oρ是资产收益相关系数；oc是一个常数，它考虑了一些到期调整，并且可以根据不同的监管组合而变化，例如电子企业或零售贷款；o1.06系数取决于巴塞尔委员会的校准程序；oΦ是标准高斯随机变量的累积分布函数；oΦ-1只是Φ的倒数，一个称为分位数函数的lso。正如BCBS定义中所强调的，请参见Def。（2.1），EAD估计使交易对手风险与贷款和抵押贷款的正常信用风险非常不同。

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2022-5-31 08:27:17

事实上，基本公式（3）需要一个1年的计量过程，违约时间τ可以是，也可以不是，在未来的任何时间t。对于抵押贷款，我们知道未来债务，因为它可以使用摊销计划计算。不同的是，在CCR中，EAD的估计相当困难，因为有两个不同的原因：未来的世博会肯定是随机的，而且，它通过其特定的演进定价模型取决于市场参数。换句话说，CCR既取决于信贷参数（P D，LGD），也取决于市场影响的EAD参数的大小，这就是为什么它也被称为边界风险。综上所述，必须根据公式（3）确定信用风险的CCR，但其首输入估计本身是一个严峻的挑战，巴塞尔委员会和金融运营商最为关注。2.2巴塞尔协议II-III设置中的风险敞口和CVA计算为了以稳健和保守的方式计算CCR背景下的EAD数量，巴塞尔协议II框架[4]定义了两种重要的不同方法：标准模型和内部模型，也称为基于EPE的方法。在标准模型中，我们有EAD=M tM+附加项，其中附加项是利用一个表计算的，该表取决于基础资产类别和到期时间。在这种情况下，我们的想法是，这样一个附加项考虑到了加法系数的未来波动性。例如，对于到期日为M年的股票期权，1≤ M≤ 5，我们得到的附加值是名义金额的8%，而对于利率衍生品，它只有0.5%。

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2022-5-31 08:27:21

在本工作所涉及的基于EPE的方法中，必须指出一些符号给定衍生工具到期时间0<T<+∞, 我们考虑K∈ N+时间步长0<t<t<···<tK，构成所谓的桶数组，用BT，K表示，其中通常，但不是强制性的，tK=t。o对于每个tK∈ BT，K，我们用MtM（tk，Sk）表示：=M tM（tk，Stk）时间段tk衍生工具的公允价值，标记为市场，相对于时间tk考虑的基础价值对于每个tk∈ BT，K，我们用MtM表示tk，Sk:= MtM（tk，Stk）在时间段tk，相对于整个样本路径Sk：={St:0）衍生工具的公允价值（市值）≤ t型≤ tk}，且初始时间t=0考虑到之前的定义，我们用Д=Д（T）表示-tk，Sk，Θ）给定导数的pricingfunction，其中Θ表示该apricing function可能依赖的一组参数，例如自由风险率r或波动率σ。我们对主要金额进行了说明，因为这些金额在Bas el III[4]中有定义，稍后将用于估算EAD。我们表示在时间tk时衍生工具的预期风险敞口∈ BT，K（EEk），如下所示SEEK：=NNXn=1MtM（tk，Sk，n）+，n∈ N+，（4）是在k-时间段tk，关于基础S。备注2.2。如果我们管理对称衍生工具，如利率掉期或衍生工具组合，则正部分运算符有效。然而，如果我们考虑单一期权，这是多余的，因为从业务方面来看，期权的公允价值总是正的。

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2022-5-31 08:27:24

我们想强调的是，卖方并不意味着交易对手风险，因此这是断章取义的。我们评估预期阳性暴露（EPE）如下：E=TKXk=1EEk·k、（5）其中k=tk- tk公司-1指示k-THL级别上两个连续时间段之间的时间空间。如果时间段的间隔相等，则公式将减少到EP E=KPKk=1EEk。因此，EPE值给出了EEE的时间平均值，并反映了一个假设，即作为第一个近似值，默认值可能在任何时间以相同的概率发生。我们确定了受影响的预期风险a如下：=EE；和EEEk：=最大值{EEk，EEEk-1} ，k=1，K，观察到，由于其非递减特性，EEEK考虑到这样一个事实，即一旦时间衰减效应降低MtM以及交易对手风险敞口，英国银行将推出一些新交易。我们还通过EEP E定义了受影响的预期正位置（EEPE）：=TKXk=1eek·k、备注2.3。为了避免太多不必要的监管细节，我们将研究EEkandEPE，其他数量只是对它们的算术修正。在接下来的内容中，我们将连续改写之前定义的数量，并添加指数a以表示调整后的定义。此外，我们还考虑了底层St的动力学：={St}t∈[0，T]，T∈ R+是某个到期日，作为一个It^o过程，定义在某个过滤概率空间上Ohm, F、英尺∈[0，T]，P.

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2022-5-31 08:27:27

例如，Sti是定义几何布朗运动的随机微分方程的解，Ft∈[0，T]是由标准布朗运动Wt=（Wt）T生成的自然过滤∈[0，T]和关于完全概率空间(Ohm, F、 P），其中P通常被称为所谓的真实世界概率测度，或期权定价鞅方法下的等价ntrisk中性测度，参见，例如，[32]。调整后的预期暴露EEAi由EEAk给出：=EPhMtM（tk，Sk）+i=ZД（T- tk、Sk、Θ）dP~=NNXn=1MtM（tk，Sk，n）+=[EEAk.（6）同样，我们将调整后的预期正暴露EP EAas定义为以下EP EA：=zeeadt=Z ZИ（t，Sk，Θ）dPdt。（7）对于后一种表述，巴塞尔定义只是可用于估计衍生工具未来预期公允价值的众多方法之一。备注2.4。我们跳过了关于在EEk计算中选择最合适的概率度量的任何评论，后者超出了本文的目的。对于风险中性概率所起作用的详细讨论。根据历史真实世界概率，参见例[10]。备注2.5。让我们强调一下，EPE定义中缺少通常表示为贴现因子或数字的组成部分，后者是风险监管中使用的保守方法的副产品。除了EAD（被理解为CCR措施）外，还可以规定信用价值调整（CVA）。根据巴塞尔准则[5]，CVA表示与交易对手信用状况恶化相关的潜在MTM损失的资本费用。此外，通过引入CVA，衍生品支付的表达式提供了一个新术语，与违约情况下出现的证券价值相关。

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2022-5-31 08:27:30

特别是r，我们有f=φ（mT，c）·{τ>T}+RRφ（mT，c）·{τ≤T}其中τ是交易对手违约时间，φ（mT，c）是成熟度T时的最终支付，其中mT，resp。c、代表[0，T]中的市场参数路径，分别为。对于cla使用的合同，支付取决于该合同，而RR：=1-LGD是所谓的回收率，即违约债务工具的本金和应计利息可以回收的程度，以工具面值的百分比表示。因此，CVA指标对MtM值进行平均减少，并涉及另一种形式的风险，即CVA风险，表征未来CVA演变的不确定性。备注2.6。让我们注意到，一家主要的信用评级机构穆迪（Moody\'s）使用违约日后大约30天观察到的市场买价来估计违约债务回收率。回收率是以价格与面值的比率来衡量的，详情参见【40】。2.3计算挑战一个有趣且具有挑战性的问题在于EPE和CVA的具体实现。由于EPE（EAD）的波动性，必须经常监控交易对手风险，因此，内部模型验证的标准要求是每天进行一次。为了了解这种程序的计算效果的大小，让我们考虑一下，在一个旨在满足监管机构指示的中型银行集团中，我们可以在书中观察到D=10000宗交易，N=2000宗模拟，K=20个时间步。如果我们用P T表示每次C C R运行的定价任务数，我们很容易得到P T=D·N·K=4·10。（8）后一个例子很容易说明所需的计算效果有多大，即使是因为很大一部分定价算法仍然由特定的蒙特卡罗技术表示。

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2022-5-31 08:27:33

因此，尽管定价软件和CPU功能足以满足前端用途，但它们对于CCR评估施工而言并不令人满意。考虑到存储要求，我们定义了新的参数α，即必须存储的执行案例数量，以允许输出结果的可追溯性和可审计性。如果我们使用1年内存支持月末备份，我们可以将α=13。当然，存储是在不同的记录类型上运行的，例如交易信息、支付信息、模拟信息等。为了简单起见，我们可以将存储视为一种独特的大型记录类型，让我们用RT表示，它考虑了所有相关信息，因此得到RT=D·N·K·α=5.2·10。（9）由于每条记录很容易需要1000字节，因此我们将存储空间提高到5.2 TB。换言之，CCR计算涉及与信贷和市场风险领域相关的计算难题。特别是，高频率的监测意味着高效、稳健的CCR计算的大量具体实际实施。为了应对以前的挑战，利用与所谓的大数据分析相关的技术以及使用图形处理单元（GPU）取得了重要的成果，参见【16】、【41】中提供的数值研究。尽管如此，CCR评估所带来的计算挑战的解决方案既不完全，也不满足于上述软件改进。这就是为什么人们越来越广泛地关注寻找有效的理论技术和相关的应用算法过程。备注2.7。

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2022-5-31 08:27:36

我们想强调的是，虽然巴塞尔委员会通常定义了框架和原则，但它没有规定必须应用的强制性模型或数字技术。因此，从下一节开始，我们提出了一种新方法，通过利用BLT方法，在广泛的CCR环境中执行电子计算。3数学设置3.1 Black-Scholes市场模型在下文中，我们将参考著名的Black-Scholes分化过程，参见[7]，作为我们提案验证的理论基准。让我们考虑一个金融市场，由一个无风险证券B和一个风险资产S组成，该证券B的回报率为常数r，风险资产S通过几何布朗运动定义，即（dBt=rBtdtdSt=Studt+StσdWt，（10），其中u∈ R、 σ>0和{Wt}t≥0表示标准布朗运动。方程（10）中代表几何布朗运动的SDE承认以下唯一解T=Sexpu-σt+σWt, （11）它描述了衍生工具基础的动态，即金融工具的动态，该金融工具给其所有者在到期日T时评估的最终支付φ=φ（mT，c）。举个例子，在考虑欧洲看涨期权的简单案例中，我们有φ：=（ST- K） +，，其中K级指期权的执行价格，因为当且仅当ST>K时，它提供了正收益。让我们回顾一下，参数r和σ分别表示无风险利率和基础的波动性。无风险利率在评估过程中起着关键作用，即从现在起，在时间0确定公允价值FV。

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2022-5-31 08:27:39

换言之，通过应用It^o-D"oblin引理，可以表明，在公允价值评估中，实际漂移u（u>r）和未知的市场风险规避或效用函数都不存在，而公允价值可以简单地计算为贴现预期收益，其中，风险中性点漂移r可以直接替换公式（11）中的预期漂移u，请参见e。g、，[31]了解更多详细信息。在bas-ic Black-Scholes简化模型中，无风险利率r是确定的且随时间变化是恒定的，拉特原理导致了一般的估值策略，由f Vt=e[e-r（T-t） φ（mT，ct）]。Black-Scholes模型受到了一些扩展和批评，例如：由于金融市场的自然创新过程，支付代数的复杂性。他们允许通过发布新的吸引人的产品来掩盖有效的要求或获得新的利益。一般来说，我们可以有几个条款，例如，捆绑不同的罢工、障碍、记忆效应、occ upation time子句等，或者φ对整个样本的依赖性，就像处理所谓的亚洲回顾选项时发生的那样；基础资产的新模型，源于资产类别之间的不同动态，例如，考虑利率与股票相对美国外汇，或者源于需要更好地校准经验数据，例如，波动率表面与波动率。作为基础利率的基准模型，Vasiceck模型（见[47]）和Hull-White模型（见[30]）通常会取代Black-Scholes模型；风险源数量的增加，例如，通过考虑波动性的随机行为，正如赫斯顿模型中所发生的那样，参见【29】。要全面审查模型，请分别。有关定价公式，请参见【31】，分别。

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2022-5-31 08:27:43

[28]。然而，让我们回顾一下，如果处理整个金融工具投资组合，独立于其特征，则按市值计价的动态可以通过对数正态过程得到充分满足，因为几个单一头寸回报之间存在补偿或聚集效应。这是资产管理部门的一种常见做法，通常被称为正常的投资组合方法，例如参见[44]。此外，在风险管理方法中，对数正态Black-Scholes模型是Quiesatisfactory，如[26]中所指出的，其中提出了一种特定类型的增量风险费用（IRC）模型。我们记得，在现实世界中，一个人购买或出售一种衍生产品是为了获得一种赠品，或者说是名义上的，也就是说，他持有一种头寸。因此，在下文中，我们通常会将公允价值替换为相关的市值计价（MtM），从而替换为带有数量和符号的公允价值。3.2当地时间和职业时间≥0是概率空间上定义的标准布朗运动(Ohm, F、 P）。布朗运动的局域时间Wt，或等效的布朗局域时间（BLT），由P.Lévy在[37]中首次介绍，可以看作是一个随机过程，表明布朗运动过程花费的时间接近给定的水平a∈ R、为了量化这种随机时间，作者在[37]中引入了以下随机域lt（a）=2εlimε→0u{0≤ s≤ t、：| Ws- a |≤ ε} ，其中t∈ [0，T]，a∈ R和u是Lebesgue度量。Lt（a）被定义为计量资产负债表，莱维证明了其存在、完整性和连续性，见【37】。更严格地说，让我们重新定义以下有用的定义3.1。

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2022-5-31 08:27:46

随机场{Lt（x，ω）：（t，x）∈ [0，T]×R，ω∈ Ohm} 称为布朗本地时间，如果随机变量Lt（x）是F-可测的，则函数（t，x）7-→ Lt（x，ω）结果为连续且Γt（B，ω）：=ZtB（Ws）ds=ZBLt（x，ω）dx，（12）带0≤ t型≤ ∞ 和B∈ B（R）。让我们还回顾一下，（12）左侧的量被称为时间t之前布朗运动的占据时间。建立BLTexistence的一个关键理论点。Trotter存在定理确保了这一点，详情参见[32，Thm 6.1.1，Ch.3]。布朗局部时间满足几个有用的性质。为了方便起见，我们只报告了我们将用于计算目的的内容，同时我们请感兴趣的读者参阅[32，第3.6节]，以便更全面地处理该主题，以及证明我们将在下面利用的结果。提案3.2。对于每个Borel可测函数f:R→ [0，T]，我们有ztf（Ws（ω））ds=ZRf（x）Lt（x，ω）dx，0≤ t型≤ T（13）作为支柱的结果。（3.2），我们有ztr（Ws）ds=ZRLt（x，ω）dx=t。（14）以下建议在文献中称为Tanaka Meyer分解，更多详情参见【32】。提案3.3。假设BLT存在，让a∈ R、是一个给定的数字。然后，进程{Lt（a）}0≤t型≤这是一个满足lt（a）=（Wt）的非负、连续、加性函数- （a）+- （z）- （a）+-Zt（a+∞)（Ws）dWs，（15）对于0≤ t型≤ T和每个z∈ R、备注3.4。值得一提的是，道具中给出的表述。3.3，可以推广到半鞅。布朗运动在任何集合a上花费一个随机时间，因此必须能够导出其密度，即BLT在一段时间内接近给定水平a的概率。这种密度由g（y；t，a）=rπte给出-（y+| a |）2t，（16）见[9，等式1.3.4，p。

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2022-5-31 08:27:49

15.5]。4 CCR4.1本地时间提案布朗本地时间金融的应用：累加器Orderivative在下文中，我们将注意力集中在一种特殊类型的衍生品上，即累加器，它是一种依赖于路径的前向增强，没有保证最坏情况。更准确地说，累加器的特点是双方商定的合同，其中规定投资者在特定观察日t，…，以固定的执行价格K购买/出售预定数量的股票，tn，tn≤ T、合同到期。通常，累加器与一个基础利率挂钩，该基础利率为n汇率，但在广泛的利率衍生品框架中，我们有类似的支付，但名称不同，范围应计。FTSEIncome累加器就是一个例子，通过ISIN代码XS1000869211识别FTSE 100指数，计划开始日期为2014年2月14日，计划结束日期为2020年8月14日，到期日期为2020年8月28日。该计划预计每三个月支付一次，支付水平取决于富时10指数在本季度的表现。最高收入为每年6.75%，如果在每周观察日基础指数在5000到8000点之间收盘，则支付。否则，收入将根据超出范围的时间按比例减少。尽管这类衍生产品显示出一些好处，例如汇率的显著改善、产品成本的缺乏以及一些定制功能的存在，但另一方面也存在一些缺点。

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2022-5-31 08:27:52

后者让累加器衍生产品赢得了“我以后会杀了你”产品的绰号。为了允许灵活性和降低对冲成本，累加器合同可能包括一个或两个淘汰壁垒，以限制投资者的最大利润和/或最大损失。基本上，如果在第i个观察日结束时，基础的收盘价SIO达到了H壁垒，对于所有i=1，n、然后选项停止。我们区分累加器单侧淘汰、累加器单侧淘汰、累加器范围淘汰、累加器范围淘汰，这取决于投资者是否以相同的执行价格购买（分别出售）单侧或范围淘汰认购（分别出售）和出售（分别购买）单侧或范围淘汰认购（分别出售），筛选日期和到期日期。因此，观察日ti，i=1，…，累加器导数的支付，n、由PI给出=0，如果最大值为0≤τ≤tiSτ≥ 总部（Sti- K），如果最大值为0≤τ≤tiSτ<H，Sτ≥ KgQ（Sti- K），如果最大值为0≤τ≤tiSτ<H，Sτ<K，（17），其中Q是购买数量，g是杠杆比率，两者均由合同确定，详情参见，例如，[33]。出于我们的目的，我们将Q=1，g=2，因此意味着公允价值f V由f Vi=NXj=1给出Ctj公司- Ptj公司· e-r（T-ti）（18），其中Ctj：=C（S，K，T-tj，σ，H），分别为。Ptj：=P（S，K，T-tj，σ，H），代表aknock out看涨期权的公平价格，即淘汰出售期权的价格。我们记得，通过假设基础价格根据Black-Scholes模型演变，买入价格和卖出价格出现在等式中。

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2022-5-31 08:27:55

（18）有一个封闭的形式，参见，例如，[3 3]。4.2 EE评估建议在下文中，我们展示了如何将loc al time用作评估累加器衍生品的缔约方信用风险（CCR）的便捷工具。在等式描述的设置中。（10） -（11），对于任何给定集，仍然可以确定几何布朗运动在任何点a附近保持多长时间。换言之，我们可以获得关于几何布朗运动的局部时间密度，有关更多详细信息，请参见，例如，[9]。特别是，我们有p（L（t，a）∈ dy）=f（y；t，a，σ，ν，S）=rπtσa像νe-νσt-（σay+| log（a/S）|）2σt+|ν|σa像ν“e-|ν|（σay+| log（a/S）|）Erf cσay+| log（a/S）|σ√2吨- |ν|σrt！-e |ν|（σay+| log（a/S）|）Erf cσay+| log（a/S）|σ√2t+|ν|σrt！#，（19）式中，t表示对当地时间进行估值的时间，a是基础，σ是波动率参数，ν：=-+rσ，r是无风险利率，S代表现货价格，andErf c（z）是互补误差函数，命名为erf c（z）=1- Erf（z），Erf（z）=√πZze-xdx。为方便起见，从现在起，我们将不考虑是否存在敲出障碍物。回顾等式中所述的支付和公允价值的表述。（17）和（18），假设频率较高，我们得到p（LT）=NXj=1[（Stj- K）+- 2（K- Stj）+]≈ZT[（St- K）+- 2（K- St）+]dt=ZRL（T，x）[（x- K）+- 2（K- x） +]dx，（20），其中式（20）中的最后一个等式遵循式（13），而L（t，x）是BLT直到到期时间t。因此，我们能够评估每个观察日的相应公允价值ti，i=1。

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2022-5-31 08:27:58

，n，F V（LT）ti=e-r（T-ti）EZRL（T，x）[（x- K）+- 2（K- x） +]dx= e-r（T-ti）ZRE[L（T，x）]（十）- K）+- 2（K- x）+dx=e-r（T-ti）ZRZ∞yf（y；T，x，σ，ν，S）（十）- K）+- 2（K- x）+dydx，（21）基本上是作为Fubini定理的应用，在第二个等式中，通过公式（19）中给出的BLT密度的定义。因此，作为中间应用，我们对累加器使用上述定价公式，并比较了（C）定义的累加器的三种不同定价方法-2P），其中C和P是看涨期权价格和看跌期权价格，即：BSD，直接的BS评估，即公式（18）；BSC，第4.3节所述的BSD的连续时间变化；LT：公式（21）给出的时间建议。有关上述数量的更详细讨论，即关于B SD、BSC和LT，请参阅第4.3节。下表中报告了结果，这些结果是在S=1，N=250个筛选日期的情况下获得的。我们可以看到，准确度非常好，当波动率参数增加时，只有很小的衰减。我们有兴趣评估第R节KσFV BSD FV BSC FV LT中介绍的EE和EP E（LT，BSD）0,01 0,9 15%00961 00961 0,00%0,01 0,9 25%00783 00784 00781-0,26%0,01 1 15%00323-00322-00322-0,31%0,01 1 25%00587-00585-00576-1,87%0,02 0,9 15%01008 01008 0,00%0,02 0,9 25%00837 00839 0,24%0,02 1 15%00248-00247-00247-0,40%0,02 1 25%0%00509-00508-00501-1,57%表1：三种方法获得的公允价值比较方法。2.2，因此，对于所有ti，i=1，n、我们有（LT）ti=EF V（LT）ti（22）EP E（LT）ti=TZTZRe-r（T-t） E（L（t，x））[（x- K）+- 2（K- x） +]dxdt。（23）备注4.1。通过回顾期望函数E意味着一个积分任务，结果是EP E需要计算三重积分。

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2022-5-31 08:28:03

因此，我们有两个关于通常MtM当前交易评估的进一步整合步骤，分别与市场参数情景和时间平均值的预期相反。备注4.2。我们想知道在评估期望函数时，哪个概率度量更适合使用。换句话说，我们有兴趣在任何时候为所有市场参数选择最合适的分布，这些参数代表定价活动的输入数据。由于这在文献中是众所周知的，有两种选择，一种是风险中性分布，另一种是历史分布。由于我们主要关注计算问题，我们认为后者不是一个相关点。无论如何，与大多数作者一致，我们遵循采用历史分布的惯例。在Black-Scholes框架中，后者意味着真实世界的漂移u与无风险利率r不同，因此u>r.4.3应用和数值结果在一定程度上检验了我们当地时间建议的优度，以估计EE和EP E，我们将前一小节中描述的算法与基准测试a la Black and Scholes（BSD）进行了比较。首先，让我们确定模拟的数量，用NSIM表示。然后，对于每个模拟，o我们考虑N天=250个工作日，由ti表示，i=1，N天，对于每个ti，我们使用以下离散化程序i=Sti模拟基础的价格-1enr-σti+σ√ti·N（0,1）o，其中ti=ti- ti公司-1=周日，i=1，N天o然后，我们通过以下公式计算累加器价格V（BSD）ti=iXj=1[（Sj- K）+- 2（K- Sj）+]+NdayXk=i+1[Ctk- 2·Ptk]· e-r（T-ti），（2 4）其中 :=tnday和Ctk=C（S，K，r，σ，T- tk），Ptk=P（S，K，r，σ，T- tk）分别是呼叫。

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2022-5-31 08:28:05

看跌期权，价格。为了评估交易对手Cr编辑风险，我们选择了10个时间步骤，每25个工作日一个，然后分别使用公式（4）和公式（5）确定预期敞口EE（BSD）和预期正敞口EP E（BSD）。由于累加器的特征是，至少是频繁的，那么我们可以考虑导数的连续版本，因此我们考虑f V（BSC）t~=中兴通讯-r（T-t）（Ct- 2Pt）dt，（25），其中Ct=C（S，K，r，σ，T-t），Pt=P（S，K，r，σ，t-t）是电话，resp。卖出价，即价格，计算在前面。等式（25）允许我们考虑基准的连续版本，让我们用BSC表示。为了比较LT和BSC方法，我们通过追溯BSD算法的步骤并考虑10个日期，即每天40次观察，而不是一次，来进行时间离散化，近似BSC。最后，我们能够评估预期支出EE（BSC），以及。利用公式（4）得出的预期正暴露EP E（BSC），aga in，分别为。等式（5）。关于局部时间算法，我们使用数值积分，为了使这种积分尽可能有效，我们确定了方便的上下限。数值结果为了显示本地时间技术与经典方法相比的表现，我们提供了表2中报告的结果，其中包含了使用前面章节中介绍的方法获得的EPE值。

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2022-5-31 08:28:08

更准确地说，我们根据以下选择运行se veralstrike、波动率和无风险参数的所有算法：现货价格S=5.7；履约价格：K=[4.78、3.75、2.98]；波动率：σ=[0.15，0.2，0.3]r无风险率：r=[0.01，0.02]() 第5、6、7列中的EPE值。每一行都有一个三元组（Ki，σj，rh），i=1，3，j=1。

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nandehutu2022

2022-5-31 08:28:12

，3，h=1，2，指定我们参考的履约价格、波动率和无风险利率的值。（K，σ，r）BSD BSC LT（BSD、BSC）（理学学士，LT）（BSD，LT）（4.78，0.15，0.01）09303454395 09303714275 09303781163-000279%000072%000351%（4.78，0.2，0.01）09049015095 09049413280 09048279190-000440%-001253%-000813%（4.78，0.3，0.01）08251642939 08251928714 082478388254-000346%-004957%-004611%（3.75，0.15，0.01）19686102762 19686111645 848833-000005%000374%000379%（3.75，0.2，0.01）19675941521 1967600451419676336107-000032%000169%000201%（3.75，0.3，0.01）19547899122 19548275248 19547735333-000192%000276%000084%（2.98，0.15，0.01）2734850526 27348507540 27349168463-000001%000242%000242%（2.98，0.2，0.01）27348375084 27348378657 273485689-000001%000077%（2.98，0.3，0.01）27336498018 27336518 70672 27336545073-000027%-000009%000017%（4.78，0.15，0.02）09556220367 09556450742 09558308683-000241%001944%002185%（4.78，0.2，0.02）09318141129 09318494415 09318254905-000379%-000257%000122%（4.78，0.3，0.02）0854844479 08548671968 08542861489-000266%-006797%-006531%（3.75，0.15，0.02）19871485 19871500602 19873803563-000008%001159%（3.75，0.2，0.02）19862637277 19862700504 19864841609-000032%001078%001110%（3.75，0.3，0.02）19743416072 19743766907 19744396571-000178%000319%000497%（2.98，0.15，0.02）27496039372 27496047313 27497784936-000003%000632%000635%（2.98，0.2，0.02）27495932160 27495941376-000003%000613%000616%（2.98，0.3，0.02）2748174039 27485347 2748661624-000026%000499%000525%表2：蓄能器的预期正暴露派生词备注4.3。让我们强调这三个词的含义上表右侧的比较。

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nandehutu2022

2022-5-31 08:28:15

（BSC，BSD）没有考虑我们的提案，但它衡量了现实世界（BSD）与连续版本（即BSC版本）之间的差异，现实世界（BSD）随时间离散。（BSC，LT）具有双重角色。一方面，它衡量我们算法实现的正确性，因为这两种方法在理论上是等价的。一旦我们验证差异很小，从更实际的角度来看，它允许我们监控用于执行这两种技术中涉及的各种数值积分的工具的数值精度。最后（BSD，LT）考虑了之前的影响，并衡量了我们的BLT提案的全球准确性，我们通过一种基于当地时间的新技术，通过连续时间代理现实世界的问题。为了完成所提出的不同方法之间的比较，我们在各个方法的执行时间之间画了一条平行线，如表3所示。特别是，我们邀请读者详细讨论最后两个专栏，这两个专栏的计算效果是可比较的。我们发现，本地时间算法的运行时间小于BSD方法的运行时间，平均而言，前者约为后者的一半。最后，我们展示了两张图，比较了s trike价格和自由风险率设置后，LT算法和BSC算法相对于BSD的错误，而BSC BSD LT18.314768 4.98831 2.12311表3：三种算法的平均运行时间，以秒为单位。波动率σ变化。我们观察到，对于较小的波动率，相对误差非常好。因此，我们将进一步研究软件实现细节。

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2022-5-31 08:28:19

无论如何，参考上面表3中的计算时间，我们认为在通常的权衡（准确度、时间）中，T方法无疑主导了BSC近似，并且可以与trueBSD模型竞争。0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-0.045-0.04-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01-0.00500.005 Delta（BSC，BSD）Delta（BSD，LT）图1：固定无风险利率下EPE变化之间的比较。（BSD、BSC）vs（BSD，LT），r=1%，K=3.75。波动率参数在10%到30%之间变化。0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-2.-10123 x 10-3 Delta（BSC，BSD）Delta（BSD，LT）图2：固定无风险利率下EPE变化之间的比较。（BSD、BSC）vs（BSD，LT）在r=1%和K=4.78的情况下，波动性参数的var介于10%和30%之间。4.4关于计算复杂性的一些评论一旦提出了一种新方法或算法，人们希望对新方法相对于其更传统的竞争对手的计算复杂性进行总体分析；精度和转化率也类似。在最简单和最简单的情况下，一个只有一个参数，设为N，例如，模拟的数量、投资组合中的交易数量、时间步长的数量，等等，计算复杂性可以通过一个“顺序”进行样式化，如o（N）、oN等等尽管这种优雅的理论方法，但具体应用的特点是额外的困难，例如：（1）提案或竞争对手的集合可能取决于一些不同的参数，而N不能是技术设置的正确总结；（2）对于每个原子算法任务，即对于一个N个模拟循环的任何模拟，不同的竞争对手可能包含复杂度和运行时间非常不同的计算，让他们接受。

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2022-5-31 08:28:22

因此，对于参数N的中小值，这两种算法的实际计算时间不符合渐近顺序排序，例如。，可能是t·N＞t·N3／2。（3）最后，观察到的计算时间取决于许多实现细节：数值积分方法、有界或无界积分、嵌入到已开发编程语言中的库的效率。回到上述B SD、BSC和LT的执行时间表，也侧重于评估EE和EPE值，循环在增加计算数量方面的行为与交叉法类似，我们观察到BSC涉及对更复杂的BS公式的时间积分，而BSD的复杂性由BS·tn给出，，第二项是滤波次数，最终LT具有相当简单函数（即支付函数本身）的时空积分所赋予的复杂性。此外，我们还通过对空间积分的inf和sup进行定界来优化后者。因此，即使没有详尽的比较，也考虑到不同的技术实现，我们也可以得出结论，LT提案相对于有效贸易效应而言具有良好的准确性。我们还强调，需要扩展其他市场参数、条款和支付。5结论和进一步研究我们在Black-Scholes框架下，针对所谓的累加器衍生品，在一项风险资产的情况下，解决了CCR评估问题。

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2022-5-31 08:28:25

由于相应的支付取决于几何布朗运动在给定值附近花费的时间，因此我们利用了BLT的概念，它在CCR评估的衍生品定价步骤中起着至关重要的作用。然而，也可以将BLT纳入风险因素模拟步骤：粗略地说，对于每个时间段tk，我们可以使用BLT建立网格（tk、Stk、n）和相应的概率，并评估第k次预计风险敞口EEkas加权概率评估的总和。我们提出了一种基于概率密度表示BLTin项的原始方法。与EPE评估相关的实施导致了数值结果，显著改善了通过标准程序获得的结果。较小的执行时间和较好的EE评估精度使我们的方法成为一种竞争工具，建议将本地时间方法扩展到更一般的衍生工具，如障碍期权或亚洲期权。下一步是将我们的结果与[18，19]中得出的结果进行比较。此外，我们还计划使用[46]中给出的结果，即著名的Lévy正弦弧定律的推广，见lso[36]，它提供了等式（12）中给出的占用时间分布。事实上，我们打算使用相关的Takacs公式作为本文中广泛使用的（19）中所述概率密度的替代表达式。最后，我们意识到，虽然一维框架的实施相对容易，但一维案例事实证明是不现实的，尽管在一维框架中工作是具有公司客户的银行衍生工具的一个非常可接受的代理，即。

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