推广几何布朗运动

2022-6-10 16:34:30

推广几何布朗运动Peter Carr，Zhibai Zhang纽约大学金融与风险工程系Tandon工程学院12 Metro Tech Center Brooklyn NY 11201，USApcarr@nyc.rr.comz.zihbai@gmail。为了将标准布朗运动Z转化为正过程，广泛使用几何布朗运动（GBM）eβZt，β>0。我们通过引入非对称参数α来推广这个正过程≥ 0表示过程达到新低时的瞬时波动率。在我们的新流程中，β是指价格变得任意高时的内在波动性。我们的推广保留了GB M的正性、恒定比例漂移和可处理性，同时将瞬时波动率表示为α和β的随机加权LMean。该过程的运行最小值和相对绘图也可以分析处理。让α=β，我们的正过程简化为几何布朗运动。通过在新过程中添加一个跳转到默认值，我们引入了一个具有相同可跟踪性的非负鞅。假设一种证券的动态性是由这些过程以风险中性的方式驱动的，我们定价了几种衍生产品，包括vanilla、barrier和lookback期权。1引言随机过程在期权定价模型中有多种用途。一个非常常见的目的是s mileiinterpolation和extrapolation。考虑到多个共同终端市场报价，这里的目标是在执行价格或增量水平的连续统一体上产生波动。第二个目的是评估路径相关的或有目标，如量子远期合约或障碍期权。出于这两个目的，众所周知，只要在适当的概率测度下，所有相关价格过程都被指定为鞅，就可以避免套利。通常，套利可以是基于模型的，也可以是无模型的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-10 16:34:33

无模型套利的一个例子是看跌期权平价的aviolation。基于模型的套利的一个例子是，在黑色模型中，两种欧洲风格的期货期权具有不同的隐含波动性。鞅规范产生的价格不存在两种类型的套利。例如，使用无漂移的几何布朗运动来描述期货度量Q下的期货价格，会导致看跌期权平价保持，以及在走向一个成熟度时的隐含波动率相等。假设做市商在初始日期使用一个鞅规范，然后在第二个日期使用不同的鞅规范。例如，假设做市商在第一天使用波动率为10%的几何布朗鞅，然后在第二天使用波动率为20%的几何布朗鞅。两个日期的价格都没有模型自由套利。例如，put callparity将在两个日期都保持不变。基于Blackmodel的正确性，两个日期产生的价格确实产生了套利。例如，如果黑色模型中的实际波动率为10%，则第二天产生的价格允许基于模型的套利。如果实际波动率保持在20%不变，则第一天产生的价格允许基于模型的套利。如果实际波动率在其他值（例如15%）不变，则两天产生的价格允许基于黑色模型的套利是正确的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 16:34:36

然而，如果Black模型没有描述基础的风险中性动态，那么市场做市商使用时间不一致的鞅规范就不需要产生任何基于模型的套利。尽管如此，使用时间不一致的鞅规范确实会产生一组缺乏无模型套利的值。当唯一的目标是产生没有无模型套利的价值时，唯一需要面对的挑战是与所有流动和透明的报价保持一致。为此，与时间一致性规范相比，时间不一致性鞅规范具有更大的灵活性。使用两个日期波动率相同的黑色模型的做市商不太可能在两个日期都能够匹配AT M报价。相比之下，使用能够在第二天改变波动率的黑色模型的做市商可以保证能够在两个日期匹配ATM报价。相比之下，这一次不一致的黑色模型不能保证在任何给定日期匹配多个选项价格的能力。当两个或多个同时报价的到期日不同，且缺乏无模型套利时，可以通过从恒常波动性模型转移到确定性波动性黑色模型来匹配它们。然而，当两个共同终端报价出现明显差异且缺乏无模型套利时，就不一定能将其与确定性波动率黑色模型相匹配。需要不同类型的鞅规范来保证匹配。在选择替代鞅规范时，明智的做法是理解几何布朗鞅作为基准过程成功背后的原因。一旦了解了这些原因，就更清楚应该保留哪些GBM属性，哪些属性应该丢弃。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 16:34:39

例如，乍一看，无漂移算术布朗运动（ABM）由于其相似性和易处理性，似乎是无漂移SGBM的一个有吸引力的替代品。然而，人们普遍认为，ABM未能保持GBM的正性特性，使其无法作为替代方案。人们普遍认为，GBM的这种积极特性使其成为描述所有者享有有限责任的资产市场价格的一个很好的第一近似值。但是，GBM具有状态空间（0，∞) 有限责任资产价格占[0，∞). 为了验证有限责任资产价格可能消失的可能性，可以像[5]中所做的那样，在GBM中加入违约跳跃。GBM仍然适合作为股票指数的玩具模型，人们普遍认为零是不可能的。GBM来源的不可访问性也使其成为汇率的一个很好的玩具模型，因为如果X是汇率，则需要很好地定义X。对于无漂移GBM，在坐标反演和概率测度改变后，其状态空间和动力学保持不变。在外汇市场中，反转汇率是一种自然的操作，概率度量的变化对应于货币的变化。GBM的这些不变性很可能解释了为什么随机过程在外汇期权市场中扮演着重要角色。如果想要解决GBM的不足，同时保持外汇期权定价的适用性，那么至少在反转下保持一些不变性的概念是必要的。本文的目的是提出一种在考虑反演不变性的同时推广GBM的过程。毫不奇怪，双曲函数在我们的分析中起着很大的作用。首先回顾一下GBM的一些众所周知的特性是很有帮助的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-10 16:34:41

考虑一个无套利市场，让Q是一个等价鞅测度。设Z表示Q下实线上的标准布朗运动。考虑过程gt=eβZt，t≥ 0，当eβ>0时。显然，这一过程开始于一，并永远保持积极。根据It^o公式：dgtgt=βdt+βdZt，t≥ 0。（1）我们说过程g在速率β下具有恒定的比例漂移，在速率β下具有恒定的比例方差。参数β称为波动率。这个过程称为几何布朗运动。要从g中获得非负鞅，至少有三种方法。首先，可以通过设置dQdQ=e将概率度量f从Q更改为Q-βZT-βT.其次，可以通过设置Ft=gte来改变坐标-βt/2。这两个应用程序都会创建一个鞅，以保持g的严格正性。如果只需要鞅的非负性，则可以选择在到达率为β/2的g过程中添加一个跳转到默认值。本文提出了一个推广GBM gt=eβZt，t的正过程≥ 0通过添加不对称参数α≥ 对于我们的新过程，α描述了每当达到新低时的瞬时波动率。而β是当过程变得任意高时的瞬时波动率。我们的推广保持了GBM的正性、恒定比例漂移和可处理性，将瞬时方差表示为α和β的凸组合。该模型实际上允许第三个参数γ，即初始瞬时波动率，因此需要介于α和β之间。对于许多期权市场，三参数模型被广泛用于内插和外推整个期权市场的隐含价值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-10 16:34:44

直觉上，市场参与者同意期权市场显示非零偏度和峰度，但很少有人讨论高于四次方的时刻。换句话说，市场参与者同意，有必要将隐含波动率的水平、斜率和凸度与货币匹配，但很少讨论隐含波动率的三阶或更高导数。不幸的是，我们的特定三参数模型不如其他一些三参数模型灵活。g、具有固定β或ρ的SABR。因此，我们的三参数模型仅适用于隐含波动率区间似乎在走向上是唯一的期权市场，例如SPX或VIX。对于非单调切片，如隐含波动率微笑时，必须通过添加随机波动率等来改变模型。只要隐含的波动率切片在执行价格上是单调的，我们的三个参数α≥ 0，β>0和γ≥ 0具有明确的角色。参数α控制低冲击时的渐近隐含波动率，而参数β控制高冲击时的渐近隐含波动率。参数γ用于衡量货币隐含波动率。本文概述如下。下一节将开发一个新的特殊函数，称为双参数指数函数。下一节将使用此特殊函数构造具有常数漂移的正协调次鞅。然后，我们通过在子鞅中加入一个跳转到默认过程来引入一个非负鞅。这个鞅有三个参数α≥ 0，β>0，γ介于α和β之间。接下来是新鞅的过渡PDF的详细说明。penu-ltimatesection给出了基于这些鞅的未定权益的封闭式估值公式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-10 16:34:47

特别是，我们研究了vanilla选项、lookb ack选项和barrier选项。最后一节对论文进行了总结，并对未来的研究提出了一些建议。2双参数指数函数在本节中，我们构造了一个新的特殊函数，我们称之为双参数指数函数。在下一节中，我们将利用这个特殊函数构造三参数鞅。对于β>0，设y=eβxbe为标准单参数指数函数。而函数定义为β∈ C和x∈ C、我们只考虑β∈ R+和x∈ R+。eβx的定义特征是，对于所有x，函数的斜率与其高度的比率在β>0时保持不变≥ 对于所有β>0，函数的单位高度为x=0。因此，我们的双参数指数函数的所有双参数α值的单位高度为x=0≥ 0和β>0。我们将证明函数的斜率与高度之比为α≥ x=0时为0，将β>0近似为x↑ ∞. 由于实际上任何函数都满足这些标准，因此我们进一步要求所有x的函数曲率与其高度的比率在β>0时保持不变≥ 此属性也属于单参数指数函数，用于唯一确定双参数指数函数。对于x≥ 0、β>0和α≥ 0，我们通过以下公式定义双参数指数函数：eβxβ-α≡β+α2βeβx+β- α2βe-βx.（2）因此，下标指数是普通指数eβx及其倒数的线性组合。β- eβxβ中的αsubscr ipt-α表示分数乘以倒数e的分子-βx。乘以eβxis的分数的数值始终是非对称p参数α和一般指数eβx中的比例因子β之和。两个分数的共同分母是该比例因子β的两倍。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 16:34:50

这些规则将（2）的LHS扩展为RHS。函数的域x上≥ 0，普通指数eβxin线性组合大于其倒数，即eβx≥ e-βx.如果α=0，则两个分数简化为一半，函数是增凸的。增加α会增加乘以较大指数eβx的分数，并减少乘以较小指数e的fr作用-βx，同时将函数值保持在x=0，固定为1。因此，增加α会使我们的特殊函数在每x处向上倾斜得更快≥ 如果α=β，则两个参数的指数eβx降低为一个参数的指数eβx。因此，下标β-eβxβ上的α-α也是我们的双参数指数函数与单参数指数函数的偏差的度量。与单参数指数函数eβx一样，双参数指数函数eβxβ-对于所有x，由（2）定义的α在x中为正、递增和凸≥ 0和所有β>0。导数w。r、双参数指数函数的t.x为：ddxeβxβ-α=βeβxα-β, α ≥ 0，β>0，x≥ 0，（3）式中：eβxα-β≡β+α2βeβx+α- β2βe-βx，α≥ 0，β>0，x≥ 0。（4）α=0时，eβxα-β是双曲正弦的右臂，因此为正。增加α会增加指数和βxα的权重-β> 0表示所有α≥ 0，β>0，x≥ 由于β也大于0，（3）意味着我们的特殊函数f（x）求解了x上的普通微分方程f′（x）=βf（x）≥ 0服从Dirichlet边界条件f（0）=1和Neumann边界条件f′（0）=α。我们的函数也可以表示为cosh（βx）+αβsinh（βx），x≥ 0, α ≥ 0，β>0，因此其属性将作为这种表示的结果出现。导数dDxeβxβ-α为正。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-10 16:34:53

因此，我们的双参数指数函数的x导数与普通指数函数w.r.t对其标度因子β的x导数表现出相同的行为。区分我们的双参数指数函数w。r、 x还切换下标上的符号。转换eβxα-（3）RHS上的β返回到涉及其队列eβxβ的表达-α、我们可以再次区分w.r.t.x。尤其是：ddxeβxβ-α=βeβxβ-α, α ≥ 0，β>0，x≥ 因此，对于所有x，函数的曲率与其高度之比在β>0时保持不变≥ 0，如前所述。有一种转换eβxα的替代方法-β返回到涉及其队列的表达eβxβ-α. 表中显示：eβxα-β=seβxβ-α+α- ββ. （6）现在，我们使用这种替代转换机制表明，我们的双参数指数函数将其斜率的比率设置为x=0时的α高度。我们还将对比显示，其斜率与高度之比接近βas x↑ ∞. 这些行为定义了双参数指数函数中每个参数的作用。考虑双参数指数函数的斜率与其高度的比值：ddxeβxβ-αeβxβ-α=βeβxα-βeβxβ-α、（7）来自（3）。在（7）的RHS上使用（6），该比率也可以表示为：ddxeβxβ-αeβxβ-α=βreβxβ-α+α-βeβxβ-α=βvuut1+α- ββeβxβ-α. （8）将β置于平方根下：ddxeβxβ-αeβxβ-α=vuuuutαeβxβ-α+ β1.-eβxβ-α. （9）自1起/eβxβ-α∈ （0，1），半径d是α和β的凸组合。x=0时，eβxβ-α=1，所以eβxβ-α同时=1和比率dDdXeβxβ-αeβxβ-α= α. 作为x↑ ∞, eβxβ-α↑ ∞, 所以eβxβ-α↓ 0和比率dDdXeβxβ-αeβxβ-α收敛于β。与单参数指数函数一样，我们的双参数指数函数有一个显式逆。要推导它，让：y=eβxβ-α=β+α2βeβx+β- α2βe-βx，x≥ 0, α ≥ 0, β > 0. （10）我们需要解x作为y的函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 16:34:56

将（10）乘以βeβxleads得到eβx的二次函数：β+αe2βx- βyeβx+β- α=0，x≥ 0, α ≥ 0, β > 0. （11）通过二次方根公式：eβx=βy+pβy- (β- α） β+α，x≥ 0, α ≥ 0，β>0，（12），其中我们选择了+in±因为eβx>0。求解x:x=βlnβy+pα+β（y- 1） β+α，x≥ 0, α ≥ 0, β > 0. （13）因此，对于y≥ （13）的RHS上的函数是我们的双参数指数函数的显式逆。注意，从（12）：β+α2βeβx=y+sy-β- α4β，（14）其中我们从（10）中观察到β-α4β只是两项之和的乘积。方程式（14）是一个明确的公式，将y映射到定义它的总和（10）中的第一项。当x=0且α=0时，第一项的大小与第二项相同，但除此之外，第一项的大小更大。要获得将y映射到求和中较小项的显式公式，请注意将（10）乘以βe-βx等于e的二次函数-βx：β- αe-2βx- βyeβx+β+α=0。（15）通过平方根公式：e-βx=βy-pβy- (β- α)β - α、（16）我们现在选择的地方- in±since e-βx<1。因此：β- α2βe-βx=y-sy公司-β- α4β. （17）该方程是一个显式公式，将y映射到求和（10）中的最后一个较小项。对于单参数指数函数y=eβx，x≥ 0，β>0，向输入变量x添加一个会导致输出变量y按因子eβ>1增长。我们认为指数函数将加法转化为乘法。对于由（10）定义的双参数指数函数，向输入变量x添加一个会导致输出变量y增长，如下所示。首先，将y分解为（14）明确给出的涉及eβx的较大项和涉及e的较小项-βx，由（17）明确给出。接下来，将较大的项增大一个因子eβ>1，将较小的项缩小一个因子e-β∈ (0, 1). 最后，将两个修改后的项相加，以获得y的新值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-10 16:34:59

我们说，双参数指数函数将加法转化为乘法和除法的混合。3构造一个三参数非负连续鞅在本节中，我们使用上一节构造的两参数指数函数定义一个新的三参数非负连续鞅，用Ft表示。回想一下，要创建一个无漂移的GBM Fb，首先创建一个辅助正连续过程gt=eβzt，正漂移为β/2，然后通过设置fbtfb=gte来校正f-βt/2。我们将在下一小节中模拟这种构造，首先构造一个辅助的正连续过程G，其正常数漂移为β/2。然后，下面的小节通过在默认过程中添加一个跳转来纠正此恒定漂移。3.1构造一个正连续过程，其中常数floftlet 0为赋值时间，Z为Q下的标准布朗运动Z，其在t=0时的值通常为Z=0。我们允许Z在时间0之前存在。让t≤ 0，我们假设Z对于所有t都存在≥ t、对于t≥ t、 letZt公司≡infs公司∈[t，t]zs表示标准布朗运动Z un der Q的运行最小值。请注意，Z的路径监视从时间t开始≤ 0，所以Z≤ 0.对于t≥ t、 letˇZt≡ Zt公司-ZT表示Z正在运行的绘图过程。Let：_Gt=eβ_Ztβ-α、 t型≥ t、 β>0，（18）是一个新的具有状态空间的随机过程[1，∞).回想一下，将α设置为零会减少双参数指数eβxβ-α、 x个≥ 0，β>0到指数eβx，x≥ 0, β > 0. GBM eβZt和过程cosh（βZt）、cosh（β| Zt |）和cosh（βˇZt）均以β/2的速率增长。超bolic余弦是指数βx，x的简单平均值≥ 0，β>0，及其倒数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 16:35:03

当非对称参数α为正时，这个简单的平均值将被一个非对称平均值所取代，该非对称平均值对递增指数施加了更多的权重。这种偏斜对平均值的影响与GBM eβZtif Z平均值的影响相同，如果Z恰好在访问其最小值时表现为不对称。特别是，如果Z被解释为缩放随机游动的极限，则高于最小值的概率越大，eβZtif的平均增长率就会高于β/2。设^Zdenote是斜布朗运动。这种罕见的不对称性对eβ^Zt平均值的影响可以通过乘以eα^Zt来消除。同样，我们将消除对用eβˇZtβ替换cosh（βˇZt）的平均值的影响-α, β > 0, α ≥ 0乘以ˇgtx eα′Zt。我们引入了一个新参数γ，用于确定t=0时的_Gtat值。我们要求γ在α和β之间。出于技术原因，我们允许γ=α，但不允许γ=β。这允许我们设置：_G=sα- βγ- β. （19）半径为≥ 1，因此_G也是。我们接下来使用（13）来设置_Z:_Z=βlnβ_G+qα+β[_G- 1] β+α，x≥ 0, α ≥ 0, β > 0. （20）自_G起≥ 1，ˇZ≥ 0、每t≥ 0，ˇGt≥ （18）中定义的1在其dr iverˇZt中增加≥ 方程（21）意味着（18）可以显式反转：ˇZt=βlnβˇGt+qα+β[ˇGt- 1]α + β, t型≥ t、 α≥ 0, β > 0. （21）我们接下来设置Z=-ˇZso that Z≡ Z+ˇZ=0。当zd确定为某个非正值时，设：Gt=eαZtt≥ t、 α≥ 0，（22）是状态空间为（0，1）的超鞅∈ （22）中定义的（0，1）在其驱动器zt中增加≤ 0，对于α>0，（26）可以显式反转：Zt=αln Gt，t≥ t、（23）对于α≥ 0，β>0，γ在它们之间，设：Gt=GtˇGt，t≥ 0，（24）是状态空间（0，∞). 我们声称Gt=infs∈[t，t]Gs。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 16:35:06

换句话说，我们认为超鞅Gt∈ （22）中定义的（0，1）只是（24）中定义的G过程的运行最小值。要了解原因，请注意，在（24）中替换（18）和（22）意味着α≥ 0，β>0，它们之间的γ：Gt=eαZteβˇZtβ-α、 t型≥ t、（25）当71z=0时，由于区域性下降：infs∈[t，t]Gs=eαZt，t≥ t、 α≥ 0，β>0，（26），这与Gt的定义方程（22）相匹配。因此，GT是（24）中定义的G过程的运行最小值。由于G有状态空间（0，1），G永远是正的。从（24）：71gt=GtGt，t≥ 0，（27）so_G是G的相关绘制过程。将其^o公式应用于（18），（3）意味着：d_Gt=βeβ_Ztα-βdˇZt+βeˇZtβ-αdhˇZit，t≥ t、（28）因此，71gt的增量取决于71zt的增量和71zt的平方增量。由于zi是一个有界变化的过程，它是零二次变化，因此：hˇZit=hZ- Zit=hZit=t，t≥ t、（29）在（28）中替换（6）和（29）意味着系数仅取决于eβˇZtβ-α： dˇGt=βeβˇZtβ-αdt+βseβˇZtβ-α+α- ββdˇZt，t≥ t、（30）在（30）中替换（18）意味着_G求解以下随机微分方程（SDE）：d_Gt=β_Gtdt+rα+βh_Gt- 1idˇZt，t≥ t、（31）该SDE是单变量的，因为71gt的系数仅取决于71gt。除以ˇGt意味着：dˇGtˇGt=βdt+sαˇGt+β1.-_GtdˇZt，t≥ t、（32）因此，当两个驱动因素为t和Z时，_G求解上述简单SDE。要确定ZtandZ的系数，请注意，替换d_Zt=dZt-dZtin（32）表示：dˇGtˇGt=βdt+sα_Gt+ β1.-_Gt（dZt- dZt），t≥ t、（33）由于当_G=1时，Z仅为d，因此（33）中dZ的净系数为零。因此，_G还解决了以下SDE：d_Gt_Gt=-αdZt+βdt+sαˇGt+β1.-_GtdZt，t≥ t、（34）dZtin的系数（34）是_G的瞬时对数正态波动率，它是α和β的随机加权Lmean。这种形式显然只是（9）的结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-10 16:35:09

自从_Gt∈ （0，1），_G的瞬时对数正态方差率只是α和β的凸组合。当Z处于其最小值Z时，_Z=0，因此_G=1。此时，（34）意味着_G的瞬时波动率为α。相比之下，随着Z与其最小Z之间的差异接近实际值，_G也会出现实际值，并且（34）意味着_G的固有波动率接近β。这些结果清楚地遵循了我们的双参数指数函数eβxβ的行为-x=0和x=∞.（34）中的动力学显然取决于我们的两个参数α和β，这两个参数分别是_G在_G的一个和一个极值处的瞬时波动率。为了解释我们的第三个参数γ，注意（19）两边平方的th意味着：_G=α- βγ- β. （35）交叉乘重排列：γ_G=α- β+β（_G）。（36）除以ˇGand取平方根意味着：γ=sαˇG+β1.-_G. （37）将（37）与（34）中在t=0时评估的波动率进行比较，意味着我们的第三个参数γ只是_G的初始波动率。接下来，我们确定G过程的动力学，（24）定义为产品：Gt=Gt_Gtt≥ t、（38）对于α≥ 0，β>0，γ介于两者之间。It^o公式暗示：dGtGt=dGtGt+dˇGtˇGt=αdZt+dˇGtˇGt，t≥ t、（39）因为Gt=eαZt。代入（32）意味着G解出以下SDE：dGtGt=βdt+vuutαGtGt+ β\"1 -GtGt#dZt，t≥ t、（40）因为_Gt=GtGt。与_G过程一样，G过程在速率β下具有恒定的比例漂移。与_G的S DE（34）不同，G的SDE（40）具有依赖于辅助过程G的系数。自GtGt∈ （0，1），G的对数正态方差率也是α和β的凸组合。当Gt=Gt时，G过程在局部表现为aGBM，具有恒定的比例漂移率β和恒定的比例方差率α。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 16:35:11

当G上升到Gt以上时，对数正态方差率向β移动，并在极限值G中渐近于该值↑ ∞.替换_G=GGin（37）意味着：γ=VuTα游戏打得好+ β\"1 -游戏打得好#. （41）在t=0时评估dZtin（40）的系数，（41）意味着G的瞬时对数正态波动率为γ。因此，三个参数α、γ和β可分别解释为G在每个新低、初始时间和绝对高值时的瞬时对数正态挥发度。该对（Z，ˇZ）的双变量跃迁PDF以闭合形式已知，并在[2]中给出。由于G和_G分别是Zand_Z的单变量、递增、显式可逆变换，因此可以很容易地以闭合形式获得该对（G，_G）的双变量变换PDF。回想（25）中的内容：Gt=eαZteβˇZtβ-α、 t型≥ t、（42）Asβ↓ 0时，G过程变为无漂移和双p参数指数函数eβxβ-（42）中的α收敛到线性函数1+αx。因此，当F=1时，过程G收敛到[2]中的鞅F。在（42）中设置α=β，双参数指数减少为单参数指数，结果为：Gt=eβZteβˇZt=eβ（Zt+ˇZt）=eβZt，t≥ t、（43）因此，G过程通过添加参数α和γ，推广了标准布朗运动的指数。作为一个次鞅，G过程可以直接用于在风险中性度量中模拟现货价格（如即期外汇汇率）和写在G上的定价竞争。为此，我们引入了一个新的次鞅过程ft=FGt，t≥ t、（44）其中F>0是过程的初始值。与G一样，F是正的，并且具有正漂移。注意，由于国际看跌期权等价，G漂移的正性不是一个绑定限制[6]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-10 16:35:19

例如，如果正过程St具有负漂移，可以使用它来建模具有正漂移的过程的逆过程，通过Ft=St。对于未来价格的衍生工具，基础证券需要由风险中性衍生工具定价度量中的m artin gale驱动。在下一小节中，我们将从Gby引入一个新的鞅过程，并将一个跳跃添加到具有负漂移的默认过程。然而，我们应该将sub-martin galeEqn（44）和新鞅解释为两种不同证券的动力学，而不是一种证券的现货和期货价格。3.2通过跳转到默认值为α构造非负鞅≥ 0，β>0，对于它们之间的γ，在最后一个子部分构造的G过程从1开始，并具有恒定的正漂移β。在本节中，我们将起点更改为F>0，并将此正漂移解释为可能跳到零的补偿。这允许我们构造一个可处理的非负鞅fw，它从F开始。设Ntbe为标准泊松过程，到达率β在Q以下。对于F>0，设：Ft=FGtNt=0，t≥ t、（45）是在F>0时开始的非负过程。那么F是一个Q鞅，它以恒定速率β上升，以补偿可能跳到零的可能性。一旦F为零，它就会被吸收。Let：Ft=infs∈[t，t]Fs，t≥ t（46）是F的运行最小值。设τ为F跳到零的指数分布随机时间。对于t∈ [t，τ），（45）表示：Ft=FGt。（47）除以（47）除以（46）表示t∈ [t，τ）：FtFt=GtGt。（48）因此，F的SDE为：dFt=Ft-vuutα英尺-英尺-+ β\"1 -英尺-英尺-#dZt公司-dNt公司-βdt, t型≥ t、（49）在（45）中替换（24）意味着Ft可以与对（Z，ˇZ）和Nt的同期值相关：Ft=FeαZteβZtβ-αNt=0，t≥ t、（50）价格相对论是从1开始的非负鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 16:35:22

从（50）中，该价格相对分解为从1开始的正严格上鞅的乘积，eαZtNt=0和从1开始的正严格次鞅的乘积，即_Gt=eβ_Ztβ-α.如果α=β，则双参数指数函数eβxβ-（50）中的α减少为单参数指数函数eβx，因此（50）简化为：Ft=FeβZteβˇZtNt=0=Feβ（Zt+ˇZt）Nt=0=eβZtNt=0，t≥ t、（51）这是带跳转到默认值的GBM。当β→ 0，然后（50）渐近线至：Ft→ FeαZt（1+αˇZt），t≥ t、（52）是一个双p参数正连续鞅。设置γ=α进一步将F减少为[2]中的单参数正连续鞅。根据文献[2]，布朗极小值和布朗拔模的二元变换PDF:Qt{ZT∈ dj，ˇZT∈ dˇk；Zt=Z，ˇZt=ˇZ}=b（j，ˇk；w，T- t） djdˇkb（j，ˇk；w，t- t）≡sπ（T- t）（ˇk- j+w）e-（ˇk-j+w）2（T-t），j<w，ˇk≥ 0，（53），其中w=Z+ˇZ和w=Z。注意，在特殊情况下，当ZT=ZT时，b变量转换PDF变为非变量1：~Qt{ZT=ZT，ˇZT∈ dˇk；Zt=Z，ˇZt=ˇZ}=~b（ˇk；w，T- t） dˇkb（ˇk；w，t-t）≡sπ（T- t）e-71k2（T-t）-e-（k+w）-w） 2（T-t）,ˇk≥ 0 . （54）接下来，我们为双指数过程（50）构造二元转移P DF。设FsTbe为T处F的最小值，条件是生存到T。类似地，设F在T处的提取，条件是生存到T。布朗极小值和布朗拔模的双变量转换PDF可用于推导该对（FsT，ˇFsT）的双变量PDF，条件是生存到T和（FsT，ˇFt）=（F，ˇF）。ForJ公司∈ （0，F）和ˇK≥ 1，我们寻求：Q{FsT∈ dJ，ˇFsT∈ dˇK | NT=0，Fst=F，ˇFt=ˇF}。换句话说，当我们将变量从（j，ˇk）变为：（j，ˇk）=（Feαj，eβˇkβ时，我们希望知道二元条件PDF-α).设j（j）是j=Feαj的逆：j（j）=αlnJF公司, J∈ （0，F）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-10 16:35:25

（55）类似地，设ˇk（ˇk）为ˇk=eβˇkβ的逆-α： ˇk（ˇk）=βlnβˇK+qα+β（ˇK- 1)α + β,ˇK≥ 1.（56）变量变化的雅可比行列式为：αJqα+β（ˇK- 1)-1.（57）使用变量的标准变化公式，得出J∈ （0，F），K≥ 1，该对（FsT，71fst）的条件二变量df由以下公式给出：Q{FsT∈ dJ，ˇFsT∈ dˇK | NT=0，Fst=F，ˇFt=ˇF}=F（J，ˇK；w，T- t） dJdˇKf（J，ˇK；w，t- t）≡sπ（T- t）ˇk（ˇk）- j（j）+we-（k（k）-j（j）+w）2（T-t） αJqα+β（ˇK-1），（58）和w=j（F）+k（F）。（59）请注意，w=Zt，我们使用w的原因是，它写在市场可观察物上，而Zt不是。设FsT=FsTˇFsTbe为T的远期价格，条件是生存到T。该对的二元PDF（FsT，71fst）可用于计算FsT的条件转移PDF:Q{FsT∈ dF | NT=0，Fst=F，71ft=71f}=g（F；w，T- t） dF，（60），其中g（F；w，t- t） =ZFfJ、 FJ；w、 T型- t型dJ（61）=ZFsπ（T- t）kFJ公司- j（j）+we-（k（FJ）-j（j）+w）2（T-t） αJrα+βhFJ公司- 1idJ和w在（59）中给出。当F仅以存活到t而非t为条件时，则（FT，ˇFT）和FT的转移PDF仅由其相应的以su rvivato t为条件的转移PDF和进一步存活到t的概率的乘积给出，即e-β（T-t）：Q{英尺∈ dJ，英尺∈ dˇK | Nt=0，Fst=F，ˇFt=ˇF}=F（J，ˇK；w，T- t） e类-β（T-t） dJdˇK，Q{FT∈ dF | Nt=0，Fst=F，71ft=71f}=g（F；w，T- t） e类-β（T-t） dF。（62）FTI的PDF是有界域上的积分，不能进一步简化。我们将发现，当公共支付与此PDF集成时，不会引入额外的求积。正是出于这个原因，我们认为过程F是可处理的。负鞅有两种类似的构造，它们也使用跳转到默认值。N的累积危险过程为∧t=eβt，具有确定性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-10 16:35:29

相反，假设累积危险过程为∧∧t=e-αZt，wh ich是随机的。设^N表示相应的计数过程，d设^F表示期望的非负鞅：^Ft=Fe-βteβˇZtβ-αNt=0，t≥ t（63）是一个从F＞0开始的非负鞅。由于Z=0，该过程开始时没有跳转到零的机会，但很快就会出现这种违约的可能性。更一般地说，可以从非正数m开始处理Zat≤ 0，并将进程重命名为Zto say m，因为Zis仍然为零。自ˇZt=Zt- mtstartsat卫星-m> 0，则还必须调整其原点：Ft=Fe-βteβ（ˇZt+m）β-α^Nt=0，t≥ t（64）还有一个非负马丁盖尔的构造，可能跳到零。现在假设N的累积危险过程为∧∧t=e-αZt+βt，其中我们返回到71zt=Zt- Z=0时的Z。让▄ndente记录相应的计数过程，让▄F表示所需的非负鞅：▄Ft=FeβˇZtβ-αОNt=0，t≥ t（65）是一个从F＞0开始的非负鞅。如果事件发生在F的第一个通行时间τ到恒定的上势垒H=eβHβ，则此过程很方便-α，其中h>0。在这种情况下，τ也是71ztoH的第一个通过时间。既然鞅从1开始，Zτ和τ的二元拉普拉斯变换就变得已知：=EeαZτ-βτeβhβ-α. （66）一个人可以通过再次改变累积hazard过程并通过如上所述的坐标变化进行补偿，来发展非负鞅的其他易于处理的构造。4在期权定价风险中性措施中，无套利确保证券的预期收益等于其当前价格。在本节中，我们将展示我们的模型如何应用于衍生品定价，前提是标的资产遵循风险中性度量中的次鞅方程（44）或鞅方程（50）的动力学。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 16:35:34

前者适用于以证券现货价格书写的衍生品，后者适用于证券的未来价格。由于这两个过程只因包含跳转到默认过程而有所不同，因此它们的定价公式非常接近。因此，我们只给出鞅动力学定价的推导。次鞅动力学的结果用下标标记，以便于澄清。注：由于我们的模型跟踪资产的最低运行率和提取率，因此它在路径相关期权的障碍类型定价中特别有用。4.1一触即用较低的屏障我们的第一个价格是一触即用较低的屏障。一触式期权支付一美元，前提是在到期前，资产的价格触及较低的利率，否则到期时一文不值。假设当前时间为t，且标的资产未违约（Nt=0）。一触式低门槛土地成熟度的价格T isOTt（L，T）=Ft≤升+英尺>升·NT=0Et英尺≤L+NT6=0=英尺≤升+英尺>升·e-β（T-t） EthZT公司≤ln L公司-ln Fαi+1- e-β（T-t）, （67）为了得到第二条线，使用FT=Feαzt。替换ZTone上的过渡PDF后，得到的SOTT（L，T）=Ft≤L+Ft>L·e-β（T-t） “2Nln L-ln Fα- w√T- t！- 1#+ 1!, （68）其中，w在（59）中给出，N是标准正态分布函数。取α=1时，一次触碰的价格降低到[2]中的价格。这是因为从本质上讲，单触期权的收益仅由基础的最小值决定，这是由两种情况下布朗运动的运行最小值驱动的。一触式书面现货价格的定价与等式n（44）类似，这相当于降低了等式n（50）中跳转到默认过程所导致的可能性。p rice由otspott（L，T）=Ft给出≤L+Ft>L·Et英尺≤L=英尺≤L+Ft>L·2Nln L-ln Fα- w√T- t！。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-10 16:35:38

（69）4.2回望期权lo-okback看涨期权在T到期，浮动履约价格支付资产终值与其最低值之间的差异，即终值d提取。如果发生默认情况（NT6=0），则选项过期无效（FT=FT）。因此，在鞅（50）下，该期权到期时的价值为thenLCfloat，t=NT=0Et[英尺- FT]=NT=0Et英尺ˇ英尺- 1.=NT=0EthFeαZTeβˇZTβ-α- 1.i、（70）如果安全性在t之后达到新的最小值，则可以使用方程（53）中的（ZT，'ZT）的双变量转换PDF评估方程（70）中的期望值，或者如果ZT=ZT：EthFeαZT，则使用方程（54）中的单变量转换PDF评估方程（70）中的期望值eβˇZTβ-α- 1.i=FZZt-∞djZ公司∞dˇksπ（T- t）（ˇk- j+w）e-（ˇk-j+w）2（T-t） eαjeβˇkβ-α- 1.+ FZ公司∞dˇksπ（T- t）e-71k2（T-t）- e-（k+w）2（T-t）eαweβˇkβ-α- 1., （71）其中ˇw=w- w、通过计算积分，我们得到了在tLCfloat下评估的该期权的价格，t=FeαwαβeβˇwN-ˇw- β（T- t）√T- t型-αβe-βˇwN-ˇw+β（T- t）√T- t型+β+αβNβ√T- t型+β - αβN-β√T- t型+ e-β（T-t）2N个-ˇw√T- t型- 1.- 2eαˇw+（α-β）（T-t） N个-ˇw- α（T- t）√T- t型. （72）lookb ack看涨期权现货价格的定价方法相同：LCSpotfloat，t=Et[英尺- FT]=EthFeαZTeβˇZTβ-α- 1.i=eβ（T-t） LCfloat，t.（73）如果我们转而考虑具有固定执行价格的回望期权，则支付由到期时看跌/看涨回望期权的最小/最大值决定。由于Eqn（50）跟踪最小值和提取，因此可以使用它来评估具有固定价格的回望看跌期权。价格由Pfixed给出，t（K，t）=NT=0Et（K）- 英尺）++NT6=0·K，LPSpotfixed，t（K，t）=Et（K）- 英尺）+, （74）其中K是履约价格。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-10 16:35:41

这可以通过将一触式屏障的价格与屏障进行积分来评估，因此为了简单起见，我们将不进行推导。我们还可以设计另一种类似于回望看涨期权的衍生品，该期权具有浮动的履约价格，支付到期前终端价格与最低价格之间的比率。由于基础资产可以违约（FT=FT=0），我们假设在这种情况下，支付为零。此选项的价格由C给出*浮动，t=NT=0Et英尺- FTFT公司=NT=0Et公司FTFT公司- 1.=NT=0EtheβˇZTβ-αi- 1., （75）可使用双变量PDF评估期望值：EtheβˇZTβ-αi=ZZt-∞djZ公司∞dˇksπ（T- t）（ˇk- j+w）e-（ˇk-j+w）2（T-t） eβˇkβ-α+Z∞dˇksπ（T- t）e-71k2（T-t）- e-（k+w）2（T-t）eβˇkβ-α- 1.（76）可类似于方程式（72），LC进行评估*浮点数，t=β+αβNβ√T- t型+β - αβN-β√T- t型- 1.（77）注意LC的值*浮动，无单位，因为期权写在提取比率上。如果存在与基础证券相关的大小，则可以将其乘以LC*浮动，这给了它一个美元的数额。如等式（73）所示，该衍生工具的现货价格为isLC* Spotfloat，t=eβ（t-t）信用证*float，t.（78）4.3 Vanilla和Down and In CallNow我们为Down and In Call（DIC）期权定价，如果较低的barrieris在到期前到达，该期权将从无价值变为van illa Call。普通呼叫可以被视为一种特殊情况，即在出现之前已击中较低屏障的下入障碍呼叫（DIC）。写在FTI上的DIC选项的值由DICT给出（L，K，T）=Ft≤L·NT=0·Ct（K，T）+Ft>L·NT=0·Et英尺≤L（英尺- K）+, （79）其中L是障碍，K是履约价格，T是到期日，CTI是以T定价的普通看涨期权。Note settingL=将DIC引入普通呼叫。如等式（79）所示，如果发生违约（NT6=0），则选项将变为无。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 16:35:46

为了评估（79）中第二项的期望值，我们再次应用双变量转换PDF:Et英尺≤L（英尺- K）+= Et公司ZT公司≤αlnLF（FeαZTeβˇZTβ-α- K）+=Z 1αlnLF-∞djZ公司∞k*dˇksπ（T- t）（ˇk- j+w）e-（ˇk-j+w）2（T-t）Feαjeβˇkβ-α- K, （80）其中k*（j）由K确定*= 最大值f-1.SFeαj, 0, f（x）=eβxβ-α. （81）对于k的依赖性*在j上，上述积分不能以闭合形式获得，类似于[2]中的情况。尽管如此，结果可以进一步简化英尺≤L（英尺-K）+= FZαlnLF-∞djeαj+β（T-t）（β+α）eβ（j-w） N个j- w- k*+ β（T- t）√T- t型-(β - α） e类-β（j-w） N个j- w- k*- β（T- t）√T- t型, （82）在用市场观察值代替ZT后，DIC期权的价值增加了，我们现在有了DIC期权的价格：DICt（L，K，T）=Ft≤LCt（K，T）+Ft>LFZαlnLF-∞djeαj（β+α）eβ（j-w） N个j- w- k*+ β（T- t）√T- t型-(β - α） e类-β（j-w） N个j- w- k*- β（T- t）√T- t型. （83）在L=F的特殊情况下，DIC期权减少为普通看涨期权，价格为Ct（K，T）=FZ-∞djeαj（β+α）eβ（j-w） N个j- w- k*+ β（T- t）√T- t型-(β - α） e类-β（j-w） N个j- w- k*- β（T- t）√T- t型, （84）完成了等式（50）上DIC期权的定价。对于DIC期权现货价格，方程式（79）becomesDICSpott（L，K，T）=Ft≤L·CFX Sp ott（K，T）+Ft>L·Et英尺≤L（英尺- K）+, （85），这导致方程（83）和方程（84）都有轻微的修改，结果是dicspott（L，K，T）=Ft≤LCSpott（K，T）+Ft>LFeβ（T-t） ZαlnLF-∞djeαj（β+α）eβ（j-w） N个j- w- k*+ β（T- t）√T- t型-(β - α） e类-β（j-w） N个j- w- k*-β（T- t）√T- t型,CSpott（K，T）=Feβ（T-t） Z-∞djeαj（β+α）eβ（j-w） N个j- w- k*+ β（T- t）√T- t型-(β - α） e-β（j-w） N个j- w- k*- β（T- t）√T- t型. （86）在结束本节之前，我们想指出，等式（83）与几个选项有关。例如，当α=1和β=0时，结果减少到[2]中的结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-10 16:35:48

在零罢工DIC选项（K=0）的特殊情况下，Eqn（83）具有闭合形式表达式：DICt（L，0，T）=FLF公司α+βe-βwNαlnLF- w+β（T- t）√T- t！-2eαw+（α-β）（T-t） NαlnLF- w- α（T- t）√T- t+LF公司α-βeβwNαlnLF- w- β（T- t）√T- t！.（87）5总结与推广我们提出了一个状态空间为[0，∞). 这是通过在Az'ema Yorsetting中首先生成一个正漂移的过程，该过程由运行最小值和布朗运动的上升驱动，并向默认过程添加一个跳跃。该过程通过增加两个参数来推广无漂移几何布朗运动，同时保持其可跟踪性。特别是，其运行最小值和drawuprate（水位和运行最小值之间的比率）都是可分析的。三个模型参数α、γ和β可分别解释为标的证券在每一个新低、初始时间和标的证券价格极高时的瞬时波动率。参数α控制着低阶次的隐含波动率，而参数β控制着高阶次的隐含波动率。只要隐含波动率在执行价格中是单调的，参数γ可以用来满足货币隐含波动率。结果表明，在一定的范围内，这个新过程可以归结为几何布朗运动和[2]给出的正鞅。我们还提出了流程运行最小值和提取率的二元转换PDF。通过使用过渡PDF，我们对几个选项进行了定价，假设动态由风险中性度量中的三个参数驱动。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 16:35:51

这些选项包括具有较低门槛的一键式选项、具有浮动和固定履约价格的回望选项、普通看涨期权和看跌期权。由于并非所有隐含波动率切片都是单调的，因此未来的研究应通过引入随机波动率或jum P来扩展模型。人们也可以使用不跳到违约的过程来建模涉及正漂移的动态，例如，投资策略的累积回报。此外，Girsanov定理可用于消除G的漂移，此时可使用反射原理。为了简洁起见，最好将这些扩展留给未来的研究。感谢Matthew Lorig、Vasily Strela、Jane Yu，尤其是Travis Fisher的评论。他们不对任何错误负责。附录1关于eβxβ的更多信息-α本技术附录证明了结果（6）。对于x≥ 0, α ≥ 0，且β>0，我们的双参数指数函数定义为：eβxα-β≡α+β2βeβx+α- β2βe-βx.（88）将该结果平方表示：eβxα-β=α + β2βe2βx+α- β2β+α - β2βe-2βx.（89）考虑（88）的队列：eβxβ-α≡α+β2βeβx+β- α2βe-βx.（90）将该队列平方表示：eβxβ-α=α + β2βe2βx-α- β2β+α - β2βe-2βx.（91）从（89）中减去（91）意味着：eβxα-β-eβxβ-α=α- ββ. （92）取每边的正平方根，得出d esir ed结果：eβxα-β=seβxβ-α+α- ββ. （93）参考文献[1]Black，F.，1976，“商品合同的定价”，金融经济学杂志，3，167–179。[2] C arr P.，2014，《一阶微积分与期权定价》，金融工程杂志，第1期，第1页。[3] Guyon，J.，2014，“路径依赖性波动”，风险，10。[4] 霍布森，D.G.和L.C.G。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝