非马尔可夫最优停止的离散型逼近

2022-6-1 03:45:32

非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第I部分：竞争对手LE▄AO、ALBERTO OHASHI和FRANCESCO RUSSOAbstract。在本文中，我们提出了一种离散型近似方案来解决基于完全非马尔可夫连续过程的连续时间最优停止问题，该过程适用于布朗运动过滤。这些近似满足适当的变分不等式，从而可以构造出完全通用的-最优停止时间和最优值。基于分数布朗运动驱动的路径相关随机微分方程的报酬泛函，给出了最优值的显式收敛速度。特别是，该方法允许我们为非马尔可夫最优停止时间问题设计具体的蒙特卡罗方案，如Bezerra、Ohashi和Russo的论文所示。引言一类重要且发展良好的随机控制表ms与最佳停止时间有关。目标是确定停止时间，在此时间，应停止底层随机过程Z，以优化某些给定感兴趣函数的值。从本质上讲，最优停止时间问题完全由所谓的supermartingale-Snell包络（1.1）S（t）：=ess supτ描述≥tE[Z（τ）| Ft]，0≤ t型≤ T、书面w.r.T给定过滤F=（Ft）0≤t型≤T、式中，（1.1）中的esssup是根据位于【T，T】上的所有F停车时间计算的。关于最优停止问题中概率技术的文献很多。例如，我们参考了文献[26，14]中的世博会选址以及其中的其他参考文献，对这一领域的技术进行了广泛概述。求解最优停止时间表m的一种典型方法是沿每个iod t的离散时间离散Snell包络线（1.1），采用欧拉型离散格式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:45:35

主要障碍是在动态编程算法中获得连续值（表示为Fti-c条件期望值）。在这种情况下，可以通过使用基于回归多项式的适当选择的非参数回归技术来使用最小二乘蒙特卡罗方法（参见例如[34]和其中的其他参考文献）。另一种流行的方法是，根据使用Malliavin演算获得的无条件期望的适当比率，利用条件期望的一些可用表示（参见例[12]）。这些方法很好地发挥了作用，可以通过有限维随机向量X（t），…，降低信息流（Fti）pi=0，X（tp）。只有当该州是马尔可夫州时，这才可能实现。否则，从计算的角度来看，连续值的计算在先验上是不可行的。许多作者也研究了[32]中研究的双重方法（如[5]和其中的其他参考文献）。在这种方法中，关键步骤是找到“最优”鞅，而马尔可夫性质的重要性对于获得具体的基函数来参数化鞅似乎至关重要（参见例[5，3和3]）。除了马尔可夫状态过程之外，一种方法是将斯内尔包络表示为反射BSDE的唯一解。一方面，在表示层面上，反射BSDES理论充分概括了S的半鞅结构。另一方面，计算鞅表示的具体方法仅限于马尔可夫情形（参见[2，3，日期：2019.1991年6月24日数学学科分类。主要：60H35；次要：65C30。关键词和短语。最优停止；随机最优控制。2 DORIVAL LEAO，ALBERTO OHASHI，and FRANCESCO RUSSO10，11]）。基于路径相关PDE的最新方法（参见。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:45:39

[18] ）在与反射BSDE相关的障碍物上，在路径规则性下，斯内尔包络的y场差异表示（即使在完全非线性的情况下）。我们还强调了【20】最近对斯内尔包络的表示结果，即在放大的概率空间上定义的真实BSDE，包含一个ump部分，并涉及符号约束。我们观察到，使用反射式BSDE和路径依赖型BSDE来具体解决马尔可夫情形之外的最优停止问题似乎是一项非常艰巨的任务。关键困难在于，解决完全非马尔可夫状态的最优停止时间问题本质上是一个由有限维状态驱动的随机最优控制问题。基于完全非马尔可夫状态的报酬路径依赖泛函的最优停止时间问题在许多应用中都存在，设计具体的解决方法是一项具有挑战性的任务。一个典型的例子是在随机波动性模型（X，V）上编写的美式期权定价问题，其中波动性变量V是具有长期依赖性（参见[15]和其中的其他参考文献）或短期依赖性的分形布朗运动（FBM）的函数，正如许多著作最近观察到的那样（参见[4，22，21]和其中的其他参考文献）。在这种情况下，由于与FBM相关的非平凡相关性，无法将（X，V）解释为“增广”的有限维马尔科夫过程，因此相关最优停止问题的具体解决方案非常具有挑战性。我们强调，即使是基于有限维“增广”马尔科夫模型（X，V）（例如，由布朗运动驱动的CIR型模型）的最优停止问题也不容易解决（参见[3 1，1]）。实际上，波动率V不是直接观察到的，因此必须对其进行近似。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:45:42

如果准确估计波动率，则可以采用标准马尔可夫方法来解决控制问题。否则，最优停止问题是非马尔可夫的。本文的目的是提出一种基于任意连续报酬过程s Z构造最优s topping问题连续区域和最优值的系统方法。我们对非马尔可夫情形特别感兴趣，即：。，Z=F（X），其中F是基础非马尔可夫连续过程X的路径依赖函数，该过程适用于d维布朗运动B生成的过滤。在我们的哲学中，奖励过程Z被视为B的一般非预期函数，即（1.2）B 7→ Z（B）而不是X a，它可能基于不可还原为马尔科夫过程向量的不同类型的状态：路径相关SDE的解、涉及分数布朗运动的过程以及布朗运动的其他奇异泛函。该方法基于Le▄ao和O hashi【27】以及Le▄ao、Ohashi和Simas【28】，他们展示了一大类Wiener泛函（1.2）w.r的非常强的连续性/稳定性。t由适当的等待时间Tkn驱动的连续时间随机游动结构D；n、 k级≥ 1（见（2.1）和（2.2）），其中记录了小尺度下布朗运动的演化↓ 0作为k→ +∞. 这里，对于具有inve rseξ的严格递减函数，k=Д（k）。其主要思想是通过将给定时间t的布朗过滤分解为（1.3）Fkt：=n[j≥0Dj∩ {Tkj≤ t<Tkj+1}；Dj∈ σ（Akj），j≥ 0o，其中σ（Akj）；j≥ 1是由随机向量（1.4）Akj生成的sigma代数序列：=Tk，ηk，Tkj，ηkj在有限维离散空间的笛卡尔乘积上取值（包括合适的符号（ηkj）j≥1of D）乘以[0，T]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-1 03:45:44

与之前的离散化方案相比，我们的方法必须被解释为一种空间过滤离散化方案：（i）以随机间隔Tkn≤ t<Tkn，非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分3布朗运动位于具有并矢端点形式的o-pen子集上(l - 1） k(l + 1） k对于l ∈ Z和-n≤ l ≤ n、（ii）FKTA是Fkt的重要财产∩{Tkn≤ t<Tkn+1}=σ（Akn）∩{Tkn≤t<Tkn+1}；n≥ 结构D是由{Akn；k，n≥ 1} 第一步是评估嵌入到结构D中的最优停止时间问题，其中所有B rownian运动的泛函都被{Akn；n，k的泛函所取代≥ 1}. 考虑了两类容许停止时间。第一类由所有罗年停止时间组成，这些时间取[0，T]中的值。第二类进一步将允许值集限制为离散网格{n；n=0，1，…，e（k，T）}，其中e（k，T）=d-2吨是与合适的圆盘网结构相关的最大步数（Sk）k≥1，D对于（1.1）。步数由大偏差pr inc iples确定（见引理2.2 in【25】、引理3.1和（5.12）），它只取决于布朗运动的维数d和离散化水平k。结构（Sk）k≥1，D通常通过D驱动的Euler型格式进行构造。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-1 03:45:47

这两个问题在t=0时的最佳值分别用S（0）和Vk表示。与经典al方法相比，我们的方法的优势在于具体分析了非马尔可夫状态的最优停止问题：首先，回顾我们将状态（1.2）解释为维纳函数的哲学，过滤（Fkt）0≤t型≤t对整个布朗历史进行汇总，使最优存储问题（1.1）的（有限维）信息流可以减少为条件期望w.r.t随机向量（1.4）沿时间网格n=0，e（k，T）。然后，将非马尔可夫状态视为（1.4）的泛函，与之前的方法相比，可以通过基于非完美模拟算法（Burq和Jones[13]）的标准回归技术，公平地计算与我们的近似Optima-lstoppr问题相关的连续值，首次布朗运动达到±1。这使我们能够根据高维离散时间动态规划算法大幅降低连续时间非马尔可夫问题的维数。其次，维纳泛函（1.2）w.r.t D的stro-ng稳定性允许我们具体处理基于反射BSDE、路径相关PDE和其他离散化方法的经典方法无法达到的非马尔可夫态。定理3.1和3.2给出了一个广义最优停止时间问题的抽象结果，该问题的广义状态以[28]的语言表示为嵌入离散结构。作为对我们理论相关性的检验，第5节给出了基于带参数的分数布朗运动驱动的路径相关SDE的具体例子≤ H<1。命题5。1和5.3提供Vkto S（0）的收敛率。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:45:51

更重要的是，如第5.3节所述，VKC可以通过0以上的经典离散时间动态编程原理进行具体计算≤ n≤ e（k，T）基于（1.4）生成的信息集。在分数布朗运动驱动的典型非马尔可夫状态下，算法的工作量（复杂性），对于给定的精度e，它与O（1）成正比-2λk*) 对于H-< λ<和k*= ξ（e1-2λ），这反过来意味着e（k*, T）=d-2公里*T 算法中的步骤数。基础状态Ak*e（k*,T）生活在e（k）中*, T）（d+1）-维度空间。B ezerra、Ohashi和Russo在复写纸上开发了一种具体的蒙特卡洛血红素。最后，我们提到，通过将优化问题投影到过滤（Fkt）0上，计算S w.r.t B（对冲策略）的敏感性没有概念上的障碍≤t型≤与【28】中介绍的描述测试过程中Doob-Meyer分解的不同推动者合作。这将在未来的项目中进行调查。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了离散化方案的基本目标。在第3节中，我们给出了本文的主要结果，并解释了如何将Methodology具体用于解决马尔可夫情形以外的最优停止问题。在第4节中，我们给出了命题3.1和定理3.1的证明。第5节用两个例子说明了逻辑方法。第5.3节解释了如何在具体示例中操作离散时间动态编程原理。4多里瓦尔·勒奥、阿尔贝托·奥哈希和弗朗西斯科·鲁斯索。通过这篇文章，我们将得到一个d维布朗运动B={B。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:45:53

，Bd}在通常的随机基上(Ohm, F、 P），其中Ohm 是空间C（[0+∞); Rd）：={f:[0+∞) →Rdcontinuous}，具有紧区间上一致收敛的常见拓扑。维纳测度是否为onOhm 使得P{B（0）=0}=1，F：=（Ft）t≥0是布朗运动产生的自然过滤的常见P-a强化。在续集中，我们回顾了这些作品所提出的理论的基本结构，并让读者了解这些作品中所有无法解释的要点。对于固定正序列{k；k≥ 1} 这样的PK≥1k<+∞, 对于每个j=1，d、 Wedefine Tk，j：=0 a.s.，我们设置（2.1）Tk，jn：=infTk，jn-1<t<∞; |Bj（t）- Bj（Tk，jn-1） |=k, n≥ 1、对于每个j∈ {1，…，d}，族（Tk，jn）n≥0是F停止时间的序列，强Markovproperty表示增量{Tk，jn- Tk，jn-1.n≥ 1} 是一个具有相同分布的i.i.d序列Tk，j。此外，Tk，jis是一个绝对连续变量（见[28，9]）。根据这组停止时间，我们将Ak：=（Ak，1，…，Ak，d）定义为d维逐步过程，其分量由Ak，j（t）给出：=∞Xn=1kσk，jn{Tk，jn≤t} ；t型≥ 0，其中σk，jn：=1.如果Bj（Tk，jn）- Bj（Tk，jn-1) > 0-1.如果Bj（Tk，jn）- Bj（Tk，jn-1） <0，对于k，n≥ 1和j=1，d、设Fk，j：={Fk，jt；t≥ 0}是由{Ak，j（t）；t生成的自然过滤≥ 0}. Akis产生的多维过滤自然具有以下特征。设Fk：={Fkt；0≤ t<∞} 是Fkt给出的产品过滤：=Fk，1t Fk，2t · · · Fk，dtfort≥ 设T：={Tkm；k，m≥ 0}是从随机变量族{Tk，j}中获得的有序统计量l; l, k≥ 0; j=1，d} 。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:45:56

也就是说，我们设置Tk：=0，（2.2）Tk：=inf1≤j≤dnTk、jo、Tkn：=inf1≤j≤dm公司≥1nTk，jm；Tk，jm≥ Tkn-1对于n≥ 结构D：={T，Ak，j；1≤ j≤ d、 k级≥ 1} 是[28]语言中布朗运动的离散t型骨架（见[28]中的定义2.1）。通过本文，我们设置（2.3）Tkn：=Tkn- Tkn-1，Nk（t）：=最大值{n；Tkn≤ t} ，(R)tk：=最大值{Tkn；Tkn≤ t} ；t型≥ 0和ηk，jn：=1.如果Ak，j（Tkn）>0-1.如果Ak，j（Tkn）<00；如果Ak，j（Tkn）=0，对于n≥ 1、让我们表示ηkn：=ηk，1n，ηk，dn,Ik：=n（Ik，…，ikd）；ikl∈ {-1, 0, 1} l ∈ {1，…，d}和dxj=1 | ikj |=1非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分5和Sk：=（0+∞) ×IK代表k，n≥ 1.滑雪板的n-fold笛卡尔积由snk表示，snk的ageneric元素将由bkn表示：=（sk，~ik，…，skn，~ikn）∈ Snkwhere（skr，~ikr）∈ (0, +∞) ×Ikfor 1≤ r≤ n、我们还表示tkj：=jXl=1skl,对于给定列表（sk，…，skj）∈ (0, +∞)JJ其中j≥ 1、我们方法中的行驶噪声由以下离散时间过程（2.4）Akn给出：=Tk，ηk，Tkn，ηkn∈ 斯奈卡。s、应注意，t FkTkn=（Akn）-1（B（Snk））到P-null集，其中B（Skn）是由Snk生成的Borelσ-a代数；n≥ 1、转移概率。系统的规律将根据PKN（E）定义的以下亲婴儿测量值演变：=P{Akn∈ E} ；E∈ B（Snk），n≥ 1、根据定义，Pkn（·）=Pkr（·×Sr-nk）对于任何r>n≥ 通过构造，Pkr（Snk×·）是一个正则测度，B（Sk）是可数生成的，那么众所周知存在（Pkn-a.s.唯一）一个崩解νkn，r:B（Sr-nk）×Snk→ [0，1]实现了espkr（D）=ZSnkZSr-nkD（bkn，qkn，r）νkn，r（dqkn，r | bkn）Pkn（dbkn），每D∈ B（Srk），其中qkn，ris是bkronto到最后一个（r）的投影- n）组件，即qkn，r=（skn+1，~ ikn+1，…，skr，~ ikr），列表bkr=（sk，~ ik，…，skr，~ ikr）∈ Srk。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:45:59

有时，我们表示νk0，r：=Pkrfor r≥ 如果r=n+1，我们表示νkn+1：=νkn，n+1。有关此条件概率的显式公式，请读者参阅[30]。设Bp（F）为c\'adl\'ag F-适应过程Y的spa-ce，使得ky kpBp：=EkY kp∞< ∞哪里kY k∞:= sup0≤t型≤T | Y（T）|，1≤ p<∞ 和0<T<+∞ 是固定的终点时间。在续集中，[·，·]是Fk二次变分算子。[28]研究了以下一类Fk适应过程的潜在差异结构和渐近性，这类过程将在这项工作中发挥关键作用。定义2.1。我们说Y=（Xk）k≥1，D是X的嵌入离散结构∈ Bp（F）如果Xkis是Fk适应的形式为（2.5）Xk（t）的纯跳跃过程的序列=∞Xn=0Xk（Tkn）11{Tkn≤t<Tkn+1}；0≤ t型≤ T、它有可积的二次变差E[Xk，Xk]（T）<∞; k≥ 1和（2.6）limk→+∞kXk公司- XkBp=0对于某些p≥ 1.6多里瓦尔·勒奥、阿尔贝托·奥哈希和弗朗西斯科·鲁索3。构造S的嵌入结构和t的近似最优停止时间≤ T，我们将Tt（F）表示为所有F停止时间τ的集合，使得T≤ τ ≤ T a.s。。对于n≥ 0，我们用Tk表示，n（F）：=t（F）表示t=Tkn。为了缩短符号，我们设置Tk，n：=Tk，n（F）。通过本文，我们假设奖励过程Z是一个F适应的连续过程，它满足积分正则条件（A1）kZkpBp<∞ p≥ 对于给定的奖励过程Z，设S为与ZS（t）关联的斯内尔包络：=ess supτ∈Tt（F）E【Z（τ）| Ft】，0≤ t型≤ T、我们假设S满足以下可积条件：（A2）kSkpBp<∞ p≥ 假设（A1-A2）在可积性范围可以放宽的意义上并不重要。为了简化表达式，我们假设（A1-A2）成立。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-1 03:46:02

由于手头的最优停止时间问题发生在紧集[0，T]上，因此在我们的离散化方案中，知道正确的周期数至关重要。为此，让x个是最小的自然数，大于或等于x≥ 然后我们表示（k，T）：=d-2吨; k≥ 引理3.1。对于任何0<T<∞,E | Tke（k，T）- T型|→ 0和Tke（k，T）→ T a.s.作为k→ ∞.证据请注意t | Tkd-2吨- T |≤ maxn | max1≤我≤dTk，i-2吨- T |，| min1≤我≤dTk，i-2吨- T | oa。s、每k≥ 然后，我们应用[25]中的引理2.2来总结证明。由于这个结果，我们将把分析减少到确定的周期数e（k，T）。Wedenote Dk，mnas所有Fk停止时间的集合τ=mXi=nTki{τ=Tki}，其中{τ=Tki；i=n，…，m}是Ohm 和0≤ n≤ m、让我们表示Dkn，T：={η∧ Tη ∈丹麦，∞n} 。我们观察到Dk，∞是所有Fk完全不可访问的停止时间的集合。设{Zk；k≥ 1} 是形式（2.5）和let{Sk；k）的纯跳跃过程序列≥ 1} 是（3.1）Sk（t）给出的关联值过程：=∞Xn=0Sk（Tkn）1{Tkn≤t型∧Tke（k，T）<Tkn+1}；0≤ t型≤ T、 0的位置≤ n≤ e（k，T），我们表示sk（Tkn）：=ess supτ∈Dk，e（k，T）nEhZk（τ∧ T）FKTKNI和UY、k、pS（Tkn）：=E“Sk（Tkn+1）kFkTkn#。非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分7以下结果显示了由骨架D驱动的嵌入离散结构所起的基本作用：={T，Ak，j；1≤ j≤ d、 k级≥ 1} ：它能够将离散结构提升到布朗滤波中，而不会在优化问题中失去Fk适应性。我们将第3.1条提案的标题置于第4节。提案3.1。设zk为形式（2.5）的纯跳跃过程。对于每个n≥ 0和k≥ 1，Wehavess supτ∈Dkn、TEhZkτ|FkTkni=ess supτ∈Tk，nEhZkτ|FkTknia。s、 3.1。-最佳停止时间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:05

动态规划算法允许我们将停止和继续区域定义为以下（i，k）：=nbki∈ Sik；Zki（bki）=Vki（bki）o（停止区域n）D（i，k）：=nbki∈ Sik；Vki（bki）>Zki（bki）o（延拓区域），其中0≤ 我≤ e（k，T）和Vkn：Snk→ R和Zkn：Snk→ R是实现（3.2）Sk（Tkn）=Vkn（Akn）a.s和Zk（Tkn）的Borel函数∧ T）=Zkn（Akn）a.s；n=0，e（k，T）。设Yk（i）：=Zk（Tki∧ T）；我≥ 我们将Jk，mnas设为所有（FkTki）mi的se t=0，对于给定的0，在{n，n+1，…，m}上取值的停止时间≤ n<m<∞. 根据经典的最优停车理论，最小（FkTki）e（k，T）i=0-最优停车时间w.r.T问题supτ∈Je（k，T）EYk（τ）由（3.3）τk得出：=minn0≤ j≤ e（k，T）；Akj公司∈ S（j，k）o=最小值0≤ j≤ e（k，T）；Sk（Tkj）=Zk（Tkj∧ T）根据结构确定的a.s。此外，（3.4）ess supη∈ Jk，e（k，T）nEhYk（η）| FkTkni=ess supτ∈Dk，e（k，T）nEhZk（τ∧ T）| FkTknia。s、对于每个0≤ n≤ e（k，T）。动态编程原理可以写成（3.5）（τke（k，T）：=e（k，T）τkj：=j11Gkj+τkj+1（Gkj）c；0≤ j≤ e（k，T）- 其中gkj：=（Zkj（Akj）≥ EhZkτkj+1（Akτkj+1）阿克吉）；0≤ j≤ e（k，T）- 1和τk=τka。s、函数序列Ukj:Sjk→ R（3.6）bkj7→ Ukj（bkj）：=EhZkτkj+1（Akτkj+1）Akj=bkji；0≤ j≤ e（k，T）- 1称为连续值，它们在获得最佳值方面起着关键作用。通过e（k，T）-步骤上的动态编程原理，可以重建产生最佳收益的值函数，该步骤提供了8 DORIVAL LEAO、ALBERTO OHASHI和FRANCESCO RUSSOsupη∈ Jk，e（k，T）eYk（η）= maxnZk（0）；EVk（Ak）o、其中EVk（Ak）= EhZkτk（Akτk）i.此外，（3.7）EYk（τk）= EZk（Tkτk∧ T）= supτ∈Dk0，TEZk（τ∧ Tke（k，T））= supτ∈T（F）EZk（τ∧ Tke（k，T））其中，恒等式（3.7）中的最后一个基本等式是由命题3.1得出的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:08

让我们表示（3.8）Vk：=supτ∈Dk0，TEZk（τ∧ Tke（k，T））; k≥ 1、我们现在可以陈述本文的主要结果。定理m 3.1的证明推迟到第4节。定理3.1。设S为与满足假设的奖励过程相关联的斯内尔包络（A1-A2）。设{Zk；k≥ 1} 是形式为（2.5）且let{Sk；k的纯跳跃过程序列≥ 1} 是（3.1）给出的相关价值过程。如果Z=（Zk）k≥1，D是嵌入的离散结构，其中（2.6）适用于p>1，然后是S=（Sk）k≥1，D是S的嵌入离散结构，wherelimk→+∞E sup0≤t型≤T | Sk（T）- S（t）|=0。此外，{Sk；k≥ 1} 是形式（2.5）的纯跳跃过程的唯一序列，满足以下变分不等式axnuy，k，pS（Tki）；Zk（Tki∧ T）- Sk（Tki）o=0 i=e（k，T）- 1.0，a.s.（3.9）Sk（Tke（k，T））=Zk（Tke（k，T）∧ T）a.s.定理3.2。让Z=（Zk）k≥1，D是奖励过程Z的嵌入离散结构，并让τkbe为（3.3）给出的最佳停止时间。那么，Tkτk∧ T是布朗过滤中的-最佳停止时间，即对于给定的>0，supη∈ T（F）EZ（η）- <EZ（Tkτk∧ T）每k足够大。此外，（3.10）supτ∈T（F）EZ（τ）- Vk公司≤ EkZk（·）∧ Tke（k，T））- Zk公司∞→ 0as k→ +∞.证据嵌入离散s结构性质、Z的路径连续性和引理3.1 yieldEkZk（·）∧ Tke（k，T））- Zk公司∞→ 0as k→ +∞. 这表明（3.11）supτ∈T（F）EZk（τ∧ Tke（k，T））- supτ∈T（F）EZ（τ）≤ E sup0≤t型≤T | Zk（T∧ Tke（k，T））- Z（t）|→ 0as k→ +∞. 通过（3.7）（另见命题3.1）、（3.8）和（3.4），我们得出（3.10）。现在，通过使用（3.7）和（3.11），对于给定的>0，我们得到了非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分9（3.12）supτ∈T（F）EZ（τ）- <supτ∈T（F）EZk（τ∧ Tke（k，T）∧ T）= EZk（Tkτk∧ T）每k足够大。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:11

ZKE的嵌入离散结构性质Zk（Tkτk∧T）<EZ（Tkτk∧ T）+ 每k足够大。这意味着supτ∈T（F）EZ（τ）- 2<EZ（Tkτk∧ T）每k足够大。仍需显示Tkτkis和F-停止时间。清洁，Tkτk：Ohm → R+isF可测量。我们声称tkτk（ω）（ω）≤ t和ω|[0，t]=ω′|[0，t]，然后Tkτk（ω）（ω）=Tkτk（ω′）（ω′）。召回τk（ω）=minn0≤ j≤ e（k，T）；Akj（ω）∈ 我们注意到Tkτk（ω）（ω）≤ t意味着计算Tkτk（ω）（ω）所需的所有信息都位于布朗路径ω|[0，t]上。这可以通过以下事实很容易看出：每个连续时间随机游动Ak，j；j=1，d仅（可能）跳跃t停止次数（Tkn）n≥在这种情况下，如果ω|[0，t]=ω′|[0，t]和Tkτk（ω）（ω）≤ 那么我们必须有Tkτk（ω）（ω）=Tkτk（ω′）（ω′）。根据Galmarino的试验（见【16】No.IV 94-103，pp 145-152），我们得出结论，Tkτkis an（eFt）t≥0-停止时间，其中（eFt）t≥0是维纳空间上布朗运动生成的原始过滤。这表明Tkτk∧ T是一个F停止时间，（3.12）允许我们总结证明。备注3.1。嵌入离散结构的重要性在定理3.2中已经很明显：当k足够大时，沿离散型过滤（FkTkn）e（k，T）n=0的最大化本质上等同于沿布朗过滤的最大化。更重要的是，嵌入结构允许我们降低最优停车问题的维数（参见第5.3节和示例5.1）。命题3.1和定理3.1的证明为了证明收敛性，我们需要一个关于优化问题中涉及的条件期望的微妙的路径论证。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:14

对于形式（2.5）的给定纯跳跃过程，存在Borel函数列表hkl: Slk→ 实现zk（t）的R=∞十、l=0hkl（Akl)1{Tkl≤t<Tkl+1} a.s。；0≤ t型≤ T、换句话说，Zkn（Akn）=Zk（Tkn∧ T）a.s.，其中ZKN（bkn）=hkn（bkn）；如果tkn≤ Thkj（bkj）；如果T<tkn，tkj≤ n的T<tkj+1≥ 在续集中，我们定义了两个自然数0≤ n≤ r、对于给定τ∈ Dk，rn，存在Borel函数列表gkl: Slk→ 实现（4.1）τ=rX的Rl=nTk公司lgk公司l（Akl) a、 swhere gk公司l（Akl) = 1{τ=Tkl}; n≤ l ≤ r、优化问题中的作用空间由aj给出：=nx=（x，…，xj）∈ 新泽西州；jX公司l=1台l= 1o；j>1。Ar的要素-n+1×SRK将用OK、n、r表示：=akn，akr，黑色.10多里瓦尔·勒奥、阿尔贝托·奥哈希和弗朗西斯科·鲁索夫的Borel函数列表l: Slk→ {0，1}实现（4.1），我们定义了映射Ξk，gkn，r:Srk→应收账-n+1×SRKg由Ξk、gkn、r（bkr）驱动：=吉凯恩（bkn），gkr（黑色），黑色; 黑色∈ Srk。我们观察到，我们可以选择se（gkl)rl=以这种方式（gkn（bkn），gkr（黑色））∈ 应收账-每个KR的n+1∈ Srk。此外，还存在一个显式映射γkn，r:Ar-n+1×Srk→ R使得（4.2）Zk（τ∧ T）=γkn，rΞk，gkn，rAkr公司a、 s.，其中γkn，r（正常，n，r）：=rXl=nhk公司l（黑色l)1{1}（akl)1{tkl≤T}（黑色l) +接收l=nhk公司l（黑色l)1{tkl≤T<tkl+1} rXj=n{1}（akj）1{tkj>T}（bkj）！。我们还应该计算Zk（τ）的路径表示∧ T）但对于更一般的停止时间类别。Le teTk，n，rbeη=rX形式的所有F停止时间的se tl=nTk公司l{η=Tkl}其中{η=Tkl} ∈ FTk公司l; n≤ l ≤ r、当然，Dk，rneTk、n、rfor每0≤ n≤ r和k≥ 1、重新调用Tkn<∞ a、 s代表每n≥ 0.在这种情况下，已知（例如，见[23]中的推论3.22），（Φkj）-1.O= FTkj，其中O是上的可选σ-代数Ohm ×R+和Φkj（ω）：=ω、 Tkj（ω）; ω∈ Ohm*, j≥ 1，其中P(Ohm*) = 1、为了保持注释简单，我们选择了Φkjde的一个版本，到处都有定义，并使用符号总线e将其写为Φkj。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:17

基于这一事实，对于给定η∈eTk，n，r存在lista Borel函数Дkl: Ohm ×R+→ {0，1}实现（4.3）η=rXl=nTk公司l^1kl（Φkl) a、 s.用于Borel函数列表l: Ohm ×R+→ {0，1}意识到（4.3），我们然后定义映射Ξk，Дkn，r：Ohm ×Rr-n+1+→ 应收账-n+1×SRKg由Ξk，Дkn，r（ω，xn，…，xr，bkr）驱动：=^1knΦkn（ω，xn）, . . . , ^1krΦkr（ω，xr）, 黑色,对于ω∈ Ohm, （xn，…，xr）∈ Rr（右后）-n+1+和黑色∈ Srk。通过构造，我们得到了（4.4）Zk（η∧ T）=γkn，rΞk，Дkn，rJkn，ra、其中Jkn，r：=Id，Tkn，Tkr，Akr和Id：Ohm → Ohm 是身份地图。在续集中，Hkn，r:B(Ohm ×Rr-n+1+×Srk→ [0，1]是P的分解o Jkn，rw。r、 t Pkrandνkn，ris Pkrw的解体。r、 t包装r>n≥ 回顾第2节中介绍的符号。引理4.1。设zk为形式（2.5）的纯跳跃过程。对于每个τ∈ Dk、rnandη∈eTk，n，r，用于0≤ n<r，我们有ehzk（τ∧ T）| FkTkni=ZSjkγkn，rΞk，gkn，rAkn，qkn，rνkn，r（dqkn，r | Akn）a.s非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分11andEhZk（η∧T）| FkTkni=ZSjkZOhm×Rj+γkn，rΞk，Дkn，rω、 xn，xr、Akn、qkn、rHkn，r（dωdxn…dxr | Akn，qkn，r）νkn，r（dqkn，r | Akn），a.s表示j=r- n、其中（gkl)rl=nand（Дkl)rl=分别与τ和η相关的nare-Borel函数。证据证明是表述（4.2）和（4.4）的直接结果，因此我们省略了细节。我们现在能够证明命题3.1，它是定理3.1证明的主要内容，也是定理3.2中的估计（3.10）。命题3.1的证明。目前，让我们确定r>n。我们声称（4.5）ess supτ∈eTk，n，rEhZkτ ∧ T|FkTkni=ess supτ∈Tk、n、rEhZkτ ∧ T|FkTknia。s、，其中tk，n，r：={τ是F- 停车时间；Tkn≤ τ ≤ Tkra，s}。对于给定τ∈ Tk，n，r，让我们定义F-停止时间Q（τ）=min{Tkp；Tkp>τ}和η（τ）=r+1Xl=nTk公司l-1{Q（τ）=Tkl}∈我们观察到P{η（τ）=Tkn-1} = 0.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-1 03:46:20

此外，由于zk有c\'adl\'ag路径，我们有zk（τ∧ T）=Zk（Q（τ）∧ T）-= Zk公司η(τ) ∧ Ta、这证明了（4.5）。我们现在声称（4.6）ess supτ∈eTk，n，rEhZkτ ∧ T|FkTkni=ess supτ∈Dk、rnEhZkτ ∧ T|FkTknia。s、为了检查（4.6），我们使用引理4.1如下。让我们定义以下对象：Fkn，r（bkn）：=最大值（akn，…，akr）∈应收账-n+1Gkn，r（akn，…，akr，bkn），其中GKN，r（akn，…，akr，bkn）：=ZSr-nkγkn，rakn，akr、bkn、qkn、rνkn，r（dqkn，r | bkn），andeFkn，r（bkn）：=最大值（akn，…，akr）∈应收账-n+1eGkn，r（akn，…，akr，bkn），其中egkn，r（akn，…，akr，bkn）：=ZSr-nkZ公司Ohm×Rr-n+1+γkn，rakn，akr、bkn、qkn、rHkn，r（dωdxn…dxr | bkn，qkn，r）νkn，r（dqkn，r | bkn），每个bkn∈ Sknand（akn，…，akr）∈ 应收账-n+1。因为对于每个E∈ B（Sr-nk）和F∈ B类(Ohm ×Sr-n+1k），分解BKN7→ νkn，r（E | bkn）和bkr7→ Hkn、r（F | bkr）是Borel函数，那么我们可以安全地声明（参见[6]中的第7.29条）Gkn、randeGkn和罕见的Borel函数。因此，引理4.1 yields12 DORIVAL LEAO、ALBERTO OHASHI和FRANCESCO RUSSOGkn，r（Prno Ξk，gkn，r（Akn））=EhZk（τ）∧ T）| FkTkni，eGkn，rPrn公司o Ξk，Дkn，r（Akn）= EhZk（η∧ T）| FkTknia。每个τ的s∈ Dkn，randη∈eTk，n，r，其中PRNo Ξk、gkn、r（bkn）：=吉凯恩（bkn），gkr（黑色），黑色是Ξk，gkn，r（bkr）在Ar上的投影-n+1×SnkandPrno Ξk，Дkn，r（bkn）：=^1knΦkn（ω，xn）, . . . , ^1krΦkr（ω，xr）, bkn公司是Ξk，Дkn，r（bkr）在Ar上的投影-n+1×Snk。按构造，Fkn，r（Akn）=ess supτ∈Dk、rnEhZkτ ∧ T|FkTknia。sandeFkn，r（Akn）=ess supτ∈eTk，n，rEhZkτ ∧ T|FkTknia。s、我们注意到Fkn，r=eFkn，rand，因此索赔（4.6）成立。上述论点实际上表明（4.6）在r=+∞, 即（4.7）ess supτ∈eTk，nEhZkτ ∧ T|FkTkni=ess supτ∈丹麦，∞nEhZk公司τ ∧ T|FkTknia。swheretk，nis是τ形式的所有F停止时间的集合=∞十、l=nTk公司l{τ=Tkl}和{τ=Tkl} ∈ FTk公司l; l ≥ n

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:22

这是因为自然数序列s的集合（xi）∞i=nsuch茅草∞j=nxj=1是可数的。最后，证明（4.5）的论点实际上表明（4.8）ess supτ∈eTk，nEhZkτ ∧ T|FkTkni=ess supτ∈Tk，nEhZkτ ∧ T|FkTknia。s、，其中tk，n：={τ是F- 停车时间；Tkn≤ τ ≤ +∞ a、 s.}。身份（4.7）和（4.8）允许我们总结证据。定理3.1的证明：变分不等式（3.9）是经典离散时间动态规划原理的直接结果，因此我们将省略此证明。让我们检查收敛性。首先，我们观察到斯内尔包络具有连续路径。事实上，根据假设（A1），奖励过程是一个D类调节过程，因此通过应用[2 6]中的2.3.5和假设（A2），相关的斯奈尔包络也是一个D调节过程。因此，在假设（A1-A2）下，Snellenvelope S具有连续路径。让我们定义δkS（t）：=∞Xn=0EhS（Tkn）| FkTkni{Tkn≤t<Tkn+1}；0≤ t型≤ T、根据[28]中的引理3.1和假设（A2），我们可以使用一致可积性来安全地表示thatlimk→+∞E sup0≤t型≤T |δkS（T）- S（t）|=0。非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分13人们可以很容易地检查{EZ（τ）| FTkn; τ ∈ Tk，n}具有晶格特性（参见[26]中的定义1.1.2）。因此，塔的性质是有条件的期望和支撑。1.1.4 in【26】屈服δkS（t）=∞Xn=0EhS（Tkn）| FkTkni{Tkn≤t<Tkn+1}=∞Xn=0ess supτ∈Tk，nEhZ（τ）| FkTkni{Tkn≤t<Tkn+1}a.s.，对于0≤ t型≤ T另一方面，从命题3.1来看，我们有sk（t）=∞Xn=0ess supτ∈Dkn，TEhZk（τ∧ Tke（k，T））| FkTkni{Tkn≤t<Tkn+1}=∞Xn=0ess supτ∈Tk，nEhZk（τ∧ Tke（k，T））| FkTkni{Tkn≤t<Tkn+1}a.s.，对于0≤ t型≤ T

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:25

将Doob极大不等式应用于可闭离散鞅[sup0≤t型≤T | Z（T）- Zk（t∧ Tke（k，T））| | FkTkn]；n≥ 0和Jensen不等式，我们可以找到一个正常数C，使得E sup0≤t型≤T | Sk（T）- δkS（t）| p≤ E支持≥0Ehsup0≤t型≤T | Z（T）- Zk（t∧ Tke（k，T））|FkTkni公司p{Tkn≤T}≤ CE s up0≤t型≤T | Z（T）- Zk（t∧ Tke（k，T））| p（4.9）作为k→ ∞ 对于某些p>1，由于嵌入的discr e te属性。为了证明（4.9）的右侧消失为k→ ∞ 我们只注意到Z有连续的路径，一个简单的三角形内质变元和引理3.1允许我们得出证明。非马尔可夫最优停止问题的例子在本节中，我们展示了如何将定理em 3.2应用于具体的非马尔可夫最优停止问题。为了简化表示，我们将d设置为1。在本节中，我们使用以下符号。设D（[0，t]；R）是[0，t]上R值c\'adl\'ag路径的线性空间，且设∧：={（t，ω（·）∧ t））；t型∈ [0，T]；ω∈ D（[0，T]；R）}是具有距离β（（T，ω）的停止路径集；（t′，ω′）：=sup0≤u≤T |ω（u∧ t）- ω′（u∧ t′）|+| t- t′|β，其中0<β≤ 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:28

如果G是Borel映射且G（t，ω）=G（t，ω（·），我们说G是非预期泛函∧ t））；（t，ω）∈ [0，T]×D（[0，T]；R）。SDE的系数将满足以下正则性条件：假设I：非预期映射α：λ→ R和σ：∧→ R是Lipschitz连续的，即存在一个常数KLip>0，使得|α（t，ω）- α（t′，ω′）|+|σ（t，ω）- σ（t′，ω′）|≤ KLipdθ（t，ω）；（t′，ω′）对于每个t，t′∈ [0，T]和ω，ω′∈ D（[0，T]；R），其中0<θ≤ 1、假设二：奖励过程由（5.1）Z（t）=F（t，X）14 DORIVAL LE▄AO、ALBERTO OHASHI和FRANCESCO RUSSOwhere X satis（5.2）或（5.13）给出，F：λ→ R是一个非预期Lipschitz泛函，即存在常数kF k，使得| F（t，ω）- F（t′，ω′）|≤ kF kdθ（t，ω）；（t′，ω′）对于每个t，t′∈ [0，T]，ω，ω′∈ D（[0，T]；R），其中0<θ≤ 1.5.1. 布朗运动驱动的非马尔可夫SDE。基本状态过程是以下SDE（5.2）X（t）=X+Ztα（s，X）ds+Ztσ（s，X）dB（s）；0≤ t型≤ T、给定初始条件X（0）=X∈ R、我们可以通过常规的参数很容易地检查，theSDE（5.2）承认对于每一个p，在Bp（F）中有一个强解≥ 1、嵌入离散结构的自然候选者（Zk）k≥1，Dw、 r.t Z由（5.3）Zk（t）给出：=∞Xn=0FTkn，Xk{Tkn≤t<Tkn+1}；0≤ t型≤ t其中Xk（0）：=x，我们递归定义（5.4）Xk（Tkn）：=Xk（Tkn-1) + αTkn-1，XkTkn+σ（Tkn-1，XkAk（Tkn）用于1≤ n≤ e（k，T），其中Xk（T）=P∞n=0Xk（Tkn）1{Tkn≤t型∧Tke（k，T）<Tkn+1}；0≤ t型≤ T、在续集中，为了简化表示，我们将T设置为1。让我*是击中时间inf{t>0；| B（t）|=1}（参见例g[9]）的勒让德变换*（x） =supλ<0“λx- lncosh（p2 |λ|）！#；x<1。提案5.1。如果假设I-II对θ=1/2和X满意度（5.2）成立，则（Zk）k≥1，D（5.3）给出了Z的嵌入离散结构。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:31

更重要的是，对于每个β∈ （0，1）和ζ>1时，存在一个常数C，该常数依赖于α、σ、β和ζ，因此（5.5）Vk公司- supτ∈T（F）E[Z（τ）]≤ C2βk+经验- ζ-1-2kI*1.- δ+ δln（2δ-1)每k≥ 1和δ∈ (0, 1).证据让我们确定0<β<1和ζ>1。直接应用[29]中的推论6.1，结合[28]中的假设I-II和引理2.2，得出（5.6）kZk- ZkB公司≤ kF-kC（α，σ，β）2βk；k≥ 1，对于常数C（α，σ，β）。在续集中，C是一个常数，可能会因行而异。三角线质量产量（5.7）EkZk（·）∧ Tke（k，1））- Zk公司∞≤ 2EkZk（·）∧ Tke（k，1））- Zkk公司∞+ 2EkZk- Zk公司∞=: Ik+Ik。根据定理3.2中的（3.10），我们只需要估计Ik。我们观察（5.8）Ik≤ CkF kEhmaxTke（k，1）<Tkp≤TkNk（1）| Xk（Tke（k，1））- Xk（Tkp）{Tke（k，1）<1}i+CE | 1- Tke（k，1）|；k≥ 1.非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分15我们设置Ek={Tke（k，1）<TkNk（1）}，当我们回忆Nk（1）时，由（2.3）给出。利用文献[29]中的引理6.2、假设I、Jensen和ζ>2的H¨older不等式，我们得到了（5.9）E maxp≥1.ZTkpTke（k，T）α？sk，Xkds公司埃克∩吉凯恩集团≤ Ck1公司- Tke（k，1）kLζ；k≥ 1，对于依赖于α的常数c。这里，Gkp={Tke（k，1）<Tkp≤ TkNk（1）}我们回忆起“skis givenby（2.3）”。对于每个δ>0和k≥ 1，让我们表示ek，δ：={Tke（k，1）<TkNk（1），TkNk（1）- Tke（k，1）>δ}，Ek，δ：{Tke（k，1）<TkNk（1），TkNk（1）- Tke（k，1）≤ δ}.对于给定的δ>0，我们拆分maxp≥1.ZTkpTke（k，1）σ（(R)sk，Xk）dB（s）埃克∩Gkp=最大值≥1.ZTkpTke（k，1）σ（(R)sk，Xk）dB（s）Ek，δ∩Gkp+最大值≥1.ZTkpTke（k，1）σ（(R)sk，Xk）dB（s）Ek，δ∩Gkp=：Jk（δ）+Jk（δ）。通过随机积分的可加性，我们将应用Burkholder-Davis-Gundy和H¨olderinequalities以及[29]中的引理6.2，得到一个常数C，它依赖于σs uch，即（5.10）EJk（δ）≤ CP{δ+Tke（k，1）<TkNk}ζ≤ CP{δ+Tke（k，1）<1}任何ζ>2的ζ，k≥ 1和δ∈ (0, 1).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:34

为了估计Jk（δ），我们需要使用随机积分的连续模mk（h）：=s upt，s∈[0,1]，| t-s|≤h类Ztsσ（s，Xk）dB（s）对于h>0。我们注意到Jk（δ）≤ mk（δ）a.s每k≥ 1和δ>0。通过将[19]中的Th 1与[29]中的假设I和L emma 6.2相结合，我们得出以下估计值（5.11）EJk（δ）≤ Cδlnδ每k≥ 1和δ>0，其中C是一个仅依赖于（α，σ）的常数。最后，sincee（k，1）=-2和Tk-2k=P-2ki=1Tknis a iid sum of random variables w with meank，我们将使用经典的大偏差技术来确定每个q≥ 1，常数C（仅取决于q），如（5.12）P{δ+Tk-2k<1}≤ 经验值- -2kI*（1）- δ), E | Tk-2公里- 1 | q≤ C2QK每k≥ 1和δ∈ (0, 1). 现在，我们只需要将（5.12）转换为（5.8）、（5.9）和（5.10）。通过观察估计值（5.6）和（5.7），我们得出结论。16多里瓦尔·勒奥、阿尔贝托·奥哈希和弗朗西斯科·鲁索5.2。非马尔可夫SDE通过分数布朗运动驱动n。在本节中，我们分析了当奖励过程Z=F（X）由以下SDE（5.13）X（t）=X+Ztα（s，X）ds+BH（t）驱动时的OREM 3.2，其中α是满足假设I的有界非预期泛函，BH是在<H<1的区间[0，t]上的一维分数布朗运动（以下简称为FBM）。通过[24]中的th3.4，我们将表示bh（t）=ZtρH（t，s）B（s）ds；0≤ t型≤ T、式中ρH（T，s）：=sKH（t，s）和KH（t，s）：=dHs-HRtsuH公司-（u）- s） H类-du；0<s<t≤ T是代表FBM的经典平方可积Volterra核。为了构造Z的嵌入离散结构，我们需要bkhf的结构，该结构在带内收敛，自然条件为bkh（t）：=Z'tkρH（'tk，s）Ak（s）ds；0≤ t型≤ T、我们回忆起（2.3）中给出的“TKI”。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:37

由于核ρhj的单格性和随机时间的出现以及分段常数过程Ak，很难满足这一要求。下一次结果的证明推迟到附录中。提案5.2。如果<H<1和H-< λ<，存在一个常数C，它依赖于H，T和λ，使得e sup0≤t型≤T | BkH（(R)tk）- BH（t）|≤ C1-每k为2λk≥ 1、嵌入离散结构的自然候选者（Zk）k≥1，Dw、 r.t（5.1）由（5.14）Zk（t）给出：=∞Xn=0FTkn，Xk{Tkn≤t<Tkn+1}；0≤ t型≤ t其中Xk（0）：=x，我们递归定义Xk（Tkn）：=Xk（Tkn-1) + αTkn-1，XkTkn+1的BkH（Tkn）≤ n≤ e（k，T）。我们现在可以陈述这项研究的主要结果。为了简化表示，我们将T设置为1。提案5.3。如果假设I-IIθ=1，X满足度（5.13）<H<1且α有界，则（Zk）k≥1，D（5.14）给出了Z的嵌入离散结构。更重要的是，对于每个H-< λ<，存在一个常数C，它依赖于α，H，λ，使得（5.15）Vk公司- supτ∈T（F）E[Z（τ）]≤ C1-每k为2λk≥ 1.非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分17证明。让我们确定H-< λ <. 通过重复[29]中命题6.2中提出的相同论点，并结合F的Lipschitz性质，可以很容易地检查是否存在常数C（α，β，H，λ），使得（5.16）kZk- ZkB公司≤ kF-kC（α，β，H，λ）1-每k为2λk≥ 1和β∈ (0 , 1). 通过像命题5.1的证明那样进行论证，我们得到Vk公司- supτ∈T（F）E[Z（τ）]≤ kF-kC（α，β，H，λ）1-2λk+kF k sup0≤t型≤1 | X（t∧ Tke（k，1））- X（t）|每k≥ 1、我们观察到UP0≤t型≤1 | X（t∧ Tke（k，1））- X（t）|≤ C1+kXηk∞|1.- Tke（k，1）|+σkBH（·∧ Tke（k，1））- BHk公司∞其中Ek Xk2p∞≤ C（1+| x | 2pexp（C）带p≥ 1，对于常数c，取决于BH。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:40

对于每一个>0，众所周知存在G∈ ∩q≥1Lq（P）和确定性常数C，使得| BH（t）- BH（s）|≤ C | t- s |（H-）Ga.s.每t，s∈ [0, 1]. 因此，sup0≤t型≤1 | BH（t）- BH（t∧ Tke（k，1））|≤ C | 1- Tke（k，1）|（H）-Ga.s.利用（5.12）和Cauchy-Schwarz不等式，对于每0<γ<H，存在一个常数C，例如∧ Tke（k，1））- BHk公司∞≤ C2γk。既然我们取γ+λ>，那么我们就得出证明。5.3. 如何计算最优值？在这一点上，在本节结束时提供一些指导，说明如何在给定的时间间隔[0，T]内，在给定的（可能是非马尔可夫的）最优停止时间问题中具体产生最优值。为了简单起见，基本布朗运动的维数将设为d=1。首先，我们回顾了（3.5）、（3.6）和（3.8）给出的方法的关键目标，其中，each随机元素akn引入了图像概率测度ρkn：=Pknon Snk；n≥ 其中ρ是0上集中的狄拉克c。设Zk={Zkn；n=0，…，e（k，T）}是一个Borel函数的列表，它将（3.2）化。Reca ll ZK必须被解释为给定状态下，由嵌入离散结构（见定义2.1）的路径版本组成的支付函数，该状态通常是由Ak驱动的欧拉型近似。有关更多详细信息，请参见[7，29]。我们假设Zkn:Snk→ R∈ L（Snk，ρkn），对于每n=0，e（k，T）。现在让我们选择一个子集{bUkj；j=0，…e（k，T）- 1} 功能，例如Bukj∈L（Sjk，ρkj），对于每个j=0，e（k，T）- 1、对于每种函数的选择，我们设置归纳式（5.17）（bτke（k，T）：=e（k，T）bτkj：=j11bGkj+τkj+1（bGkj）c；0≤ j≤ e（k，T）- 1，其中bgkj：={Zkj（Akj）≥布吉（Akj）}；0≤ j≤ e（k，T）- 1和bτk=bτk。这里，bUkj（·）应解释为E的合适近似值Zkbτkj+1（Akbτkj+1）| Akj=·对于每个j=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:43

，e（k，T）- 1、集合{bτkj；0≤ j≤ e（k，T）}诱导一组条件期望sehyk（bτkj+1）| Akji=EhZkbτkj+1（Akbτkj+1）阿克吉；j=0，e（k，T）- 因此可以假设18多里瓦尔·勒奥、阿尔贝托·奥哈希和弗朗西斯科·鲁索马克斯Zk（0）；bUk（0）作为（3.8）的可能近似值。话虽如此，我们现在能够生成一个Longstaff-Schwartz型蒙特卡罗方案，如我们在此简要概述的[7]所示。有关更多详细信息，请参阅[7]。给定任意正整数N，选择HkN，0 R、对于每个j=1，e（k，T）- 1，选择HkN，jL（Sjk，ρkj）。集合HkN，j；0≤ j≤ e（k，T）（所谓的近似体系结构）po ssiblydepe nd on N，它们的选择取决于一些关于延拓值的先验信息（3.6）。从…起Ak公司l; 0≤ l ≤ e（k，T）, 生成N个独立样本AK0，i，Ak1，i，Ake（k，T），i；i=1，N、这一步骤可以通过【13】开发的完美模拟算法来实现。关于欧式期权套期保值的具体实施，请参见【8】。对于每个l = 0, . . . , e（k，T），让我们表示akl编号：=Ak公司l,1，Akl,2.Ak公司l,NAke（k，T），1，Ake（k，T），2，Ake（k，T），N带（e（k，T）- l + 1） N-因子。对于j=e（k，T）- 1，我们设置bτkj+1：=bτkj+1（Ak（j+1）N）：=e（k，T）并生成{（Akj，i，（Zkbτkj+1）i）；1≤ 我≤N} 式中，我们定义（Zkbτkj+1）i：=Zke（k，T）（Ake（k，T），i）；1.≤ 我≤ N、然后选择（5.18）bUkj：=arg ming∈HkN，jNNXi=1（Zkbτkj+1）i- g（Akj，i）.人们应该注意到，Bukjis是Akjn的一个泛函，我们假设存在一个极小值（见[7]中的备注4.4）（5.19）bUkj:Sjk×Sjk公司N×。×Se（k，T）kN→ Rof（5.18），可能取决于N。用Bukjat手计算bτkji=bτkjAkjN公司i、 bτkj=bτkj的值AkjN公司根据（3.5）的第i个样本进行假设。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-1 03:46:46

在本例中，我们设置（5.20）Zkbτkji： =（ZkjAkj，i; 如果bτkji=jZkbτk（j+1）iAkbτk（j+1）i，i; 如果bτkji=bτk（j+1）i其中bτk（j+1）i=e（k，T）f r 1≤ 我≤ N、根据（5.18）和（5.20），我们然后归纳地重复该程序j=e（k，T）- 2.1，0直到步骤j=0bτkji，bUkj，Zkbτkj我; 0≤ j≤ e（k，T），1≤ 我≤ N、对于j=0，我们设定v（Ak0N）：=maxnZk（0），bUk（Ak0N）o。上述过程与以下结果所示的极限最佳停车时间问题一致。这是[7]中定理4.1和Pro位置5.1和5.3的直接结果。在续集中，vc表示子集的Vapnik-Chervonenkis维数。非马尔可夫最优停止问题的离散型逼近：第一部分，每个k的19（H1）≥ 1，假设HkN，j L（Sjk，ρkj），存在v c香港，j≤ νk<+∞ 对于每j=1，e（k，T）- 1和每N≥ 2.（H2）对于每个k≥ 1，存在bk使得sup{kf k∞; f∈ 香港，j}≤ 黑色<+∞ 对于每个j=0，e（k，T）- 1和N≥ 2、运用命题5.1和命题5。3和[7]中的Th 4.1，我们得出以下结果。推论5.1。ASSUME（A1-A2-H1-H2）和命题5.1和5.3的假设成立。假设建筑空间HkN，jare L（ρkj）的稠密子集s，对于每个j=1，e（k，T）- 1，对于每个正整数N≥ 2和k≥ 1、那么，每k≥ 1个足够大（5.21）的limN→+∞|bVk（Ak0N）- S（0）|=0 a.S.其中S（0）=supτ∈T（F）E[Z（τ）]，Z由（5.1）给出。为了在我们的方案中计算精确的步数，我们只需要应用属性5.1和5。3与[7]中的推论4.1相结合。在这种情况下，类似于经典马尔可夫情况，连续值的平滑度Ukj；j=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:48

，e（k，T）- 1对于如何通过适当平衡近似误差和样本误差来选择近似空间以获得最有利的收敛速度至关重要。示例5.1。为便于说明，设X为第5.2节中给出的状态过程，其中终端时间、离散化水平k、漂移和支付分别由t=1、k=Д（k）、α（s，η）=b（η（s））、F：λ定义→ Rη 7→ F（η）：=每个η的h（η（1））∈ D（[0，1]；R）和s∈ [0，1]，其中b和h是Lipschitz有界函数，而Д：[0，∞) →[0, ∞) 是一个严格递减函数（逆ξ），使得pk≥1Д（k）<∞. We fix<H<1和λ，如命题5.3所述。接下来，我们研究了在具体的fullynon-Markovian示例中可能出现的全局数值误差e=e+eone。误差e可以分解为两项之和：本文研究的第一项（e）是离散型过滤近似误差；第二个（e），我们在[7]中研究过，它与与与连续值相关的条件期望的数值近似有关。通过使用α和F仅依赖于现有数据的事实，并执行类似的计算，如[7]中Th 5.1的证明所述，bkn7→ Ukn（bkn）isLipschitz从ESNK到R，其中ESNK：=（（0+∞) ×Br（0））×。× ((0, +∞) ×Br（0））（n倍cartesianproduct）和Br（0）是一个以原点为中心、半径r>1的开集。我们应用[7]中的推论4.1和命题5.3来说明（5.22）E | bV（Ak0N）- Vk |=O日志（N）N-22+e（k，1）-1.,（5.23）| Vk- S（0）|=O（1-2λk）。根据现有的估计值（5.22）和（5.23），我们现在能够推断出在给定精度水平e下恢复最佳值所需的工作量（复杂性）。实际上，让我们确定0<e<1。方程（5.23）允许我们找到与离散化相关的必要步骤，如下所示。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:46:51

Weobserve1-2λk≤ e<==> k≥ ξ（e1-2λ）有了这些信息，我们将取k*= ξ（e1-2λ).本产品（k*, 1） =l^1（k*)m20多里瓦尔·勒奥、阿尔贝托·奥哈希和弗朗切斯科·罗斯森与离散化程序相关的步骤数量。例如，如果Д（k）=2-k、 e=0.40，H=0.6，然后取λ=0.15和k*= -log0.400.70=1.88。这会产生e（k*, 1) = 22×1.88 =14步数。当然，作为e↓ 0，步骤数e（k*, （1）↑ +∞, e、 g.，如果e=0.2，则K*= -log0.20.70=3.31，e（k*, 1） =99，依此类推。对于给定的规定误差0<e<1和k*,方程式（5.22）允许我们通过E | bV（Ak*0N）- Vk公司*| = O（e）。附录：命题5.2的证明在附录中，C是一个常数，可能因行而异。让我们表示ρH，1（t，s）=t（H-)s(-H）（t- s）（H）-), ρH，2（t，s）=s(-H-)Ztsu（H-)（u）- s）（H）-)du对于0<s<t。显然，存在一个依赖于t的常数C，使得（6.1）|ρH（t，s）|≤ 0<s<t的C{ρH，1（t，s）+ρH，2（t，s）}。三角不等式与FBM的H¨older性质（6.2）sup0≤t型≤T | BkH（(R)tk）- BH（t）|≤ sup0≤t型≤T | BkH（(R)tk）- BH（(R)tk）|+kBHkH-ηNk（T）\\u n=1TknH-ηa.sfor every 0<η<H，其中k·kθ表示0<θ的H–older范数≤ 1、清晰（6.3）sup0≤t型≤TZ？tkρH，1（？tk，s）| Ak（s）- B（s）| ds≤ kTH-a、 s.精密组件isR'tkρH，2（'tk，s）| Ak（s）- B（s）| ds。让我们x p>1，使得（6.4）+p>>λ>p+H-.所以p必须大于1-H> 2。设q>1为共轭指数，使得(--H+λ）q+1>0。选择（6.4）意味着（Zus-λp | Ak（s）- B（s）| pds）p<∞对于每0≤ u≤ T

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝