具有弱反射和美式期权部分对冲的BSDE

2022-6-1 06:20:36

具有弱反射和部分对冲美国期权的BSDE Roxana Dumitrescu*Romuald Elie+Wissal SabbaghChao Zhou§2017年8月22日摘要我们引入了一类新的具有弱反射的倒向随机微分方程，其解（Y，Z）满足弱约束E[ψ（θ，Yθ）]≥ m、对于0到终点时间T之间的所有停止时间θ，其中ψ是随机非递减映射，m是给定阈值。我们研究了这类方程的适定性，并证明了最小时间t值族Y可以通过右连续过程聚集。我们给出了低反射g-子鞅的非线性Mertens型分解，据我们所知，这代表了文献中的一个新结果。利用这种分解，我们得到了最小时间t值过程的表示。我们还证明了这样一个方程的最小上解可以写成一个随机控制/最优停止对策，在适当的假设下，它允许一个值和鞍点。从金融角度来看，这个问题与美式期权的近似对冲有关。关键词：弱反射BSDE，部分套期保值，美式期权，最优控制，最优停止，随机博弈，随机目标。AMS 1991主题分类：93E20、60J60、47N10.1简介El Karoui等人首先介绍了反射后向随机微分方程（RBSDEs f或简称）的理论。在这种情况下，BSD解决方案的第一个组成部分被迫停留在给定的（所谓的障碍或奖励）随机过程之上。*英国伦敦国王学院数学系，电子邮箱：roxana。dumitrescu@kcl.ac.uk.+LAMA，法国巴黎大学，电子邮件：romuald。elie@univ-mlv。frLAMME，法国埃弗里大学，电子邮箱：wissal。sabbagh@univ-埃弗里。fr。

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2022-6-1 06:20:39

WissalSabbagh的研究得益于“转型中的椅子市场”、法国证券交易所和ANR 11-LABX-0019的支持。§新加坡国立大学数学系，matzc@nus.edu.sgIn为了使解决方案保持在障碍物上方，BSDE dynamics包含额外的递增组件，这是解决方案的一部分。这类方程的唯一性是由Skorokhod型极小条件决定的。BSDES的首次应用与美式期权的定价和对冲相关。从那时起，大量关于最优停止、最优软件瘙痒或随机游戏的应用已经成为这一主题的大量文献。支付过程（Lt）为0的美式期权估值≤t型≤t需要确定最佳销售时间和相应的套期保值策略。然而，在现实且不完善的金融市场中，复制策略往往难以实现。从卖方的角度来看，卖方希望保护自己不受合同义务的影响，保守的做法是通过构建投资策略，产生足够的资本，在期权持有人选择的任何可能的限制时间支付报酬，从而扩大美式期权。解决这类问题需要找到一个初始数据Y、一个控制Z和一个附加的递增过程K，使得YZT=Y+Ztg（s，YZs，Zs）ds-ZtZsdWs+Kt（1.1）YZτ≥ Lτ，P- a、 s.所有停车时间τ∈ [0，T]，（1.2）ZT（YZt- Lt）dKt=0。（1.3）驱动函数g特别包含贴现因素以及金融市场的一些缺陷。这可能是非线性的，例如贷款和抵押贷款利率不同时。y解释为时间t时Americanoption的超级复制价格，而Z对应于最佳的sur复制策略。

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2022-6-1 06:20:42

观察Skorkhod条件（1.3）强制选择最小超复制p水稻。然而，从实际角度来看，超边缘的成本相当高，因此期权卖方需要接受以承担一些风险。迄今为止，主要为欧洲选项开发的一种替代方法是，用较弱的超级复制P-a.s.终端条件来取代过于强大的超级复制P-a.s.终端条件。即，对于欧洲选项，YZT≥ LTis替换为E[l（YZT- LT）]≥ m，其中m表示给定的成功阈值，并且l 表示非递减损失函数。从财务角度来看，这种方法被称为分位数或有效套期保值，F¨ollmer和L eukert首先讨论了这种方法[14，15]。特别是，他们解释了如何使用对偶论和内曼-皮尔逊引理在完整市场中明确计算所谓的欧式期权分位数套期保值价格。在一般马尔可夫环境中，Bouchard等人【4】通过引入额外的精心选择的状态变量，提供了一种直接的动态方法来解决这个问题。即使在不完全市场和一般损失函数中，他们也将定价函数描述为非线性抛物线二阶微分方程的解，使用Soner和Touzi在随机目标问题背景下开发的工具[23]。

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2022-6-1 06:20:45

最近，Bouchard、Elie和Reveillac[3]将这种方法扩展到可能的非马尔可夫集，并引入了一类新的BSDE，即具有弱终端条件的BSDE，其中要求投资组合的终端值Y满足形式（1）的弱约束。Dumitrescu【10】对该方法进行了扩展，允许考虑非线性风险度量约束。此处要求使用分位数有效套期保值方法的美式期权卖方使用动力学（1.1）求解BSDE，但应使用较弱的形式替换过强约束（1.2[l（YZτ- Lτ）]≥ m、对于所有停止时间τ∈ [0，T]。（1.4）本文的主要目的是研究具有此类约束（1.4）的BSDE的适定性和主要性质，并讨论其与美式期权有效性的关系。据我们所知，我们提供了第一个连续时间美式期权有效价格的动态概率表示。现在让我们来谈谈文献中的一些相关作品。佩雷斯（P’erez）[22]或穆利纳奇（Mulinaci）[18]讨论了在这种情况下有效对冲的存在。Dolinsky和Kifer[9]专注于在具有交易成本的离散时间环境中对相同期权进行部分对冲。在马尔可夫环境下，Soner和Touzi【23】的几何动态规划原理的另一个障碍版本在【5】中给出，Bouchard等人【2】提供了一种概率数值算法，用于计算Bermudean期权的分位数对冲，使用对偶表示。最近，Briand等人[6]采用了一种非常不同的方法来研究形式（1.1）的BSDE以及形式（1.4）的较弱版本，其中约束仅适用于[0，T]上的确定性时间。

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2022-6-1 06:20:48

在SUCH a框架中，没有可用的动态规划原理，导出的解与McKean-Vlasov型随机微分方程有关。特雷维诺（Trevino）[24]认为，美式期权的卖方旨在通过部分对冲来控制差额风险。他对部分套期保值和美式期权在不完全连续市场中的最优行使问题感兴趣。特别是，Trevino[24]提出了一个优化问题，涉及随机积分族的最小化和停止时间族的最大化。在本文中，我们首先提出了具有弱反射的BSDE的概念，其约束采用以下一般形式τ[ψ（θ，YZθ）]≥ u，对于所有停止时间θ∈ [τ，T]，（1.5），其中u∈ L（Fτ）是给定停止日期的目标成功率τ，ψ是一个可能的随机非递减映射。当然，这种表述可以涵盖上述美式期权的有效定价。我们首先观察到，该BSDE的最小解重写为具有适当障碍的经典反射BSDE的一系列解的最小解，即inf{Yα，α∈ 五} ，其中（Yαt）是与障碍Φ（t，Mαt）相关的反射BSDE的解的第一个组成部分，带有Mαa鞅过程。由于它在随机控制中的作用，我们研究了动态对手α（τ）=ess inf{Yα′τ，α′∈ Vs.t.α′=αon[[0，τ]]}。（1.6）我们推导出了该族的动态规划原理，从中我们推断出值（Yα）是一个Refg，α-次鞅族，其中Refg，α是由具有ob stacleΦ（t，Mαt）和driver g的较低反射BS DE的解产生的非线性算子。使用过程一般理论的一些明确结果，我们证明了值族（Yα）可以通过一个右连续和左有限过程（Yαt）聚合。

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mingdashike22

2022-6-1 06:20:51

此外，我们还证明了任何强Rg，α-次鞅adm及其a Eg Mertens分解，据我们所知，这代表了文献中的一个新结果。我们提出了一种原始的惩罚方法，它不使用经典的惩罚方法。利用这种分解，我们表明，对于每个α，值过程（Yαt）都有一个向后的S-DE表示。此外，（Yαt）对应于一个随机控制/最优停止博弈的上限值，在适当的假设下，它承认一个值和一个延迟点。论文概要如下。在给出符号之后，我们在第2节中介绍了具有弱反射的BSDE上解的定义。在第3节中，我们专门讨论了具有弱反射的BSDE的最小上解。我们首先证明了一个动态规划原理，并且我们可以通过c\'adl\'ag过程聚合价值族。在这一节中，我们还提供了Refg，ξ-子鞅过程的非线性Mertens分解，然后用它来表示值过程。在第4节中，我们研究了一个相关的随机控制/最优停止问题，该问题被证明允许一个值和一个鞍点。符号我们首先介绍一系列将在本文中使用的符号。让d≥ 1和T>0是固定的。我们用W表示：=（Wt）t∈概率空间上定义的d维布朗运动(Ohm, F、 P）使用P-增强自然过滤F=（Ft）t∈[0，T]。符号E代表对P的期望值。此后，我们定义了以下空间：oLp（U，G）是一组P可积的G-可测r an dom变量，其值为U，P≥ 对于某些n，0，U为RN的Borel集≥ 1和G F、当U和G可以通过上下文清楚地识别时，我们省略它们。

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2022-6-1 06:20:54

这将特别适用于当ng=F时的情况。他的Rd值F-可预测过程集φ=（φt）t∈[0，T]使得kφkH：=EZT |φt | dt< ∞.o Sis实值可选过程集φ=（φt）t∈[0，T]这样kφkS:=E[ess sup0≤τ≤T |φτ|）]<∞.o Kis实值非递减RCLL和F-p可预测过程集K=（Kt）t∈[0，T]，K=0，E[KT]<∞.o t指定F-停止时间τ的集合，使τ∈ [0，T]a.s.旋转Eτ[.]表示给定的条件期望Fτ，τ∈ T、 o对于T中的θ，Tθ是停止时间τ的集合∈ Tsch thatθ≤ τ ≤ T P-a.s.2具有弱反射的BSDE 2.1定义和假设让我们引入新的数学对象。定义2.1（反射较弱的BSDE）给出了一个可测量的映射ψ：[0，T]×R×Ohm → U，带U R∪ {-∞} 和u∈ L（U，Fτ），我们说（Y，Z）∈ S×His asupe R带发电机g的BSDE解决方案：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ 任何0的R和弱反射SIF≤ t型≤ s≤ T，Yt≥ Ys+Zstg（s，Ys，Zs）ds-ZstZsdWs（2.7）Eτ[ψ（θ，Yθ）]≥ u表示所有θ∈ Tτ。（2.8）我们想强调，具有弱反射的BSDE术语是由于给定停止时间τ∈ Tand a阈值u∈ 五十、上述BSDE的解的第一个组成部分，此处用（Yt）表示，满足条件Eτ[ψ（θ，Yθ）]≥ u表示所有θ∈ Tτ。此BSDE的适定性在Remark2.1中讨论。在本文中，我们假设g满足假设2.1 g是Ohm ×[0，T]×R×Rdto R和g（，y，z）是可预测的，对于每个（y，z）∈ R×Rd。

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2022-6-1 06:20:57

存在一个常数Kg>0和一个随机变量χg∈ L（R+），例如| g（t，0，0）|≤ χgP- a、 s.| g（t，y，z）- g（t，y，z）|≤ 千克（|年- y |+| z- z |）P- a、 s。（t，yi，zi）∈ [0，T]×R×Rd，i=1，2。我们还回顾了有条件g-期望的定义。定义2.2（条件g-期望）我们记得，如果g是Lipschitz驱动，如果ξ是平方可积FT可测随机变量，则存在唯一解（X，π）∈ S×Hto以下BSD EXt+ZTtg（S，Xs，πS）ds-ZTtπsdWsfor all t∈ [0，T]a.s.代表T∈ [0，T]，非线性算子Egt，T:L（FT）7→ 映射给定终端条件ξ的L（Ft）∈ 上述BSDE（用Xt表示）的解在时间t时的第一个分量的L（Ft）称为时间t时的条件g-期望。也很清楚，这个概念可以扩展到（确定性）终止时间t被一般停止时间τ代替的情况∈ Tand t由停止时间S代替，使S≤ τa.s.我们现在在映射ψ上给出假设。Leb×dP-a.e.（t，ω）的假设2.2∈ [0，T]×Ohm, 地图y∈ R 7→ ψ（t，ω，y）是非减量的，右连续的，值为[0，1]∪ {-∞} 其左连续逆Φ（t，ω，·）满足Φ：[0，t]×Ohm × [0, 1] 7→ [0，1]是可测量的。左连续逆是指由Φ（t，ω，x）：=inf{y确定的（t，ω）的左连续映射∈ R、 ψ（t，ω，y）≥ x} 其中s等于Φ（t，ω，ψ（t，ω，x））≤ x个≤ ψ（t，ω，Φ（t，ω，x））。备注2.1让我们讨论具有弱反射的BSDE的适定性。设ξ为平方可积FT可测随机变量，使得Eτ[ξ]=ua.s。由于鞅表示定理，存在β∈ hsmβT=ξa.s.，其中MβT=u+RTτβsdWs。

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2022-6-1 06:21:00

与驱动器和障碍物（Φ（t，Mβt））（在上述假设下存在）相关的反射BSDE的解（Yβt，Zβt）是具有弱反射的BSDE的上解。注意，由于弱约束，我们没有解的唯一性。我们现在介绍（τ，u）-初始上解的集合（τ，u），其定义如下：Θ（τ，u）：={Yτ：（Y，Z）是（2.7）和（2.8）}的上解。本文的目的是研究集合Θ（τ，u）的下界，即ess infΘ（τ，u）。我们想再次强调，在风险约束τ[ψ（θ，Yθ）]下，该数量与对应于近似套期保值的美国人价格之间的关系≥ ua.s.，对于所有θ∈ Tτ。2.2具有“强”约束的等价重新表述我们现在的主要目的是表明我们可以将问题重新表述为具有“强”约束的等价问题，类似于Europeanoptions的部分套期保值问题（我们在马尔可夫框架中参考Bouchard、Elie、Touzi[4]，在非马尔可夫环境中参考Bouchard、Elie、Reveillac[3]）。为此，让Vτ，u表示集合元素α∈ Hsuch thatMτ，u，α：=u+Zτ∨.ταsdWstakes值在[0，1]中。（2.9）这种情况下的主要困难是，我们可以先验地得到一个等价的公式，其中受控鞅取决于s顶点时间θ，即每个θ∈ Tτ存在αθ∈ hseτ[Φ（θ，Yθ）]≥ u等于玩具θ≥ Φ（θ，Mαθθ）a.s.我们在下一个引理中看到，我们可以克服这个问题，并获得一个独立于停止时间θ的受控马丁大风的存在性。引理2.3设（Yt）是一个可选过程，属于满足（2.7）-（2.8）的砂，τastopping time属于Tandua Fτ-可测随机变量。

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2022-6-1 06:21:02

然后条件[ψ（θ，Yθ）| Fτ]≥ u表示所有θ∈ Tτ等价于控制α的存在性∈ Vτ，u等Yθ≥ Φ（θ，Mτ，u，αθ）a.s.对于所有θ∈ Tτ。证据对于每个σ∈ T、我们定义了Fσ-可测随机变量v（σ）：=ess infτ∈TσE[ψ（τ，Yτ）| Fσ]。（2.10）根据过程一般理论的经典结果，族（V（σ），σ∈ T）是一个asubmartingale族，可以通过允许mertens分解的可选过程（Vt）进行聚合：Vt：=Nt+At+Ct- ,其中N是一个平方可积鞅，a是一个递增的RCLL p可预测过程，因此a=0，C是一个右连续适应过程，纯间断满足C-= 让我们首先展示第一个含义，即：E[ψ（θ，Yθ）| Fτ]≥ u表示所有θ≥ τimp存在一个控制α∈ Hsuch thatYθ≥ Φ（θ，M（τ，u），αθ）表示所有θ≥ τ.因为对于所有θ∈ Tτ我们有E[ψ（θ，Yθ）| Fτ]≥ ua.s.，我们得到ess infθ≥τE[ψ（θ，Yθ）| Fτ]≥ ua.s.因此，通过使用V的定义（见（2.10）），我们得到Vτ=Nτ+aτ+Cτ- ≥ ua.s.（2.11）我们现在fixθ≥ τ . 我们有ψ（θ，Yθ）=E[ψ（θ，Yθ）| Fθ]≥ ess infσ≥θE[ψ（σ，Yσ）| Fθ]=Vθa.s。该观察结果与（2.11）一起暗示ψ（θ，Yθ）≥ Nθ+Aθ+Cθ-= Nτ+Aτ+Cτ-+ZθταsdWs+Aθ- Aτ+Cθ-- Cτ-.利用上述不等式（2.11）和过程A和C不递减的事实，我们得到ψ（θ，Yθ）≥ Mτ，u，αθa.s.现在通过应用在其最后一个变量中不递减的mapΦ，我们最终得出θ≥ Φ（θ，Mτ，u，αθ）a.s.第二个含义很简单。让我们看看下面的结果，在续集中什么是至关重要的。命题2.4固定τ∈ T、 u∈ L（[0，1]，Fτ）。然后（Y，Z）∈ S×His是BSDE（2.7）-（2.8）的一个解，当且仅当（Y，Z）满足（2.7）且存在α∈ Vτ，u等Yν≥ ess supθ∈TνEgν，θ[Φ（θ，Mτ，u，αθ）]a.s.对于所有ν∈ Tτ。证据设（Y，Z）是BSDE（2.7）-（2.8）的上解。

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2022-6-1 06:21:05

然后通过引理2.3，存在▄α∈ Vτ，u使得对于所有θ∈ Tτ我们有ψ（θ，Yθ）≥ Mτ，u，|αθ。我们现在定义θИα：=inf{s≥ τ、 Mτ，u，|αs=0}。让我们介绍一下控制‘α：=(R)α1[0，θрα]，它显然属于vτ，u。让我们fixν∈ Tτ。我们可以标记所有θ∈ Tν我们有ψ（θ，Yθ）≥ Mτ，u，(R)αθa.s。映射Φ的单调性和上述不等式意味着：Yθ≥ Φ（θ，Mτ，u，’αθ）a.s.根据BSDE的比较定理，我们得到了所有θ∈ Tν，我们有Yν≥ Egν，θ[Φ（θ，Mτ，u，(R)αθ]现在，通过θ的任意性∈ Tν我们最终得到：Yν≥ ess supθ∈TνEgν，θ[Φ（θ，Mτ，u，(R)αθ]a.s.（2.12）让我们展示相反的含义。对于所有ν∈ Tτ，我们有Yν≥ Φ（ν，Mu，(R)αν）a.s.Hencewe得到ψ（ν，Yν）≥ Mτ，u，(R)ανa.s。这意味着（Y，Z）满足（2.7）和（2.8）。利用上述结果，我们在下面的命题中展示了如何将族Θ（τ，u）的下界与随机控制/最优停止博弈的值联系起来。为此，我们定义了值函数y（τ，u）：=ess infα∈Vτ，uess supθ∈TτEgτ，θ[Φ（θ，Mτ，u，αθ）]。（2.13）命题2.5具有ess infΘ（τ，u）=Y（τ，u）a.s.证明。Let Yτ∈ Θ(τ, u). 通过命题2.4，我们得到Yτ≥ ess supθ∈TτEgτ，θ[Φ（θ，Mτ，u，αθ）]a.s.，这清楚地意味着yτ≥ ess infα∈Vτ，uess supθ∈TτEgτ，θ[Φ（θ，Mτ，u，αθ））]=Y（τ，u）a.s。通过Yτ的任意性，我们推导出ess infΘ（τ，u）≥ Y（τ，u）a.s.相反，我们有ess supθ∈TτEgτ，θ[Φ（θ，Mτ，u，αθ）]属于Θ（τ，u），这导致了ss supθ∈TτEgτ，θ[Φ（θ，Mτ，u，αθ）]≥ ess infΘ（τ，u）a.s.通过取α的基本值∈ Vτ，u，结果如下。在续篇中，我们假设mapΦ相对于t和m是连续的。我们现在引入非线性算子Refg，ξ，通过求解非线性反射的BSDE，驱动程序g和较低的障碍物ξ来定义。定义2.6（非线性算子Refg，ξ）设g为Lipschitz驱动，ξaRCLL过程属于S。

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mingdashike22

2022-6-1 06:21:08

设Lξ，t为L（FT）中包含的随机变量ζ集，使得ζ≥ ξTa。s、然后存在一个u-ni-que解（Y，Z，a）∈ S×H×Sto以下低反射BSDEYt=YT+ZTF（S、Ys、Zs）ds-ZTtZsdWs+AT- Atfor all t公司∈ [0，T]年s.Yt≥ ξta。s、，0≤ t型≤ TYT=ζa.s.ZT（Ys-- ξs-)dAs=0 a.s.t∈ [0，T]，非线性算子Refg，ξT，T:Lξ，T7→ Lξ定义如下：Refg，ξt，t[ζ]：=Yt，其中Y是上述BSDE溶液在时间t的第一个组分。这个概念可以扩展到（确定性）终止时间T被一般停止时间τ代替的情况∈ Tand t由停止时间S代替，使S≤ τa.s.Re mark 2.7注意，由于反射BSDE的流动特性，非线性算子refg，ξ是一致的。利用非线性反射BSDE解的第一个成分的特征作为非线性BSDE的最优停止值，我们得出Y（τ，u）可以重写如下：Y（τ，u）=ess infα∈Vτ，uRefg，Φατ，T[Φ（T，Mτ，u，αT）]，其中Φα对应于障碍过程Φ（T，Mτ，u，αT）。3值族的性质和表示在本节中，我们重点研究Y（τ，u），它是集合Θ（τ，u）的下边界。为了便于标记，我们∈ [0，1]和set（Mt：=M0，m，αt，Vατ：={α′）∈ Vτ，Mατ：α′=αdt×dP on[[0，τ]}，V：=V0，mand Yα（τ）：=Y（τ，Mατ）∈ 五、 t型∈ [0，T]和τ∈ T、（3.14）3.1价值家族的属性让我们首先想起T-容许系统的定义。定义3.1 A族S={S（τ），τ∈ T} 如果对于所有τ，τ′，则允许（或T系统）∈ T（S（τ）∈ L（Fτ），S（τ）=S（τ′）a.S.{τ=τ′}。（3.15）引理3.2（族的可容许性（Yα（τ））τ）∈T）族（Yα（τ））τ∈这是一个平方可积容许族。证据

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2022-6-1 06:21:11

对于每个S∈ T、由于条件g-期望和本质上确界和本质上确界的定义，Yα（S）是一个FS可测平方可积随机变量。设S和S′是T中的两个停止时间。我们设置B：={S=S′}。我们证明了B上的Yα（S）=Yα（S′）a.S.集θB：=θ1B+T 1Bc。我们显然有θB∈ TS′，而且θB=θa.s.在B上，对于所有θ∈ TS.我们还fixα′∈ VαS′和setα′B：=α1[[0，S]+α′]]S，T]]B。显然是α′B∈ VαSandα′B=α′on]]S′，T]]on B。利用S=S′on B的事实，以及g-期望的几个性质，我们得到θ[Φ（θ，Mα′Bθ）]=1BEgS′，θ[Φ（θ，Mα′Bθ）]=Eg1BS′，θ[1BΦ（θ，Mα′Bθ）]=Eg1BS′，θ[1BΦ（θ，Mα′Bθ）]=1BEgS′，θθ[Φ（θB，Mα′θB）]≤ 1压力supθ∈TS′EgS′，θ[Φ（θ，Mα′θ）]a.s.（3.16），取θ的本质上确界∈ t然后是关于α′的基本定义∈ VαS′，我们得到Yα（S）≤ Yα（S′）a.S.通过交换S和S′的角色，逆不等式后面跟着相同的参数。我们现在证明了一个优化序列的存在性。引理3.3固定τ∈ T、 θ∈ Tτ，m∈ L（[0，1]，Fτ）和α∈ Vτ，u。然后存在一个序列（α′n） Vθ，ατ，u：={α′∈ Vτ，u，α′[0，θ）=α1[0，θ）}，使得limn→∞↓ Refg，Φα′nθ，T[Φ（T，Mτ，M，α′nT）]=Y（θ，Mτ，M，αθ）a.s.证明。为了证明这个结果，我们必须证明族{J（α′）：=Refg，Φα′θ，T[Φ（T，Mτ，M，α′T）]，α′∈ Vθ，ατ，u}是向下的。固定α′，α′∈ Vθ，ατ，u和集合▄α′：=α1[0，θ）+1[θ，T]（α′A+α′Ac），其中A：={J（α′）≤ J（α′）}∈ Fθ，这意味着▄α′∈ Vθ，ατ，u和，自A∈ Fθ，J（￠α′）=Refg，ΦОα′θ，τ[Φ（T，Mτ，M，α′T）1A+Φ（T，Mτ，M，α′T）1Ac]=1refg，Φα′θ，τ[Φ（T，Mτ，M，α′T）]+1AcRefg，Φα′θ，τ[Φ（T，Mτ，M，α′T）]=min（J（α′），J（α′）。这将得到所需的结果。现在让我们介绍Refg，ξ-次鞅系统（分别是Refg，ξ-鞅系统）的概念。定义3.4容许族（X（τ），τ∈ T）据说是一个Refg，ξ-subm artin galefamily（分别为。

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2022-6-1 06:21:14

a Refg，ξ-鞅族）如果对于每个τ∈ T、 X（τ）∈ Lξ，τ和if，对于所有τ，σ∈ t确认σ∈ Tτa.s.，X（τ）≤ Refg，ξτ，σ[X（σ）]a.s.，（分别X（τ）=Refg，ξτ，σ[X（σ）]a.s.我们现在继续证明，对于每个α∈ 五、族（Yα（τ），τ∈ T）是一个Refg，Φα子鞅f族。这是以下动态编程原则的直接结果。定理3.5（动态规划原理）值族满足以下动态规划原理：对于所有（τ，τ，α）∈ T×T×v取τ≤ τ、我们有：Yα（τ）=ess infα′∈VατRefg，Φα′τ，τ[Yα′（τ）]a.s.（3.17）证明。让我们首先显示yα（τ）≥ ess infα′型∈Vατess supθ∈TτEgτ，τ∧θhYα′（τ）1θ≥τ+Φ（θ，Mα′θ）1θ<τia。s、固定α′∈ Vατ。通过反射BS DEs的流动特性，我们得到：Refg，Φα′τ，ThΦ（T，Mα′T）i=Refg，Φα′τ，τRefg，Φα′τ，T[Φ（T，Mα′T）]a、通过反射BSDE的比较定理，我们得到：Refg，Φα′τ，ThΦ（T，Mα′T）i≥ Refg，Φα′τ，τhYα′（τ）ia。s、通过α′的任意性∈ Vατ，我们最终得到：Yα（τ）≥ ess infα′型∈VατRefg，Φα′τ，τhYα′（τ）ia。s、相反，我们证明了yα（τ）≤ ess infα′型∈Vατess supθ∈TτEgτ，τ∧θhYα′（τ）1θ≥τ+Φ（θ，Mα′θ）1θ<τi.（3.18）Letαn∈ Vα′τ：Yα′（τ）=limn→∞Refg，Φαnτ，TΦ（T，MαnT）a、 s.反射BSDE相对于其终端条件的连续性给出：Refg，Φα′τ，τhYα′（τ）i=limn→∞Refg，Φα′τ，τhRefg，Φαnτ，TΦ（T，MαnT）ia。s、我们设置：△αns：=αss<τ+αnss≥τ.上述两个关系和算子Refg，Φα′的一致性最终给出：Refg，Φα′τ，τhYα′（τ）i=limn→∞参考，ΦИαnτ，TΦ（T，M|αnT）≥ Yα（τ）a.s.Now，通过α′的任意性∈ Vατ，结果如下。3.2聚合结果和Refg的Eg Mertens分解，ξ-Submartingales我们现在旨在证明对于每个α∈ 五、族（Yα（τ），τ∈ T）可以通过可选进程聚合，也就是说，它存在一个可选进程（YαT），这样，对于所有stoppingtimeτ∈ T、它保持Yα（τ）=Yατa.s。

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2022-6-1 06:21:17

su-ch-a过程的存在通常是一个可省略的问题，到目前为止，它只在Eg-（超级）子鞅的情况下得到解决。我们认为，这一结果可以推广到Refg，Φ-次鞅的情况，其中操作员Refg，Φ由低反射BSDE溶液的第一组分诱导。定理3.6（通过可选过程聚合值族）适用于任何α∈五、存在一个聚合族（Yα（τ），τ的可选过程（Yαt∈ T），即Yα（τ）=Yατa.s.，对于所有τ∈ T、证明。固定α∈ 五、 Let（τn）n∈Nbe一个非递减的停止时间序列，使得τn↓ τa.s.Yα的定义意味着Yα（τ）≤ Refg，Φατ，τn【Yα（τn）】a.s.，对于所有n∈ N、（3.19）序列的不减量性（τN）N与操作一致性，ΦαyieldRefg，Φατ，τN[Yα（τN）]=Refg，Φατ，τN+1hRefg，ΦατN+1，τN[Yα（τN）]i≥ Refg，Φατ，τn+1[Yα（τn+1）]a.s.，其中最后一个不等式后跟（3.19）。这意味着序列Refg，Φατ，τn【Yα（τn）】n∈Nis不减损，因此它几乎肯定会收敛。此外，Yα（τ）≤ 画→∞↓ 参考文献，Φατ，τn[Yα（τn）]a.s.（3.20）根据勒贝格定理，我们得到了[Yα（τ）]≤ 画→∞↓ E[参考G，Φατ，τn[Yα（τn）]]（3.21）现在，自lim supn→∞Yα（τn）≥ Φ（τ，Mατ）a.s.，我们可以将Fatou引理应用于反射BSDE（见[12]中的命题3.13）。因此，我们得到[Yα（τ）]≤ E【lim支持】→∞Refg，Φατ，τn[Yα（τn）]]≤ E[参考G，Φατ，τ[线性su pn→∞Yα（τn）]]=E[线性上限→∞Yα（τn）]。（3.22）这意味着(-Yα（τn））n∈Nsatis文件[-Yα（τ）]≥ E【lim信息】→∞(-Yα（τn））]。（3.23）自家庭(-Yα（τ），τ∈ T）是一致可积的，文献[8]中的定理12给出了可选过程（YαT）的存在性，使得Yα（τ）=Yατa.s.对于所有τ∈ T、此外，根据同样的定理，这个过程是右下半连续的。

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2022-6-1 06:21:19

让我们引入强Refg，ξ-子鞅过程的概念。定义3.7（强Refg，ξ-次马丁格尔过程）满足Yσ的可选过程（Yt）≥ ξσa.s.所有σ∈ 使E[ess supτ∈TYτ]<∞ 被称为astrong Refg，ξ-如果YS≤ 参考g，ξS，τ[Yτ]a.S.在S上≤ τ、对于所有S，τ∈ T、现在我们展示了r.l.s.c.Refg，ξ-子鞅在r的情况下的Eg-Mertens分解。u、就我们所知，s.c.障碍代表了文献中的一个新结果。此外，我们的证明很简单，基于g-条件期望最优停止理论的一些最新结果。定理3.8（如Refg，ξ-子鞅的Mertens分解）让（Yt）是一个右下半连续过程，使得E[ess supτ∈T（Yτ）]<∞ 和（ξt）一个右上半连续过程，使得E[ess supτ∈T（ξτ）]<∞. 过程（Yt）是强Refg，ξ子鞅当且仅当存在两个非减量右连续可预测过程a，K∈ 假设A=0和K=0，两个非减量右连续适应的纯不连续过程C，C′在开关C中-= 0和C′-= 0和A进程Z∈ H所有t均为a.s∈ [0，T]，Yt=Yt+ZTtg（s，Ys，Zs）ds+AT- At+CT-- 计算机断层扫描-- KT+KT- C′T-+ C′t-, （3.24）Yt≥ ξta。s、，0≤ t型≤ T、 ZT（Ys-- ξs-)dAs=0 a.s。；（Yτ）- ξτ）（Cτ- Cτ-) = 所有τ均为0 a.s∈ TdAt公司⊥ dKt；dCt公司⊥ dC′t.（3.25）证明。修复S∈ T、由于（Yt）是一个强Refg，ξ-子鞅，我们推导出每个τ的∈ TS，我们有YS≤ Refg，ξS，τ[Yτ]a.S.通过定义操作符Refg，ξ，我们得到≤ ess supS\'∈TSEgS，S′∧τ（YτS′）≥τ+ξS′<τ）。通过τ的任意性∈ T、因此我们得到了≤ ess infτ∈TSess supS\'∈TSEgS，S′∧τ（YτS′）≥τ+ξS′<τ）a.S.（3.26）现在，我们可以注意到∈TSEgS，S∧S′（YSS′）≥S+ξS′S>S′）a.S.As S∈ TS，我们推断：YS≥ ess infτ∈TSess supS\'∈TSEgS，τ∧S′（YτS′）≥τ+ξS′τ>S′）a.S。

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2022-6-1 06:21:22

（3.27）不等式（3.26）和（3.27）允许得出结论YS=ess infτ∈TSess supS\'∈TSEgS，S∧S′（YτS′）≥τ+ξS′τ>S′）a.S.Fr来自DRBSDE（与假设为r.l.S.c.和r.u.S.c.的两个障碍相关）解的特征化定理，作为广义Dynkingame的值函数（即\'YS=ess infτ∈TSess supσ∈TSEgS，τ∧σ[ξττ<σ+ ζσσ≤τ] ，其中“Y”是DRBSDE的解的第一个组成部分，其中有驱动力g和障碍物（ξt）和（ζt），见第4.5in【16】节，我们推导出该过程（Yt）与具有障碍物（Yt）和（ξt）的双反射BSDE的解一致。结果如下。现在让我们展示一下相反的含义。反射的BSDE（3.24）可被视为与g广义河流f（t，ω，y，z）dt相关的反射BSDE- dKt公司- dC′t-.固定τ∈ TS.使用反射BSDE的FLOW特性及其作为最优停止问题的值函数的表示，我们得到ys=ess supS′∈TSEg公司-丹麦-dC′，S′∧τ[Yττ≤S′＋ξS′＜τ]a.S.（3.28）利用广义驱动的盲源分离系统的比较定理，我们得出≤ ess supS\'∈TSEgS，S′∧τ[Yττ≤S′＋ξS′＜τ]a.S.，（3.29），这意味着≤ Refg，ξS，τ[Yτ]a.S.，对于所有τ∈ TS。我们现在证明了一个RCLL过程的存在，该过程聚集了值族（Yα）。定理3.9（RCLL聚合器过程的存在性）对于任何α∈ 五、存在一个RCLL过程（Yαt），它聚集了族（Yα（τ），τ∈ T），即Yα（τ）=Yατa.s.，对于所有τ∈ T证据固定α∈ 五、通过定理3.6，我们得到了一个聚合族（Yα（τ），τ的可选过程（Yαt）的存在性∈ T）和满意度∈T（Yατ）]<∞. 回想一下，根据定理3.5，过程（Yαt）是一个Refg，Φα-次鞅。因此，我们可以使用定理3.8，该定理表明（Yαt）允许Eg-Mertens分解，从而给出其左极限和右极限的存在性。因此，我们定义了过程：（Yαt）+：=lims∈（t，t）↓tYαs，t∈ [0，T]。

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2022-6-1 06:21:25

（3.30）为了证明过程Yα与RCLL过程不可区分，我们必须证明（Yα）+τ=Yατa.s.，对于所有τ∈ T、（3.31）让我们引入（τn）n∈N、停车时间的递减序列，其值为τN（0，T）↓ τa.s.作为n→ +∞. 通过对过程（Yα）+的定义，我们得到了（Yα）+τ=limn→∞Yατna。s、（3.32）不等式（Yα）+τ≥ ess infα′型∈VατRefg，Φα′τ，θhΦ（θ，Mα′θ）i=Yατ通过（3.20）明确，并且反映的BSDE相对于终端时间和终端条件的连续性。还有待证明（Yα）+τ≤ ess infα′型∈VατRefg，Φα′τ，ThΦ（T，Mα′T）i=Yατa.s.Fixα′∈ Vατ和集λn：=MατnMα′τn∧1.- Mατn1- Mα′τn{Mατn/∈{0,1}}∈ [0, 1].我们设置α′n：=α1[0，τn）+λnα′[τn，T]。这意味着α′n等于Vατn。现在，关系式（3.32）与limn的Fτ-可测性→∞Yατ和BSDE相对于终端时间和终端条件的连续性给出：（Yα）+τ≤ Egτ，τ[limn→∞Yατn]=limn→∞Egτ，τn[Yατn]a.s.（3.33）根据最优停止理论，存在一个最优停止时间^θn∈ Tτ关于最优停止问题ess supθ∈TτnEgτn，θhΦ（θ，Mα′nθ）i。我们由此导出gτ，τn[Yατn]≤ Egτ，τnhess supθ∈TτnEgτn，θhθ、 Mα′nθ）i=Egτ，τnhEgτn，θnhΦ（^θn，Mα′n^θn）ii=Egτ，^θnhΦ（^θn，Mα′n^θn）ia。s、，其中第一个不等式后面是控制α′n的可容许性。

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2022-6-1 06:21:29

此外，我们得到Egτ，θnhΦ（θn，Mα′n^θn）i=Egτ，θnhΦ（θn，Mα′n^θn）i- Egτ，^θnhΦ（^θn，Mα′θn）i+Egτ，^θnhΦ（^θn，Mα′θn）i.（3.34）自^θn起∈ Tτn Tτ，我们有egτ，θnhΦ（θn，Mα′nθn）i≤ Egτ，^θnhΦ（^θn，Mα′n^θn）i- Egτ，^θnhΦ（^θn，Mα′^θn）i+ess supθ∈TτEgτ，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、（3.35）现在，通过使用BSDE的先验估计，我们得到了：EEgτ，^θnhΦ（^θn，Mα′n^θn）i- Egτ，θnhΦ（θn，Mα′θn）i≤ 总工程师Φ（^θn，Mα′n^θn）- Φ（θn，Mα′θn）(3.36)≤ CE“sup0≤t型≤TΦ（t，Mα′nt）- Φ（t，Mα′t）#.Mα′nT的收敛性→ n时的Mα′t→ ∞, 与Doob不等式一起，Φ和Lebesgue定理的一致连续性意味着E“sup0≤t型≤TΦ（t，Mα′nt）- Φ（t，Mα′t）#→ n时为0→ ∞. （3.37）使用（3.34），（3.35），（3.36），（3.37），取n的极限，然后取α′的必要极限∈ Vατ，结果如下。3.3价值过程的反向SDE表示在本小节中，我们为每个α提供了价值过程的反向SDE表示（Yαt）∈ 五、为了做到这一点，我们首先建立了价值过程的Doob-Meyer分解（Yαt）。定理3.10（值过程的Doob-Meyer分解）对于每个α∈ 五、该过程（Yαt）允许以下Doob-Me-yer分解：存在Zα∈ Handtwo RCLL可预测过程Aα∈ K Kα∈ Kα=0，Kα=0，使得Yαt=Φ（t，Mαt）+ZTtg（s，Yαs，Zαs）ds+Aαt- Aαt- KαT+KαT，（3.38）YαT≥ Φ（t，Mαt）a.s.，0≤ t型≤ T、 ZT（Yαs-- Φ（s）-, Mαs-)dAαs=0 a.s.dAαt⊥ dKαt.（3.39）证明。通过定理3.6和3.5，我们得到（Yαt）是r.l.s.c.Refg，Φα-次鞅。因此，我们可以应用定理（3.8），得到过程（Zα，Aα，Kα，Cα，C′α）的存在性∈H×（K）使（3.24）保持不变。对于这个方程，我们有Cαt- C′αt=-（Yαt+- Yαt）。因为根据前面的定理，过程（Yαt）是右连续的，所以过程C=0。结果如下。

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2022-6-1 06:21:32

现在，我们展示以下值过程的向后SDE表示。定理3.1（值过程的表示）存在一个族（Zα，Kα，aα）α∈五、H×K×K如此，对于所有α∈ 五、我们有Yαt=Φ（t，Mαt）+RTtg（s，Yαs，Zαs）ds-RTtZαsdWs+Kαt- KαT- Aαt+Aαt，0≤ t型≤ TYαt≥ Φ（t，Mαt）a.s.，0≤ t型≤ TRT公司Yαs-- Φ（s，Mαs-)dAαs=0 a.s。；dAα⊥ dKα；ess infα′型∈VατE[RTτMτ，α′sd（Aα′s- Aα′s+Kα′s）]=0 A.s.，对于所有τ∈ T（Yα，Zα，Kα，Aα）1[[0，τ]]=（Y′α，Z′α，K′α，A′α）1[[0，τ]]，τ ∈ T、 α∈ V？ατ，其中每个τ∈ T和α′∈ Vατ，过程（Mτ，α′t）t≥τre表示与满足Mτ，α′τ=1 a.s的（Yα′t）和（Yα′t）相关的线性化过程，其中（Yα′t，Yα′t，Yα′t）表示反射BSDE的解，其中驱动器g和障碍物Φ（t，Mα′t）。M以上，（Yα，Zα，Aα，Kα）α∈Vis满足上述BSDE的唯一系列。证据首先注意，对于（α，τ）∈ V×T，对于α′，我们在[0，τ]上有Vα′·=Vα·∈ Vατ。Y的定义意味着Yα[0，τ]=Yα′[0，τ]表示α′∈ Vατ。固定τ∈ Tandα∈ 五、通过定理3.10，我们得到了（Zα，Kα，Aα）的存在性，使得Yαt=Φ（t，Mαt）+RTtg（s，Yαs，Zαs）ds+Aαt- Aαt- KαT+KαT-RTtZαsdWs，Yαt≥ Φ（t，Mαt）a.s.0≤ t型≤ TRT（Yαs-- Φ（s）-, Mαs-))dAαs=0；dAαs⊥ dKαs.（3.40）通过半鞅r表示的唯一性，我们得出（Yα，Zα，Kα，aα）1[[0，τ]]=（Y′α，Z′α，K′α，a′α）1[[0，τ]]，τ ∈ T、 α∈ V′ατ。仍需显示过程Aα′满足的最小条件- Aα′型- Kα′。为此，让我们首先考虑一个任意的控制'α∈ Vατ和（Y′α，Z′α，A′α）以下反映BSDE的溶液：Y′αt=Φ（t，M′αt）+RTtg（s，Y′αs，Z′αs）ds-RTtZ？αsdWs+A？αT- A′αt，Y′αt≥ Φ（t，M′αt）a.s。

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2022-6-1 06:21:35

0≤ t型≤ TRT（Y′αs-- Φ（s）-, M？αs-))dA？αs=0。我们现在定义线性化过程Mτ，’α，使M‘ατ=1，M‘αt=expRtτβsdWs+Rtτ（λs-βs）ds,式中λs：=g（s，Y′αs，Z′αs）- g（s，Y′αs，Z′αs）Y′αs- Y′αs{Y′αs-Y′αs6=0}；βs：=g（s，Y′αs，Z′αs）- g（s，Y′αs，Z′αs）| Z′αs- Z’αs |（Z’αs- Z′αs）1{Z′αs-Z′αs6=0}。使用经典的线性化程序，我们得到：Y′ατ- Y′ατ=Eτ[ZTτMτ，’αs（dA′αs- dA‘‘αs+dK‘‘αs）]a.s.（3.41）我们现在对‘α’进行ess inf∈ Vατ并使用值函数Y′α的定义，最小条件如下。现在，我们将展示该族的独特性。设（▄Yα，▄Zα，▄Kα，▄Aα）为（3.40）的解。注意，通过使用广义驱动的盲源数据集之间的比较定理以及反射盲源数据集的解作为非最优停止问题的解的特征，我们推导出yαt=ess infα′∈Vαtess supθ∈TtEgt，θ[Φ（θ，Mα′θ）]≥ ess s向上θ∈TtEg公司-dKt，θ[Φ（θ，Mα′θ）]=Yαta。s、（3.42）通过使用相同的线性化程序，我们得到了α′τ-~Yα′τ=E[ZTτMτ，α′sd（Aα′s-~Aα′s+~Kα′s）]A.s.（3.43）最小条件意味着▄Yατ=ess infα′∈VατYα′τa.s.因此，结果如下。备注3.2注意，由于通常过程Aα- Aα- Kα不是非递减的，我们不能将其简化为仅涉及aα、aα和Kα的公式，如具有弱终端条件的无反射BSDE的情况。我们指出，在Φ=-∞因此没有反射，过程Aα和Aα对于所有α都变为0∈ 五、因此，极小条件确实等价于ss infα′∈VατEτhKα′T- Kα′τi=0 a.s.（3.44）4具有弱反射和相关博弈问题的BSDE在本节中，我们研究一个相关博弈问题。我们证明，给定一个阈值过程（Mαt），最小初始过程Yα对应于一个最优停止问题的值。

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2022-6-1 06:21:38

更准确地说，我们提供了一些条件，在这些条件下，人们可以交换inf-sup并获得鞍点的存在性。这个问题通常是非平凡的，在我们的例子中，额外的复杂性是由于障碍Φ（t，Mαt）中存在控制α。让我们∈ Tandα∈ 五、定义时间S asYα（S）的第一个值函数：=fα′中的ess∈VαSess supτ∈TSEgS，τ[Φ（τ，Mα′τ）]。（4.45）和时间S asYα（S）的第二个值函数：=ess supτ∈TSess infα′型∈VαSEgS，τ[Φ（τ，Mα′τ）]。（4.46）通过定义，我们说，对于博弈问题，在时间S存在一个值函数，如果Yα（S）=Yα（S）a.S。我们回忆起S的定义-鞍点。定义4.1（S-鞍点）让我们∈ T、 A对（τ*S、 α*S）∈ 如果（i）Yα（S）=Yα（S）a.S.（ii）在α处达到（4.45）中的基本极限，则称TS×V为Ssaddle点*S（iii）（4.46）中的本质上确界在τ处达到*S、现在让我们给出本节的主要结果。定理4.2 1。假设g（t，ω，y，z）≥ 0，表示所有（t，ω，y，z）∈ [0，T]×Ohm ×R×rd并假设Φ相对于t增加，相对于m凸。然后博弈问题允许一个值函数，即Yα（S）=Yα（S）a.S.，对于所有∈ T、（4.47）2。假设g（t，ω，y，z）≤ 0，表示所有（t，ω，y，z）∈ [0，T]×Ohm×R×rd并假设Φ相对于t减小，相对于m凹。那么博弈问题允许一个值函数，即Yα（S）=Yα（S）a.S.，对于所有S∈ T、（4.48）3。在g相对于（y，z）是凸的附加假设下，在定义4.1的意义下，博弈问题（4.48）存在S鞍点。证据1、固定S∈ T、首先注意ESS supθ∈TSess infα′型∈VαSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）]i≤ ess infα′型∈VαSess supθ∈TSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、还有一点需要说明的是相反的不等式。固定θ∈ TSandα′型∈ VαS。

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2022-6-1 06:21:41

根据非线性BSDE的FLOW性质，我们得到了EgS，T[Φ（T，Mα′T）]=EgS，θ[Egθ，T[Φ（T，Mα′T）]]a.s。应用BSDE的比较定理，并使用驱动程序g，wederiveEgS，θhEgθ，T[Φ（T，Mα′T）]i的假设≥ EgS，θhE[Φ（T，Mα′T）| Fθ]ia。s、（4.49）上述关系，连同映射Φ和条件Jensen不等式的性质，意味着Egs，θhE[Φ（T，Mα′T）| Fθ]i≥ EgS，θhE[Φ（θ，Mα′T）| Fθ]i≥ EgS，θhΦ（θ，E[Mα′T | Fθ]）ia。s、（4.50）Mα′的鞅性质意味着EgS，θhΦ（θ，E[Mα′T | Fθ]）i=EgS，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、（4.51）将（4.50）和（4.51）相结合，我们得到了tgs，ThΦ（T，Mα′T）]i≥ EgS，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、首先取θ上的基本上主∈ t然后是α′上的基本函数∈ VαS，紧随其后的是ess infα′∈VαSEgS，T[Φ（T，Mα′T）]≥ ess infα′型∈VαSess supθ∈TSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、我们显然有ESS infα′∈VαSEgS，T[Φ（T，Mα′T）]≤ ess supθ∈TSess infα′型∈VαSEgS，θ[Φ（θ，Mα′θ）]a.s.最后两个不等式可以得出以下结论：∈TSess infα′型∈VαSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）]i≥ ess infα∈VαSess supθ∈TSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、结果如下。备注4.3我们强调，在mapΦ的不同假设下，上述结果仍然成立。实际上，在正驱动程序g的情况下，可以考虑Φ（t，ω，m）=m+h（St）形式的函数Φ，其中S是子鞅过程，h是凸函数。在负驱动器g的情况下，证明仍然适用于函数ΦtheformΦ（t，ω，m）=m+h（St），其中S是上鞅过程，h是凹函数。2、对于这一点的证明，我们主要采用与前面证明相同的思路。抛开清晰，我们在下面给出它。修复S∈ T、注意ess supθ∈TSess infα′型∈VαSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）i≤ ess infα′型∈VαSess supθ∈TSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）ia。s、让我们用相等的方式来表示相反。固定θ∈ TSandα′型∈ VαS。利用Mα′的鞅性质，我们推导出EgS，S[Φ（S，Mα′S）]=EgS，S[Φ（S，E[Mα′FS]）]a.S。

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2022-6-1 06:21:44

（4.52）利用（4.52），函数Φ和条件Jensen不等式的性质，wederiveEgS，S[Φ（S，Mα′S）]≥ EgS，S[E[Φ（θ，Mα′θ）| FS]]a.S.BSDEs导引头的驱动假设和比较定理，S[E[Φ（θ，Mα′FS]]≥ EgS，θ[Φ（θ，Mαθ）]a.s.通过θ的任意性∈ TS，我们有egs，S[Φ（S，Mα′S）]≥ ess s upθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，Mα′）]a.s.因为上述不等式适用于任何α′∈ VαS，我们得到infα′∈VαSEgS，S[Φ（S，Mα′S）]≥ ess infα′型∈VαSess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，Mα′θ）]a.s.（4.53）自s∈ TSwe推断出这是infα′∈VαSEgS，S[Φ（S，Mα′S）]≤ ess s upθ∈TSess infα′型∈VαSEgS，θ[Φ（θ，Mα′θ）]a.s.（4.54）Fr从最后两个不等式中我们推导出supθ∈TSess infα′型∈VαSEgS，θhΦ（θ，Mα′θ）]i≥ ess infα′型∈VαSEgS，S[Φ（S，Mα′S）]≥ ess infα′型∈VαSess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，Mαθ）]a.s.（4.55）结果如下。3、我们现在证明了S鞍点的存在性，在附加假设g是凸的，r相对于（y，z），即假设4.3成立。假设4.3（λ，m，m，t，y，y，z，z）∈ [0，1]×[0，1]×[0，T]×R×（Rd），g（T，λy+（1- λ） y，λz+（1- λ） z）≤ λg（t，y，z）+（1- λ） g（t，y，z）a.s.我们首先证明了最优控制α的存在性*稳定部队问题4.45。根据引理3.3，存在一系列控制（αn）nbe，期望VαSsuch thatYα（S）=limn→∞↓ ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，Mαnθ）]a.s.（4.56）当序列（MαnT）在[0，1]中有界时，可以定义非负实数s（λni）i的序列≥nwithPi公司≥nλni=1，使得每个n中只有一个数量的λnido不为零，并且使得凸组合序列（~MnT）ngiven乘以~MnT：=Xi≥nλniMαiT（4.57）收敛到某个“MT”。通过支配收敛，收敛保持在L，特别是E[\'MT]=m，鞅表示定理给出了控制α的存在性，使得“MT=Mm，\'T”。

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2022-6-1 06:21:47

由于（▄MnT）和▄MTare鞅，我们得到了，对于所有θ∈ TS，~Mnθ=π≥nλniMαiθa.s。此外，由于Φ和g是凸的，我们有xi≥nλniEgτ，θ[Φ（θ，Mαiθ）]≥ Egτ，θ[Φ（θ，~Mnθ）]a.s.（4.58），因此我们得到thatYn（s）：=Xi≥nλniess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，Mαiθ）]≥ ess supθ∈TSxi≥nλniEgS，θ[Φ（θ，Mαiθ）]≥ ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，~Mnθ）]a.s.（4.59），然后（4.56）表示Yn（s）→ Yα（S）a.S.现在让我们展示一下ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，~Mnθ）]→ ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，\'Mθ）]a.s.（4.60）BSDE的先验估计给出：ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，~Mnθ）]- ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，^Mθ）]≤ ess supθ∈TSEgS，θ[Φ（θ，~Mnθ）]- EgS，θ[Φ（θ，^Mθ）]≤ Cess supθ∈TSES公司Φ（θ，~Mnθ）- Φ（θ，’Mθ）≤ CES“sup0≤t型≤TΦ（t，~Mnt）- Φ（吨，公吨）#a、 s.，C是一个依赖于T的常数g和驱动子g的Lipschitz常数。Doob极大不等式以及Φ关于T和m的一致连续性意味着上述不等式的RHS项收敛到0，直到一个子序列。因此，我们得到（4.60）。从（4.59）和（4.60）中，我们得出“α”是最优控制。因此，我们可以得出结论，在第4.2条和第4.3条的假设1下，该对（T，(R)α）是一个S鞍点。在定理4.2的假设2和假设4.3下，对（S，’α）是一个S鞍点。我们可以很容易地观察到，博弈的值函数的存在意味着我们有以下最小过程Yα的表示。推论4.1固定θ∈ Tandα∈ 五、那么Yαθ对应于下列最优停止问题的值Yαθ=ess supτ∈TθXα，τθa.s.，（4.61），其中Xα，τθ对应于时间τ弱终端条件下BSDE的最小θ-初始上解。参考文献[1]Bouchard，B.、Bouveret，G.和Chassagneux，J.-F.百慕大期权分位数对冲的向后对偶表示。

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mingdashike22

2022-6-1 06:21:50

《暹罗金融数学杂志》7，1（2016），215–235。[2] Bouveret，G.，a和Chassagneux，J.-F.近似套期保值问题中出现的偏微分方程的比较原则：对Bermud-an期权的应用。应用数学与优化，（2017），1-23。[3] Bouchard，B.、Elie，R.和Reveillac，A.具有弱终端条件的BSDEs。《概率年鉴》34，2（2015），572-604。[4] Bouchard，B.，Elie，R.，和Touzi，N.。具有可控损失的随机目标问题。暹罗J.控制优化。48, 5 (2009/10), 3123–3150.[5] 几何动态规划原理的障碍版本：约束条件下美式期权定价的应用。应用程序。数学Optim公司。61, 2 (2010), 235–265.[6] Briand，P.、Elie，R.、和Hu，Y.平均反射的Bsdes。arXiv预印本XIV:1605.06301（2016）。[7] Cvitani\'c，J.和Karatzas，I.带反射和Dynkin对策的倒向随机微分方程。安。概率。24, 4 (1996), 2024–2056.[8] Dellacherie，C.和Lenglart，E.Sur des probl“emes de r”egulariation，de recollement et d\'interpolation en the eorie des processus.研究正则化、再元素和插值问题。在数学N otes讲座第920卷第十六期概率研讨会上。施普林格，柏林，1982年，第298-313页。[9] Y.Dolinsky和Y.Kifer。离散时间内博弈期权的风险对冲。随机79，1-2（2007），169-195。[10] Dumitrescu，R.具有非线性弱终端条件的Bsdes。arXiv预印本XIV:1602.00321，（2016）。[11] Dumitrescu，R.、Quene z M.C.、Sulem A.在游戏中推广了Dyn k，并用跳跃进行了双重反射BSDE。概率电子杂志，21，（2016）。[12] 杜米特雷斯库，右。，Quenez M.C.，Sulem A.带Ef期望的组合最优停车/随机控制的弱动态规划原理。

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2022-6-1 06:21:53

《SIAMJournal关于控制和优化》，54（4），2090-2115，（2016）。[13] El Karoui，N.、Kapoudjian，C.、Pardoux，E.、Peng，S.和Quenez，M.回顾了pde的反向sde和相关障碍问题的解决方案。《可能性年鉴》，25（1997），702-737。[14] F¨ollmer，H.和Leucert，P.分位数对冲。金融斯托克。3, 3 (1999),251–273.[15] F¨ollmer，H。，Le ukert，P.高效对冲：成本与短缺风险。FinanceStoch公司。4, 2 (2000), 117–146.[16] Grigorova，M.、Imkeller P.、Oukiney Y.、Quenez M.C.《双重反射BSDES和Ef Dynkin游戏：超越右连续案例》。arXiv预印本XIV:1704.00625，（2017年）。[17] Lepeltier，J.-P.和Xu，M.具有一个r.c.l.l.屏障的反向随机微分方程的惩罚方法。统计学家。概率。勒特。75, 1 (2005), 58–66.[18] Mulinacci，S.《美式期权的有效边缘问题》。金融斯托克。15, 2 (2011), 365–397.[19] Peng，S.向后SDE和相关的g-期望。在倒向随机微分方程（巴黎，1995-1996）中，皮特曼研究所的第364卷提到了数学。序列号。朗曼，哈洛，1997年，第141-159页。[20] Peng，S.关于Doob-Meyer型线性分解定理的BSDE和n的单调极限定理。概率。理论关系。字段113、4（1999）、473–499。[21]Peng，S.和Xu，M.最小的g-su permartingale和反映了BSDE的单叶和双叶。安。Inst.H.P oincar\'e Probab公司。统计学家。41, 3 (2005),605–630.[22]P'erez Hern'andez，L.关于离散时间市场中美国或有权益有效对冲的存在性。数量。《金融》第7期，第5期（2007），第547–551页。【23】Soner，H.M.，和Touzi，N.《随机目标问题、动态规划和粘性解》。暹罗J.控制优化。41, 2 (2002), 404–424.[24]Trevino Aguilar，E。

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