基于记忆过程的商品衍生品定价

2022-6-1 15:56:34

奥斯陆大学数学系Memoryfred Espen Benth、Asma Khedher和Michele VanmaeledDepartment of Mathematics，邮政信箱1053，Blindern，N-0316奥斯陆，NorwayKorteweg de Vries数学研究所，邮政信箱94248，1090 GE Amsterdam，荷兰根特大学应用数学、计算机科学和统计系，Krijgslaan 281S9，B-9000 Gent，Belgium2017Abstractspot option prices，forwards and option on forwards related for the commodity markets，当基础过程S被建模为过程ξ的指数，记忆为L'evy半平稳过程时，计算与商品市场相关的现货期权价格、远期和远期期权。此外，代表存储成本、非流动性、便利收益或保险成本的风险保费ρ被明确建模为anOrnstein-Uhlenbeck类型的动力学，其平均水平取决于与商品相同的memoryterm。此外，假设利率是随机的。为了证明S的等价定价测度Q的存在性，我们将ξ的随机微分方程与广义Langevin方程联系起来。当利率具有确定性时，过程（ξ；ρ）在定价测度Q下具有一个明确的结构，并根据支付函数的傅立叶变换导出期权价格的显式表达式。关键词：等价度量、衍生品定价、商品市场、朗之万方程、精细过程、傅立叶变换1简介在金融市场中，衍生品的无套利价格由风险中性概率得出。在完全市场中，风险中性概率是唯一的，这导致了单一的无套利价格动态。然而，大多数金融市场是不完整的，大宗商品市场是一个典型案例。

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2022-6-1 15:56:37

例如，电力现货市场仅对能够生产或传输电力的实体参与者开放，而电力远期市场是金融市场。关于能源和大宗商品市场定价的讨论，请参见[7、12、16]，关于金融市场套利定价理论的一般处理，请参见[9]。电力是不完全市场的一个极端例子，因为现货被认为是金融上不可交易的，而且价格动态具有高度非高斯特征，如价格飙升。不完全市场中不存在唯一的风险中性概率。在本文中，我们关注一类概率Q，它可以表示为与风险中性概率的“偏差”，即标的资产的价格动态将有一个平均回报率，该平均回报率可以表示为无风险利率和该概率Q下的额外收益率之和。概率Q不会是风险中性的，但仅等同于市场概率P。它被称为定价度量。利用这类概率，我们通过额外的收益率对风险溢价进行建模。在商品市场中，该收益率可以解释为存储成本、运输、保险、便利收益率和其他非流动性成本。因此，风险的市场价格被视为对财务风险和非流动性风险的补偿。均值回归和平稳性在商品价格的价格动态中起着重要作用（见[12，16]）。我们考虑一个现货价格模型，其中对数价格动态遵循一个广义的L ang evin方程。在我们的框架中，我们考虑了对当前价格的依赖性以及跳跃。动态中对过去的依赖在朗-埃文方程漂移中作为记忆项出现，建模为历史对数价格的加权平均值。

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2022-6-1 15:56:40

我们的模型包括L'evy半平稳过程和连续时间自回归滑动平均过程，电力、天然气和石油价格的流行建模工具（见[2、8、25]），温度和风等天气变量（见[6]），以及波动性和湍流（见[4]）。我们证明了我们提出的广义Langevin方程m o del解的存在唯一性。我们的主要结果是，我们提出的定价措施类别确实是概率。这需要证明Girsanov定理中的密度过程是真鞅。Weappeal to the criteria in the extended Beneˇs method，developed in【21】中开发的扩展Beneˇs方法。在我们的分析中，我们对风险溢价中的收益率考虑了避险利率和避险动态。这两个过程都是由Ornstein-Uh-lenbeck类型的ju-mp扩散建模的，并且在价格动态中明显依赖于朗之万动力学的记忆部分。在对数现货价格动态为L'evy半平稳型或连续时间自回归滑动平均过程的特殊情况下，我们使用我们的定价方法对期权和远期的定价进行了深入研究。由于结构明确，在前一种情况下，我们使用Fouriermethods获得了合理明确的看涨期权和看跌期权价格表达式。对于L'evy半平稳过程，远期价格也可以明确地作为现货和风险溢价的函数。此外，我们还表示了该模型类的远期买入期权和买入期权的价格动态。在许多电力市场中，普通的欧式期权通常在远期进行交易。此外，我们考虑了维纳驱动的连续tim-eautoregressive移动平均动力学，并将[6]中的结果推广到产生一类pricingmeasures Q。

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2022-6-1 15:56:43

对于这些模型，我们推导了定价测度下的远期价格动态。我们注意到，在所有情况下，明确的价格表达式都是在利率不确定的假设下推导出来的，因此未来价格和远期价格是一致的。我们的分析和结果如下所示。第2节提供了商品市场在定价和风险中性概率方面的一些动机，并介绍了我们将在本文中分析的市场随机动态。作为背景材料，我们还包括了本文后面需要的一些关于精细过程的结果。第3节分析了对对数点进行建模的广义朗之万方程，第4节证明了我们提出的测度变化的有效性。最后，第5节推导了在L'evy半平稳过程中各种衍生工具（如期权和远期）的价格。本节还对连续时间自回归滑动平均过程的情况进行了广泛的分析。2设置和准备支持(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P）是满足一般条件的给定概率，参见。g、 [27]，W=（W（t））0≤t型≤t采用（Ft）-维纳过程。进一步，我们让L=（L（t））0≤t型≤具有特征三重态（，c，l) . 假设过程的L’evymeasure L满足| z|≥1zl（dz）<∞, e、 g.，L是一个平方可积的L'evy过程。从过程L的特征三元组中，我们知道后者的分解nL（t）=bt+cW（t）+tZZRzN（ds，dz），t∈ [0，T]，（1）其中b=+R | z|≥1zl（dz）和▄N是一个补偿泊松随机测度。

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2022-6-1 15:56:46

也就是N（dt，dz）=N（dt，dz）- l（dz）dt和N（dt，dz）是泊松随机测度，使得E[N（dt，dz）]=l（dz）dt。在确定商品现货市场的随机模型（见第2.2小节）之前，我们讨论了一些远期定价的经典发现。2.1商品市场中的现货和远期是一个随机过程，定义了商品的现货价格动态，由PdS（t）=uS（t）dt+σS（t）dW（t），（2）其中u，σ>0是常数S。如果现货可以在商品市场中流动交易，然后，我们可以通过以无风险利率r借入的现货多头头寸，完美地对冲远期合约中的头寸。这种对冲策略被称为买入并持有最低价策略，唯一地定义了远期价格（参见[12，16]）。一、例如，如果F（t，t）是时间t的远期价格≥ 在时间T交付商品的合同的0≥ t、那么F（t，t）=S（t）exp（r（t- t））。在商品市场中执行买入并持有策略时，必须存储商品。因此，套期保值者将产生额外的成本，这些成本反映在远期价格中，作为将要支付的利率的增加。另一方面，由于更大的灵活性，持有商品比长期持有远期合约具有一定的优势。《便利收益通知》旨在解释实物商品所有者应获得的额外收益（有关便利收益的更多详情，请参见[12，16]）。用ρ表示储存和方便的产量，则可导出一个前向价格F（t，t）=exp（（r+ρ）（t- t））用于0≤ t型≤ T农业部门表示，与传统的大宗商品市场不同，保险公司可以在一定程度上对冲风险，而spotpower市场则完全不受影响。投机者无法在能量池中对冲，只有实体玩家才能参与。

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2022-6-1 15:56:49

在这方面，电力期货可以被视为纯粹的保险工具，投机者可以向生产者提供保险。为了描述保险人为承担风险而收取的附加保险费，也可以使用上述增加的利率r+ρ。我们可以将ρ称为风险溢价。我们将引入一个定价指标Q，即明确的风险溢价ρt，它应该解释存储成本、流动性和便利收益率。假设th是ρ，利率r是常数。此外，考虑测量值更改QDPFt=exp-tZθdW（s）-tZθds, 0≤ t型≤ T其中θ=u- r- ρσ.在这个新的概率测度Q下，根据Girsanov定理，s的收益率等于r+ρ，其动力学由ds（t）=（r+ρ）s（t）dt+σs（t）dWQ（t）给出，0≤ t型≤ T，（3）其中wq是Q下的维纳过程，dwq（T）=dW（T）+u- r- ρσdt，0≤ t型≤ T这意味着S的贴现即期p过程是在Q byd（e）下给出的-rtS（t））=e-rtσS（t）dWQ（t）+e-rtS（t）ρdt。请注意，对数收益率的P-dynamics中的收益率￠S（t）：=e-rtS（t）等于u-r-σ/2，对于t∈ [0，T]。定义ξ（t）：=对数S（t），然后是Dξ（t）=u -σdt+σdW（t）。（4）远期价格F（t，t）在t签订合同，交货时间为t≥ t的定义如下（参见示例[7]）式-r（T-t）F（t，t）- S（T）| Fti=0。当S的动力学由（3）给出时，后者相当于toF（t，t）=EQ[S（t）| Ft]=e（r+ρ）（t-t） S（t）。从后者我们可以看出，标准远期定价理论使用的是风险市场价格（u- r- ρ） /σ，其中（u- r） /σ是风险中性的变化，ρ/σ是由于存储成本和便利收益或不合格的保险费而加上的。

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2022-6-1 15:56:52

在这篇文章中，我们将为比简单的几何布朗运动更一般的模型引入这样的定价测度。2.2具有记忆和跳跃的商品现货市场模型介绍了我们的现货价格动态（S（t））0≤t型≤t商品市场如下。L etξ（t）：=对数S（t），（5）和（ξ（t））0≤t型≤t是形式为dξ（t）的广义朗之万方程=tZM（t- u） ξ（u）dudt+χ（t-) dL（t），（6），其中M是一个确定性函数，χ是一个严格正的F-适应c\'adl\'ag过程。旋转χ（t-) m表示lims↑tχ（s），即过程的左极限。此外，我们考虑了一个随机利率r和一个显式风险溢价过程ρ，该过程由一个平均水平依赖于RTM（t- u） ξ（u）du。isdr（t）=[A（t）- B（t）r（t）]dt+B（t）χ（t）c dW（t）+B（t）χ（t-)ZRz▄N（dt，dz），（7）dρ（t）=h▄A（t）+B（t）tZM（t- u） ξ（u）du-\'B（t）r（t）-\'B（t）ρ（t）idt+\'B（t）χ（t）c dW（t）+\'B（t）χ（t-)ZRzN（dt，dz），（8）r（0）=r∈ R，ρ（0）=ρ∈ R，其中Bi，’Bi，代表i∈ {1，2，3}和A，'A是在t中由常数一致有界的确定性函数。这种涉及内存的动态（6）-（8）与许多商品市场相关，包括电力（参见例[1]和[3]）。利率由与ξ和ρ相同的

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2022-6-1 15:56:55

该模型比确定性模型更具普遍性，这种特殊选择的动机是为了证明度量值变化的存在（见第4节）。在下一节中，我们将陈述确保广义朗之万方程（6）解的存在性和唯一性的条件。2.3详细流程由于详细流程将在我们的考虑中发挥重要作用，我们在本节中加入了初步内容，以便获得此类流程的有用结果。精细过程是连续时间马尔可夫过程，其特征是其对数特征函数以精细方式取决于过程的初始状态向量。最近，金融模型在金融文献中获得了极大的关注，这主要是由于其分析的可跟踪性（参见示例【10】、【11】、【20】）。在续篇中，我们引入了一个等价的可加测度Q under，该测度在（6）-（8）中引入的过程（ξ，r，ρ）通常是非均匀的af fine类型。由于我们对基于过程exp（ξ）的未定权益定价感兴趣，我们在这一小节中回顾了一个结果，该结果表明，在非齐次有限模型中，未定权益的定价可以简化为一组Riccati型常微分方程的解。表示为·给定向量或矩阵的转置。假设以下随机微分方程（SDE）dX（t）=（t，X（t））dt+σ（t，X（t））dW（t）+ZRι（t，z）uX（dt，dz）- ν（dt，dz）,X（0）=X∈ Rd，其中▄W是d维布朗运动，对于d≥ 1，uXis是X跳跃的随机测量值，ν（dt，dz）=lt（dz）dt是跳跃测度ux的补偿器，我们认为它是确定性的， : [0，T]×Rd→ Rd，σ：[0，T]×Rd→ Rd×dis连续，并且（t，x）=σ（t，x）σ（t，x）对于t是连续的∈ [0，T]和x∈ Rd。

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2022-6-1 15:56:59

此外，ι（t，z）∈ t中的Rdiscontinuous∈ [0，T]表示z∈ R和Rrι（t，z）lt（dz）<∞, 对于所有t∈ [0，T]。此外，假设SDEX的时间相关参数具有以下详细结构（t，x）=（t） +dXi=1xiαi（t），（t，x）=（t） +dXi=1xiβi（t），其中（t） αi（t）是d×d矩阵（t）和βi（t）是d向量。我们考虑一个实值过程R，我们对其施加以下结构R（t）=c+γX（t），对于c∈ R和γ∈ Rd.让u∈ Cdand（φ（·，T，u），ψ（·，T，u））：[0，T]→ 满足下列Riccati方程的C×Cdbe C函数tφ（t，t，u）=-ψ（t，t，u）（t）-ψ（t，t，u）（t） ψ（t，t，u）-ZR[eψ（t，t，u）ι（t，z）- 1.- ψ（t，t，u）ι（t，z）]lt（dz）+c，tψi（t，t，u）=-βi（t）ψ（t，t，u）-ψ（t，t，u）αi（t）ψ（t，t，u）+γi，1≤ 我≤ d、 φ（T，T，u）=0，ψ（T，T，u）=u。（9）我们在下面的定理中计算X（T）的贴现运动母函数，条件是时间T的信息≤ 关于Riccati方程（9）的解。关于证明，我们参考[13，T heorem 2.13]。另见【19，定理5.1】。定理1。让u∈ Cd。假设t（9）允许唯一解（φ（·，t，u），ψ（·，t，u））：[0，t]→ C×Cd。ThenE[电子]-RTtR（s）dseuX（T）| Ft]=eφ（T，T，u）+ψ（T，T，u）X（t），t≤ T这一结果允许使用傅立叶变换技术计算在af FINE MODEL s上写入的衍生价格，正如我们将在第5.3节对广义朗之万方程的分析中所述。在这一节中，我们从广义朗之万方程及其通过拉普拉斯变换找到的解开始，为（6）中介绍的相应SDE提出一个解决方案。考虑以下广义Langevin方程，如[15]˙η（t）=tZM（t- u） η（u）du+σw（t），（10）其中M表示内存内核，w表示G高斯函数，σ是常数，˙η表示η的时间导数。

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2022-6-1 15:57:02

当M是Dirac delta函数时，解将是马尔可夫的。使用拉普拉斯变换和定义^M（z）=+∞Ze公司-ztM（t）dt，（11）用于z∈ C、对于积分有意义的情况，（10）的解可以表示为（见[15]），η（t）=H（t）η（0）+σtZH（t- u） w（u）du，（12），其中H通过其Lapl-ace变换^H（z）=H（0）z定义-^M（z），（13），为简单起见，H（0）=1。从（13）可以得出˙H（t）=tZM（t- u） H（u）du。（14）我们在这里提供了一个m内存内核m的示例，它定义了一个对应的函数，尽管它在零处是单数的。示例2。设M（s）=s-α表示0<α<1/2。然后我们会找到一个满足（14）的函数。这意味着，在整合双方并调用Fubini后，H（t）- 1=Zt˙H（s）ds=ZtZs（s- u）-αH（u）duds=ZtZtu（s- u）-αdsH（u）du=1-αZt（t- u） 1个-αH（u）du。（15）为了求解Volterra积分方程，我们提出H（t）=∞Xn=0bn（α）（t2-α） n.（16）我们立即发现b（α）=1。将（16）插入积分方程（15），我们得到1+1- α∞Xn=0bn（α）Zt（t- s） 1个-αs2n-nαds=Xn=0bn（α）（t2-α） n.但左侧的积分与β分布相连：Zt（t- s） 1个-αsβds=t2+β-αZ（1- u） 1个-αuβdu=t2+β-αΓ(2 - α)Γ(1 + β)Γ(3 + β - α).β=2n时- nα我们找到递归关系bn（α）=bn-1(α)Γ(2 - α） Γ（1+（n- 1)(2 - α))(1 - α） Γ（1+n（2- α)).使用该Γ（1+1- α) = (1 - α)Γ(1 - α），我们得出b（α）=1，bn（α）=bn-1(α)Γ1+（n- 1)(2 - α)Γ1+n（2- α)Γ(1 - α），n=1，2，3。（17）现在，我们可能会问H（t）的表示（16）是否是收敛级数。通过比率测试，我们发现bn（α）（t2-α） nbn公司-1（α））（t2-α） n个-1= Γ(1 - α） t2级-αΓ1+（n- 1)(2 - α)Γ1+n（2- α).通过斯特林公式，我们得到了伽马函数的近似值，大值为Γ（1+x）~ k√x（x/e）x对于某个正常数k。

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2022-6-1 15:57:05

但当我们1+（n- 1)(2 - α)Γ1+n（2- α)~注册护士- 1n（n）-1)(2-α） e类（n）-1)(2-α)n（2-α） e类n（2-α） =注册护士- 1n1.-nnn型- 1e2- α2.-α→ 0当n时→ ∞, 自（n-1） /不适用→ 1, ( 1 -1/n）n→ e-1和0<α<1/2。因此，H收敛于所有t<∞.出于这些考虑，我们提出以下索赔。提案3。考虑广义朗之万方程（6），我们记得它是ξ（t）=tZM（t- u） ξ（u）du dt+χ（t-) dL（t），其中χ是一个严格正的F适应的c\'adl\'ag过程，满足E[RTχ（s）ds]<∞. 假设存在（14）的唯一解H。进一步，设M和H是such thatTZEhTZM（t- u） H（u- s） χ（s）duids<∞ t型∈ [0，T]。（18）然后溶液（12）的类似物，即ξ（t）=H（t）ξ（0）+tZχ（u-)H（t- u） dL（u）（19）是广义朗之万方程（6）的唯一解。证据证明包括两个步骤。首先，我们证明了（19）中的ξ（t）确实是（6）的唯一解。在第二步中，我们检查是否满足所有必要的可积性条件。步骤1计算（19）中ξ（t）的微分，我们得到ξ（t）=ξ（0）dH（t）+H（0）χ（t-) dL（t）+tZddtH（t-s） χ（s）-) dL（s）dt。（20）对于ξ（0）=ξ（0）的（20）的两个解ξ（t）和ξ（t），立即从（20）得出ξ（t）=ξ（t），对于任何t∈ [0，T]。T hus（19）是（20）的唯一解。现在，我们在（20）中插入（14），通过放置u=s+τ来改变变量，并应用托卡斯蒂福比尼定理，参见示例。

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2022-6-1 15:57:09

[27]，达到dξ（t）=tZM（t- u） H（u）duξ（0）dt+H（0）χ（t-) dL（t）+tZt-sZM（t- s- τ） H（τ）dτχ（s-) dL（s）dt=tZM（t- u） H（u）duξ（0）dt+H（0）χ（t-) dL（t）+tZtZsM（t- u） H（u- s） duχ（s）-) dL（s）dt=htZM（t- u） H（u）ξ（0）du+tZtZM（t- u） H（u- s） 1{s≤u} duχ（s）-) dL（s）idt+H（0）χ（t-) dL（t）=htZM（t- u） H（u）ξ（0）du+tZM（t- u） uZH（u- s） χ（s）-) dL（s）duidt+H（0）χ（t-) dL（t）=tZM（t- u） hH（u）ξ（0）+uZH（u- s） χ（s）-) dL（s）idu dt+H（0）χ（t-) dL（t）。根据（19），括号之间的系数正好是ξ（u），我们得出（20）和（6）是等价的结论。由于（19）是（20）的唯一解，满足（14）的H是唯一的，那么（19）也是（6）的唯一解。步骤2：可积性条件（18）允许我们在步骤1中应用随机富比尼定理，并意味着方程（19）和（20）中的积分项定义良好。事实上，从Tzehtzm（t- u） H（u- s） χ（s）duids=TZM（t- u） EhTZH（u- s） χ（s）dsidt<∞.我们推导出EhRTH（u- s） χ（s）dsi<∞, 进而保证（19）中的整体定义良好。此外，使用（14）我们从EHTZ中推导出ddtH（t- s）χ（s）dsi=EhtZt型-sZM（t- s- u） H（u）duχ（s）dsi≤ T EhTZTZM（T- u） H（u- s） χ（s）du dsi<∞,欢迎定义（20）中的积分。设g是[0]上的实值函数，∞) H是一个可微函数，使得g（t）=˙H（t），（21）具有H（0）的有限值和htzg（t- u） χ（u）dui<∞, t型∈ [0，T]。（22）然后从（20）型SDE开始，即考虑dξ（t）=tZg（t- u） χ（u-) dL（u）dt+g（t）ξ（0）dt+H（0）χ（t-) dL（t），（23）其中χ是一个F-适应过程，我们现在从命题3的证明中可以看出，SDE（23）承认（19）给出的唯一解。

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2022-6-1 15:57:12

此外，我们知道，如果存在一个唯一的M，如关系（14）保持，并且M和H满足可积条件（18），那么SDE（23）等价于SDE（6）。ty pe（23）的SDE通常用于建模，例如能源市场中的温度和风速，见【6】。在下一节中，我们将利用这些方程与Langevin方程（6）的关系来证明这类过程的等价鞅测度的存在性。为了结束本节，我们陈述了朗之万方程（6）和伏尔泰方程之间的联系，这对于我们以后的分析很重要。备注4。（A）注意，所考虑的SDE（6）属于由L'evy过程驱动的Volterra方程类。这些是ξ（t）=a（t，ξ）dt+b（t）类型的SDE-, ξ） dL（t），ξ（0）=ξ，（24），其中ξ是满足P（|ξ|<∞) = 1和ξ=（ξ（t））0≤t型≤T、 Voltera方程自然出现在许多数学领域，如积分变换、输运方程和泛函微分方程（我们参考[17]了解确定性ic情况下这些方程的介绍和概述）。它们也出现在生物学、物理学和金融学的应用中。关于经济学中的一个例子（也适用于人口动态），我们参考了[18]中的例子3.4.1。在随机时滞方程和最优控制理论的框架下，我们参考了文献[5]和[24]。最近，在建模电力和商品价格的框架内，提出了这些过程，参见[1]和[3]。对（24）型SDE解的存在性和唯一性进行了很好的研究（例如，对于布朗运动驱动的Volterra方程，参见[2 2，定理4.6]，对于半马氏驱动的Volterra方程，参见[26]）。

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2022-6-1 15:57:16

在我们的分析中，我们利用Langevin方程（6）与S D E（20）之间的联系，证明了解的存在性和唯一性。（B）当χ是p维向量过程，且p≥ 1和H：[0，T]→ Rp×pis是一个矩阵值函数。相应地，在（21）中定义的M和g也将是矩阵值函数，即M:[0，T]→ Rp×pand g：[0，T]→ 在这种情况下，解ξl将是一个p维过程。4度量值的变化称为第2.2小节中介绍的现货市场模型，在此模型中，我们假设第3点的条件为广义朗之万动力学（6）。如第2节所述，我们需要定价测度Q下的S的动力学来对公共点S上的未定权益S进行定价。我们研究了定价测度Q的一类特殊的o，并首先将It^o形式ula应用于S=exp（ξ），从（6）dS（t）=S（t）中的ξ的动力学推导出市场概率P下S的动力学tZM（t- u）对数（S（u））du+χ（t）b+γ（t）+χ（t）cdt+S（t）χ（t）c dW（t）+S（t-)锆eχ（t-)z- 1.N（dt，dz），（25），其中γ（t）=RReχ（t）z- 1.- χ（t）zl（dz）。回想一下（7）中r的动力学。然后，贴现价格过程的动态▄S（t）=e-Rtr（s）dsS（t），t∈ [0，T]，由d▄S（T）=▄S（T）给出tZM（t- u） ξ（u）du+χ（t）b+γ（t）+χ（t）c- r（t）dt+~S（t）χ（t）c dW（t）+~S（t-)锆eχ（t-)z- 1.~N（dt，dz）。对于密度过程（Z（T））0，我们考虑由dQ=Z（T）dP定义的定价度量Q≤t型≤T（例如，参见[23]中的Girsanov定理1.31）Z（T）=exp-tZД（s，s）dW（s）-tZД（s，s）ds+tZZRlog（1- ζ（s-, z））~N（ds，dz）+tZZR[对数（1- ζ（s，z））+ζ（s，z）]l（dz）ds, 0≤ t型≤ T、（26）式中，Д（T，S）=χ（T）ctZM（t- u）对数（S（u））du+χ（t）b+χ（t）c- r（t）- ρ（t）, （27）ζ（t，z）=eχ（t）z- 1.- χ（t）zeχ（t）z- 1= 1 -χ（t）zeχ（t）z- 1，（28）（ρ（t））0≤t型≤t属于（8）中定义的风险溢价流程。

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2022-6-1 15:57:20

当测量值Q存在时，则dWq（t）=Д（t，S）dt+dW（t），~NQ（dt，dz）=ζ（t，z）l（dz）dt+~N（dt，dz）分别是一个维纳过程和一个Q下带补偿器的补偿跳变测度lt（dz）dt=（1- ζ（t，z））l（dz）dt。Q-isd-S（t）=S（t）下折扣价格过程的动力学-)χ（t）c dWQ（t）+ZReχ（t-)z- 1.~NQ（dt，dz）+ρ（t）dt. （29）为了证明测度Q的存在性，我们需要下面的引理，它表明（r（t）+ρ（t））的th可以被t上的（lns（t））的最大值所限制∈ [0，T]。为了证明这一关键点，我们采用了类似于Gron-wall不等式证明的技术，由于r和ρ的动力学具有特殊的Ornstein-Uhlenbeck样结构，这一点在这里有效。引理5。设r、ρ和ξ分别如（7）、（8）和（6）所示，其中我们假设A、\'A、Bi、\'Bi、i∈ {1，2，3}一致有界于常数，带'b是[0，T]上有界变差的函数，H（0）=1，'C<χ（T）<C，P-a.s。，t型∈ [0，T]，对于严格正常数Cand C，初始条件ξ（0）=ξ由常数P-a.s限定。此外，假设核函数M在[0，T]上是平方可积的。定义（t）=r（t）+ρ（t）。（30）然后X（t）≤ C1+sup0≤s≤tξ（s）, 0≤ t型≤ T，对于某些正常数C（取决于T）。证据在（7）中插入（6）和（1），我们在重新排列后发现dr（t）+B（t）r（t）dt=[A（t）-B（t）χ（t）B]dt+B（t）dξ（t）-B（t）tZM（t-u） ξ（u）du dt。

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2022-6-1 15:57:22

（31）将（31）的bot h边乘以eRtB（s）ds，将乘积规则应用于d（e-RtB（u）duB（t）ξ（t）），将两侧从0积分到t，然后除以eRtB（u）duwe getr（t）=e-RtB（u）dur（0）+tZe-RtsB（u）du[A（s）- B（s）χ（s）B]ds+B（t）ξ（t）- e-RtB（u）duB（0）ξ-tZe公司-RtsB（u）duB（s）B（s）ξ（s）ds-tZe公司-RtsB（u）duξ（s）dB（s）-tZe公司-RtsB（u）duB（s）sZM（s）- u） ξ（u）du ds。（32）应用三角不等式，χ，A，Band的有界性，t的ξwebound r（t）假设≤ T乘以| r（T）|≤ eKT（K+KT）+K |ξ（t）|+Ektz |ξ（s）| ds+Ektz |ξ（s）| dB（s）|+Ektzz | M（s）- u） | |ξ（u）| du ds，对于某些正常数K，K、由于[0，T]上有界变差的Bis，我们进一步得到了| r（T）|≤ eKT（K+KT）+eKTKT+tZsZ | M（s- u） | du dssup0≤s≤t |ξ（s）|，具有一些附加的正常数K。利用Cauchy-Schwartz不等式，TZsZ | M（s- u） | du ds≤TZ（sZ1 ds）1/2（sZ | M（s- u） | du）1/2秒≤ （TZ | M（u）| du）1/2TZs1/2ds=T3/2（TZM（u）du）1/2，根据假设确定。因此，我们发现，| r（t）|≤K+▄Ksup0≤s≤t |ξ（s）|，（33），其中▄K，▄K是两个正常数，取决于t。

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2022-6-1 15:57:25

像√· 是一个递增函数，sup0≤s≤t |ξ（s）|=sup0≤s≤tp |ξ（s）|≤rsup0≤s≤tξ（s）|因此，通过一个初等不等式，| r（t）|≤ C+Csup0≤s≤t |ξ（s）|，对于一些正常数C，C（取决于t）。与（7）类似，我们可以将（8）转换为dρ（t）+B（t）ρ（t）dt=[(R)A（t）-\'B（t）χ（t）B-\'B（t）r（t）]dt+\'B（t）dξ（t），（34）将（34）的bot h边乘以eRt（s）ds，将乘积规则应用于d（e-Rt'B（u）du'B（t）ξ（t）），将两侧从0积分到t，然后除以Rt'B（u）du，我们得到ρ（t）=e-Rt'B（u）duρ（0）+tZe-Rts“B（u）du[”A（s）-(R)B（s）χ（s）B-\'B（s）r（s）]ds+\'B（t）ξ（t）- e-Rt'B（u）du'B（0）ξ-tZe公司-Rts B（u）du B（s）B（s）ξ（s）ds-tZe公司-Rts’B（u）duξ（s）d’B（s）。（35）取绝对值并利用有界性假设以及e（33）处的估计，我们可以将ρ（t）在（35）中绑定为t≤ T的参数与r T的参数相同，从而得出|ρ（T）|≤ C+Csup0≤s≤tξ（s），对于正常数Cand C（取决于t）。结果如下。我们在下面的命题中说明鞅测度Q的存在性。提案6。在引理5的假设s下，过程（Z（t））0≤t型≤由（26）定义的Tde是一个P-鞅，d E[Z（T）]=1。证据由于S=exp（ξ），过程Д（27）可以表示为t和ξ的函数，^Д（t，ξ）：=Д（t，S）=χ（t）c[a（t，ξ）+χ（t）b+χ（t）c- X（t）]。（36）其中X由（30）给出，函数a（t，ξ）=tZM（t- s） ξ（s）ds和b（t，ξ）=χ（t）（37）对应于SDE（6）版本（24）中的se。由于根据命题3和备注4，DE（24）有一个唯一的解ξ，因此应用[21，定理5]得出结果。

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2022-6-1 15:57:28

1] 半鞅ξ和由tz^И（s，ξ）dW（s）给出的鞅-tZZRζ（s，z）~N（ds，dz），其中ζ（s，z）定义于（28）。在此，我们证明了[21，定理5.1]的条件是s，根据该命题中的假设|ξ|=|η|<C在（37）| a（t，ξ）中引入H¨older不等式，a（t，ξ）的χ有界性和M weget的平方可积性|≤tZM（t- s） ds公司tZξ（s）ds≤ TZTM（s）ds sup0≤s≤t |ξ（s）|。（38）接下来，引理5、方程（36）、（38）和χ的一致有界性的组合导致^Д（t，ξ）≤χ（t）ca（t，ξ）+X（t）+[χ（t）b+χ（t）c]≤ C1个以上sups≤tξ（s）.（39）让我们把注意力转向ζ（t，z）：我们可以很容易地证明|ζ（t，z）|≤ |χ（t）z |。现在确实要考虑函数f（u）：=eu- 1.- ueu公司- 1，用于u∈ R、首先，我们观察到利木→0f（u）=0，因此函数在0处没有任何奇点。考虑下一个u≥ 0。然后，自exp（u）-1.-u=Ruexp（s）-1.ds，we findf（u）=Zues- 1eu- 1ds，表示f（u）≥ 0表示u≥ 0.此外，作为exp（s）-1是S的递增函数∈ [0，u]，被积函数小于1，我们发现f（u）≤ u、对于u<0，我们考虑函数（v）=1- e-v- v1-e-v、 v>0，其中我们观察到，当u<0时，g（| u |）=f（u）。然后我们发现类似于上述1-经验值(-五）- v=-Rv1.- 经验值(-s）ds。因此，g（v）=-Zv1- e-s1级- e-vds。因此，我们看到被积函数处的g（v）<0和th是非负的，并且从1开始小于1- 经验值(-s）正在为s增加∈ [0，v]。由此得出| g（v）|≤ v表示v>0，或| f（u）|≤|u |。让u：=χ（t）z，就得到了所需的不等式。因此，再次使用χ，ZRζ（t，z）的一致性l（dz）≤ZRχ（t）zl（dz）≤捷克共和国l（dz），对于正常数C，将后者和（39）相加，我们得到^Д（t，ξ）+ZRζ（t，z）l（dz）≤ K1个以上sups≤tξ（s）.

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2022-6-1 15:57:32

（40）o插入过程（L（t））0的分解（1）≤t型≤t将ξ的SDE（24）转换为ξ（t）=（a（t，ξ）+χ（t）b）dt+χ（t）c dW（t）+χ（t-)ZRzN（dt，dz）。χ的界（38）和一致有界性，立即提供del（t，ξ）：=（a（t，ξ）+χ（t）b）+χ（t）c+χ（t）ZRzl（dz）≤ C1个以上sups≤tξ（s）. （41）o注意到（eχ（t）z-1） χ（t）z≥ 0表示ζ（t，z）≤ 1，χ和估计值（40）和（41）的均匀边界t oL（t，ξ）：=L（t，ξ）+χ（t）c^И（t，ξ）+χ（t）ZRzl（dz）ZRζ（t，z）l（dz）+χ（t）ZRzζ（t，z）l（dz）≤ C1个以上sups≤tξ（s）.因此，结果如下。因此，我们可以得出这样的结论：当核函数M在[0，T]、|ξ|<K、| C<χ（T）<C，P-a.s.上是平方可积的时。，t型∈ [0，T]，对于严格正常数K、~C和C，当函数带b在[0，T]上有界变化时，存在度量变化，历史度量P下资产价格动态漂移的记忆不会进入q动态（回忆（29））。回顾例子2，我们证明这个记忆核M是一个平方可积的记忆函数，在零处是奇异的，我们可以将H与之关联，如（16）和（17）所示。设M（s）=s-α>0时为α。那么我们就有了ztm（s）ds=ZTs-2αds=-2α+1吨-2α+1< ∞每当0<α<1/2时。此外，由于（16）-（17）中对应的H是[0，t]上的一个边界函数，并且假设过程χ在[0，t]上一致有界，M的平方可积性保证了条件（18）得到满足。5期权定价，因此，在本节中，我们推导了现货期权价格和远期的分析公式，当不确定性价格过程建模为S=exp（ξ），ξ满足类型（23）的SDE，这在能源市场中很有意义。5.1示例一：L'evy半平稳过程L'evy半平稳过程（LSS）最初在【2】中引入，用于建模能源现货价格。

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2022-6-1 15:57:35

此类由V（t）=tZ形式的过程V组成-∞H（t- s） χ（s）-) dL（s），（42），其中H是[0]上的实值函数，∞) 带H（t- s） =0表示s>t，χ为F适应的C\'adl\'ag阳性过程。在这里，我们假设L是一个双边L'evy过程，并且很好地定义了Stocastic积分。我们注意到，V是一个具有时间齐次核H的Volt-erra过程。L'evy半平稳过程的名称来源于这样一个事实，即当χ是平稳的时，过程是平稳的。在L方程是双边布朗运动的情况下，我们将这类过程称为布朗sem i-平稳（BSS）过程，这是最近由[4]在物理学中的m o delling湍流背景下引入的。假设H（0）=1，则关系式（14）hold s表示一个非等式M，且在以下可积条件下，H上的th和χis sat是fiedtz-∞EhTZ公司-∞M（t- u） H（u- s） χ（s）duids<∞, t型∈ [0，T]。通过计算V的微分，我们得到了dv（t）=tZ-∞˙H（t- u） χ（u-) dL（u）dt+χ（t-) dL（t）。（43）按照命题3证明的相同思路，我们得出（42）是（43）的唯一解，且dV（t）=tZ-∞t型-uZM（t- u- v） H（v）dvχ（u）-) dL（u）dt+χ（t-) dL（t）=tZ-∞M（t- s） sZ公司-∞H（s）- u） χ（u-) dL（u）ds dt+χ（t-) dL（t）=tZ-∞M（t- s） V（s）ds dt+χ（t-) dL（t）。（44）5.1.1现货期权价格从现在起，必须考虑包含核函数M h的积分(-∞, t] 用0代替[0，t]≤ t型≤ T特别是，风险溢价ρ的SDE为OU类型（8），但具有平均水平RT-∞M（t- s） V（s）ds。在下面的命题中，我们陈述了鞅测度的存在性，以计算S=exp（V）上的期权价格。这个结果紧随命题6和方程式（44）而来。提案7。让提案6的总和为d。

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2022-6-1 15:57:38

然后我们知道存在一个鞅测度Q，在该鞅测度下（e-Rt（ρ（s）+r（s））dseV（t））0≤t型≤这是一个Q-鞅，S上的（买入/卖出）期权的价格由C（t）=等式给出-RTtr（s）dsmaxε（S（T）- K），0|Fti，（45）用于t≤ T，式中ε=±1（分别用于调用和put）。这里，Q如（26）中所述，其中φ由φ（t，S）=χ（t）c给出tZ公司-∞M（t- u）对数（S（u））du+χ（t）b+χ（t）c- r（t）- ρ（t）ζ如（28）所示。请注意，通过用核M重写过程V，证明了现货价格S的等价鞅测度的存在。如果直接使用方程（42）或（43），证明将不简单。当我们假设r和χ是时间的确定函数，并利用过程度量Q（Z，ρ）下的精细结构时，我们可以导出支付函数傅里叶变换项下期权价格c的表达式。为了简单起见，我们在ρ的SDE中加入了“B=”B：=”B，但情况“B6=”B也可以沿着类似的线处理，阅读Riccati方程解的更复杂表达式。提案8。让命题6的假设成立。Assu m e r和χ是时间的决定函数。定义f（λ）=2πK-(ω-1+iλ）（ω+iλ）（ω- 1+iλ），ω，λ∈ R、（46）和deno te（t） =r（t）-χ（t）c- χ（t）ZRz1.-χ（t）zeχ（t）z- 1.l（dz），（t） =`A（t）+`B（t）(（t）- χ（t）b）-\'B（t）r（t）。（47）那么S上的期权价格由C（t）=e给出-RTtr（s）dsZReφ（t，t，ω+iλ，0）+（ω+iλ）V（t）+（t-t）（ω+iλ）ρ（t）~f（λ）dλ，（48）对于ω>1，如果ε=1，调用，ω<0，如果ε=-1，put，其中函数φ求解tφ（t，u，u）=-χ（t）cu+？B（t）（u+u（t- t）（）- （t） u型- （t）（u+u（t- t）（）-锆exp{[u+]B（t）（u+u（t- t））]χ（t）z}- 1.- 【u+】B（t）（u+u（t- t））]χ（t）zχ（t）zeχ（t）z- 1.l（dz）。证据

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2022-6-1 15:57:41

观察测量Q下（V，ρ）的动力学由dv（t）=（ρ（t）+（t））dt+χ（t）c dWQ（t）+χ（t）ZRzNQ（dt，dz），（49）dρ（t）=（t） dt+(R)B（t）χ（t）c dWQ（t）+B（t）χ（t）ZRz▄NQ（dt，dz）。（50）定义（t） =(（t），则，（t）），（t） =χ（t）c\'B（t）\'B（t）\'B（t）, β =0 10 0ι（t，z）=χ（t）z\'B（t）,对于z∈ R、设（φ，ψ）为下列Riccati方程的解tφ（t，t，u）=-ψ（t，t，u）（t） ψ（t，t，u）- （t） ψ（t，t，u）-锆eψ（t，t，u）ι（t，z）- 1.- ψ（t，t，u）ι（t，z）~lt（dz），φ（t，t，u）=0，tψ（t，t，u）=-βψ（t，t，u），ψ（t，t，u）=u，对于0≤ t型≤ T和u∈ C、我们回忆起lt（dz）dt是q下N（dt，dz）的补偿器。然后存在唯一的全局解（φ（·，T，u），ψ（·，T，u））：[0，T]→ C×C，用于u∈ Cto后一个系统由φ（t，t，u）=TZtχ（s）c给出ψ（s，T，u）+B（s）ψ（s，T，u）ds+TZt(（s） ψ（s，T，u）+（s） ψ（s，T，u））ds+TZtZRexp{[ψ（s，T，u）+B（s）ψ（s，T，u）]χ（s）z}- 1.- [ψ（s，T，u）+B（s）ψ（s，T，u）]χ（s）zχ（s）zeχ（s）z- 1.l（dz）ds，ψ（t，t，u）=u，ψ（t，t，u）=u+u（t- t），我们使用了以下事实：lt（dz）=（1- ζ（t，z））l（dz），其中ζ（t，z）由（28）给出。We fixω>1和u= （ω+iλ，0）。后者加上定理1，即[20，定理3.4]对我们的设置的改编，以及[14，引理10.2]得出ε=1时的（45），其中f如（46）所示。We fixω<0和u= （ω+iλ，0），则（45）也适用于ε=-因此，命题陈述如下。5.1.2远期价格我们考虑在S签订远期合同，在t签订，交货时间为t≥ t和F（t，t）的前期价格-RTtr（s）ds（F（t，t）- S（T））| Fti=0。后者相当于toF（t，t）=EQhe-RTtr（s）ds | Fti-1质量-RTtr（s）dsS（T）| Fti。（51）假设r和χ是确定性的，我们在以下建议中给出了后一种远期价格的分析表达式（51）。提案9。让命题6的假设成立。

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2022-6-1 15:57:43

此外，假设r和χ是TIME的确定性函数。那么远期价格（51）由f（t，t）=S（t）exp给出A（t，t）+TZtr（s）ds+（t- t） ρ（t）（52）其中a（t，t）=cTZt'B（s）χ（s）（t- s） ds+TZt（T- s） h A（s）+（B（s）-(R)B（s））r（s）ID-b+ZRzl（dz）TZt？B（s）χ（s）（T- s） ds公司-cTZt？B（s）χ（s）（T- s） ds+TZtZRχ（s）zeχ（s）zeχ（s）z- 1he（T-s） (R)B（s）χ（s）z- 1il（dz）ds。（53）证明。由^Z（t）定义的过程^Z：=S（t）S（0）e-Rt（r（s）+ρ（s））ds，0≤ t型≤ T、是一个等式[^Z（T）]=1的正Q鞅，定义了一个概率测度^Q~ Q比亚迪QdQFt=^Z（t），0≤ t型≤ T、考虑一个决定论r，并应用（51）中的ing-Bayes规则，我们得到f（T，T）=S（T）eRTtr（S）dsE^Q经验值TZtρ（s）ds英尺. （54）此外，从Girsanov-th-eorem（参见[23，定理1.31]），我们知道w^Q（t）=WQ（t）+χ（t）ct，~N^Q（dt，dz）=（1- eχ（t）z）~lt（dz）dt+~NQ（dt，dz）。回想一下Q in（50）下ρ的动力学。然后ρ在^Q下的动力学由dρ（t）=h给出（t）-\'B（t）χ（t）c-\'B（t）χ（t）ZRz（1- eχ（t）z）~lt（dz）idt+\'B（t）χ（t）c dW^Q（t）+\'B（t）χ（t）ZRzN^Q（dt，dz）。应用定理1，（54）中的期望变成^Q经验值TZtρ（s）ds英尺= 经验值A（t，t）+B（t，t）ρ（t）,其中b（t，t）=t- t，A（t，t）=cTZt'B（s）χ（s）（t- s） ds公司- cTZt？B（s）χ（s）（T- s） ds公司-TZt？B（s）χ（s）（T- s） ZRz（1- eχ（s）z）~ls（dz）ds+TZt（s）（T- s） ds+TZtZRhe（T-s） (R)B（s）χ（s）z- 1.-（T- s） (R)B（s）χ（s）zi^ls（dz）ds，其中^lt（dz）dt=eχ（t）z▄lt（dz）dt=eχ（t）z（1- ζ（t，z））l（dz）dt是^Q下N（dt，dz）的补偿器。将表达式替换为（t）从（47）和（28）中的ζ（t，z），结合并简化（54）中的所有表达式，我们得到了结果lt.5.1.3前进期权。在本小节中，我们考虑了一个在F（t，t）前面写有行使时间t和行使时间K的看涨期权。

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2022-6-1 15:57:48

以时间t的价格观察th≤ 根据定价指标Qdef b y（26），该期权的T将为p（T）=等式-RTtr（s）ds（F（t，t）- K） +| Fti，其中F由（52）给出。在下面的命题中，假设r是确定性的，我们推导出了写在F上的调用选项的表达式，即支付函数的傅立叶变换。提案10。让命题6的假设成立。假设r和χ是时间的决定函数。回想一下（46）中的▄f表达式。那么写在F上的cal l选项由P（t）=e给出-RTtr（s）dsZReφ（t，t，ω+iλ）+（ω+iλ）log F（t，t）~F（λ）dλ，对于ω>1，其中函数φ求解tφ（t，t，u）=-c∑（t，t）u-A（t，t）u-锆e∑（s，t）zu- 1.- ∑（s，t）zuχ（t）zeχ（t）z- 1.l（dz）和过程（log F（t，t））0≤t型≤Tsatis fies the SDEd log F（t，t）=A（t，t）dt+c∑（t，t）dWQ（t）+∑（t，t）ZRz▄NQ（dt，dz），（55）with▄A（t，t）=-（T- t） (R)B（t）χ（t）c+（t-t） \'B（t）χ（t）c-χ（t）c+ZRχ（t）z∑（t，t）zeχ（t）z- 1.- 1.l（dz）+ZRχ（t）zeχ（t）zeχ（t）z- 1he（T-t） \'B（t）χ（t）z- 1il（dz），∑（t，t）=1+(R)B（t）（t- t）χ（t）。证据回想一下，S=eV，t hus表达式（52）可以重写为f（t，t）=eΥ（t，t），其中Υ（t，t）=V（t）+A（t，t）+TZtr（S）ds+ρ（t）（t- t）。区分关于t的Υ（t，t），并用V和ρ在q下的动力学（49）-（50），用表达式（53）代替A（t，t），我们用动力学（55）代替log F（t，t）=Υ（t，t）。设φ和ψ为下列Riccati方程的解tφ（t，t，u）=-c∑（t，t）ψ（t，t，u）-A（t，t）ψ（t，t，u）-锆eψ（t，t，u）∑（t，t）z- 1.- ψ（t，t，u）∑（t，t）z(1 -ζ（t，z））l（dz），φ（T，T，u）=0，tψ（t，t，u）=0，ψ（t，t，u）=u，对于（t，u）∈ R+×C，其中ζ（z）在（28）中定义。

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2022-6-1 15:57:51

然后存在一个统一的全局解（φ（·，u），ψ（·，u））：R+→ C×C，适用于所有u∈ C到后一个系统，由φ（t，t，u）=TZt给出c∑（s，T）ψ（s，T，u）+A（s，T）ψ（s，T，u）ds+TZtZReψ（s，T，u）∑（s，T）z- 1.- ψ（s，T，u）∑（s，T）z(1 - ζ（t，z））l（dz）ds，ψ（t，t，u）=u。We fixω>1，u=ω+iλ。后者与定理1，即[20，定理3.4]对我们的设置的改编，以及[14，引理10.2]一起产生了命题的陈述。5.2示例二：CARMA过程在本节中，我们介绍了一个用于模拟天气衍生产品中的温度和风速的模型，见【6，§4】。它是ARMA模型的连续时间版本，即aCARMA模型，其中CARMA代表连续时间自回归移动平均值。对于CARMA（2,1）模型的特殊情况，决定温度或风速的因素之一满足（6）型SDE。如【6，§6.2】所述，固定CARMA过程是BSS过程的特殊情况。让我们介绍一下[6]中的模型。考虑随机向量过程X取数值inRp，其中p≥ 1，定义为SDEdX（t）=AX（t）dt+epθ（t）dW（t）（56）的解，其中ek∈ Rp，k=1，p、是Rp的第k个标准欧氏基向量。（p×p）-矩阵定义为0 1 0 ··· 00 0 1 ··· 0...............0 0 0 ··· 1-αp-αp-1.-αp-2··· -α. （57）常数αk，k=1，p、假设αp>0时为非负。确定初始函数：R+→ 假设X的动力学中的R是有界的、连续的，且θ（t）严格地从零开始，即存在一个常数θ>0，这样th在θ（t）处≥ θ所有≥ 0

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2022-6-1 15:57:54

此外，为了简单起见，我们将假设X（0）=0。由于矩阵A中的条目是常数，从[22，Th eorem 4.10]可以看出，初始条件X（0）=0的SDE（56）的唯一解由X（t）=tZexp（A（t）给出- s））epθ（s）dW（s）。（58）微分（58）中的X，我们得到dx（t）=epθ（t）dW（t）+tZAeA（t-s） epθ（s）dW（s）dt。（59）后者是（23）型SDE，g（t）=AeAt，σ（t）=epθ（t），X（0）=0。从解（58）的存在性，我们推断可积条件（22）成立，wehaveTZ（A exp（A（t））成立- s））ep）A exp（A（t- s））epθ（s）ds<∞. （60）从关系式（14）中，与进程X相关联的核M是这样的：g（t）=AeAt=tZM（t- u） H（u）du=tZM（t- u）奥杜。（61）后一个方程的解由M（t）=Aδ（t）给出，其中δ是零处的狄拉克δ函数。利用命题3，我们知道X可以重写为dx（t）=epθ（t）dW（t）+tZAδ（t- u） X（u）dudt=epθ（t）dW（t）+AX（t）dt，我们恢复X的方程（56）。当然，在这种特殊情况下，后一个结果直接遵循（59）。在这里，我们想指出的是，该流程已融入到我们的框架中。对于0≤ q<p，确定向量b∈ Rp系数bj，j=0，1，p- 1对于q<j<p，满足bq=1和bj=0。我们定义了CARMA（p，q）过程Y asY（t）=bX（t）。（62）用表达式（58）代替X（t），我们可以表示Y asY（t）=tZbexp（A（t- s））epθ（s）dW（s）。（63）很明显，Y是一个均值为零且方差为z（b）的高斯过程exp（A（t- s））ep）θ（s）ds。CARMA有两个特例（p，q）。首先，当b=e，然后q=0时，我们得到了一个称为CAR（p）过程的aso，该过程用于建模温度。

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2022-6-1 15:57:59

第二，要求q=p-例如，当我们得到p=2时，可以用来模拟风速的CARMA（2，1）模型。将It^o公式应用于（63），我们发现p过程YdY（t）的动力学=坦桑尼亚先令A exp（A（t-s））epθ（s）dW（s）dt+bepθ（t）dW（t）。（64）很明显，漂移项涉及维纳过程直到时间t的整个路径≥ 0.Y的SDE（64）也是G（t）=b的类型（23）A exp（At）ep，H（t）=bexp（At）ep，σ（t）=θ（t），Y（0）=0。为了融入我们的框架，我们需要将（64）中的漂移写入到RTM（t- s）某些记忆函数M的Y（s）ds。在（64）中代入（58）我们有dy（t）=bAX（t）dt+bepθ（t）dW（t），因此M必须满足方程bAX（t）=ZtM（t- s） Y（s）ds。（65）我们在此强调M是一个标量函数。因为Y（t）=bX（t），我们发现bAX（t）=bZtM（t- s） X（s）ds。在两侧进行拉普拉斯变换以查找BA^X（θ）=b（^M（θ）^X（θ）），对于所有θ∈ R、这里的M（θ）是M的拉普拉斯变换（11），X（θ）是X坐标的拉普拉斯变换的向量。但是我们看到，M（θ）是所有θ的特征值∈ 具有特征向量^X（θ）的R。由于A具有固定的特征向量和特征值，这是不正确的，我们得出结论，不存在（65）成立的M。现在，我们无法将第4节中的结果应用于度量变化。在[6，命题5.1]中，我们提出了一个替代论证，以证明一个过程的度量变化是CARMA的指数。

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2022-6-1 15:58:04

我们将扩展这个结果，并在我们的上下文中研究定价。为此，对于CARMA（p，q）-过程Y（t）=bX（t），定义光斑动力学asS（t）=exp（ut+Y（t）），（66），其中我们假设X∈ Rp遵循Ornstein-Uhlenbeck d动力学，级别为ξ∈ Rp，dX（t）=（ξ+AX（t））dt+θepdW（t）。多维It^o公式的一个简单应用给出了S ASD（t）的P动力学=u+（bep）θ+b（ξ+AX（t））S（t）dt+θ（bep）S（t）dW（t）。（67）对于简单性，我们假设θ是常数。我们记得b= （b，b，…，bq，0…，0）∈ Rp，其中q<p且bq=1。如果q<p- 1，然后Bep=0，因为在这种情况下，b的最后一个坐标为零。因此，如果q<p- 1我们在S的动力学中没有任何鞅项，因此无法将测度更改为任何Q~ P sothat exp公司(-rt）S（t）是Q-鞅。我们假设从现在起Q=p- 1.在这种情况下，bep=1和P isdS（t）下S的动力学=u+θ+b（ξ+AX（t））S（t）dt+θS（t）dW（t）。（68）引入下一个依赖于状态的风险溢价ρ（t）：=c（θ+CX（t）），（69），其中θ∈ Rp，c= （c，c，…，cq，0，…，0）∈ Rp，~q<p和c=0 1 0 ··· 00 0 1 ··· 0...............0 0 0 ··· 1-βp-βp-1.-βp-2··· -β, （70）对于βi>0，i=1，p、我们将看到，“移动平均向量”c的自然选择是c=b。定义随机过程θ（t，X）=θ-1.u +θ- r+b（ξ+AX（t））- ρ（t）. （71）根据（69）中规定的风险溢价，我们发现θ（t，X）=u+θ- r+bξ -cθθ+ θ-1.bA.- cCX（t）。（72）因此，θ是常数加上X（t）坐标的线性组合。在下面的命题中，我们陈述了鞅测度的存在性，以计算（68）中给出的S上的期权价格。提案11。让我们如（68）所示，由SDE（56）定义h X，并让q=p- 1.

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