小交易成本效用最大化的简单界

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收藏 2022-06-06

英文标题：
《Simple Bounds for Utility Maximization with Small Transaction Costs》
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作者：
Bruno Bouchard, Johannes Muhle-Karbe
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
Using elementary arguments, we show how to derive $\\mathbf{L}_p$-error bounds for the approximation of frictionless wealth process in markets with proportional transaction costs. For utilities with bounded risk aversion, these estimates yield lower bounds for the frictional value function, which pave the way for its asymptotic analysis using stability results for viscosity solutions. Using tools from Malliavin calculus, we also derive simple sufficient conditions for the regularity of frictionless optimal trading strategies, the second main ingredient for the asymptotic analysis of small transaction costs.
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中文摘要：
利用初等变元，我们给出了在具有比例交易成本的市场中，近似无摩擦财富过程的$\\ mathbf{L}\\u p$-误差界的推导方法。对于风险厌恶有界的公用事业，这些估计产生了摩擦值函数的下界，这为使用粘性解的稳定性结果进行渐近分析铺平了道路。利用Malliavin演算的工具，我们还导出了无摩擦最优交易策略正则性的简单充分条件，这是小交易成本渐近分析的第二个主要因素。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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大多数88

2022-6-6 21:43:54

小交易成本效用最大化的简单界*Bruno Bouchard+Johannes Muhle Karbe2021年3月23日摘要利用基本参数，我们展示了如何推导具有比例交易成本的市场中无摩擦财富过程近似的Lp误差界。对于具有有界风险厌恶的效用，这些估计产生了摩擦值函数的下界，这为使用粘性解的稳定性结果对其进行渐近分析铺平了道路。利用Malliavin calc-ulus的工具，我们还导出了无摩擦最优交易策略正则性的简单有效条件，这是小交易成本渐近分析的第二个主要依据。关键词：交易成本、效用最大化、渐近性。MSC2010:91G10、91G80、60H07JEL分类：G11、C611简介交易成本，如买卖价差，是即使是最具流动性的金融市场的显著特征。它们的存在引入了交易收益和交易成本之间的非竞争性权衡，从而大大复杂了财务决策。事实上，随着交易成本的增加，每项资产中的头寸不再是可以自由指定的控制变量。相反，它变成了一个只能逐渐调整的附加状态变量。因此，具有交易成本的模型是出了名的棘手，即使在最简单的具体环境中，也很少有明确的解决方案[7、9、29]。作为一种出路，我们可以将具有交易成本的模型视为其无摩擦对应模型的扰动，并围绕这些更易处理的b enchmarks研究其渐近性。该渐近观点首次用于在simpleconcrete模型中获得闭合形式近似值，参见[29、32、16、2、1、12]。

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可人4

2022-6-6 21:43:57

最近，这些结果已经扩展到越来越普遍的环境中【31、26、20、22、19、3、23】。这种小代价渐近的严格收敛证明通常基于粘性解的稳定性结果或凸对偶。对于第一种方法（由[31]首创），分析的出发点是，有交易成本和无交易成本的价值函数之间的差异确实允许某种渐近顺序的扩展。在可能进行显式计算的简单模型中，该假设已在[31、26、3]中通过构建各自摩擦动力学编程方程的显式子解得到验证。在具有二次成本的相关模型中【24】，建立了相应的界限*作者感谢Costas Kardaras和Mihai Sirbu的富有成效的讨论。+巴黎多芬大学（UniversitéParis Dauphine），巴黎圣路易斯研究大学（PSL Research University），北爱尔兰共和国，UMR【7534】，Ceremake，emailbouchard@ceremade.dauphine.fr.伦敦帝国理工学院数学系，电子邮件j.muhle-karbe@imperial.ac.uk.A相关方法基于【11，13】，使用弱收敛技术研究跟踪误差【6】。在非常强的额外规则性条件下使用经典的验证论证，但排除了标准的投资组合选择模型，如[21]。在基于凸对偶[19，14]的论文中，通过考虑aspeci fic几乎最优控制导出了一个下界。反过来，通过构造相应的对偶元素来补充这一点，对于小交易成本，该元素的界在前导渐近阶处是紧的。这种方法同样需要很强的正则性条件，尤其是在无摩擦计时器上。

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mingdashike22

2022-6-6 21:44:00

这些通常不容易验证，例如，仅在[21]模型中的短期时间范围内满足。在本文中，我们展示了如何使用简单而基本的参数来推导具有交易成本的效用最大化问题的界限，但仍然适用于[21]的模型。预期的渐近阶正式出现，作为无摩擦优化器的位移与跟踪它的成本之间的最佳权衡，参见【27】和【16，备注4】。我们表明，利用这一思想可以获得相应跟踪误差的严格Lpestimates。结合[4，定理3.1的证明]中的一个简单技巧，这直接导致效用最大化问题的期望边界。一旦使用该界限确定了正确的渐近阶，则可以使用[31，26，3]的粘度方法确定相应的前导阶项。我们的论点需要温和的可积条件，其中一些条件用无摩擦优化器的术语表示。然而，使用Malliavin微积分的技术，我们表明，在完全马尔可夫市场中，这些可以很容易地根据模型的原语进行验证。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了具有比例交易成本的模型。随后，在第3节中，我们通过简单Skorohod问题的解，导出了跟踪无摩擦目标策略时累积的交易成本的简单路径界。在温和的可积性条件下，这些反过来又导致在具有比例交易成本的市场中近似无摩擦财富过程的Lperror界。在第4节中，我们使用这些结果来推导具有交易成本的效用最大化问题的上界和下界。

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大多数88

2022-6-6 21:44:03

使用Malliavin演算工具，第5节提供了这些结果有效性的简单有效条件。最后，在第6节中，我们讨论了如何将我们的方法扩展到与货币数量成比例的交易成本，而不是与交易的股票数量成比例的交易成本。2 ModelLet(Ohm, F、 P，F=（Ft）t∈[0，T]）是满足通常条件的过滤概率空间。我们考虑一个拥有1+d资产的金融市场。第一种是安全的，价格标准化为1。其他d资产具有风险，其价格由Rd值连续s半鞅s建模。在没有交易成本的情况下，交易策略由Rd值可预测的可整合过程θ描述。这里，θ表示我在timet持有的风险资产股份数。相应地，对应于策略θ和固定初始禀赋X的无摩擦财富过程∈ R isXθt：=X+ZtθsdSs，t∈ [0，T]。现在假设如[17，2，22]所述，交易产生的成本与交易的单位数量成比例。然后，交易策略必须具有有限的变化和摩擦顺序，以避免淹没一般性的主要观点，我们只考虑本文中实线定义的效用函数。基于正风险定义的类幂效用函数（具有有界相对风险规避）可以用非常相似的参数来处理，但代价是更复杂的估计。类似的方法可以在非马尔可夫环境中使用，但我们不认为这种一般情况可以使参数保持简单。与【7、9、29】中所述交易金额成比例的交易成本可以按照与初始值为0的Rd值可预测、cádlág、有限变化过程相对应的相同沃尔特过程进行处理-= 0 isXθ，εt：=X+ZtθSDS公司- εZtd |θs- 1{T}ε| T |。

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能者818

2022-6-6 21:44:06

（2.1）这里，ε>0是比例交易成本，且：=Pdi=1i |，其中i是头寸（θis）s的总变化∈[0，t]上的风险资产i中的[0，t]。在时间t买入或卖出多个dθitof单位风险资产i会导致交易成本εdθi | tin（2.1）。同样，术语{T}ε| T |描述了在终止时间T清算风险资产头寸时支付的交易成本。在本文中，我们证明了当θ被定义为某个δ>0的Skorokhod问题的解时，初等变元允许用摩擦财富过程Xθ，ε近似无摩擦财富过程Xθ所产生的误差：- θ ∈ [-δ、 δ]don[0，T]，Pdi=1RT{θit-θit=δ}dθi+t+RT{θit-θit=-δ} dθi-t型= 0。（2.2）这意味着，只要与无摩擦目标分配θit的差值不超过δ，每项风险资产中的头寸保持不变。一旦达到该阈值，只需进行足够的交易，以保持小于或等于δ的偏差。对于Skorokhod问题和跟踪误差，我们假设无摩擦目标策略θ是一个连续半鞅，并使用简写符号hθi：=Pdi=1hθii。推导跟踪误差估计的第一步是摩擦跟踪策略（2.2）累积的交易成本的以下基本路径边界。他们的推导是基于对It^o公式的简单应用，这让人想起了【16，备注4】。BDE注意到，从现在起，可预测流程的集合值为[-1，1]d.Lemma 3.1。固定δ∈ （0，1），设θ为Skorohod问题（2.2）的解。那么，存在ξ∈ b如此|θ| t≤ Rδ（ξ）t：=2dδ+Ztξsdθs+2δhθit，对于所有t∈ [0，T]。（3.1）证明。因为我们正在处理矩形[-δ、 δ]d，我们可以分别考虑每个分量，然后求出各自的界限（3.1）。

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kedemingshi

2022-6-6 21:44:10

在不丧失一般性的情况下，我们由此给出d=1，并考虑具有有界导数的光滑函数-φ′(-1） =Д′（1）=1和|Д|∨ |φ′| ∨ |φ′′| ≤ 1开[-1, 1]. 确定调整后的[-1，1]-值进程Z：=（θ- θ)/δ. 它的公式、动力学（2.2）和-φ′(-1） =Д′（1）=1给出Д（Zt）=Д（Z）+δZtИ′（Zs）d（θ- θ）s+2δZtИ′（Zs）dhθis=Д（Z）+δZtИ′（Zs）dθs- |θ| t+2δZtИ′（Zs）dhθis. （3.2）由于Д及其一阶和二阶导数以1为界，因此d=1的y字段（3.1）。对于一些风险资产，相应的估计随后将所有数据线的这些界限相加，从而得出更复杂的可积条件；更多详情请参见下文第6节。这里，我们使用正则分解θi=θi+- θi-式中，θi±为cádlág且不递减。在第5节中，我们使用Malliavin演算的工具，从模型的原语方面为这一假设提供了充分的条件。组件。现在，fix一个概率测度Q，相当于物理概率P。在效用最大化问题的应用中，这将是无摩擦对偶鞅测度，它可以最小化原始优化的对偶问题；参见第4节。另一个自然选择是P本身。引理3.1中的路径估计在摩擦目标策略的以下温和可积条件下产生Lp（Q）-估计：假设3.2。对于一些p≥ 1，存在一个常数C3.3（p）>0，使得khθiTkLp（Q）+supξ∈BZTξsdθsLp（Q）≤ C3.3（p）。（3.3）备注3.3。假设无摩擦目标策略是一个It^o过程，对于Q-布朗运动W，其动力学dθt=uθtdt+σθtdWt。然后，Minkowski、Jensen和BurkholderDavis-Gundy的不等式表明，如果满足以下条件，则界（3.3）是满足的：θt | p+|θt | pidt<∞.

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大多数88

2022-6-6 21:44:13

（3.4）在假设3.2下，以下Lp（Q）-估计是引理3.1的直接结果：推论3.4。固定δ∈ （0，1），设θ为Skorohod问题（2.2）的解。对于p≥ 1在假设3.2中，存在一个常数C3.5（p）>0，使得K |θ| tkLp（Q）≤ C3.5（p）1 +δ, 对于所有t∈ [0，T]。（3.5）备注3.5。假设θ是Q-布朗运动，并为z选择Д（z）=z/2∈ [-引理3.1的证明中。然后，取（3.2）中的期望值导致Q[| t]=等式δ（Д（Z）- Д（Zt））+d2δt≥ -+δ的d2δt∈ (0, 1). 这表明，就1/δ而言，估计值（3.5）通常无法改进，直到达到常数。作为推论，我们现在推导出当近似估计Xθ乘以Xθ，ε时产生的Lp（Q）-误差，其中θ的定义如引理3.1所示。这需要对价格过程进行以下额外的可积性假设：假设3.6。给定p≥ 1如假设3.2所示，存在一个常数C3.6（p）>0，使得SUPξ∈BZTξtdSt公司Lp（Q）≤ C3.6（p）。（3.6）备注3.7。如果S是Q-鞅且p≥ 1，则（3.6）等于等式[（hSiT）p]<∞ 比霍尔德-戴维斯-甘迪不等式。更一般地说，对于Q-布朗运动W，如果返回的It^odynamicdst=uStdt+σStdWt，那么Minkows ki、Jensen和Burkholder-DavisGundy的不等式表明，（3.6）的一个有效条件是zteq|uSt | p+|σSt | pdt<∞. （3.7）定理3.8。用δ定义引理3.1中的θas∈ (0, 1). 然后，存在ξ，ξ′∈ B如此Xθ，εt- Xθt≤\'Rδ，ε（ξ，ξ′）t：=δZtξSDS公司+ 2εRδ（ξ′）t，对于所有t∈ [0，T]。（3.8）此外，如果假设3.2和3.6成立，则kxθ，εT- XθTkLp（Q）≤ δC3.6（p）+ε2C3.5（p）1 +δ.特别是，对于δ=ε1/2∈ （0，1），存在常数C3.9（p）>0，使得kxθ，εT- XθTkLp（Q）≤ C3.9（p）ε1/2。（3.9）证明。

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何人来此

2022-6-6 21:44:17

通过定义无摩擦和摩擦财富过程Xθ、Xθ、ε和（2.2），Xθ，εt- Xθt=Zt（θs- θs）决策支持系统- ε|θ| t- 1{T}ε| T|≤ δZtξSDS公司+ 2ε|θ| t，式中ξ：=（θ- θ)/δ ∈ B、现在的权利要求遵循（3.1）、（3.5）和假设3.6。备注3.9。在备注3.5和3.7中，可以更精确地表示：δEQZtξsuSSD- cε1 +δ≤ 方程hxθ，εt- Xθti≤ δEQZtξsuSSD- c′ε1 +δ,对于某些常数c，c′>0和ξ：=（θ）- θ)/δ ∈ B、除非等式[RtξsuSsds]消失，只有当δ为ε1/2级时，两个误差项才具有相同的阶数。如果θ只是一个Q-布朗运动，而us是一个正常数，则情况尤其如此。备注3.10。在效用最大化的应用中，Q通常是一个对偶鞅测度，即S是一个Q鞅，比较第4节。在这种情况下，δ=ε1/2不再产生最佳贸易效应。在这种情况下，我们将使用引理3.1得出的以下估计：公式[Xθ，εt- Xθt]=-εEQ[|θt+1{t}| t |]≥ -2εEQ[Rδ（ξ）t]。4具有交易成本的效用最大化界限我们现在将第3节中的界限应用于预期效用最大化问题。我们关注的是在整个实线上定义的风险规避有界的效用函数：假设4.1。效用函数是映射U:R→ 严格递增的R，stri-ctlyconcave，C，具有有界绝对风险规避：0<R<-U′（x）U′（x）<R<∞, 对于常数r、r和所有x∈ R、（4.1）备注4.2。条件（4.1）意味着ln（U′）的导数取区间值[-R-r] (-∞, 0). 特别是，根据约定U（0）=0，e-Rx+c≤ U′（x）≤ e-rx+烛光-重新-Rx+c≤ U（x）≤ -重新-rx+c，x∈ R、其中c：=ln（U′（0））。

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nandehutu2022

2022-6-6 21:44:20

这很容易暗示存在性和对偶结果有效性所需的INDA和合理的渐近弹性条件，如[28，定理1]。如引言中所述，也可以使用类似的参数来考虑类幂效用函数。然而，像往常一样，它们必须单独处理，并导致更复杂的估计。正如【30】所观察到的，对于具有有界绝对风险厌恶的此类效用，可通过要求无摩擦容许策略的财富过程Xθ在所有具有有限熵的绝对连续鞅测度下为超鞅来定义其容许策略，如【10，28】中的指数效用。在无套利假设nq下，我们用A表示所有此类可接受策略的集合~ P:EHDQDPPLN（dQdP）i<∞ S是局部Q-鞅o6=, （4.2）在假设4.1下，利用[18，命题3.1和3.2]得出的对偶极小化的存在性，[28，定理1]表明存在一个优化器Bθ∈ 无摩擦性最大化问题θ7的一种解法→ u（θ）：=E[u（XθT）]。该优化器通过以下一阶条件[28，方程（12）]：U′（XbθT）E[U′（XbθT）]=dbQdP，与相应对偶极小化问题[28，方程（7）]的解Bq相关。（4.3）这里，bQ是S的等价（局部）鞅测度。对于具有交易成本的效用最大化问题，θ7→ uε（θ）：=E【u（Xθ，εT）】，可通过直接类比确定可容许性，方法是要求摩擦财富过程成为具有有限熵的任何绝对连续鞅测度下的超鞅。我们为这些容许摩擦策略的集合写一个ε，并注意到例如，[14，引理e.5]。

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mingdashike22

2022-6-6 21:44:23

由于交易成本总是非负的，因此无摩擦价值函数反过来为其摩擦对应物提供了一个自然的上界：v：=supθ∈Au（θ）≥ s向上θ∈Aεuε（θ）=：vε。（4.4）在[31，3，26，24]中，粘度解的稳定性结果用于描述马尔可夫框架下小交易成本ε的摩擦值函数vε的渐近性。这些分析的出发点是一个抽象的假设，即归一化差异（v- 无摩擦和摩擦值函数之间的vε）/ε2/3相对于初始时间和空间条件是局部一致有界的。现在，我们通过使用第3节中的估计值，用适当的上界来补充下界（4.4），从而建立这样一个界。为了应用第3节的结果，我们需要假设无摩擦优化器是一个连续半鞅；使用Malliavin演算中的工具，第5节在非典型马尔可夫环境中导出了该假设的有效条件。除了第3节中的可积性条件外，我们还确定了一些（任意小的）指数矩：假设4.3。存在ι>0和C4.5>0 s uch thatsupξ∈BnEbQ[eιRTξtdθt]o+EbQ[eιhθiT+eιhSiT]≤ C4.5，（4.5）实际上，根据（4.1），在这种情况下，U的凸对偶和相对熵（指数的凸对偶）可以写成彼此的凸函数。根据詹森的《平等》一书，这种可容许性的概念因此与集合Hof（28）相吻合；特别是，它不依赖于初始捐赠。在马尔可夫分歧环境中，这种可容许性的概念允许应用[5，定理3.5]的参数，以获得由相应的值函数vε满足的动态规划原理的弱版本。

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nandehutu2022

2022-6-6 21:44:27

这进而导致将vε描述为上述论文中使用的拟变分抛物微分方程的（可能不连续的）v粘性上下解。备注4.4。（i）（4.5）中小指数矩的存在尤其意味着存在C，R，η>0，对于δ=ε∈ （0，η）和所有（ξj）j≤3. B： EbQ[eR |ξT | Rδ，ε（ξ，ξ）T]<C，（4.6），其中（3.8）定义了Rδ，ε（ξ，ξ）。（ii）假设无摩擦优化器bθ的形式为dbθt=ubθtdt+dmt，对于某些连续的Bq局部鞅M。然后，基本估计exp（| x |）≤ exp（x）+exp(-x） Novikov Kazamaki条件和H"older不等式表明（4.5）尤其适用于ifEbQheκRT |ubθt | dt+eκhbθiT+eκhSiTi<∞, （4.7）对于一些任意小的常数κ>0。示例4.5。界限（4.7）成立，例如，对于投资组合选择模型中的指数效用最大化，均值回复模型由[21]研究。在其模型的（算术版本）中，风险资产的波动率σ为常数，而其预期回报率为Havornstein-Uhlenbeck动力学：duSt=λ（(R)uS- uSt）dt+σudWut，对于常数λ>0，σu≥ 0，uS∈ R、和具有常数相关性的P-布朗运动Wu ∈ [-布朗运动驱动风险回报。指数效用U（x）=-e-rxin该模型的形式如下【21】：bθt=uStr（σS）+σurσS（B（t）+C（t）uSt），对于满足某些Riccati方程的非正光滑函数B，C。因此，无摩擦优化器Bθ的二次变化与收益过程一样具有确定性，因此这两个过程具有所有阶数的有限指数矩。为了验证（4.7），仍需证明Bθ的漂移也具有较小的指数矩。

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可人4

2022-6-6 21:44:30

这需要在对偶鞅测度bq下进行检验，其密度过程可以通过对[21]中计算的值函数进行微分得到。因此，在q下，无摩擦soptimizerbθ仍然是高斯分布的Ornstein-Uhlenbeck过程。其波动率、平均回归水平和速度与时间相关，但有界，因为它们由表现良好的Riccati方程的解决定。结果（4.7）令人满意，因为bθ为高斯分布。在我们的可积条件下，摩擦值函数有以下下界：定理4.6。假设无摩擦最优策略bθ是一个连续半鞅，定义摩擦跟踪组合θ，如引理3.1中θ=bθ，δ：=ε∈ (0, 1).假设假设假设3.2、3.6、4.1和4.3适用于某些p>2。然后，存在一个不依赖于ε的常数>0∈ （0，η），s uch thatubθ- uε（θ）≤ Cε2/3。此外，θ∈ Aε，因此该估计得出摩擦值函数的以下下界：v- Cε2/3≤ vε，（4.8）对于一些不依赖于ε的C>0∈ (0, 1).在没有交易成本的情况下，该模型的算术和几何版本对于投资组合优化是等效的，因为只要风险资产的风险溢价保持不变，它们就跨越相同的支付空间。相反，精确的规格与交易成本有关。第6节讨论了涵盖[21]模型几何版本的不同参数化。证据设置εT：=U（Xθ，εT）- U（XbθT）。然后，存在取值在Xθ，εTandXθt之间的ζεt[εT]=EU′（XbθT）Xθ，εT- XbθT+U′′（ζεT）Xθ，εT- XbθT≥ αEbQXθ，εT- XbθT+U′（ζε）U′（XθT）Xθ，εT- XbθT, （4.9）其中，我们使用了一阶条件（4.3）和符号α：=E[U′（XbθT）]。

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何人来此

2022-6-6 21:44:33

现在观察假设4.1意味着自然对数U′（x）U′（y）=ZyxU′（z）U′（z）dz≤ R | x- y |，对于所有x，y∈ R、因此U′（ζε）U′（XbθT）=U′（ζε）U′（ζε）U′（ζε）U′（ζε）U′（XbθT）≥ -ReR |ζε-XbθT |。与（4.9）一起，这表明[εT]≥ αEbQXθ，εT- XbθT-ReR |ζεT-XbθT|Xθ，εT- XbθT.现在观察上述ζεTde的形式为λXθ，εT+（1- λ） Xbθt对于值在[0，1]中的某个随机变量λ。因此ζεT- XbθT=λ（Xθ，εT- XbθT），从定理3.8得出[εT]≥ αEbQXθ，εT- XbθT-ReRλ′Rδ，ε（ξ，ξ′）TXθ，εT- XbθT对于某些ξ，ξ′∈ B、对于δ=ε1/3，注释3.10和定理3.8以及（4.5）和H"older\'sinequality依次给出[εT]≥ -Cε，对于一些不依赖于ε的常数C>0∈ (0, η).仍需确定摩擦策略θ是可接受的，即其财富过程xθ，ε是任何绝对连续局部鞅测度Q下的超鞅，其相对于物理概率P具有有限的相对熵。鉴于[14，LemmaE.5]，有必要检查rθtdStis是Q-超鞅，相应的交易成本εθTare是Q-可积的。由于无摩擦优化器bθ的可容许性，bθtdStis是一个Q-超鞅，因此有必要证明r·（θt-bθt）dst是Q鞅。由于价格过程S是一个连续的局部Q-鞅，如果我们可以建立EQ[RT（θt-bθt）dhSit]<∞, 参见【15，定理I.4.40】。Asθ-bθ由构造一致有界，因此有必要显示eq[hSiT]<∞ 对于所有具有有限相对熵的等价鞅测度Q。根据[10，引理3.5]和[8，定理2.2]，如果EbQ[exp（ιhSiT）]<∞ 对于一些arbitrarilysmallι，这是假设4.3中可积条件的一部分。现在我们来讨论交易成本ε|θ| T的Q-可积性。

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可人4

2022-6-6 21:44:36

通过δ=ε1/3as的路径界（3.1）以及[10，引理3.5]和[8，定理2.2]，这保持了ifsupξ∈BEbQ公司经验值ιZTξtdθt+ exp（ιhθiT）< ∞对于一些任意小的ι>0，正如我们在假设4.3中所假设的那样。这表明θ是可接受的，完成了证明。5使用Malliavin Calculus分解无摩擦优化器在本节中，我们解释如何验证OREM 4.6中对无摩擦优化器施加的条件。更具体地说，我们表明，Clark-Ocone公式的简单应用为模型的原语提供了充分的条件，避免了对无摩擦优化器的抽象假设。为了便于记法，我们将重点放在一个简单的一维时间齐次马尔可夫模型上，其中资产价格过程S是一个随机微分方程的解，S=S+Z·u（St）dt+Z·σ（St）dWt。（5.1）此处，S∈ R、 W是一维标准布朗，u、σ是R和（0，∞), 分别地备注5.1。在系数中添加时间相关性或考虑多维设置不会改变分析的性质。原则上，我们的方法也可以扩展到非马尔可夫环境，但我们在这里不追求这一点，因为马利雅文差异性的相应假设相当复杂和抽象。对于我们基于Malliavin演算的分析，模型的原语需要具有足够的正则性。以下条件有效：；为清楚起见，我们不追求最低限度的假设。假设5.2。映射λ：=σ-1u，σ和σ-1对于阶为0、1、2的有界导数是两次连续可微的。

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大多数88

2022-6-6 21:44:39

此外，效用函数U满足4.1，U∈ C（R），且U′/U′是有界的。对于假设5.2中风险λ的有界市场价格，度量q~ 密度为dbqdp=eN的P，其中N：=ZTλ（St）dt+ZTλ（St）dW^Qt，（5.2）是S的唯一鞅测度，WbQ：=W-R·λ（St）dt是abQ布朗运动。由于BQ是对偶问题的极小值，它通过一阶条件（4.3）与主要问题的最优策略Bθ相联系。由于效用函数ua及其凸共轭U（y）的导数：=supx∈R{U（x）-xy}，y∈ R、由▄U′（x）=关联-（U′）-1（x），这意味着我们可以找到h>0，这样xbθT=-~U′（H），其中H：=heN。假设5.2反过来也保证了最优无摩擦财富过程的可积性：引理5.3。根据假设5.2，我们有▄U′（H）∈ L（bQ）。证据As▄U′（x）=-（U′）-1（x），观察x 7的导数→~U′（exp（x））由x 7给出→ exp（x）/U′[（U′）-1（exp（x））]。因为exp（x）=U′[（U′）-1（exp（x））]，x 7的导数→因此，U′（exp（x））是有界的，因为U′/U′受假设的限制。因此，x 7→~U′（exp（x））最多具有线性增长，~U′（H）的可积性依次遵循假设5.2。我们现在可以建立本节的主要结果，这表明在假设5.2下，无摩擦优化器不仅是一个连续半鞅，而且实际上是一个具有有界漂移和扩散系数的It^o过程。尤其是，定理4.6适用于这种情况。提案5.4。假设5.2成立。然后，无摩擦优化器bθ有界，形式为θ=bθ+Z·αtdt+Z·γtdWbQt，其中bθ∈ R和α、γ是有界的自适应过程。证据步骤1：我们首先通过应用Clark-Ocone公式证明Bθ有界。我们用dt表示关于WbQ的time-t-Malliavin导数算子。

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能者818

2022-6-6 21:44:42

根据（5.1）、（5.2）和[25，定理2.2和p.104]（适用于二维扩散过程（S，N）），dtn=ZTt（λλ′）（Ss）DtSsds+ZTtλ′（Ss）DtSsdWbQs+λ（St），其中dts=σ（St）e-R·t |σ′（Ss）| ds+R·tσ′（Ss）dWbQs。（5.3）因此，DtN=σ（St）E-1吨\'\'NT-\'\'Nt+ λ（St），（5.4），其中N：=Z·（λλ′）（Ss）Esds+Z·λ′（Ss）ESDWBq和E：=E-R·|σ′（Ss）| ds+R·∑′（Ss）dWbQs。注意，使用标准估计，我们对σ、σ′、λ和λ′的界限意味着，对于所有p≥ 1，支持∈[0，T]kEbQhsups∈[t，t]| Es/Et | p | FtikL∞< ∞, （5.5）支持∈[0，T]kEbQ[|（(R)NT-\'Nt）/Et | p | Ft]kL∞< ∞, （5.6）支持∈[0，T]kEbQ[| DtN | p | Ft]kL∞< ∞, （5.7）EbQ[马力]<∞. （5.8）此外，XbθT=-~U′（H）和链式规则公式[25，命题1.2.3，引理1.2.3]简化了txbθT=-H▄U′（H）DtN=FXbθTDtN，其中F：=U′/U′。回想一下，F是由假设和▄U′（H）限定的∈ 引理5.3的L（bQ）。根据（5.7）可知，Xbθt与马利亚维亚人的节奏D1,2一致，见[25，p.27]，这是对的≤TkEbQh | DtXbθT | | FtikL∞= 支持≤TkEbQh | FXbθTDtN | | FtikL∞< ∞. （5.9）然后可以应用Clark-Ocone公式【25，命题1.3.14】获得bθtσ（St）=EbQhDtXbθt | Fti，t∈ [0，T]。自σ起-1有界，（5.9）反过来表明bθ确实有界。第二步：接下来，我们证明bθ有一个有界二次变差。设置▄F：=F（（U′）-1）回想一下U′（XbθT）=H。然后，从步骤1开始，bθT=EbQhDtXbθT | Ftiσ（St）-1=E-1t（At- Bt'Nt）+（σ-1λ）（St）Bt，t∈ [0，T]，其中T:=EbQ[°F（H）’NT | Ft]=EbQ[°F（H）’NT]+ZtφAsdWbQs，Bt:=EbQ[°F（H）| Ft]=EbQ[°F（H）]+ZtφBsdWbQs。这里，（φA，φB）由Clark-Ocone公式【25，命题1.3.14】和链规则公式【25，命题1.2.3，引理1.2.3】：φAs：=EbQ[°F′（H）HDsN'NT+°F（H）Ds'NT'Fs】，φBs：=EbQ[°F′（H）HDsN Fs]，s∈ [0，T]。同样，所需的可积性条件可以通过步骤1中的论证从假设5.2中轻松推导出来。

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mingdashike22

2022-6-6 21:44:46

因此，ddthbθ- (σ-1λ）（S）位=| E-1t（φAt- φBt'Nt）- Btλ′（St）- （位于- Bt（Nt）E-1tσ′（St）|式中，乘以（5.4），E-1t（φAt- φBt’Nt）：=σ（St）E-2tEbQ[°F′（H）H（(R)NT-\'\'Nt）|英尺]+东-1tEbQ[°F（H）DtPNT | Ft]+λ（St）E-1tEbQ[°F′（H）H（(R)NT-\'\'Nt）| Ft]和（At- Bt（Nt）E-1t=EbQ【】F（H）（(R)NT-\'Nt）| Ft]E-1吨。恒等式F′（H）H |=U’U’’XbθT1.-U′U′′（U′）XbθT结合我们的假设，可以确保▄F′（H）H是有界的。情况也是如此-2tEbQ[（(R)NT）-\'Nt）| Ft]乘以（5.6），并假设为F（H）。M以上，E-1tDt'NT=λ′（St）+ZTtE-1tDt[（λλ′）（Ss）Es]ds+ZTtE-1tDt[λ′（Ss）Es]dwbqsweettes=Es×σ′（St）-Zst（σ′σ′）（Ss）DtSsds+Zstσ′（Ss）DtSsdWbQs,所以（5.3），（5.5），假设5.2，和链式规则公式暗示∈[0，T]kEQ[| E-1tDt？NT？Ft]k∞< ∞.上述界限结合假设5.2得出hbθ-(σ-1λ）（S）Bi和h（σ-1λ）（S）Biare有界。通过极化，可以得出hbθi也是有界的。第三步：仍然需要证明Bθ的漂移部分具有有界密度。回想步骤2，无摩擦优化器可以表示为bθt=E-1t（At- Bt'Nt）+[σ-1λ]（St）Bt。应用It^o的公式后，我们的假设和步骤2中的类似参数表明，其动力学形式如下：bθt=bθ+Ztβsds+ZtγsdWbQs，t∈ [0，T]，带bθ∈ R、 |γ|=dhbθi/dt和βt：=（At- Bt（Nt）E-1t |σ′（St）|- E-1tσ′（St）（φAt- φBt'Nt）- Bt[（λλ′）（St）- （λ′σ′）（St）+λ′（St）φBt）+L（σ-1λ）（St）Bt+[（σ-1λ）′σ]（St）φBt。这里，L表示与S underbQ相关的Dynkin算子。步骤2中的类似参数（现在也使用二阶导数的有界性）反过来表明β是指数有界的。这就完成了证明。6货币金额参数化的策略为了简单起见，我们的结果是在控制θ和θ描述投资组合中风险资产的股份数量的情况下给出的，交易成本是根据交易的股份数量计算的。

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何人来此

2022-6-6 21:44:49

当控制权代表投资的货币金额和交易成本与美元金额成比例时，也可以进行类似的分析。我们现在概述如何在这种情况下调整第3节和第4节中的论点。为了将货币风险头寸方面的策略参数化，假设定价过程S为a（0，∞)d值连续半鞅。假设无摩擦目标策略θ是连续半鞅，使得θ/S是S-可积的。这里，θinow表示投资于风险资产i的金额，因此相应的无摩擦财富过程是Xθt：=X+Zt（θs/Ss）dSs，t∈ [0，T]。现在，大宗交易产生的成本与交易的货币金额成比例。然后，财富过程为Xθ，εt：=X+Zt（Yθs/Ss）决策支持系统- εZtd |θs- 1{T}ε| YθT |，其中投资于风险资产的金额followsYθT：=Zt（Yθs/Ss）dSs+θt。这些头寸通过连续有界变化过程θi进行控制，该过程描述了迄今为止转移到相应资产头寸的累计金额。在此设置中，引理3.1中研究的Skorokhod问题变成（θ- Yθ∈ [-δ、 δ]don[0，T]，Pdi=1RT{θit-Yθ，it=δ}dθi+t+RT{θit-是的，它=-δ} dθi-t型= 用于证明引理3.1的参数反过来也可以在该设置中适应于控制|θ|。事实上，在引理3.1的证明中定义Д并设置Z：=（θ- Yθ）/δ。

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nandehutu2022

2022-6-6 21:44:52

然后，在这里，我们使用符号x/y=（xi/yi）i≤d、对于单个风险资产（d=1），在不丧失一般性的情况下，它遵循it^o引理和它们的特性-φ′(-1） =Д′（1）=1，即Д（Zt）=Д（Z）+δZtИ′（Zs）d（θ- Yθ）s+2δZtИ′（Zs）dhθ- Yθis=Д（Z）+δZtИ′（Zs）dθs-ZtИ′（Zs）（Yθs/Ss）dSs- |θ| t+2δZtИ′（Zs）dhθ为+ZtИ′（Zs）（Yθs/Ss）dhSis- 2ZtИ′（Zs）（Yθs/Ss）dhS，θis）.然后可以使用Д及其导数（|Д|的界限∨ |φ′| ∨ |φ′′| ≤ 1开[-1，1）以及（Yθ）- θ)/δ ∈ b获得以下估计值：|θ| t≤ δ2+ZtξsdMs+ZtdhMis+Ztξsdθs+ZtξsθsdMs+ZtξsθsdhMis+ZtξsdhMis，θis+δhθit+ZtθsdhMis+ZtξsθsdhM，θis.这里，ξ，ξ∈ B、 M表示动态dMt=dSt/St的回报过程。推论3.4和定理3.8的对应项依次在可积性条件下遵循，类似但比假设3.2和3.6更复杂。在类似于假设4.3的条件下，也可以得到第4.6条的类似物。特别是，模型原语的任意小指数矩仍然足以推导下限（4.8）。特别是，这允许涵盖[21]模型的几何版本，其中无摩擦目标策略θ=bθ为高斯伊恩，与示例4.5相比。相比之下，只有在时间范围T足够小的情况下，才能在这种情况下证明先前论文中规定的可积性条件。事实上，[19，条件（3.2）]或[14，条件（A.2）]要求存在RTBθtdMtorRTbθtdt的特定指数矩，这两者都涉及到[21]模型的平方Ornstein-Uhlenbeck过程。因此，只有当时间范围T不太大时，这些条件才成立。参考文献【1】M.Bichuch。用交易成本对未定权益能力进行定价，作为最优投资的符号分析。金融斯托克。18(3): 651–694, 2014.[2] M.Bichuch和S.E.Shreve。

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nandehutu2022

2022-6-6 21:44:55

效用最大化交易两个有交易成本的期货。西亚姆杰。财务部。数学4(1): 26–85, 2013 .[3] B.Bouchard、L.Moreau和H.M.Soner。在具有商场交易成本的预期损失约束下进行套期保值。暹罗J.Financ。数学7(1): 508–551 , 2016.[4] B.Bouchard、R.Elie和L.Moreau。关于基于公用事业的定价和风险分散的说明。数学财务部。经济。，6(1), 59–74, 2012.[5] B.Bouchard和N.Touzi。粘度解的弱动态规划原理。暹罗J.控制优化。，49(3), 948– 962, 2011.[6] J.Cai、M.Rosenbaum和P.Tankov。最优跟踪的渐近下界：线性规划方法。安。应用程序。概率。27(4 ): 2455–2514, 2017.[7] G.M.Constantinides和M.J.P.Mag ill。具有交易成本的投资组合选择。J、经济。第次。13(2): 245–263, 1976.[8] I.Csiszár.概率分布的I-散度几何和最小化pr问题。安。概率。3(1):146–158, 1975.[9] M.H.A.戴维斯和A.R.诺曼。具有交易成本的投资组合选择。数学操作。第15（4）号决议：676-7131990年。[10] F.Delbaen、P.Grandits、T.Rheinl"ander、D.Samperi、M.Schweizer和C.Stricker。指数对冲和熵分析。数学《金融学》12（2）：99–123，2002年。[11] M.Fukasawa。随机积分的有效离散化。金融斯托克。18(1): 17 5 – 208, 2014.[12] S.Gerhold、P.Guasoni、J.Muhle Karbe和W.Schachermayer。交易成本、交易量和流动性溢价。金融斯托克。18(1): 1–37, 2014.[13] E.Gobet和N.Landon。几乎可以肯定最优对冲策略。安。应用程序。概率。24(4 ): 1652–1690, 2014.[14] M.Herdegen和J.Muhle-K arbe。关于小摩擦的Radner平衡的稳定性。金融斯托克。22(2): 443–502, 2018.[15] J.Jacod和A.N.Shiryaev。随机过程的极限定理。柏林斯普林格，2003年。[16] K.Janecek、K.和S.E.Shreve。

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能者818

2022-6-6 21:44:59

具有交易费用的最优投资和消费的渐近分析。金融圣奥赫。8(2): 181–206, 200 4.[17] K.Janecek、K.和S.E.Shreve。具有交易成本的期货交易。伊利诺伊州J.数学。54(4):1239–1284, 2010.[18] Y.卡巴诺夫和C.斯特里克。关于指数效用最大化的最优投资组合：对六位作者论文的评论。数学《金融学》12（2）：1 2002年第25–134期。[19] J.Kallsen和S.Li。小交易成本下的投资组合优化：凸对偶方法。预打印，2013年，ava-ilable在线https://arxiv.org/abs/1309.3479.[20] J.Kallsen和J.Muhle Karbe。交易成本小的最优投资和消费的一般结构。数学财务27（3）：659–7032017。[21]T.S.Kim和E.Omberg。动态非缩略对开行为。修订版。财务部。螺柱。9(1):141–161,1996.[22]R.Martin。比例交易成本下的最优交易。风险：2014年8月54-59日。【23】Y.Melnyk和F.T.Seifried。不完全市场中长期增长率的小成本渐近。数学财务28（2）：668–7112018。【24】L.Moreau、J.Muhle Karbe和H.M.Soner。价格影响较小的交易。数学财务27（2）：350–4002017年。【25】D.Nualart。Malliavin微积分和相关主题。纽约斯普林格，2006年。[26]D.Possamai、H.M.Soner和N.Touzi。小交易成本的同质化和渐近性：多维案例。公社。部分差异。公式40（11）：2005-20462015。[27]L.C.G.罗杰斯。为什么比例交易成本的影响是O（2/3）？In G.Yin和Q.Z hang，《金融数学》编辑，第303-308页。美国。数学Soc。，普罗维登斯，国际扶轮社，2004年。[28]W.Schachermayer最优投资组合过程的超鞅性质。金融斯托克。7(4): 433–456, 2003.【29】S.E.Shre ve和H.M.Soner。具有交易成本的最优投资和消费。安。应用程序。概率。

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kedemingshi

2022-6-6 21:45:04

4(3): 609–692 , 19 94.【30】M.Sirbu。基于效用的价格的渐近分析和在整个实线上定义的效用的对冲策略。演示文稿，2009年，在线提供athttps://www.ma.utexas.edu/users/sirbu/papers/talk.pdf.【31】H.M.Soner和N.Touzi。小交易成本的同质化和渐近性。暹罗J.控制优化。，51(4), 2893 –2921, 2013.[32]A.E.Whalley和P.Wilmott。具有交易成本的期权定价最优套期保值模型的渐近分析。数学《金融》，7（3）：307–324，19 97。

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