最优动态基差交易

2022-6-10 17:57:42

在本文中，我们考虑了一种不同的情况，即基础在到期时不会消失。更准确地说，我们通过一个在其达到收敛之前停止的缩放布朗桥来模拟托卡斯特基。我们提出的模型是由市场不趋同现象以及交易员在到期前关闭其期货头寸的可能性所驱动的。此外，它还有一个额外的优势，即它创造了一个无套利期货市场（见下文第2.5条）。我们使用双曲型绝对风险规避（HARA）效用函数来考虑一类一般的风险偏好，其中包括幂（CRRA）和指数（CARA）效用。然而，我们排除了降低风险承受能力函数的情况，尤其是二次效用函数。在我们的发现中，我们以封闭形式推导出了最佳动态基差交易策略，最大化了终端财富的预期效用。在解决我们的投资组合优化问题时，出现了适定性的关键问题。为此，我们找到了最大预期效用确定的确切条件。对于预期效用爆炸的情况，我们推导出爆炸发生的临界投资期限。详见第3节。请注意，在以下情况下观察到实现有限预期效用：有限期投资组合优化（Merton（1969））、最优执行（Bulthuis et al.（2017））、以及具有均值回复回报的有限期资产最优交易（Kim和Omberg（1996）；Korn和Kraft（2004））。后面的研究分别创造了术语“涅盘策略”和“I-不稳定”，用于在有限的投资范围内产生有限的预期效用的投资策略。我们的模型与许多涉及布朗桥的金融研究相关。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:57:47

应用包括解调市场信息流。例如，Brody、Hughston和Macrina（2008）在关于未来市场事件的信息中使用了DA Brownian bridge作为噪音，并基于此资产价格动态和市场信息流导出了期权定价公式。Cartea、Jaimungal和Kinzebulatov（2016）利用随机布朗桥（rBb）对具有知情交易者感知的随机终点的资产的中间价格进行建模，并确定市场和限价订单的最佳位置。Leung、Li和Li（2018）还应用rBb模型来研究出售不同头寸的最佳时机。基差交易包括交易单个期货合约及其现货资产。一种类似的替代策略是，与现货交易多个期货，但期限不同。例如，Leung和Yan（2018、2019）考虑了由相同的双因素随机现货模型生成的期货价格，并优化了动态交易策略。在最优收敛交易中，资产价格或其价差通常由平稳均值回复过程建模。例如，见Kim和Omberg（1996）、Korn和Kraft（2004）、Mudhanatongsuk等人（2008）、Chiu和Wong（2011）、Liu和Timmermann（2013）、Tourin和Yan（2013）、Cartea和Jaimungal（2016）、Lee和Papanicolaou（2016）、Leung和Li（2016）、Kitapbayev和Leung（2018）以及Cartea等人（2018）。然而，在这些研究中，价格或价差并没有计划在未来某个时候趋于一致。使用一个标度布朗桥，我们可以控制基向到期日收敛的趋势。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了我们的市场模型并公式化了动态基差交易问题。在第3节中，我们求解相关的Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:00

第4节包含我们关于最优基差交易策略的结果，以及一系列说明性的数值例子。第5节结束。附录中包含更长的证明。2问题设置我们考虑在一段时间内交易无风险资产、到期日为T的期货合约F及其基础资产S的投资者。为简单起见，我们假设S不支付股息，也没有存储成本。我们还假设利率为零，以无风险资产为基准。在这些假设下，期货价格、远期价格和现货价格应该相等。然而，在实践中，市场摩擦和不足可能导致期货价格与现货或远期价格不同。如上所述，期货价格甚至可能不会收敛到到期时的现货价格。基于这些市场缺陷，我们提出了一个随机模型，该模型综合了期货和现货价格的共同运动，并捕捉到基差接近零但不一定在到期时消失的趋势。从本质上讲，现货和期货价格是由相关的布朗运动驱动的，随机基础由标度布朗桥表示，如下面引理2.2所示。为了描述我们的模型，我们假设波动率标准化期货价格（Ft）t∈[0，T]和波动率标准化现货价格（St）T∈[0，T]满足性Dystst=udt+dWt，1，（2.1）和dftft=u+κZtT–t+εdt+ρdWt，1+p1–ρdWt，2，（2.2），其中（Zt）0≤t型≤是ZT定义的随机基的对数值：=对数StFt公司; 0≤ t型≤ T、（2.3）见备注2.1。这里，Wt=（Wt，1，Wt，2）>是过滤概率空间中的标准布朗运动Ohm, F、 P，（Ft）t≥0式中（Ft）t≥0由布朗运动生成，满足通常条件。参数u和u，带u，u∈ R、分别表示S和F的夏普比（见下文备注2.1）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-10 17:58:07

如（2.2）所述，期货价格有在S附近恢复的趋势。事实上，如果FTI显著高于St，则ZT变为负值。因此，Ft的漂移也可能是负的，从而推动Ft的值向下接近St。如果Ft显著低于St，则相反的情况将成立。该平均值逆转的速度由常数κ>0反映出来。另一方面，这两种价格在到期时不必重合。不收敛程度由参数ε>0控制。ε越小，表示成熟期林分Ft越接近。事实上，如果ε=0，则STand Ft将完全相同。最后，我们通过参数|ρ|<1合并了两个价格过程之间的相关性。备注2.1。设（eSt）satisfyingdeSt=eSt（utdt+σtdWt），为资产的报价。资产的“波动率标准化价格”（St）由DST=StσteStdeSt=St给出utσtdt+dWt, S=eS，因此（St）的波动率为1。此外，设（eπt）为投资于资产的金额。资产中的“波动率调整头寸”由πt给出：=σteπtsuch thatdeπt=eπtdeSteSt=πtdStSt。换句话说，在处理波动率标准化价格时，应使用波动率调整头寸。为了找到美元头寸，我们只需要将波动率调整头寸除以波动率，即πt=πtσt。在本文的其余部分，我们使用价格和头寸来代替波动率标准化价格和波动率调整头寸。正如我们在下面的引理中所示，价格动力学（2.1）和（2.2）意味着随机基（Zt）是一个在T+ε处收敛到零的标度布朗桥。这意味着S和F收敛于atT+ε，即limt→T+ε（Ft/St）=1，P-几乎可以肯定。然而，由于期货合约在T到期，且T+ε已过期，因此市场上并未实现这种趋同。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:12

在我们模型的极限情况下，ε→ 0+，现货和期货价格收敛于T，市场模型允许套利。相反，对于任何ε>0的情况，市场都是无套利的。见下文命题2.5和备注2.6。引理2.2。随机基（Zt）0≤t型≤Tsatis fiesdzt=u–u–κZtT–t+εdt+（1–ρ）dWt，1–p1–ρdWt，2，（2.4）对于0≤ t型≤ T、特别是，如果我们考虑这个SDE在[0，T+ε]上的解，那么ZT+ε=0，P-几乎可以肯定。证据我们通过将（2.1）-（2.3）应用于dZt=dStSt–dFtFt得到（2.4）。根据Karatzasand Shreve（1991）第354页的等式（6.6），（2.4）的唯一强解为zt=Z1–tT+εκ+（u–u）A（t）+ZtT–T+εT–u+εκ（1–ρ）dWu，1–p1–ρdWu，2; 0≤ t型≤ T、（2.5）我们定义了a（T）：=κ – 1T–T+ε–（T–T+ε）κ（T+ε）κ–1; 如果κ6=1，（T–T+ε）对数T+εT–T+ε; 如果κ=1。（2.6）由于κ>0，在（2.6）中取极限会产生极限→T+εA（T）=0。从（2.5）可以得出P（ZT+ε=0）=1。备注2.3。引理2.2提供了我们模型的另一种表示。事实上，我们可以通过（2.1）定义基础资产S，通过（2.4）定义基础资产Z。随后，FT确定的期货价格：=Ste–ZTSaties（2.2）。作为推论，我们现在描述了基（Zt）t的分布≥0。推论2.4。假设zi是确定性的。那么，基础（Zt）0≤t型≤这是一个高斯-马尔可夫过程，平均函数m（t）：=E（Zt）=Z1–tT+εκ+（u–u）A（t），（2.7）和协方差函数σ（s，t）：=Cov（Zs，Zt）=2（1–ρ）2κ–1（T–T+ε）κ（T–s+ε）κ–11 –1–sT+ε2κ–1; 如果κ6=，2（1–ρ）p（T–T+ε）（T–s+ε）logT+εT–s+ε; 如果κ=，（2.8）对于所有0<s≤ t<t。这里，A（t）由（2.6）给出。证据该结果源自使用（2.5）进行的直接计算。根据推论2.4，可以得出ZT~ N（m（T），σ（T，T））。此外，asε→ 0，我们有E（ZT）=m（T）→ 0和Var（ZT）=σ（T，T）→ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:16

使用引理2.2及其推论，可以直接设计一种时间离散化方案来模拟S、F和Z的路径，如图1所示。作为确认，we0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.081.01.21.41.6$1模拟路径为（St）和（Ft）StFt0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08t-0.10-0.050.000.05（Zt）的模拟路径及其95%置信区间m（t）m（t）±1.96σ（t，t）-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.0605101520 ZTN（m（T），σ（T，T））模拟路径（St），（Ft）和（Zt）的Zt经验密度基于200KDE样本。参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，T=0.08，ε=0.004，ρ=0.95。图1：左面板显示了S和F的模拟路径（顶部），以及Z及其随时间的置信区间（底部）。右侧绘制了ZT的理论密度和估计密度（基于模拟路径）。参数：u=0.1，u=0.12，κ=1，T=0.08，ε=0.004，ρ=0.95。参见ZT的经验密度，基于200条与理论密度密切匹配的模拟路径，即Nm（T），σ（T，T）.接下来，我们证明了我们的市场模型是无套利的。让我们首先定义风险函数λ（t，z）的市场价格：=∑–1u+κzT–t+ε=u√1–ρu–ρu+κT–T+εz, （2.9）对于0≤ t型≤ T、式中，∑：=1 0ρp1–ρ！。提案2.5。（2.1）–（2.3）中的市场模型是无套利的。特别是，风险中性度量Q由Radon-Nikodym导数qdp=YT给出，其中过程（YT）t∈[0，T]满意度dYtYt=–λ（t，Zt）>dWt；0≤ t型≤ T、 Y=1，（2.10），是一个P-鞅。证据见附录A。命题2.5显示了ε>0的重要性。对于ε=0，市场模型（2.1）-（2.2）并非无风险。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:19

事实上，在引理2.2的证明中设置ε=0会得到P（ST=FT）=P（ZT=0）=1。因此，如果存在风险中性度量Q，那么我们必须有ST=EQ（ST）=EQ（FT）=FT；0≤ t型≤ T、这与（2.1）-（2.2）相矛盾。备注2.6。参考附录A中命题2.5的证明，我们可以指出如果ε=0，哪个部分会失败。具体而言，对于ε=0，关键不等式（A.6）在证明中不成立。我们现在讨论投资者面临的动态交易问题。设eπt，1为投资于S的现金金额，eπt，2为投资于F的名义价值，对于t∈ [0，T]。通过πt，i确定波动率调整头寸：=σt，即πt，i，i∈ {1，2}，其中（σ1，t）和（σ2，t）分别是现货和期货价格的波动率。然后，交易财富（Xt）0≤t型≤t滚转dxt=πt，1dStSt+πt，2dFtFt（2.11）=uπt，1+u+κZtT–t+επt，2dt+（πt，1+ρπt，2）dWt，1+πt，2p1–ρdWt，2，对于0≤ t型≤ T、然后，我们定义了一组可接受的交易策略。定义2.7。对于常数x*, γ ≥ 0，定义集合D R如下：={x∈ R:x>x*}; γ>0，R；γ = 0.我们用A=A（x）表示*, γ）所有（Ft）适应过程的集合，用π=（πt，1，πt，2）0表示≤t型≤T、因此（i）RTπt，1+πt，2+|πt，2Zt|dt<∞, P-a.s.，（ii）Xt∈ D P-a.s.适用于所有t∈ [0，T]，其中（Xt）0≤t型≤由（2.11），（iii）（Xt）0给出≤t型≤t从下方一致有界，P-a.s。注意，对于γ>0，条件（ii）变为Xt>x*所有t的P-a.s∈ [0，T]，这使得条件（iii）冗余。对于γ=0，条件（ii）是多余的，因为相应的效用对财富过程没有约束。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:22

因此，对于γ=0，需要条件（iii）来排除加倍策略。为了最大化终端财富的预期效用，投资者解决随机控制问题v（t，x，z）：=supπ∈AEt、x、zU（XT）；（t、x、z）∈ [0，T]×D×R，（2.12）即持有的期货合约数量乘以期货价格。见备注2.1。式中，Et，x，z（·）：=E（·| Xt=x，Zt=z）。这里，U:D→ R是一个双曲型绝对风险规避（HARA）效用函数，其风险容限函数的形式为：δ（x）：=–U（x）U（x）=γ（x–x*); γ > 0,δ> 0; γ = 0.（2.13）我们进一步假设，对于γ6=1，U（x）U（x）=δ（x）γ–1=γγ–1（x–x*); γ ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞),–δ; γ = 0.（2.14）请注意，除对数效用（即γ=1）外，任何HARA效用都可以通过一个常数进行移位，从而满足（2.14）的要求。对于γ=0（即指数效用），该结果微不足道。下面的引理确定了γ的观察结果∈ (0, 1) ∪ (1, +∞). 因此，条件（2.14）不会导致一般性损失。引理2.8。删除：D→ R用γ满足（2.13）∈ (0, 1) ∪ (1, +∞). 取任意x∈ D和deneu（x）：=eU（x）–eU（x）+δ（x）γ–1eU（x）；x个∈ D、（2.15）然后，（γ–1）U（x）=δ（x）U（x），对于x∈ D、证明。由于U也满足（2.13），各部分的积分yieldsU（x）–U（x）=–Zxxδ（y）U（y）dy=–δ（x）U（x）+δ（x）U（x）+γU（x）–U（x）.对于所有x∈ D、因此，（γ–1）U（x）=δ（x）U（x）+（γ–1）U（x）-δ（x）U（x），结果如下，通过（2.15），我们得到（γ–1）U（x）=δ（x）U（x）。图2显示了不同γ值的HARA效用函数示例。具体而言，γ∈(0, 1) ∪ (1, ∞) 对应于电力效用，γ=1表示对数效用，γ=0表示指数效用，γ=–1表示二次效用。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:25

注意，我们已经从模型中排除了具有风险承受能力递减函数的HARA效用函数的情况，例如二次效用。3 HJB方程如第4节所示，（2.12）中的值函数V与[0，t]×D×R上下列终值问题的经典解V（t，x，z）一致：vt公司+u–u–κzT–t+εvz+（1–ρ）vzz+supπ∈RLπv=0，v（T，x，z）=U（x），（3.1）xU（x）γ<0：γ1-γ（x*- x） 1个-1/γγ = 0 : -e-x/δ00<γ<1：γγ-1（x- x个*)1.-1/γγ > 1 :γγ-1（x- x个*)1.-1/γγ=1：对数（x- x个*)x个*图2：γ不同值的HARA效用函数。具体而言，γ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞) 产生电力效用，γ=1产生对数效用，γ=0产生指数效用，γ=–1产生二次效用。注意，我们从分析中排除了γ<0的情况。其中微分算子Lπ由Lπν（x，z）给出：=uπ+u+κzT–t+επ^1x+π+ π+ 2ππρДxx+（1–ρ）（π–π）Дxz，（3.2）对于任何π∈ 用连续导数ДxxandДxz对任意函数Д（t，x，z）进行Rand。3.1适定性条件对于本节其余部分，我们推导非线性Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程（3.1）的解。事实证明，这个方程不允许所有参数值都有解。这导致我们确定并研究（3.1）有解的确切条件。为了准备我们的结果，我们确定了常数γ：=p2κ+（1–2κ）（1+ρ）√2κ(1 – ρ)–1 – 2κ + ρ2κ(1 – ρ)≥ 1、注意2κ+（1–2κ）（1+ρ）=（κ–1）+（κ–ρ）+ρ（1–ρ）>0，γ≥ 1因为我们假设κ>0且|ρ|<1。我们现在确定以下情况：（i）对于γ>γ，（3.1）是“不适定的”，因为它只有在T<T时才有解*（γ），其中T*（γ）如下所示。（ii）对于γ∈ [0，1]，（3.1）是“适定的”，因为它对γ的所有T.（iii）值都有唯一的解∈ （1，γ），（3.1）为“不适定”（分别为。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:30

“适定”），如果0<κ<（分别为κ>）。对于κ=，我们有γ=1，区间（1，γ）为空。这些情况源自下面的定理3.3。在有限期投资组合问题（如Merton（1969））、最优执行（如Bulthuis et al.（2017））、以及，以及具有平均回报率的资产的有限水平最优交易（例如Kim和Omberg（1996）以及Korn和Kraft（2004））。最后两项研究分别为投资策略创造了“涅盘策略”和“I-不稳定”这两个术语，这些投资策略在有限的范围内产生有限的预期效用。然而，在现实中，投资者并没有实现欧盟的一体化；否则，它们将导致价格失衡。这意味着：（1）没有投资者的风险容忍度参数γ会导致欧盟的不确定性；（2）这样的投资者是存在的，但市场参数（即κ和ρ）使得这些投资者没有足够的时间实现最终的EU（即t<t*（γ）所有代理人）；或（3）市场缺陷（如交易成本或参数模糊性）阻碍投资者实现内部收益。3.2值函数HJB方程（3.1）的解将涉及以下Riccati方程的解–h（t）=2（1–ρ）γh（t）–2γκt+ε–th（t）–（1–γ）κ（1–ρ）（t+ε–t），h（t）=0。（3.3）对于（3.3）有一个明确的解决方案，如下面引理3.1所总结。为准备结果，我们引入以下符号。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:36

我们定义了“歧视” 如下所示 = (γ) :=ρ – 1ρ + 1κγ+2κ1 + ρ– 1κγ +.此外，“逃逸时间”T*(γ) ∈ (0, +∞] 由以下公式得出：（i）如果γ>γ，则*(γ) = ε经验值π√––√–阿尔茨坦1 – 2γκ√–– 1..（ii）如果γ=γ且0<κ<，则*(γ) = ε经验值1 – 2γκ– 1..（iii）如果γ∈ （1，γ）和0<κ<，然后*(γ) = ε0.5 – γ κ +√0.5 – γ κ –√!√– 1..（四）T*(γ) = +∞ 对于γ的所有其他值。逃逸时间在Riccati方程（3.3）中起着关键作用。引理3.1。Riccati方程（3.3）只有在T<T时才有解*(γ). 特别是，如果γ>γ，则（γ） <0和溶液ish（t）=√– tanh公司√– 日志1+T–Tε+ 阿尔茨坦1–2γ κ√–i+γκ–2γ（1–ρ）（T–T+ε）。如果0≤ γ ≤ γ、那么(γ) ≥ 0和溶液ish（t）=–κ1 – ρε–T–T+ε; 如果γ=0，日志1+T–Tε1–（–γκ）对数1+T–Tε×（–γκ）2γ（1–ρ）（T–T+ε）; 如果γ=γ，（1+T–Tε）√–1.√–+γκ（1+T–Tε）√+√+–γ κ!×κ（γ–1）（1–ρ）（T–T+ε）；如果0<γ<γ。如果T*(γ) < +∞, 然后限制→T*（γ） | h（0；T）|=+∞.证明是直接替换的，因此省略了。备注3.2。注意，作为ε→ 0+，我们有*(γ) → 对于（i）-（iii）种情况，0+。这与极限ε存在套利的场景一致→ 0+.现在，我们以显式形式给出值函数。定理3.3。假设T<T*(γ). HJB方程（3.1）的解isv（t，x，z）=U（x）expf（t）+g（t）z+h（t）z, （3.4）对于（t，x，z）∈ [0，T]×D×R，其中h（T）是引理3.1给出的（3.3）的解，g（T）和f（T）由下式给出：g（t）+γ2（1–ρ）h（t）–κt+ε–tg（t）=κ（1–γ）u–ρu（1–ρ）（T+ε–T）-γ（u–u）h（T），g（T）=0，（3.5）和f（T）=ZTt（1–ρ）γg（u）+γ（u–u）g（u）+（1–ρ）h（u）du-（1–γ）（u+u–2ρu）（T–T）2（1–ρ）。（3.6）证明。见附录B。接下来，我们验证值函数与定理3.3中HJB方程（3.1）的解一致。我们还确定了最佳交易策略。定理3.4。假设T<T*(γ).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:43

（2.12）中的值函数V等于定理3.3中给出的函数V。此外，最优交易策略，用π表示*（t，X*t、 Zt），处于反馈形式，其中π*（t，x，z）=π*（t，x，z）π*（t，x，z）！=δ（x）u–ρu1–ρ+g（t）u–ρu1–ρ–g（t）+ zh（t）–κρ1–ρ–h（t）+κ1–ρ, （3.7）对于（t，x，z）∈ [0，T]×D×R。这里，δ（x）是（2.13）中定义的风险容限函数。证据参见附录C。图3说明了函数f、g和h在三种适定场景下的行为。我们将κ=1和ρ=0.95设置为临界风险容限值γ=3.66。图中的每一行显示了γ不同值的函数，即0、0.5和2。注意，由于κ=1>0.5，因此区间（1，γ=3.66）中的γ值是适定的。在指数情况下（即γ=0），h单调增加到零。对于功率情况（即γ∈ {0.5，2}），h不是单调的，| h |在达到零之前达到最大值。对于较大的T–T值（即x轴上的左端），h（T）似乎会下降。就行为而言，g似乎具有与h相似的性质，尽管g的值和变化不显著。在这三种情况下，f随时间单调地移动到零。在图4中，我们考虑了两种不适定场景。具体而言，我们绘制了h（t）随时间的变化曲线，其中γ>γ（左图），1<γ<γ，0<κ<0.5（右图）。在每个图中，h（t）被绘制为三个t选项，分别是逃逸时间t的80%（虚线曲线）、95%（虚线曲线）和99%（实线曲线*(γ). 正如对这些不适定情况的预期，我们看到limT→T*（γ） –| h（0）|=+∞, 引导预期能力达到+∞ 在有限的投资期限内。从图3和图4中，我们观察到h对于γ>1为正，对于0为负≤ γ < 1.这促使我们以分析的方式来结束本节。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-10 17:58:47

附录中提供了证明。引理3.5。考虑h（t）（3.3的解），由引理3.1给出。如果γ<1（分别为γ>1），则h（t）<0（分别为h（t）>0），对于所有t∈ [0，T）.4最优基差交易策略让我们检查一下最优交易策略π*在（3.7）中。回想备注2.1，π*（t，X*t、 Zt）是波动率调整头寸。实际位置值由πt=（π）给出*（t，X*t、 Zt）σ1，t，π*（t，X*t、 Zt）σ2，t），其中（σ1，t）和（σ2，t）分别是现货和期货价格的波动率。回想一下，γ=1对应于我们在分析中排除的对数效用。γ=0.5：T=0.0800t-400-300-200-1000 h（t）v.s.tT=0.0800t的绘图-0.08-0.06-0.04-0.020.00 g（t）v.s.tT=0.0800t的绘图-0.8-0.6-0.4-0.20.0不同γ值的f（t）v.s.th（t）曲线图参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=0.5，γ=-2.66，γ=3.66γ=2.0：T=0.0800T0100300400 h（T）v.s的曲线图。tT=0.0800t0.000.020.040.06 g（T）v.s的曲线图。tT=0.0800t0.00.20.40.6 f（T）v.s的曲线图。对于γ的不同值，参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=2.0，γ=-2.66，γ=3.66γ=0.0：T=0.0800t-2500-2000-1500-1000-5000 h（t）v.s.tT=0.0800t的绘图-0.8-0.6-0.4-0.20.0 g（t）v.s.tT=0.0800t的绘图-8.-6.-4.-20不同γ值的f（t）v.s.th（t）曲线图参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=0.0，γ=-2.66，γ=3.66图3：适定范围内各种γ值的h（t）、g（t）和f（t）图。模型参数为u=0.1、u=0.12、κ=1、ε=0.004、ρ=0.95和T=0.08。这些参数得出的临界值γ=3.66。我们的第一个观察结果是π*与风险容忍度函数δ（x）成正比，其他研究如Karatzas和Shreve（1998）和Zariphopoulou（2001）中已证明了这一点。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:50

换言之，风险承受能力越大，在（3.7）中的最佳头寸就越大。如果我们考虑κ=0的特殊情况，那么g≡ h类≡ 0，最优策略π*减小到πM：=δ（x）u–ρu1–ρu–ρu1–ρ.这个简单的策略不依赖于z。这是有意义的，因为当κ=0时，Zt在Ft的DE中消失（见（2.2））。人们可以粗略地解释πMas的默顿策略。更一般地说，当κ6=0时，加入比例布朗桥Ztin-Ft使最优策略π*依赖于时变函数g（t）和h（t）以及

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:53

Ft>St），人们预计在F中采取空头仓位，在S中采取多头仓位。对于π*作为一种趋同交易策略，我们预计h（t）–κρ1–ρ≤ 0和–h（t）+κ1–ρ≥ 0或相当于h（t）≤ min{κρ1–ρ，κ1–ρ}=κρ1–ρ。（4.1）假设ρ≥ 0，即期货价格和现货价格不存在负相关。然后，（4.1）一直在接近到期时满足，因为→T–h（T）=0。换言之，一旦我们接近成熟期，最优策略总是成为趋同交易策略。也可能是（4.1）满足t的所有值∈ [0，T]。一个有效条件是γ≤ 1（和ρ≥ 0），因为引理3.5 yieldsthat h（t）≤ 0表示所有t。另一方面，对于某些参数值或距离成熟度足够远的t，也可能违反（4.1）。我们在下面展示了这样一个例子。图5说明了HARA效用u（x）=–x（即γ=0.5）的最优价值函数和最优交易策略。设定x=1，我们考虑（t，z）不同值的值函数的等高线图。它在t中减小，在z偏离零时增大。这是很直观的，因为较长的到期时间或更大的基础意味着更大的盈利潜力。（Zt）的95%置信区间，即{（t，z）：| z–m（t）|≤ 1.96* σ（t，t）}，表明（Zt）在过渡层中点附近具有较大的方差。图5的右上图和右下图显示了最佳位置π*（t，x，z）和π*（t，x，z）95%置信区间内（t，z）的过高值。请注意，对于固定的z和x以及as t→ T、位置大小（即124;π*i（t，x，z）|，i=1，2）先增大后减小。这种行为的原因可以从图3中相应的函数h中看出，其中| h（t）|在t消失之前达到最大值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:56

此外，请注意，对于固定x和t，π*（t，x，z）在z中递减，而π*（t，x，z）在z中增加。如上所述，这是因为h（t）<0和（4.1）满足。图6对应于指数效用的情况（即γ=0）。请注意，价值函数和最优头寸在接近到期之前对t的敏感性要低得多。此外，位置出现0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6x-10-8.-6.-4.-效用函数U（x）=20U（x）图-1x0.00 0.02 0.04 0.06 0.08吨-0.050.000.05Z z平面上V（t，1.0，z）的计数图-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.20.00 0.02 0.04 0.06 0.08吨-0.050.000.05Zπ计数图*tz平面中的1（t，1.0，z）-16-12-8.-404812160.00 0.02 0.04 0.06 0.08吨-0.050.000.05Zπ计数图*2（t，1.0，z）在tz平面内-16-12-8.-40481216待添加参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=0.5，γ=-2.66，γ=3.66图5：价值函数和最优交易策略，HARA效用函数U（x）=–x（即γ=0.5；左上角）。左下角：x=1.0的（t，z）上的值函数V（t，x，z）的等高线图，在（Zt）的95%置信区域中着色，即{（t，z）：| z–m（t）|≤ 1.96*σ（t，t）}（见图1）。顶部和右下面板分别是π的等高线图*（t，1，z）和π*（t，1，z）在（Zt）的95%置信区间内。随着时间接近成熟而单调变化。这与电力公司的情况相反，电力公司的头寸规模先达到峰值，然后逐渐减少。在γ=0.5和γ=0的前两个例子中，最优策略意味着在π*是递减和π*在z方向上增加。这是预期的，因为ρ≥ 0和γ≤ 1和（4.1）已满足。接下来，我们考虑一种情况，其中（4.1）不适用于t的所有值。使用效用函数U（x）=√x（即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:58:59

γ=2），选择的参数值κ=1和ρ=0.95，意味着κρ1–ρ≈ 9.74. 因此，h（t）不满足（4.1）（另见图3）。从图7中，我们观察到，在离到期时间t远的时候（例如，t=0.0799），π*（t，x，z）在z中增加，而π*（t，x，z）正在减小。特别是，对于z的大正值，意味着现货价格高于期货价格，它是多头S和空头F的最佳选择。这与典型的趋同交易策略相反。然而，随着时间的推移，我们的模型中的最优策略最终会变成收敛交易。为了更好地理解接近到期日的最优交易策略，我们注意到布朗桥的平均反转率，即κ/（T+ε–T）是时变的，并且在接近到期日时变得更大。因此，平均反转的力量将迅速消除随机基与其平均值的任何偏差。因此，趋同交易在接近到期时是最优的。然而，离到期日越远，均值回复率就越小，因此随机基础与其均值的任何偏差都需要更长的时间才能得到纠正。事实证明，对于一个充分寻求风险的投资者（即γ>1），最好押注与平均值的偏差不会立即得到纠正。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:59:02

这种情况下的最佳位置基于-2-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x-5.-4.-3.-2.-效用函数的10U（x）图U（x）=-e-x0.00 0.02 0.04 0.06 0.08吨-0.050.000.05Z z平面上V（t，1.0，z）的计数图-0.40-0.35-0.30-0.25-0.20-0.15-0.10-0.050.000.00 0.02 0.04 0.06 0.08吨-0.050.000.05Zπ计数图*tz平面中的1（t，1.0，z）-240-180-120-600601201802400.00 0.02 0.04 0.06 0.08吨-0.050.000.05Zπ计数图*2（t，1.0，z）在tz平面内-240-180-120-60060120180240待添加参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=0.0，γ=-2.66，γ=3.66图6：指数效用函数U（x）=–e–x（即γ=0）与图5对应。期望基础会发生分歧（或不会立即收敛）。因此，该头寸是趋同交易的对立面。图8根据图1中的模拟路径和参数，说明了S和F中的最佳头寸以及相应的投资组合价值。在这种U（x）=–x（γ=0.5）的适定场景中，最佳位置具有相反的符号，并倾向于朝相反的方向移动。此外，当基Z为负时，S中的位置为正，F中的位置为负。当nz为正时，位置会反转。此外，最佳头寸的波动速度越来越快，对接近到期的基差也越来越敏感。在图8中，我们还可以看到随时间变化的最佳投资组合价值。请注意，随着Z偏离均衡，投资组合经历了显著的下降。这是趋同交易策略的一个共同特征。图8右下角的曲线图显示了最佳终端财富X的经验密度*T、基于200条模拟路径，所有这些路径都从最初的财富X开始*= 1、终端财富预计值为E（X*T） =1.57，标准偏差为0.12。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-10 17:59:05

由于交易期限为20/250=0.08年（即一个月），年化净预期回报率为0.57/0.08≈ 7.1年化波动率为0.12/√0.08≈ 0.42. 这导致夏普比为7.1/0.42≈ 17用于此模拟示例。关于值函数，我们在图9中显示了其对κ和ρ的敏感性。为简单起见，我们将t=0.07和x=1.0固定，并将V（0.07，1，z）显示为z的函数。所有其他参数（包括效用函数）如图5所示。值函数趋向于在z=0时达到其最小值，而ahigherκ表示图中的值函数较高。这是很直观的，因为均值反转的速度越快，表明在任何给定水平上进行基差交易的稳定性越高。当相关性增加时，如果资产存在较大的错误定价（即| z |的较大值），预期效用会提高，而当错误定价较小时（即| z |的值接近于零），预期效用会降低。这也是有道理的。请注意，根据（2.4），基的挥发度（Zt）为2（1–ρ），ρ减小。因此，相关性越大，表示基中的噪声越小。如果没有错误定价，噪音越小，错误定价的可能性越小，从而降低稳定性0.079900.079920.079940.079960.079980.08000-0.04-0.03-0.02-0.010.000.010.020.030.04-4.-3.-2.-101234π图*1（t，1.0，z）v.s.（t，z）tzπ*10.079900.079920.079940.079960.079980.08000-0.04-0.03-0.02-0.010.000.010.020.030.04-4.-3.-2.-101234π图*2（t，1.0，z）v.s.（t，z）t zπ*2要添加的参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=2.0，γ=-2.66，γ=3.66图7：最优交易策略的曲面图，π*（t，1，z）（左）和π*（t，1，z）（右），对于0.0799≤t型≤ 0.08=T和| z–m（T）|≤ 1.96*效用U（x）=2下的σ（t，t）√x（γ=2）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-10 17:59:08

在时间0.08（到期日）时，该策略在π的意义上基于收敛进行交易*z减小，而π*在z方向上增加。然而，当t=0.0799时，该策略不是收敛交易，如π*z增加，而π*在z方向减小。基差交易。然而，如果存在较大的错误定价，那么噪音越小，错误定价的纠正速度就越快，从而提高了可靠性和预期效用。图10显示了最佳光斑位置对参数κ和ρ的灵敏度。对于κ和ρ的不同值，我们看到π*是z的递减函数。平均回复率κ或相关系数ρ越高，则π越大*z向更向下倾斜，这意味着当z为负（或正）时，投资者将持有更大的多头（或空头）头寸。财务直觉如下。κ越高，则表示基的收敛速度越快。这代表着一种更有利的交易，导致投资者在基础中占据更大的位置。当基差为负时，现货价格低于期货价格，因此最优策略是做多现货。当基数为正时，则相反。增加ρ会减少基中的随机波动，这也意味着基将显示出astronger收敛趋势。因此，最好采取更大的立场。总结：我们分析了动态交易问题，即风险厌恶型投资者通过交易随机基础来实现预期效用最大化。我们用停止标度布朗桥描述了非收敛基过程。这使我们能够通过分析和数值方法求解相关的HJB方程，并说明最佳交易策略。未来的研究方向有很多。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:59:11

除了基差交易外，还可以分析其他期货交易策略，包括期货滚动和期货组合。许多交易所交易基金（ETF）也常用期货跟踪现货价格（参见Leung and Ward（2015））。考虑我们模型的变化也很有趣。例如，在（2.1）和（2.2）中，我们可以解释现货价格瞬间领先于期货价格，因为期货没有0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-10-50510美元最佳位置SSTFT0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08t-0.050.000.05（Zt）的模拟路径及其95%置信区间0.00 0.02 0.04 0.06 0.080.00.51.01.52.0美元最佳投资组合价值T1.0 1.2 1.4 1.6 1.801234E（X*T） =1.57stdev（X*T） =0.12SR=16.96min（X*T） =0.96max（X*T） =1.90 X的经验密度*t基于200个模拟路径的最佳位置和模拟价格的投资组合值，参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=0.5，γ=-2.66，γ=3.66图8：一条模拟路径Z（左下）在S和F（左上）的最佳位置，γ=0.5和x*= 0、右上角：组合值的对应路径。右下：最优终端财富X的经验密度*t基于200条模拟价格路径，所有这些路径都从initialwealth X开始*= 1、其他参数取值见图1。任何现场反馈。这是一个价格发现的问题，我们参考了Chan（1992）、Kawaller等人（1987）以及Stoll和Whaley（1990）的实证研究以了解更多背景。可以通过互换S和F的主导作用来调整我们的解决方法，并更普遍地将期货和现货价格之间更复杂的超前-滞后效应纳入交易问题。参考文献Adjemian，M.K.、P.Garcia、S.Irwin和A.Smith（2013）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-10 17:59:15

国内商品期货市场不趋同：原因、后果和补救措施。美国农业部经济研究服务局115，155381。Brennan，M.J.和E.S.Schwartz（1988年）。基差变化下的最优套利策略。在M.Sarnat（编辑）的《金融经济学随笔》中。北荷兰。Brennan，M.J.和E.S.Schwartz（1990年）。股指期货套利。《商业杂志》63（1），S7-S31。Brody，D.C.、L.P.Hughston和A.Macrina（2008年）。基于信息的资产定价。《国际理论与应用金融杂志》11（01），107–142。Bulthuis，B.、J.Concha、T.Leung和B.Ward（2017年）。与贸易总监、限速器和FILL不确定性一起优化限额和市场订单的执行。《国际金融工程杂志》4（23），1750020。-0.1 0.0 0.1z-1-0.50.0V对于不同的κκ=2κ=1κ=0.5，V的批次（0.07，1，z）-0.10.0.1z-1-0.50.0V对于不同的ρ=0.9ρ=0.7ρ=0.2值函数的灵敏度w.r.t.κ和ρ，V（0.07，1，z）的批次。参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，ε=0.004，γ=0.5图9：值函数对κ和ρ的灵敏度。在t=0.07和x=1.0固定的情况下，对于三个κ值和一个ρ=0.9的固定值，以及（右）对于三个κ=2的ρ值，weshow V（0.07，1，z）作为z的函数。除κ和ρ外，参数值如图5所示。-0.1 0.0 0.1z-20020π*1π的批次*1（0.07，1，z）表示不同的κκ=2κ=1κ=0.5-0.1 0.0 0.1z-20020π*1π的批次*1（0.07，1，z）对于不同的ρρ=0.9ρ=0.7ρ=0.2最佳位置的灵敏度w.r.t.κ和ρ，参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，ε=0.004，γ=0.5图10：最佳点位置相对于κ和ρ的灵敏度。设置t=0.07和x=1，weshowπ*（0.07，1，z）作为基z（右）的函数，对于ρ=0.9的不同κ，以及（右）对于κ=2的不同ρ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:59:18

当Nz为负/正时，较高的平均反转率或较高的相关性会增加多头/空头头寸大小。除了κ或ρ之外，参数值与图5中的值相同。Cartea，'A。，L.Gan和S.Jaimungal（2018年）。交易具有价格影响的协整资产。MathematicalFinance，即将于2018年出版，arXiv:1807.01428【q-fin.TR】。Cartea，'A。和S.Jaimungal（2016）。协整资产的算法交易。《国际理论和应用金融杂志》19（06），1650038。Cartea，'A。，S、 Jaimungal和D.Kinzebulatov（2016年）。算法交易与学习。《国际理论与应用金融杂志》19（4），1650028。Chan，K.（1992年）。进一步分析现金市场和股指期货市场之间的超前-滞后关系。金融研究回顾5（1），123–152。Cheridito，P.、D.Filipovi'c和M.Yor（2005年）。跳跃扩散过程的等效和绝对连续测量变化。安。应用程序。概率。15 (3), 1713–1732.Chiu，M.和H.Wong（2011年）。协整资产的均值-方差组合选择。《经济动力学与控制杂志》351369–1385。Cox，J.C.、J.F.Ingersoll和S.A.Ross（1981年）。期货价格与期货价格的关系。《金融经济学杂志》第9期（12月），第321-346页。Dai，M.、Y.Zhong和Y.K.Kwok（2011年）。股指期货持仓不足限制的最优套利策略。《期货市场杂志》31（4），394–406。Fleming，W.H.和H.M.Soner（2006年）。受控马尔可夫过程和粘度解，第25卷。纽约斯普林格。Garcia，P.、S.H.Irwin和A.Smith（2015年）。期货市场失灵？《美国农业经济学杂志》97（1），40–64。Irwin，S.H.、P.Garcia、D.L.Good和E.L.Kunda（2011年）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:59:21

芝加哥期货交易所（ChicagoBoardofTrade）玉米、大豆和小麦期货的价差和不收敛：指数基金是罪魁祸首吗？应用经济学视角与政策33（1），116–142。Karatzas，I.和S.Shreve（1991年）。布朗运动与随机微积分。Springer Verlag。Karatzas，I.和S.Shreve（1998年）。《金融数学方法》，第39卷。斯普林格。卡瓦勒、I.G.、P.D.科赫和T.W.科赫（1987）。标准普尔500指数期货和标准普尔500指数之间的时间价格关系。《金融杂志》42（5），1309–1329。Kim，S.和E.Omberg（1996年）。动态非近视投资组合行为。金融研究综述9（1），141–161。Kitapbayev，Y.和T.Leung（2018年）。最优均值回复价差交易：非线性积分方程方法。《金融年鉴》13（2），181–203。Korn，R.和H.Kraft（2004年）。具有随机机会集的连续时间投资组合问题的稳定性。数学金融14（3），403–414。Lee，S.和A.Papanicolaou（2016年）。在协整均值回归水平不确定的情况下，对两种资产进行配对交易。《国际理论与应用金融杂志》19（08），1650054。Leung，T.、J.Li和X.Li（2018年）。沿着随机布朗桥进行交易的最佳时机。《国际金融研究杂志》6（3），75。Leung，T.和X.Li（2016）。最优均值回归交易：数学分析和实际应用。《世界科学》Leung，T.和B.Ward（2015）。黄金目标：分析杠杆式黄金ETF的跟踪性能。经济学和金融学32（3），278–297。Leung，T.和R.Yan（2018）。双因素均值回复模型下期货的最优动态配对交易。《国际金融工程杂志》5（3），1850027。Leung，T.和R.Yan（2019年）。管理期货投资组合的随机控制方法。《国际金融工程杂志》6（1），1950005年。刘，J。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:59:24

和F.A.Longsta off（2004年）。套利亏损：有套利机会的市场中的最优动态投资组合选择。金融研究回顾17（3），611–641。Liu，J.和A.Timmermann（2013）。最优融合贸易策略。金融研究回顾26（4），1048–1086。默顿，R.C.（1969）。不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例。《经济和统计评论》51（3），247–257。M.D.M.和M.Sundaresan（1983），谦虚。股指期货市场中现货和期货价格之间的关系：一些初步证据。期货市场杂志3（1），15–41。Mudhanatongsuk，S.、J.Primbs和W.Wong（2008）。最佳配对交易：一种随机控制方法。《美国控制会议记录》，华盛顿州西雅图，第1035-1039页。Stoll，H.R.和R.E.Whaley（1990年）。股指和股指期货的动态收益。《金融与定量分析杂志》25（4），441–468。Tourin，A.和R.Yan（2013年）。使用随机控制方法的动态配对交易。《经济动力学和控制杂志》37（10），1972-1981年。Zariphopoulou，T.（2001年）。具有不可防范风险的估值解决方案。金融与随机5（1），61–82。命题2.5的证明该命题源自现有结果，如Cheridito等人（2005）的定理2.4。为了方便读者，我们在注释中提供了自己的证明。从（2.1）和（2.2）中，我们得到了DSTFT=St0英尺！∑（λ（t，Zt）dt+dWt）；0≤ t型≤ T、因此，根据Girsanov定理，如果（Yt）0，Q是风险中性度量≤t型≤由（2.10）导出的t是一个P-鞅。只剩下显示（Yt）0≤t型≤这是一个P-鞅。确定流程（fWt，1，fWt，2）t≥0如下所示，fWt，1：=q1–ρWt，1–q1+ρWt，2，fWt，2：=q1+ρWt，1+q1–ρWt，2，注意（fWt，1，fWt，2）t≥0是一个二维标准布朗运动。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 17:59:27

通过替换Wt、iwithfWt、i、i∈ {1，2}，在（2.10）和注释（2.9）中，一个获得t=1+Xi=1ZtYueui+eκiT–u+εZudfWu，i；0≤ t型≤ T、（A.1）其中eui和eκi，i∈ {1，2}是一些适当定义的常数。接下来，考虑（确定性）时间变化%（t）：=2（1–ρ）Zt（t–u+ε）–2κdu=2（1–ρ）2κ–1（T–T+ε）1–2κ–（T+ε）1–2κ; 如果κ6=0.5，则记录T+εT–T+ε; 如果κ=0.5，（A.2），需求：=%（T）<∞. 注意，%（t）严格地从0增加到t，因为t从0增加到t。让我们也定义t（%）：[0，eT]→ [0，T]为%（T）的倒数。使用Knight的时间变化定理（见Karatzas和Shreve（1991）第179页的定理3.4.13），过程（B%，1，B%，2）0≤%≤由b%（t）定义，i：=p2（1–ρ）Zt（t–u+ε）–kdfWu，i；我∈ {1，2}，（A.3）是独立的标准布朗运动。此外，从（2.5）可以看出，zt=Z1–tT+εκ+（u–u）A（t）+（t–t+ε）κB%（t），1。（A.4）考虑时间变化过程（eY%：=Yt（%））0≤%≤E注意（Yt）0≤t型≤这是鞅当且仅当（eY%）0≤%≤这是一个鞅。根据（A.1）、（A.3）和（A.4），eY满意度%=1+Xi=1Zt（%）eYvfiv、 Bv，1dBv，i；0≤ % ≤eT，其中我们定义了functionalfi%, x（·）:= eui+eκiT–t（%）+ε（A.5）×Z1–t（%）t+εκ+（u–u）At（%）+ （T–T（%）+ε）κx（%）,对于任何连续函数x：[0，eT]→ R、注意，（i）f（%，x）=f（%，x），f（%，x）在卡拉萨斯和什里夫（1991）第199页定义3.5.15的意义上，是逐步可测量的；和，（ii）对于任何0≤ w≤eT，存在一个常数K>0，使得kf%, x（.）k≤ K（1+最大值0≤v≤%|x（v）|）；0≤ % ≤ w、（A.6）这是从（A.5）得出的，因为ε>0和A（t）和t（%）分别在[0，t]和[0，eT]上是连续的（因此是有界的）。根据上述条件（i）和（ii），我们现在应用Karatzas和Shreve（1991）第200页的推论3.5.16得出结论（eY%）0≤%≤这是一个鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝