具有长记忆的分数阶差分古诺寡头博弈

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收藏 2022-06-14

英文标题：
《A fractional-order difference Cournot duopoly game with long memory》
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作者：
Baogui Xin, Wei Peng, Yekyung Kwon
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
We reconsider the Cournot duopoly problem in light of the theory for long memory. We introduce the Caputo fractional-order difference calculus to classical duopoly theory to propose a fractional-order discrete Cournot duopoly game model, which allows participants to make decisions while making full use of their historical information. Then we discuss Nash equilibria and local stability by using linear approximation. Finally, we detect the chaos of the model by employing a 0-1 test algorithm.
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中文摘要：
我们根据长记忆理论重新考虑古诺寡头垄断问题。我们将Caputo分数阶差分法引入经典的双寡头理论，提出了一个分数阶离散古诺双寡头博弈模型，该模型允许参与者在充分利用历史信息的同时做出决策。然后利用线性近似讨论了纳什均衡和局部稳定性。最后，我们采用0-1测试算法检测模型的混沌。
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分类信息：

一级分类：Economics 经济学
二级分类：General Economics 一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Economics 经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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A_fractional-order_difference_Cournot_duopoly_game_with_long_memory.pdf
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kedemingshi

2022-6-14 06:59:37

具有长记忆的分馏l阶差异古诺双寡头博弈*Wei Peng+Yekyung Kwon摘要我们根据长记忆理论重新考虑古诺双寡头问题。我们将Caputo分数阶微分微积分引入经典的双寡头理论，提出了分数阶离散古诺双寡头博弈模型，该模型允许参与者在充分利用历史信息的同时做出决策。然后利用线性近似讨论了纳什均衡和局部稳定性。最后，我们采用0-1测试算法检测模型的混沌。关键词：分数阶差；分数阶离散动力系统；古诺双寡头博弈；分岔与混沌；0-1测试。内容1引言22预备知识33模型64纳什均衡和局部稳定性75数值模拟96结论10*B、 Xin，山东科技大学经济与管理学院，中国青岛266590，电子邮箱：xin@tju.edu.cn，通讯作者+W.Peng，山东科技大学经济与管理学院，中国青岛266590，电子邮箱：pengweisd@foxmail.comY.Kwon，Dongseo大学全球商业管理部，韩国釜山47011，电子邮件：yiqing@hanmail.net1引言本文的目的有两个方面。一个目的是将应用数学和工业经济学的两条独立研究线结合在一起：分数阶微分方程和库诺平衡。另一种是通过用分数阶形式代替整数阶差分方程，将长记忆引入经典古诺对偶博弈。1.1 1838年，古诺博弈论文献[1]提出了差异方程与柯尔诺均衡之间的联系。

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可人4

2022-6-14 06:59:40

许多研究人员，如纳什（Nash）[2]、冯·诺依曼（Von Neumann）和摩根斯特恩（Morgenstern）[3]，对博弈论的发展做出了里程碑式的贡献，博弈论已成为经济经济学以外领域的强大分析工具，如网络空间安全[4-8]、动力系统[9、10]、细胞生物学[11]、图像处理[12]、人机系统[13]、艺术智能[14、15]，安全工程【16，17】、核安全【18】、肿瘤学【19】、系统控制【20】和信息科学【21】。考虑到微分方程强大的动态特征化能力，具有整数阶微分方程的离散动态博弈已成为产业经济学领域的一个重要研究方向。利用整数阶差分方程，经济学研究人员开发了各种有趣的离散古诺双寡头博弈模型，如表1.1.2所示，分数阶差分方程与科学模型之间的联系在1974年的迭代《az和Osler》中首次提出了fr作用阶差分理论。Miller和Ross【50】以及Gray和Zhang【51】于1988年开发了框架阶差微积分。分数阶微分计算器吸引了许多学者和从业者的兴趣，但与已经发展了300多年的分数阶微分计算器相比，分数阶微分计算器仍然是一个年轻的研究领域。前者的研究者包括Atici、Eloe和s,eng¨ul[5 2–56]；巴斯托斯、费雷拉和托雷斯【57】；Wu，Baleanu等人。[58, 59]; 古德里奇[60，61]；Abdeljawad等人【62–65】；Wei和Wang等人【67，68】；ˇCerm\'ak、Gy"ori和Ne chv'tal【69】；Mozyrska和Wyrwas【70，71】；Abu Saris和Al-Mdallal【72】。

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nandehutu2022

2022-6-14 06:59:43

分数阶微分微积分应用于许多科学领域，如表2.1.3所示，分数阶微分方程与古诺双寡头博弈之间的联系整数阶微分方程理论不适合分析具有长记忆的分数阶离散古诺双寡头博弈的非线性动力学特征。我们必须运用新的理论来分析分形离散对策的稳定性、分岔性和混沌性。幸运的是，研究人员有表1：具有整数阶差分方程的古诺双寡头博弈研究参与者决策变量的数量新特征Puu[22]2产品数量自适应期望Skopel[23]，Govaerts&Ghaziani[24]2产品数量单峰反应函数Schi&Naimzada[25]2产品数量有界理性Avali，Naimzada，特拉蒙塔纳（Tramontana）[26]2基于产品数量梯度的方法、当地垄断法（local onsoliticalapproximationaglari）、奈姆扎达（Naimzada）和佩科拉（Pecora）[27]2不同产品的产品数量萨吉萨（Sagiza）和埃尔萨达尼（Elsadany）[28，29]；Elsadany&Awad【30】；Fan等人【31】2产品数量异质性玩家Li，Xie，Lu，&Tang【32】2可调用产品数量航空公司收入管理El Sayed，Elsadany，阿瓦德【33】2产品数量对数需求函数Wad和Elsadany【34】2产品数量社会福利Elsadany【35】2基于相对最大化的产品数量有限理性Matsumoto【36】2产品数量适应性预期Anti和Gori【37】2产品数量微型创建的不同产品demandXin，Ma，和高【38】2产品数量与新兴类型关系马和郭【39】2产品数量估算和两阶段考虑Askar、Alshamrani和Alnowibet【40】2产品数量合作Arsingyu【41】2汽车需求异构的商业运营模式和不同的产品Snzhang等人。

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mingdashike22

2022-6-14 06:59:46

【42】2产品数量两阶段、半共谋Tramontana、Gardini和Puu【43】2产品数量竞争对手经营多个生产工厂Stramontana【44】2产品数量等弹性需求函数Tramontana等人【45】2-n产品数量异质性玩家Baiardi和Naimzada【46–48】2-n产品数量最佳反应，模拟规则为分析分数阶微分方程的稳定性提供了一些有用的结果，如显式稳定性条件【69】、显式稳定性标准【70】、线性近似稳定性【71、94】、渐近稳定性标准【72】、李雅普诺夫函数【95】、有限时间稳定性【96】和混沌分析【97】。本文的其余部分组织如下。第2节回顾了相关文献。第3节，提出了一个具有Caputo分数阶差分方程的长记忆离散古诺博弈。第4节研究了N灰平衡点及其局部稳定性。在第5节中，使用分叉图、相图和0-1测试算法来验证主要结果。本文在第6.2节的序言中总结了分数阶微分微积分的以下定义。表2：分数阶微分计算的非数学应用研究领域分数阶微分计算的科学问题类型Arasov【73】物理晶格分数阶微分方程Wu等人【74】物理反常微分分数Riesz-Caputo微分方程Shuang等人【75】；伊斯梅尔等。[76]; Liu，X ia，&Wang[77,78]；Kassim等人【79】加密图像加密技术分数阶logistic差分方程Xin等人【80】；Wu等人【81】；Shukla和Sharma【82】；Ouannas等人。

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可人4

2022-6-14 06:59:49

[83, 84]; Liu【85】系统工程混沌同步，控制分数阶非线性微分方程Myzyrska&Pawluszewicz【86–90】系统工程可控性，可观测性分数阶差分方程Sierociuk&Twardy【91】系统工程参数识别变量分数阶差分方程In&Zhou【92】图像处理图像去噪差分曲率驱动的分数阶非线性差分方程Lu等人【93】信号处理Kalman滤波非线性差分分数阶系统扰动定义1（见【52】。）对于任何实数ν，t∈ R、 t的ν上升分数阶乘定义为ast（ν）：=Γ（t+1）Γ（t+1- ν），t（0）=1。定义2（见[51，52]。）Let x：不适用→ R、 a∈ R、 t型∈ Na+ν和ν>0。然后，ν阶的分数和定义为-νax（t）：=Γ（ν）t-νXs=a（t- σ（s））（ν-1） x（s），其中a是起始点，Na={a，a+1，a+2，…}表示隔离时间刻度，σ（s）=s+1。定义3（见【63】。）设ν>0，ν<N，t∈ 钠+氮-ν、 n=[ν]+1。然后用c定义ν阶Caputo-like leftdelta差νax（t）：=-（n）-ν） anx（t）=Γ（n- ν） t型-（n）-ν） Xs=a（t- σ（s））（n-ν-1)nsx（个）。（2.1）定理1（见【99】。）对于Caputo分数阶微分系统Cνax（t）=ft+，xt型+, t+=t+ν- 1.kx（a）=xk，k=0，m级- 1，m=[ν]+1，（2.2）等效离散积分系统写为x（t）=x（t）+Γ（ν）t-νXs=a+m-ν（t- σ（s））（ν-1） f（s+ν）- 1，x（s+ν）- 1）），t∈ Na+m，（2.3），其中初始迭代为x（t）=m-1Xk=0（t- a）（k）Γ（k+1）kx（a）。使用定义1，我们可以得到（t- σ（s））（ν-1） =（t- s- 1)(ν-1） =t（ν）：=Γ（t- s） Γ（t- s- ν - 1).因此，我们可以得到以下命题。备注1如果a=0，我们将系统（2.2）改写为以下n个数字形式x（n）=x（0）+Γ（ν）nXi=1Γ（n- i+ν）Γ（n）- i+1）f（x（i- 1）），n∈ N

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2022-6-14 06:59:53

（2.4）根据线性化定理[94]，我们得到以下定理，这是FRS的一个特例。[69,71].定理2假设系统（2.4）是非线性的∈ （0，1），x（t）=（x（t），x（t），·····，xn（t））t，和f（t）=（f（t），f（t），·····，fn（t））在固定的点xeq连续可区分。然后 t型∈ Na+1-ν、当下列雅可比矩阵xj（xeq）的所有e igenvalueλ时，系统（2.4）局部渐近稳定= f（x）x个x=xeq= f（xeq）x个 f（xeq）x个··· f（xeq）xn公司 f（xeq）x个 f（xeq）x个··· f（xeq）xn。。。。。。。。。。。。 fn（xeq）x个 fn（xeq）x个··· fn（xeq）xn公司λ∈（z）∈ C：| z |<2 cos | arg z |- π2 - ν!ν和| arg z |>νπ）。考虑系统（2.4）的一个二维情形，我们得到了以下定理，其中h是定理m2的一个特例。定理3（见[69]。）如果det J>0，则二维系统（2.4）局部渐近稳定，并且-trJ公司≥√det J，ν>对数√ - trJ，（2.5）或| trJ|<√详图J<2 cosκ- π2 - νν、 ν<2κπ，（2.6），其中 =（trJ）- 4详图J, 和κ=trJ√.在下面的讨论中，如果不造成混淆，则将从符号中省略time-d ependen c e、下标和上标。3模型让我们考虑一个典型的公司1和d 2之间的竞争，他们生产同质产品，是完美的替代品。设qi（t），i=1，2表示i-公司在离散时间段内的产量st=0、1、2、······································。

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kedemingshi

2022-6-14 06:59:56

为了简单起见，正如Bischi&Naimzada【25】和Agiza&Elsadany【28，29】所述，我们假设每iod t的市场清算价格p（t）是一个逆dem和函数，是直线ar和递减的，如下所示：p（t）=b- d（qi（t）+qj（t）），i，j=1，2，i，j，（3.7），其中b和d是正常数。成本函数的形式如下：Ci（t）=ciqi（t），i=1，2，（3.8），其中Ci，i=1，2，是一个正常数。i-公司的利润可以写为∏i（qi（t），qj（t））=p（t）qi（t）- Ci（t），i，j=1，2，i，j.（3.9），然后i-企业的边际利润可以通过区分qi获得：Φi（t）=∏i（qi（t），qj（t））qi（t）=b- （ci+2d）qi（t）- dqj（t），i，j=1，2，i，j.（3.10）现在，让我们考虑以下重复的博弈机制。这两个有限理性公司对产出决策有着很长的记忆。企业试图采用更复杂的调整机制，这可以称为“记忆有限的有限理性”动态调整机制基于长记忆效应和边际收益的局部估计，可通过νaqi（t）=αiqi（t+）Φi（t+），i=1，2，（3.11），其中αi>0是调整速度，和cνais是ν阶左卡普托样三角洲差异。

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kedemingshi

2022-6-14 06:59:59

对于函数q（t），delta差分算子定义人q（t）=q（t+1）- q（t）。当ν=1和νaqi（t）=qi（t+1）- qi（t），然后方程（3.11）退化为qi（t+1）=qi（t）+αiqi（t）Φi（t），i=1，2，（3.12），这与Bischi&Naimzada[2 5]和Giza&Elsadany[28，29]提出的无长记忆效应的博弈模型一致。根据上述假设，我们得到以下离散分数古诺双寡头博弈：Cνaq（t）=αq（t+）b- （c+2d）q（t+）- dq（t+）,Cνaq（t）=αq（t+）b- （c+2d）q（t+）- dq（t+）.（3.13）4纳什均衡和局部稳定性系统（3.13）的均衡点满足αq（b- （c+2d）q- dq）=0，αq（b- （c+2d）q- dq）=0。（4.14）通过简单的代数计算，我们得到了我们的纳什均衡点：E=（0，0），E=0，bc+2d,E类=bc+2d，0, E=（m（c+d），m（c+d）），其中m=bcc+2cd+2cd+3d。它们包含以下经济信息：（i）在平衡点E=（0，0），如果对手不生产任何产品，则没有任何一家公司可以通过生产其产品获得任何收益。（ii）平衡点E处=0，bc+2d, 如果企业2采用均衡生产策略q，则企业1的最佳策略是什么也不生产*=bc+2d。同样，表2的最佳产出为q*=bc+2dif FIM1作为其均衡策略，没有任何成果。（iii）平衡点E处=bc+2d，0, 如果企业1采用均衡产出策略q，则企业2无法通过生产产品获得任何回报*=bc+2d。

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大多数88

2022-6-14 07:00:02

同样，Fir m 1将保持其均衡输出策略q*=bc+2dif格式2保持零输出作为其平衡策略。（iv）在平衡点E=（m（c+d），m（c+d）），假设公司2维持其生产战略q=m（c+d），反之亦然，公司1无法从单方面偏离其选择的战略q=m（c+d）中获得任何增加的利益。显然，平衡点E、E和Eare结合E d平衡【25】。所以，我们只分析n在有界平衡点E上的稳定性，如下所示。定理4系统（3.13）在Nash平衡点Eifν>logp（trJ）局部渐近稳定- 4详图J- trJ，（4.15），其中trJ=-b（2d（α+α）+d（c（α+2α）+c（2α+α））+cc（α+α））3d+2d（c+c）+cc，（4.16）det J=αb（c+d）（c+d）cc+2d（c+c）+3d。（4.17）证明。在Nash平衡点EisJ（E）处计算的系统（3.13）的雅可比矩阵J=α（b- m（2cc+5d+d（3c+4c）））-αmd（c+d）-αmd（c+d）α（b- m（2cc+5d+d（4c+3c）））,其特征方程isp（λ）=λ- trJλ+det J，其中trJ和det J a分别与（4.1 6）和（4.17）相同。我们代数地得到d et J>0，trJ<0，（trJ）- 4 d et J>0，以及-trJ公司≥√det J.因此，我们可以使用定理2来发现系统（3.13）在纳什均衡点处是局部渐近稳定的，如果公式（4.15）成立。这就完成了证明。0 50 100 150 200n0.30.350.40.450.50.550.60.65（a）公司1.0 50 100 150 200n0.30.320.340.360.380.40.420.440.460.480.5（b）公司2。图1：（q（0），q（0））=（0.3，0.3）系统（5.18）双寡头输出的稳定状态。5数值模拟根据备注1，系统（5.18）可改写为q（n）=q（0）+Γ（ν）nXi=1Γ（n- i+ν）Γ（n）- i+1）αq（i- 1）（b）- （c+2d）q（i）- 1) - dq（i- 1），q（n）=q（0）+Γ（ν）nXi=1Γ（n- i+ν）Γ（n）- i+1）αq（i- 1）（b）- （c+2d）q（i）- 1) - dq（i- 1)).（5.18）我们将使用等式。

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何人来此

2022-6-14 07:00:05

（5.18）证明系统的稳定性、分岔和混沌（3.13）。设参数ν=0.99，α1=0.45，α2=0.12，b=6，d=4.1，c1=0.2，c2=0.3。n个无界Nash平衡点E=（0.4836，q2=0.4726），trJ=-2.3101<0，det J=0.67378>0。根据定理4，我们可以得到（trJ）- 4 det J=2.6415>0，-trJ公司-√det J=2.0079>0，且ν=0.99>对数√（trJ）-4详图J-trJ=0.9765，即系统（3.13）在无界Nash平衡点E处是局部渐近稳定的，如图1所示。为了分析具有分数阶rν的长记忆系统（3.13）的分岔和混沌，我们改变了长记忆参数，分数阶ν∈ （0，1），其余参数为α1=0.45，α2=0.12，b=6，d=4.1，c1=0。2，c2=0.3，起点（q（0），q（0））=（0.3，0.3），如图2所示。该图包括表1输出的双曲线图和K的散点图，K是相关系数q的中值。为了获得图2，长记忆参数ν在0到1之间变化，增量为0.002。在删除500个瞬态数据点后，使用100个数据点绘制qis的分岔图。K是在删除500个瞬态数据点后，使用3000个数据点计算得出的。分叉图显示了长记忆参数ν从0到1变化时，表1输出的可能长期值。K的散点图说明了系统（3）中发生混沌的可能性。

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mingdashike22

2022-6-14 07:00:08

13）对应于ν的不同值∈ (0, 1).图2：具有变化ν的系统（5.18）的坚定1的输出分岔（蓝色）和K（红色）∈ (0, 1).0-1混沌检验的准则[100–110]表明，有界轨道在（p，s）中-平面或K≈ 0平均系统（3.13）是正则的，类布朗轨迹即（p，s）中的s-平面或K≈ 1表示系统（3.13）混乱。因此，当ν<0.4，即当K≈ 显然，系统（3.13）显示分岔图与K的散点图非常吻合。对于图2，设ν=0.2，这导致K=0.9752。我们可以知道系统（3.13）是混沌的，如图3所示。为了生成图3，我们将其迭代3500次，并使用前300个数据点绘制双寡头输出时间序列，如图3（a）-（b）所示。我们还创建了它的相位图（如图3（c）所示），并在丢弃500个瞬态数据点后，使用最后3,00个数据点计算了它的中值相关系数，并在新坐标s（p，s）中绘制了它的轨迹，如图3（d）所示。从图3中，我们可以发现它们的时间序列是不规则和混沌的，它们的输出相位图是一个奇怪的混沌吸引子，它们的轨迹是（p，s）-平面是类布朗的。6结论我们提出了一个显示长记忆效应的非线性分馏l阶离散古诺双寡头博弈模型。我们用线性逼近的方法讨论了它的纳什均衡和局部稳定性，然后用0-1检验算法对它的相图、分岔图和混沌吸引子进行了数值说明。分析古诺双寡头遗传算法的方法可以应用于其他科学领域。

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可人4

2022-6-14 07:00:11

分数阶微分微积分仍然存在一些悬而未决的问题，例如分岔的定性分析理论和高效的punov算法。0 50 100 150 200 250 300n-0.10.10.20.30.40.50.60.7（a）企业1产出的时间序列。0 50 100 150 200 250 300n0.20.250.30.350.40.450.50.550.60.650.7（b）表2输出的时间序列-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7q0.10.20.30.40.50.60.7（c）双寡头输出的相位图-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2p-2-1（d）翻译成分的动力学（p，s）。图3：系统（5.18）中的混沌（q（0），q（0））=（0.1，0.3）。确认本工作得到山东省自然科学基金（批准号：ZR2016FM26）和国家社会科学基金（批准号：16FJY008）的资助。参考文献【1】A.Cournot，Recherc hes sur les principes math’ematiques de la th’eorie des richesses par Au gustinCournot。chez L.Hachette；1838.[2]J.纳什。非合作游戏，安。数学54(2)(1951)286-295.[3] 《博弈论与经济行为》，普林斯顿大学出版社，1944。[4] Han等，基于博弈论和自回归模型的无线传感器网络入侵检测模型。知会Sci。476(2019) 491-504.[5] M.Shareh，H.Navidi，H.Javadi，M.HosseinZadeh，基于进化博弈模型的P2P文件共享网络中的事件处理系统。知会Sci。470(2019)94-108.[6] K.Lalropia，V.Gupta，基于随机博弈和马尔可夫过程的网络物理攻击建模。Reliab公司。工程系统。安全181(2019)28-37.[7] S.Khaliq等人，《特设认知无线电网络中的PUE攻击防御：平均场游戏方法》，电信。系统。70 (1) (2019)123-140.[8] M.Ranjbar、M.Kheradmandi、A.Pirayesh，《应对电力系统智能物理攻击的旋转储备优化分配游戏框架》。

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2022-6-14 07:00:14

IET通用。变速器。数字化信息系统。13(1)(2019)92-98.[9] H.Liu，DoS攻击下基于SINR的多通道功率调度：一个具有不完全信息的Stackelberg游戏应用程序Roach。Automatica，100（20 19）274-280。[10] 针对电力系统的虚假数据注入攻击的两层博弈论攻击防御模型。国际选举法院。电力能源系统。104(2019)169-177.[11] M.Archetti，K.Pienta，《癌症细胞的合作：将博弈论应用于癌症》。纳特。修订版。《癌症》，19（2019）115。[12] S.Bhowmik，R.Sarkar，B.Das，D.Doermann，GiB：一款游戏，受ory启发的降级文档图像二值化技术S.IEEE T.图像处理。28(3) (2019)1443-1455.[13] Liang，Z.Yan，HumanMachin网络中博弈论方法的调查。未来基因重组。系统。92(2019) 674-693.[14] Ji等人，《车道变更辅助的共享转向扭矩控制：随机博弈论方法》。IEEE T.Ind.Electron公司。66(4) (2019)3093-3105.[15] S.Farzi，S.Youse fi，J.Bagherzadeh，B.Eslamnour，《双层异构蜂窝网络中基于区域的负载平衡：博弈论方法》。电信。系统。70(1) (2019 )105-121.[16] J.Gu an，K.Wang，走向带有空间图的步行室疏散。应用程序。数学计算机。347(2019)492-501.[17] Q.Liu，X.Li，X.Meng，基于系统动力学的中国煤矿安全监管多人演化博弈有效性研究。安全科学。111 (2019)224-233.[18] T.Woo，使用非零和算法对nu clear security进行基于博弈论的复杂分析。安。Nuc。能源，125（2019）12-17。[19] K.Staˇnkov\'a，J.Brown，W.Dalton，R Gatenby，《利用博弈论优化癌症治疗：Areview》。JAMA肿瘤学，5（1）（2019）96-103。[20] Y.Wu，et al.，基于合作博弈论的混合姿态控制执行器最优角动量管理，IEEE Access 7（2019）6853-6865。[21]S。

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大多数88

2022-6-14 07:00:17

Meng等人，移动云计算环境中基于层次进化博弈的动态云选择和带宽分配。IET通信。13(1)(20 19)16-25.[22]T.Puu，《经济学中的吸引子、分岔和混沌非线性现象》，施普林格·维拉格·柏林-海德堡，纽约，2000年。[23]M.Kopel，《古诺双寡头模型中的简单和复杂调整动力学》，混沌孤子。压裂。12(1996)2031-48.【24】W.Govaerts和G.Ghaziani，《科佩尔的古诺双寡头模型中的稳定周期》，计算机杂志。应用l.Math。21 8(2008.)247-258【25】G.Bischi，A.Naimzada，《具有无限理性的动态双寡头博弈的全球分析》，载《动态博弈与应用的进展》，第5卷，波士顿比尔哈尔，1999年。【26】F.Cava lli、A.Naimzada、F.Tramontan A，《采用局部单寡头方法的非均质古诺双寡头与具有内生反应性的梯度规则的非线性动态s和全局分析》。公社。非线性Sci。数字。模拟。23(1-3)(2015)245-262.【27】A.Ag liari，A.Naimzada，N。Pecora，具有不同产品的古诺双寡头博弈的非线性动态s。应用程序。数学计算机。281(2016)1-15.【28】H.Agiza，A.Elsadany，《具有异质p层的古诺双寡头博弈中的非线性动力学》，Physica A.320（2003）512-524。[29]H.Agiza，A.Elsadany，H等代人非线性双寡头博弈中的博弈动力学，应用。数学计算机。149(200 4)843-860.【30】A.Elsadany，A.Awad，《异质Kopel双寡头博弈中的动力学分析与混沌控制》。印度J.Pure App l.数学。47(4)(201 6)617-639.[31]Y.Fan，T.Xie，J.Du，异质参与者双寡头博弈的复杂动力学：输出模型的进一步分析。应用程序。数学计算机。218(15)(2012)7829-7838.[32]T.Li，J.Xie，S.Lu，J.Tang，D.uopoly航空公司收入管理中可调用产品的游戏。欧元。J、操作。第254（3）（2016）号决议925-934。【33】A。

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mingdashike22

2022-6-14 07:00:20

El Sayed，A.Elsadany，A.Awad，《古诺双寡头博弈的混沌动力学和同步与对数函数》，应用。数学信息室。Sci。9(6)( 2015)3083.【34】A.Awad，A.Elsadany，《古诺双寡头博弈与社会福利的非线性动力学》，电子。J、数学。肛门。应用程序。4(2)(20 16)173-191.[35]A.Elsad any，基于相对利润最大化的有界理性古诺双寡头博弈的动力学。应用程序。数学计算机。294(2017)253-263.【36】A.Matsumoto，控制着co-urnot-nash混沌。J、优化。理论。应用程序。128(2)(2006)379-392.【37】L.Fanti，L.Gori，《数量竞争下的差异化双寡头动态》。经济。模型29(2)(2012 ) 4 21-427.[38]辛斌，马俊杰，高问，一个新兴型博弈模型的复杂动力学。《自然与社会离散动力学》，2008（2008）467972。[39]J.Ma，Z.G uo，《带估计和两阶段考虑的动态博弈的参数盆地和综合体》，应用。数学Co输出。248(2014)131-142.【40】S.Askar，A.Alshamrani，K。阿尔诺·维贝，《古诺双寡头博弈中合作的兴起》，应用。数学计算机。273(2016)535-542.[41]Yu.Yu，异质商业运营模式和不同产品下出租车寡头博弈的复杂性分析。J、内尔。模糊系统。33(5)(2017)3059-3067.[42]Y.Zhang，W.Zhou，T.Chu，Y.Chu，J Yu，生产中半共谋的两阶段古诺双寡头博弈的复杂动力学分析。非线性发电机。91(2)(2018)819-835.【43】F.Tramontana、L.Gardini、T.Puu，《当竞争对手经营多个生产工厂时的古诺双寡头》，J.Econ。Dyna m.Control 33（2009）250-265。【44】F.Tramontana，具有等弹性功能的异质双寡头，经济。模型27(2010)350357.[45]F.Tramontana，A.Elsadany，B.Xin，H.Agiz A，《古诺溶液在异质竞争对手不断增加的情况下的局部稳定性》。

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能者818

2022-6-14 07:00:23

《非线性分析：现实世界应用》，26（2015）150-160。【46】L.Bairdi，A.Naimzada，《非线性古诺环境中的模仿和最佳响应行为》。混沌2 8（5）（2018）055913。【47】L.Bairdi，A.Naimzada，一个具有最佳响应和模仿规则的寡头模型，应用。数学计算机。336(2018)193-205.【48】L.Bairdi，A.Naimzada，一个具有理性和模仿规则的寡头垄断模型。数学计算机。模拟。156(2019)254-278.[49]J.D'iaz，T.Osler。“功能顺序的差异。”数学《计算机》28.125（1974）：185-202。【50】K.Miller，B.Ross，《分数微分微积分》，载于：关于单价函数、分数微积分及其应用的国际研讨会论文集，日本高山县日本大学，1988年5月，载于：Ellis Horwood Ser。M第。应用程序。，霍伍德，奇切斯特，1989年，第13915页2。[51]H.Gray，N.Zhang，关于功能差异的新定义。数学计算机。50(182)(1988)513529.【52】F.Atici，P.Eloe，《离散分数微积分中的初值问题》。过程。是硕士学位。Soc。137（2007）9819【53】F.Atici，P.Eloe，《离散分数计算中的转换方法》，国际J.Differ。设备。2(2)(2007)165176.【54】F.Atici，P.Eloe，《带nabla算子的离散fr作用微积分》，电子。J、质量。西奥。差异。设备。3 (2009)1-12.【55】F.Atici，P.Eloe，《带nabla算子的离散fr作用微积分》，电子。J、质量。西奥。差异。设备。(3)(2009)1-12.【56】F.Atici，S.S,eng¨ul，《分数微分方程建模》，数学杂志。肛门。应用程序。369(1)(2010)19.【57】N.Bastos，R.Ferreira，D.Torres，《离散时间分数变分问题》。《信号处理》，91（2011）51324。[58]G.C.Wu，D.Baleanu，L.Huang G，具有脉冲的线性分数阶时滞微分方程的新Mittag-Le-fluer稳定性，应用。数学利特。82(2018)71-78.【59】G.C.Wu，D.Baleanu，S。

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可人4

2022-6-14 07:00:26

曾，离散分数时滞系统的有限时间稳定性：Gronwallinequality和稳定性判据，Common。非线性Sci。Nume r.Simul。57(2018)299-308.[60]C.Goodr ic h，A.Peterson，《离散分形微积分》，斯普林格，2016年。【61】C.Goodr ic h，《混合序r的序列分数delta差异的单调性和非单调性结果》，正22（2）（2018）551-573。【62】T.Abdeljawad，F.Atici，关于nabla分数运算符的定义，Abstr，Appl，Anal，2012（2012）406757。[63]T.Abdeljawad，关于黎曼和卡普托分数差异。计算机。数学应用程序。62(3)(2011 )1602-1611.【64】T.Abdeljawad，D.Baleanu，离散分数差异与非奇异离散Mittag-Le-fluer-kernels，Adv.Differ。设备。(1) (2016)232.【65】I.Suwan，T.Abdeljawad，F.Jarad，nabla h离散分形AtanganaBaleanu差异的单调性分析。混沌孤子分形。117(2018)50-59.[66]陈F.陈X.罗Y.周，非线性分数阶微分方程的存在性结果。副驾驶员。设备。713201 (2011)1-12.[67]Y.Wei，Y.Chen，T.Liu，Y.Wan g，nabla离散序系统的Lyapunov函数，ISAT。（2018）（正在出版）。[68]魏勇，郭加奥，刘德军，王勇，关于nab-la离散分数阶微积分的级数表示，Common。非线性Sci。数字。模拟。69(2019)198-218.【69】J.ˇCerm'ak，I.Gy"ri，L.Nechv'tal，关于线性分数微分系统的显式稳定性条件，Fra ct。计算应用程序。肛门。18(3)(2015)651-672.【70】D.Mozyrska，M.Wyrwas，分数h-差二维系统稳定性的明确标准。内景J.发电机。控制5（1）（2017）4-9。【71】D.Mozyrska，M.Wyrwas，《线性近似稳定性以及差异稳定性和差异压裂系统之间的关系》。数学方法应用。Sci。40(11)(2017)4080-4091.【72】R.Abu Saris，Q。

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mingdashike22

2022-6-14 07:00:29

Al Mdallal，关于分数阶微分方程线性系统的渐近稳定性。压裂。计算应用程序。肛门。16(3)(2013)613-629.【73】V.Tara sov，《物理晶格和som应用的分数阶微分方程》。J、数学。物理。56(10) (2015) 10350 6.【74】G.C.Wu，D.Baleanu，Z.Deng，S.Zeng，基于RieszCaputo微分的晶格分数微分方程。物理。A 438（2015）335-339。[75]Huang等人，《分数对数映射的新应用》，Rom.J.Phys。61(7-8)(201 6)1172-1179.【76】S.Ismail e t al.，基于FPGA的广义分数logistic映射加密系统，AEU-Int.J.Electron。公社。80(2017)114-126.[77]Z.Liu，T.Xia，J.Wang，基于新型二维分馏洛德离散混沌映射和Menezes-Vanstone椭圆曲线密码体制的图像加密技术，中国物理出版社。B、 27（3）（2018）030502。[78]刘志忠，夏T，王J，Fr actional二维离散混沌ma p及其在椭圆曲线公钥密码体制信息安全中的应用，J.Vib。控制，24（20）（2018）47974824。【79】S.Kassim，H.Hamiche，S.Djennoune，M.Bettayeb，一种基于分数阶离散时间超混沌系统同步的新型安全图像传输方案S.非线性动力学，88（4）（2017）2473-2489。[80]B.Xin，L.Liu，G.Hou，Y.Ma，通过线性控制实现非线性分数阶离散动态系统的混沌同步，熵19（2017）351。【81】G.C.Wu等。基于稳定性条件的分数阶混沌映射的混沌同步，Physica A 460（2016）374-383。【82】M.Shuk la，B.Sharma，分数阶广义超混沌映射混沌研究，AEU-Int.J.Electron。公社。78(2017)265-273.【83】A.Ouannas等人，《无固定点混沌映射的分数形式：混沌、熵和控制》，熵20（10）（2018）720。【84】A。

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能者818

2022-6-14 07:00:32

瓦纳斯等，tinkerbell映射的分馏l形式是混沌的。应用程序。Sci。8(2018)2640.[85]Y.Liu，线性耦合离散分馏l-Henon图之间的变化同步，印度J.Phys。90(3)(20 16)313-317.[86]D.Mozyrska，E.Pawluszewicz，《具有有限初始记忆的线性q差分数阶系统的可观测性》，B.Pol。Acad。Sci。技术58（4）（2010）601-605。【87】D.Mozyrska，多参数分数差线性控制系统。离散动态。纳特。So c.2014（2014）183782。【88】D.Mozyrska，M.Wyrwas，Z变换方法和Delta型分数差算子。不连续的，不连续的。Soc。2015(2015) 85 2734.【89】D.Mozyrska，E.Pawluszewicz，《具有两个分数阶的h-微分线性控制系统的可控制性》，国际系统杂志。Sci。46(4)(2 015)662-669.[90]E.Pawluszewicz，《带cap乌托型算子的h-微分分数控制系统的约束可控性》，离散Dyn。纳特。Soc。2015(2015) 6384 20.【91】D.Sierociuk，M.Twardy，《可变分数阶差分算子的对偶性及其在定义中的应用》。B、波尔。Acad。Sci。技术。62(4) (2014)809-815.[92]X.Yin，S.Zhou，基于不同曲率驱动的分数非线性微分的图像结构保持去噪，数学。问题。E ng。2015 (2015) 930984 .【93】T.Liu等人，《具有未知先验信息的分数中枢差异卡尔曼滤波器，信号处理》。154(2019)294-303.[94]C.Li，Y.Ma，分数阶动力学系统及其线性化定理。非线性动态。71(4) (2013),621633.[95]G.C.Wu，D.Baleanu，W.Luo，Riema nnLiouville型分数阶微分方程的Lyapunov函数。应用程序。数学计算机。314(2017)228-236.[96]G.C.Wu，D.Baleanu，S.Zeng，离散分数阶时滞系统的有限时间稳定性：Gronwallinequality和稳定性判据n.Commun。非线性Sci。Nume r.Simul。

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可人4

2022-6-14 07:00:35

57(2018)299-308.【97】A.Khennaoui，关于分馏洛德离散时间系统：Chao s，稳定与同步。混沌孤子分形。119(2019)150-162.【98】K.Ahrendt，L.Castle，M.Holm，K.Yochman，nabla-d微分算子的拉普拉斯变换和参数R公式的分数变化，Comm-un。应用程序。肛门。16 (2012)317347.[99]F.Chen，X.Luo，Y.Zhou，非线性分数阶微分方程的存在性结果，Adv.Differ。设备。7 13201(2011)1-12.【100】G.C.Gottwald和I.Melbourne，关于混沌0-1测试的有效性，无非线性，22（2009）13671382。【101】G.C.Gottwald和I.Melbourne，评论“混沌0-1测试的可靠性”，物理。修订版。E77（2）（2008）028201。【102】I.Falconer，G.Gottwald，I.M elbourn e and d K.Wormnes，混沌0-1检验在实验数据中的应用，暹罗J.Appl。Dyn公司。系统。6(2007)95-402.【103】H.Bazine，M.Mabrouki，《混沌动力学在光伏生产时间预测中的应用》，更新。能量。136(2019)1255-1265.[104]朱浩，齐文伟，葛俊杰，刘玉英，分析正余弦复合函数系统的Devaney混沌，国际分岔杂志。混沌28（14）（2018）1850176。【105】J.Ran，Y.Li，C.Wang，《离散永磁同步电机系统的混沌与复杂性分析》，复杂性2018（2018）7961214。[106]袁磊，宋阿松，阿泽山，分数logisticmap的动力学分析与密码应用，非线性动力学。(2 019)1-22.【107】A.Tiwari，G.Rangan，《使用一个多世纪的数据分析七国集团股票市场的混乱：注释》，Res.Int.Bus。鳍47 (2019): 304-310.【108】T.Martinovic，《噪声传输数据的混沌行为》，数学，Meth，Appl，Sci，41（6）（2018）2287-2293。【109】R.Halfar，L.Marek，《改进FK3V he art细胞模型的动力学特性》，数学。冰毒。应用程序。Sci。41(17)(2018)7472-7480.【110】S.Vaidyanathan，A.Akgul，S.Kaar，U。

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nandehutu2022

2022-6-14 07:00:37

Cavusoglu，一种新的四维混沌超高速系统，其同步、电路设计及其在RNG、图像加密和基于混沌的隐写术中的应用，Eur。物理。J、加上133（2）（2018）46。

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