多项式过程的相关器

nandehutu2022

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收藏 2022-06-24

英文标题：
《Correlators of Polynomial Processes》
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作者：
Fred Espen Benth and Silvia Lavagnini
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
In the setting of polynomial jump-diffusion dynamics, we provide an explicit formula for computing correlators, namely, cross-moments of the process at different time points along its path. The formula appears as a linear combination of exponentials of the generator matrix, extending the well-known moment formula for polynomial processes. The developed framework can, for example, be applied in financial pricing, such as for path-dependent options and in a stochastic volatility models context. In applications to options, having closed and compact formulations is attractive for sensitivity analysis and risk management, since Greeks can be derived explicitly.
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中文摘要：
在多项式跳跃扩散动力学的背景下，我们提供了计算相关器的显式公式，即过程在其路径上不同时间点的交叉矩。该公式显示为生成器矩阵指数的线性组合，扩展了多项式过程的著名矩公式。例如，所开发的框架可以应用于金融定价，例如路径相关期权和随机波动率模型。在期权的应用中，具有封闭和紧凑的公式对于敏感性分析和风险管理很有吸引力，因为希腊语可以明确推导出来。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Statistics Theory 统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Statistics Theory 统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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大多数88

2022-6-24 06:08:20

多项式过程的相关器Fred Espen Benth*Silvia Lavagnini+2021年4月26日根据多项式跳跃扩散动力学的设置，我们提供了一个计算相关器的简化公式，即过程在其路径上不同时间点的交叉矩。该公式表现为生成器矩阵指数的线性组合，扩展了众所周知的多项式过程矩公式。例如，所开发的框架可以应用于金融定价，例如路径相关期权和随机波动模型。在期权的应用中，具有封闭和紧凑的公式对于敏感性分析和风险管理很有吸引力，因为希腊语可以明确推导出来。多项式跳跃扩散过程；相关器；消除和复制矩阵；发电机矩阵；汉克尔矩阵；随机波动率；路径相关选项；格力ks。1简介如果一个跳跃扩散过程的扩展生成器将任何多项式函数映射为一个等次或低次的多项式函数，则该过程称为多项式。因此，以当前状态之前的信息为条件，任何多项式对过程未来状态的期望都由当前状态的多项式给出。因此，可以在不知道概率分布或特征函数的情况下，以闭合形式计算条件矩，直至计算生成矩阵的指数。o类多项式过程包括指数allévy过程和a ffne过程，Ornstein–Uhlenbeck过程是一个典型的例子。此外，在马尔可夫[9，10]和非马尔可夫[17]背景下研究了多项式跳跃差异。

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kedemingshi

2022-6-24 06:08:23

关于多项式微分的数学分析，请参考【15】。由于其闭合矩公式，多项式过程在金融中有许多应用，第一个过程在[35]中有介绍。在文献中，我们找到了利率[12，14]、随机波动率模型[1，2，15]、期权定价[3，17]和能源建模[25，32]的例子。在【10】中，利用跳跃扩散过程的特性来提高计算和统计方法的性能，如广义d矩法，以及蒙特卡罗方法中的方差缩减技术。进一步的例子包括s-tochastic-por-tfolio理论[11]。我们考虑一个随机基(Ohm, F、 P）过滤{Ft}t≥0和多项式跳跃微分实值过程Y。对于系数向量为p的n次多项式函数p∈ Rn+1关于多项式的向量基Hn（x）∈ Rn+1，公式给出的力矩【p（Y（T））| Ft】=~ peGn（T-t） Hn（Y（t）），0≤ t型≤ T、带Gn∈ R（n+1）×（n+1）对应的生成器矩阵。本文将fr-amework推广到m+1多项式函数，并研究了对mE[pm（Y（s））pm的条件期望-1（Y（s））·····p（Y（sm））| Ft]（1.1），我们称之为（m+1）-点相关器。此处t<s<s<···<sm<t<∞ 和pk是次数为nk的多项式函数，k=0，m、我们用n表示：=最大{n，…，nm}最大度。*奥斯陆大学数学系，挪威布林登0316；fredb@math.uio.no.+挪威布林登0316号奥斯陆大学数学系；silval@math.uio.no.Form=0方程（1.1）对应于Y的共同计算力矩，由力矩公式给出。因此，通过迭代矩公式，原则上可以获得任何m>0的（m+1）点相关器。

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mingdashike22

2022-6-24 06:08:26

例如，对于m=1，将塔规则应用于Ft Fsto getE[p（Y（s））p（Y（s））| Ft]=E[p（Y（s））q（Y（s）；s- s） | Ft]（1.2），其中q（Y（s）；s- s）：=E[p（Y（s））| Fs]=~ peGn（s）-s） Hn（Y（s））是将矩公式应用于p（x）得到的多项式。特别是，q（x；s）具有时间相关系数qs0、k、s≥ 0，k=0，n、乘积▄p（x；s）：=p（x）q（x；s）是n+nw阶的多项式函数，其时间相关系数由▄ps1，j=Xk+i=jp1，iqs0，kforj=0，n+nand s≥ 力矩公式的另一个应用，这一次是p（x；s），产生了公式[p（Y（s））p（Y（s））| Ft]=~ ps的（1.2）表达式-seGn+n（s-t） Hn+n（Y（t））。然后，可以将此过程用于更大的m值。然而，由于操作所涉及的表达式的代数复杂性，执行计算并非微不足道。通过本文，我们通过为协相关器提供一个完全显式的闭合公式，在这个问题上取得了进展。证明力矩公式的关键在于发电机矩阵Gn的存在：对于多项式Hn（x）的x和固定基向量，这是扩展生成器对Hn（x）作用的线性表示。然而，对于m=1，我们必须处理两个基向量的乘积，这是形式为Hn（x）Hn（x）的对象∈ R（n+1）×（n+1），且不能为其构造生成矩阵。然后我们考虑Hn（x）Hn（x）的向量化, 也就是说，我们将Hn（x）Hn（x）的列堆叠起来变成一个单列向量。矩阵Hn（x）Hn（x）但包含冗余项，其矢量化也包含冗余项。对于Hn（x）：=（1，x，x，…，xn）, 这就是我们在这里考虑的情况，冗余项意味着x的重复幂。

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大多数88

2022-6-24 06:08:29

这意味着相应的生成器矩阵包含相等的行和/或零列，因此无法将框架推广到m>1。我们通过引入两个线性算子来解决这个问题，其中第一个我们称为L-消去矩阵。这消除了Hn（x）Hn（x）的矢量化x和returnsa向量的冗余幂与H2n（x）重合，其中存在生成矩阵G2n。使用称为L-复制矩阵的逆算子，我们然后恢复全维向量，最后，通过逆向量化，我们获得所需的线性算子，从而可以计算m=1的相关器公式。我们在以下gra中总结了这些步骤：Hn（x）Hn（x）//向量化//L-消除矩阵//H2n（x）扩展生成器发电机矩阵GHn（x）Hn（x）逆向量化工具复制矩阵xoog2nh2n（x）oo当进一步增加多项式的数量时，这些步骤也起作用。对于m+1>1，我们必须处理m+1>1基向量Hn（x）。这导致了一个结构更复杂的对象，需要适当的消去和复制矩阵，为此我们证明了多项式数m的递归公式≥ 利用这些，我们计算了一般的c相关公式。我们将看到，对于Hn（x）=（1，x，x，…，xn）, 矩阵Hn（x）Hn（x）∈ R（n+1）×（n+1）是所谓的Hankel矩阵，对于该矩阵，斜对角上的元素重合。Hankel矩阵是一个重要的矩阵家族，在从计算机科学到工程、数学和统计学的各个领域发挥着基础性作用[30]。它们确实应用于矩理论[13，29]、时间序列分析[18，19]、信号分析[22，23]和正交多项式理论[31]等领域。

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何人来此

2022-6-24 06:08:32

这意味着（部分）我们的分析可能会应用于许多不同的领域，这超出了这里研究的多项式跳变扩散理论。我们还提到Hankelmatrix是一个“行显示”的Toeplitz矩阵，因此本文中证明的一些结果可以适用于这类其他矩阵，以便进一步应用。我们指出，我们的相关器公式并不是迭代应用公式矩的真正替代方法，因为它实际上强烈依赖于它与Ft的塔式规则的结合 Fs公司 ··· Fsm。然而，它为直接应用动量公式时产生的代数负担提供了一个解决方案。corre-lator公式确实是完全显式的，而直接迭代矩公式时，获得显式表达式并不简单。由于具有闭合公式是一种优势，例如在那些需要区分的应用中，例如在计算格力ks时，我们的方法更方便。不足为奇的是，数值实验表明，用我们的公式得到的CorrelatorValue与通过迭代矩公式得到的值是一致的。此外，这两种方法的时间成本相当于大约m=10个多项式。我们将结果与蒙特卡罗方法进行了比较，结果表明，从时间成本的角度来看，后一种方法优于蒙特卡罗方法，而且精确度较低。我们强调，correlatorformula只涉及生成矩阵的矩阵指数的线性组合。

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何人来此

2022-6-24 06:08:36

假设这些指数矩阵是精确的，我们就得到了一个相关器的公式，实际上是精确的。最后，我们为生成器矩阵及其矩阵指数提供了两个求取公式。尽管已经研究了几种方法来有效计算三棱形矩阵的矩阵指数【26，20】，但据我们所知，尚未对生成器矩阵及其指数的构建块进行严格研究。如前所述，这些结果可用于分析目的。我们指出，我们的框架是基于单项式基础的，这似乎便于更容易和明确地获得公式。然而，如果矩阵为基的变化提供了条件，它可以扩展到任何其他多项式基。对于实际应用，正交基确实更方便，但在分析上更具挑战性。论文的其余部分组织如下。在第1.1节中，我们阐明了名称相关器，并给出了研究它们的一些财务动机。在第2节中，我们将严格介绍多项式过程和生成器矩阵。在第3节中，我们解决了两点相关器问题，并在第4节中介绍了解决（m+1）点相关器问题的主要工具和框架。在第5节中，我们提供了生成矩阵及其矩阵指数的两种递归，以及基的变化公式。最后，在第6节中，我们考虑了一些应用和数值方面，第7节最后给出了一些备注。

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大多数88

2022-6-24 06:08:39

附录A包含本文介绍的算子的一些组合性质，附录B是主要结果的证明。1.1动机【5，第9.3节】作者定义了相关器的概念，它是湍流理论中的标准工具。对于t<s<s<t<∞ 和k，k∈ N、 Y（s）和Y（s）之间的阶数（k，k）的相关器是由corrk定义的自相关系数的一般化，k（s，s；t）=eY（s）kY（s）k英尺E[Y（s）k | Ft]E[Y（s）k | Ft]。在本文中，我们将相关器的定义扩展到任何期望，如方程（1.1）中的期望。我们现在介绍两种可能的应用：亚式期权定价和随机波动率模型中的定价。我们打算激励我们的分析，为将来的工作留下细节。1.1.1路径依赖型期权我们考虑路径依赖型期权，例如亚洲期权，其中支付函数考虑了结算期[t，t]内价格过程的整个路径[24]。如果Y是标的资产的风险中性价格动态，r>0无风险利率和支付函数，则根据结算期内s pot价格Y的离散算术平均值，在时间t为亚洲式期权结算的贴现价格由∏（t）=e给出-r（T-t） E类φm+1mXj=0Y（sj）英尺对于t<s<s<···<sm=t和m≥ 0.（1.3）这种期权在北欧电力商品市场Nord Pool交易了十年[33]。其他类别的类似衍生工具包括日历价差期权和在不同时间评估的一揽子资产期权，以及连续平均的亚洲期权。对于有界区间上的实值连续函数，我们将^^视为^的多项式近似，例如通过Hermite多项式或Taylor展开，取决于^本身的性质。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:08:42

然后，方程式（1.3）中亚洲期权的价格由∏（t）得出≈ e-r（T-t） E类^φm+1mXj=0Y（sj）英尺= e-r（T-t） XkαkEY（s）kY（s）k···Y（sm）km英尺对于某些系数{αk}和多指数k=（k，···，km）。这导致了对形式E的条件期望的研究Y（s）kY（s）k···Y（sm）km英尺, 这是方程（1.1）的一个特殊实例，pj（x）=xkj，j=0，m、特别是，在[27]中，作者通过遵循刚刚描述的方法，即通过用正交多项式逼近支付函数和本文开发的相关器公式，推导出了看涨期权式离散平均算术亚式期权的显式价格公式。1.1.2 0的随机波动率模型≤ t型≤ T我们考虑由X（T）=RTtσ（s）dB（s）定义的过程X，其中B是一个标准的布朗运动a和σa波动过程，我们假设它独立于B。如果φ是支付函数，r>0是无风险利率，我们希望为金融衍生品定价，如下所示：π（T）=e-r（T-t） E[Д（X（t））|英尺]。[8]中建议的一种可能方法是考虑И的傅里叶变换。在ν上适当的可积条件下，我们可以写出Д（x）=R∞-∞^Д（z）e2πixzdz，期权价格为cω∏（t）=e-r（T-t） E类Z∞-∞^И（z）e2πiX（T）zdz英尺.对于σ和B独立，根据塔式法则，我们现在根据过滤{Fσt}t条件≥0由σ生成，直到时间T。然后，过程X（T）具有均值为0且方差为σ（s）ds的高斯分布，因此∏（T）=e-r（T-t） E类Z∞-∞^Д（z）e-2πzRTtσ（s）dsdz英尺= e-r（T-t） Z∞-∞^Д（z）EheλRTtσ（s）dsFtidzforλ≤ 通过考虑指数函数的泰勒展开式，表达式为λRTtσ（s）dsFti=E∞Xk=0k！λZTtσ（s）ds！k英尺=∞Xk=0λkk！EZTtσ（s）ds！k英尺, （1.4）也就是说，我们需要找到综合波动率的时刻，RTtσ（s）ds。

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mingdashike22

2022-6-24 06:08:45

对于由多项式过程建模的Y（s）：=σ（s），我们注意到二元过程Y（T），RTtY（s）ds也是多项式。因此，可以使用应用于该二元多项式过程的矩公式计算出rttσ（s）ds的矩。作为另一种方法，迭代使用微积分的基本定理，可以证明对于每一个k≥ 1 RTTσ（s）ds的k次方可以用k-thorder积分重写，即ZTTσ（s）ds！k=k！ZTtZskt···ZstY（s）Y（s）··Y（sk）ds··dsk，（1.5）其中t<s<s<··<sk<t是[t，t]的一个分区。结合方程（1.4）和（1.5），我们得到λRTtY（s）dsFti公司=∞Xk=0λk（k！）ZTtZskt···ZstE[Y（s）Y（s）···Y（sk）·Ft]ds···dsk，（1.6），因此对于每k≥ 1我们需要研究对m of E[Y（s）Y（s）····Y（sk）| Ft]的期望。有趣的是，Y（T）=RTσ（s）ds也出现在波动率指数衍生品的定价中，也就是说，在r化方差和波动率上的变动率。对于支付ψ（Y（T））的导数，只要ψ是可积的，我们可以使用上面的傅立叶方法，用可积傅立叶变换bψ，以方程（1.6）中的一个传统表达式结束。波动率掉期价格，即对实际波动率的掉期价格，定义为T的条件预期值e【Y1/2（T）| Ft】≤ T扩展X 7→√x1x个≥0在Hermite函数中，作为空间L（R，γ（x）dx）与γ的标准正态密度函数的基础，我们得到了Y（T）条件动量的交换价格的级数表示。有关基于Fouriermethods的数值示例VIX导数的更多详细信息，请参阅[7]。

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能者818

2022-6-24 06:08:48

这里，B Arndorff-Nielsen&Shephard随机波动率模型考虑σ（t），这是一个多项式跳跃过程，将在下一节中定义。2多项式过程继【17】之后，我们考虑R上的跳跃微分算子，其形式为gf（x）=b（x）f′（x）+σ（x）f′（x）+ZR（f（x+z）- f（x）- f′（x）z）l（x，dz），（2.1）对于一些可测量的ma ps b:R→ R和σ：R→ R、和一个传输内核l : R×R→ R如此l（x，{0}）=0和rr | z|∧|z|l（x，dz）<∞ 对于所有x∈ R、然后，我们让Y是以G为扩展生成器的跳跃扩散随机过程。这意味着对于每个有界函数f:R→ 具有连续二阶导数a和y的R∈ R、过程f（Y（t））-f（y）-RtGf（Y（s））ds是一个（Ft，Py）-局部鞅。现在，我们用Pol（R）表示R上多项式的代数，用Poln（R）表示R上所有次数小于或等于n的多项式的子空间。我们说G在Pol（R）ifRR | z | n上定义良好l（x，dz）<∞ 对于所有x∈ R和n≥ 2，对于f（x），Gf（x）=0≡ 然后，我们给出了多项式跳跃微分过程的以下定义。定义2.1（多项式跳跃扩散过程）。如果算子G多项式在Pol（R）上定义得很好，并且它将Poln（R）映射到每个n的自身，那么我们称其为G多项式∈ N、在这种情况下，我们称Y为多项式跳跃扩散过程。假设G是多项式，从[17，引理D.4]，过程p（Y（t））- p（y）-ZtGp（Y（s））ds是所有p的（Ft，Py）-鞅（2.2）∈ Poln（右），y∈ R和t≥ 这基本上意味着（2.2）的所有增量都具有消失期望。此外，fr om[17，引理1]，G的多项式性质可以用其系数来表征：它必须保持b∈ Pol（R），σ+ZRzl（·，dz）∈ Pol（R）和Zrzml（·，dz）∈ 所有m的Polm（R）≥ 3.（2.3）为了满足这些条件，我们假设≥ 2存在b，b，σ，σ，σ，ξm。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:08:51

，ξmm实常数，使得b（x）=b+bx，σ（x）=σ+σx+σxandZRzml（x，dz）=mXi=0ξmixi。（2.4）我们考虑一个例子。示例2.1。设B为标准的一维布朗运动，N（dt，dz）为带补偿器ν（dz）dt的补偿泊松随机测度。我们考虑由dy（t）=b（Y（t））dt+σ（Y（t））dB（t）+ZRδ（Y（t）给出的跳跃微分SDE-), z） ~N（dt，dz），漂移、波动和跳跃大小函数的形式为b（x）：=b+bx，σ（x）：=σ+σx+σx，δ（x，z）：=δ（z）+δ（z）x，对于b，b，σ，σ，σ，σ∈ R、和δ，δ：R→ R使得rr |δi（z）| mν（dz）<∞ 对于所有m≥ 2和i=0，1。对于每个初始条件Y（0）=Y，SDE都有唯一的强解Y（t）∈ R、此外，Y（t）是具有线性漂移b的多项式跳跃微分∈ Pol（R），二次微分σ∈ Po l（R）和跳跃测量l（x，dz）由Rf（z）给出l（x，dz）=RRf（δ（x，z））ν（dz）。特别是对于m≥ 2，通过二项式定理，我们发现Zr（δ（z）+δ（z）x）mν（dz）=mXi=0惯性矩ZRδ（z）m-iδ（z）iν（dx）xi，因此在这种情况下，方程式（2.4）中引入的常数ξmi为ξmi=惯性矩RRδ（z）m-iδ（z）iν（dx），对于i=0，m、 2.1生成矩阵将s e t{1，x，x，…，xn}视为Poln（R）的基础，并引入向量值函数Hn:R-→ Rn+1，Hn（x）=（1，x，x，…，xn）,具有变换运算符，使每个多项式函数∈ Poln（R），坐标向量p=（p，p，…，pn）∈ Rn+1可以用p（x）=~ p表示Hn（x）=Hn（x）~p、现在，我们严格地报告了[17，定理2.5]中多项式过程的矩公式，对于这一公式，我们在第3节中提供了对分析有用的证明。定理2.1（力矩公式）。对于n≥ 具有扩展生成元G:1的1和Y多项式过程。存在所谓的发电机matr ix Gn∈ R（n+1）×（n+1）使得Ghn（x）=Gnn（x）。(2.5)2.

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能者818

2022-6-24 06:08:54

对于每个p∈ 具有系数p向量的Poln（R）∈ Rn+1，力矩公式保持se[p（Y（T））| Ft]=~ peGn（T-t） Hn（Y（t）），0≤ t型≤ T、证明。我们取f（x）=xk表示0≤ k≤ n、由于Y是一个多项式过程，因此存在qk∈ Rn+1，因此Gxk=~ qkHn（x），0≤ k≤ n、利用这些向量，我们可以构造一个矩阵Gn∈ R（n+1）×（n+1），使得GHn（x）=Gnn（x）。这证明了权利要求1。接下来，通过方程（2.2），我们写出e[p（Y（T））| Ft]=~ pE[Hn（Y（T））| Ft]=~ pHn（Y（t））+ZTt~pE【GHn（Y（s））| Ft】ds=~ pHn（Y（t））+~ pGnZTtE[Hn（Y（s））| Ft]ds。（2.6）我们关注Hn（Y（T））。对于Z（s）：=E[Hn（Y（s））| Ft]，方程（2.6）可以用微分形式写成，dZ（s）=GnZ（s）ds，通过分离变量，其解为Z（T）=eGn（T-t） Z（t）。从Z的定义，乘以向量p, 我们结束这次公关活动。定理2.1告诉我们，对于每个p，E[p（Y（T））| Ft]是Y（T）中的多项式函数∈ Poln（右）。我们指出，这适用于多项式的向量基的每一种选择，尽管在本文中我们重点讨论了单项式的向量基Hn（x）。此外，我们强调，动量公式强烈依赖于生成矩阵Gn的存在性和方程（2.2）中过程的马氏性质。这两个要素将是我们所有框架的关键。示例2.2。设n=2。然后H（x）=（1，x，x）和GH（x）=（G1，Gx，Gx）. 特别是，从方程（2.1）和（2.4）中，我们得到G1=0，Gx=b+bx和Gx=σ+ ξ+σ+2b+ξx个+σ+2b+ξx、发现发电机矩阵G∈ R3×3满足（2.5）是=0 0 0bbσ+ξσ+2b+ξσ+2b+ξ.3两点相关器为了解决方程（1.1）中的（m+1）-点相关器问题，我们将分析形式定为1，因为为解决这种情况而开发的工具和思想对于理解第4节中将推广到m+1多项式的框架至关重要。

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kedemingshi

2022-6-24 06:08:57

对于m=1，方程（1.1）r eads likeCp，p（s，s；t）：=E[p（Y（s）），p（Y（s））| Ft]，0≤ t<s<s，p∈ Poln（R）和p∈ Poln（右）。特别地，对于n：=max{n，n}，我们可以用p（x）=~p来表示这两个多项式函数Hn（x）和p（x）=~ pHn（x）。通过towerrule for Ft 定理2.1中的力矩公式Cp，p（s，s；t）可以用Cp重写，p（s，s；t）=~pEHn（Y（s））Hn（Y（s））英尺如n（s）-s） ~p.（3.1）这意味着两个多项式l函数乘积的条件期望降低为基函数Hn（x）与其自身的外积的条件期望，这是形式为xn（x）：=Hn（x）Hn（x）的单项式函数的矩阵=1 x xxnx xxxn+1xxxn+2xnxn+1xn+2x2n. （3.2）通过等式（2.2），我们注意到e[Xn（Y（s））| Ft]=Xn（Y（t））+ZstE[GXn（Y（s））| Ft]ds。（3.3）因此，本着定理2.1证明的同样精神，我们寻求一个线性算子，使得G（1）n:R（n+1）×（n+1）-→ R（n+1）×（n+1），GXn（x）=G（1）nXn（x），（3.4），这是通用电气发电机矩阵Gn的两个多项式设置中的等效线性运算符。然而，G（1）nca不能用矩阵表示。我们注意到GN将向量映射到向量，而G（1）将矩阵映射到矩阵。其思想是将矩阵矩阵问题转化为向量问题，并根据生成矩阵Gn构造线性算子G（1）。我们首先介绍一般矩阵a的下列运算符∈ Rn×m定义3。1（矢量化和逆矢量化）。给定矩阵a∈ Rn×m第j列我们用A:j表示，我们定义了vec:Rn×m→ RNMA与nm columnvectorvec（A）关联的运算符=A.:1A级:2A级:m级,这被称为A的向量化。对于v=vec（A），我们然后定义vec-1： Rnm公司→ Rn×mas与向量v关联的运算符n×m矩阵B=vec-1（v），使得[B]i，j=vn（j-1） +i，对于i=1。

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mingdashike22

2022-6-24 06:08:59

，n和j=1，m、在这种情况下，我们说B是v的逆向量化。特别是，B和A重合。然后，我们解决了将Xn（x）转换为GXn（x）的线性算子G（1）的查找问题，以及查找矩阵G（1）n的问题∈ R（n+1）×（n+1）使得Gvec（Xn（x））=~G（1）nvec（Xn（x）），（3.5），其中Gvec（Xn（x））=vec（GXn（x））。然后，通过将矩阵▄G（1）n与vec和vec组合，得到算子G（1）n满足方程（3.4-1操作员，名称为G（1）n=vec-1.oG（1）no vec公司。（3.6）我们考虑一个例子。示例3.1。设n=1。我们寻求G（1）∈ R4×4这样G1、Gx、Gx、Gx=G（1）1，x，x，x. 两个合适的▄G（1）选择是▄G（1）=0 0 0 0 BB0 0 0 BB0 0σ+ξσ+2b+ξ0σ+2b+ξ和▄G（1）=0 0 0 0 bb/2 b/2 0 bb/2 b/2 0σ+ξσ+2b+ξ/2.σ+2b+ξ/2σ+2b+ξ.我们从示例3.1中注意到，第一个G（1）有两个相同的行和一个空列，而第二个G（1）有两个相同的行和两个相同的共列。这是由于vec（Gx（x））中存在术语Gx的双重存在，或者类似地，vec（x（x））中存在术语x的双重存在。随着n值的增加，vec（GXn（x））和vec（Xn（x））中的冗余项数量增加，因此要找到矩阵G（1）nseems的递归并非易事。此外，我们想用生成器矩阵Gn来写矩阵▄G（1）。我们将在下一节中解决这个问题。3.1 L-向量化通过查看方程（3.2），我们注意到一种可能的方法，除其他外，从矩阵Xn（x）中获得所有元素而不重复（相当于获得x从0到2n的所有幂而不重复），就是选择第一列和最后一行。为此，我们引入以下操作符。定义3.2（L-矢量化）。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:09:02

给定矩阵a∈ Rn×M，元素[A]i，j=ai，j，1≤ 我≤ n和1≤ j≤ m、我们将A的L-矢量化定义为算子向量L:Rn×m→ Rn+m-1关联到（n+m-1） -通过选择A的第一列和最后一行获得的列向量，名称为VECL（A）=a1、1a2、1an、1an、2an、m.直观地说，vecL操作符是一个线性操作符，从矩阵a中选择元素，这些元素共同构成矩阵a中最大的“L”。在[28]中，作者介绍了半向量化操作符，该操作符从矩阵a开始，返回通过将a中包含的下三角矩阵的列叠加在一起而获得的列向量，它们提供了两个矩阵，消除矩阵和复制矩阵，分别将A的矢量化转换为半矢量化，反之亦然。我们的目标是为L矢量化获得相同的结果。这些矩阵的存在告诉我们，存在一个线性变换来从vec（Xn（x））（我们称之为L-消除矩阵）和相应的反向线性变换（L-复制矩阵）中移除重复项。从现在起，我们将用~ek，j表示Rk中的第j个正则基向量，用Ik表示Rk×k中的恒等矩阵，用 Kronecker产品，我们称之为定义。定义3.3（Kronecker产品）。矩阵a的Kronecker积∈ Rn×M，元素[A]i，j=ai，j，1≤ 我≤ n和1≤ j≤ m、和矩阵B∈ Rr×s，是矩阵AB∈ Rnr×M由A给出 B类=a1,1B a1，mBan，1B an，mB.我们现在定义了L消除矩阵。定理3.1（L-消除矩阵）。每n，m≥ 1和每个矩阵A∈ Rn×m，存在L-消去矩阵En，m∈ R（n+m-1） ×n这样，En，mvec（A）=vecL（A）（3.7）En，m=nXi=1 ~ En+m-1，我~em、 1个~en、 i+mXi=2 ~ en+m-1，n+i-1.~em、我~en、 n.（3.8）推论3.2。

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何人来此

2022-6-24 06:09:05

对于每n≥ 1，L-消去矩阵En+1∈ R（2n+1）×（n+1）将vec（Xn（x））转换为vecL（Xn（x））由En+1给出：=En+1，n+1。示例3。设n=m=2。然后方程（3.8）变为2,2=Xi=1 ~ e3，i~e2,1~e2，i+Xi=2 ~ e3,2+i~e2，i~e2,2=1 0 0 00 1 0 00 0 0 1.对于∈ 表A的R2×2=aaaa级, 我们可以验证E2,2满足方程式（3.7）中的线性化矩阵定义，如索引2,2vec（A）=1 0 0 00 1 0 00 0 0 1aaaa级=aaa级= vecL（A）。此外，当应用于vec（X（X））=（1，X，X，X）它消除了双值x。接下来，我们要定义一个逆算子En，m，即将矩阵a的l向量化转换为其向量化的线性映射。然而，这种逆运算在以Rn×m为单位的矩阵空间中并没有很好的定义。事实上，当应用En，mto-vec（A）时，我们从维度nm的空间到维度n+m的空间- 1<牛米。然后，一般情况下不存在逆变换。因此，有必要找到n+m的Rn×mof维数的合适子空间-使图像空间维数和域空间维数重合。在[28]中，作者面临一个相似的问题，他们通过将域限制在对称矩阵的空间来解决这个问题。看看函数Xn（x）的矩阵，我们注意到从m向左到右的每个上升斜对角都是常数，这是所谓Hankel矩阵的一个性质。这类矩阵通常在方形情况下定义；然而，我们认为矩形矩阵的扩展定义如【16】中所述。定义3.4（Hankel矩阵）。我们定义了一个 Rn×mas——元素在同一斜对角上重合的矩阵空间。我们区分了与n≥ m或m≥ n、所以矩阵a∈ An，mtakes one以下两种形式：A=Aamaamananan+m-1.或A=阿纳马纳曼+m-1.,对于。

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何人来此

2022-6-24 06:09:08

. . , an+m-1.∈ R、我们称之为∈ An，man Hankel矩阵，并写出An：=An，n=m。我们看到Xn（x）∈ An+1，我们现在可以定义En，mon-An，m的逆算子。定理3.3（L-复制矩阵）。每n，m≥ 1和每个矩阵A∈ An，m，存在L-复制矩阵Dn，m∈ Rnm×（n+m-1）因此，Dn，mvecL（A）=vec（A）（3.9）Dn，m=nXi=1mXj=1 ~ en+m-1，i+j-1.~em，j~en，i.（3.10）推论3。4、每n≥ 1，L-复制矩阵Dn+1∈ 将vecl（Xn（x））转换为vec（Xn（x））的R（n+1）×（2n+1）由Dn+1给出：=Dn+1，n+1。示例3。设n=m=2。然后方程（3.10）变为2，2=Xi=1Xj=1~e3，i+j-1.~e2，j~e2，i=1 0 00 1 00 1 00 0 1.对于∈ A表的Aof=aaaa级, 我们可以验证D2,2vecL（A）=1 0 00 1 00 1 00 0 1aaa级=aaaa级= vec（A）。此外，当应用于vecL（X（X））=（1，X，X）, 它复制了缺失的值x。我们以矩阵En，mand Dn，m的一个重要属性作为本节的结论。命题3.5。每n，m≥ 1，Dn，mis每个A的En，mand的右倒数∈ An，m，产品Dn，男人，m∈ Rnm×nmacts on vec（A）就像一个身份操作符，Dn，mEn，mvec（A）=vec（A）。示例3。4.设n=m=2。来自示例3。2和3.3我们得到2,2E2,2=1 0 00 1 00 1 00 0 11 0 0 00 1 0 00 0 0 1=1 0 0 00 1 0 00 1 0 00 0 0 16=I.然而，对于A∈ A与vec（A）=（A、A、A、A）, 我们注意到D2,2E2,2vec（A）=vec（A），因此乘积D2,2E2,2b就像一个恒等算子，尽管与恒等矩阵不重合。3.2相关器的生成器我们现在关注的是原始问题：通过等式（3.6），我们寻求一个线性算子▄G（1）ntransformingvec（Xn（x））转化为Gvec（Xn（x））。从方程（3.2）中，我们注意到位于左侧Bottom“L”上的Xn（x）元素与x的幂从0到2n重合。引理3.6。

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大多数88

2022-6-24 06:09:12

对于每n≥ 1，Xn（x）的L-向量化与2n阶单项式的向量基一致，即vecL（Xn（x））=H2n（x）。因此，通过将vec（Xn（x））转换为vecL（Xn（x）），我们将vec（Xn（x））的生成矩阵问题解决为H2n（x）的生成矩阵问题，这在第2.1节中得到了解决。然后我们可以证明以下结果。提案3.7。每t≥ 0和n≥ 1，矩阵▄G（1）n满足方程（3.5）及其矩阵指数分别由▄G（1）n=Dn+1G2nEn+1和e▄G（1）nt=Dn+1eG2ntEn+1给出，其中G2n是2n阶的生成矩阵。我们现在能够提供两点相关器问题的解决方案。定理3.8（两点相关器公式）。两点相关器的表达式由cp给出，p（s，s；t）=~pnvec公司-1.o Dn+1eG2n（s-t） En+1o vec（Xn（Y（t）））oeGn（s）-s） ~p，~p，~p∈ Rn+1多项式函数p的系数向量∈ Poln（R）和p∈Poln（R），n=max{n，n}和t<s<s。4高阶相关器在本节中，我们证明了每m≥ 1通过遵循第3节中针对m=1执行的类似步骤。我们记得，我们寻求Cp的显式表达式，。。。，pm（s，…，sm；t）：=E[pm（Y（s））pm-1（Y（s））········p（Y（sm））| Ft]，带pk∈ Polnk（R），k=0，m、 t<s<s<sm。我们从以下操作符开始。定义4.1（d-Kronecker产品）。

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mingdashike22

2022-6-24 06:09:15

我们定义矩阵a的d-Kronecker乘积∈ Rn×manda ma trix B∈ Rr×s，当A的d次Kronecker幂在Kronecker意义上与B相乘时，ford≥ 1，或等于B，对于d=0，即（AdB=Ad B和d≥ 1A级B=B d=0。然后对于n≥ 1和r≥ 0，我们引入函数x（r）n（x）的矩阵：=Hn（x）对于rHn（x），（4.1），我们可以考虑以下因素：o对于r=0：我们得到x（0）n（x）=Hn（x）；o对于r=1：我们得到x（1）n（x）=Hn（x） Hn（x）=Hn（x）Hn（x）= Xn（x）∈ An+1；（4.2）o对于r=2：根据Kronecker产品的关联性x（2）n（x）=Hn（x） X（1）n（X）=X（1）n（X）xX（1）n（X）xX（1）n（X）···································································由形式为B（k）n，2=xk的n+1个块组成-1X（1）n（x）∈ An+1，k=1，（n+1）；o对于r=3：我们写X（3）n（X）=Hn（x）2. X（1）n（X），其中Hn（x）2=1 x xnx xxn+1···xnxn+1x2n∈ 使X（3）n（X）由（n+1）个块组成。对于每个blo-ck B（k）n，3存在jk∈ {0，…，2n}这样B（k）n，3=xjkX（1）n（x）和B（k）n，3∈ An+1，k=1，（n+1）。与前一种情况不同的是，现在，一些块在Hn（x）2重复使用某些电源。概括起来，我们可以陈述以下结果。提案4.1。每n，r≥ 1，X（r）n（X）是r（n+1）×（n+1）r中的矩形块矩阵，由（n+1）r组成-1块B（k）n，r（x）∈ An+1，存在索引jk∈ {0，…（r）- 1） n}使得B（k）n，r（x）=xjkX（1）n（x），k=1，（n+1）r-我们还可以注意到，X（r）n（X）包含X的所有幂，从0到（r+1）n。因此，去掉多余幂后，我们剩下Hn（r+1）（X）。然而，从命题4.1来看，X（r）n（X）是一个块矩阵，它的e块属于+1，但矩阵本身不属于+1，（n+1）r。示例4。设n=r=2。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:09:18

然后我们得到以下矩阵xx（2）（x）=1 x xx xxxxxx XXXXXXXXXXXXXX其块s属于A，但X（2）（X）/∈ A3,9因此它不是Hankel矩阵。这尤其意味着，我们不能使用第3节中定义的L-消除矩阵和L-复制矩阵。我们需要两个新的定制运营商。提案4.2。对于n，m≥ 1，存在一个m次L消矩阵E（m）n+1∈ R（n（m+1）+1）×（n+1）m+1，使得E（m）n+1vec（X（m）n（X））=Hn（m+1）（X）。特别地，E（m）n+1由递归公式（E（1）n+1=En+1m=1E（m）n+1=Enm+1，n+1）给出输入+1 E（米-1） n+1m级≥ 2、提案4.3。对于n，m≥ 1，存在一个m次L-复制矩阵D（m）n+1∈ R（n+1）m+1×（n（m+1）+1），使得D（m）n+1Hn（m+1）（x）=vec（x（m）n（x））。特别地，D（m）n+1由递归公式（D（1）n+1=Dn+1m=1D（m）n+1）给出=输入+1 D（米-1） n+1Dnm+1，n+1m≥ 2、提案4.4。每n，m≥ 1，矩阵D（m）n+1是E（m）n+1的右逆，乘积D（m）n+1E（m）n+1作用于向量（X（m）n（X）），就像一个恒等式算子，D（m）n+1E（m）n+1vec（X（m）n（X））=向量（X（m）n（X））。示例4。设n=m=2。根据命题4.2，我们发现E（1）=E（2）=E5,3我 E（1）= E5,3E（1）0 00 E（1）0 0 E（1）.为了更好地理解，我们在示例4.1中编写vec（X（2）（X）），如下所示：vec（X（2）（X））=vecvec○ x xx○ xxx个○x个○x个○vec公司x个○ xxx个○ xxx个○x个○x个○vec公司x个○ xxx个○ xxx个○x个○x个○!,因此，通过应用 E（1），我们从X（2）（X）的每个块中选择它们的L-矢量化（记住，L-消除矩阵作用于矩阵的矢量化，并返回矩阵本身的L-矢量化），这些元素用圆圈标记。我们只剩下我 E（1）vec（X（2）（X））=vec○ x xx○ xxx个○ xxx个○ xxx个○x个○x个○. （4.3）我们注意到，我们需要的元素位于左下角的“L”（标有圆圈的元素）。应用E5,3得到H（x）=H2（2+1）（x）。

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大多数88

2022-6-24 06:09:21

此外，方程式（4.3）右侧的矩阵属于A5,3。然后由命题4.3和isD（2）给出相应的L-复制矩阵=我 D（1）D5,3=D（1）0 00 D（1）0 0 D（1）D5,3。在第r节中，D5,3作用于H（x）的矩阵在方程（4.3）右侧旋转（1），由于与I（即I）相乘，作用于每列上的矩阵奇异D（1））返回x（2）（x），表明D（2）是E（2）的逆算子。我们现在导出（m+1）点相关器的闭合公式。定理4.5（协相关公式）。每m≥ 1，让pk∈ Polnk（R）与vect或系数pk∈ Rn+1，k=0，m、 n=最大{n，…，nm}和t<s<s<···<sm。存在m+1矩阵G（r）n∈ R（n+1）R+1×（n+1）R+1，R=0，m、因此，CP，。。。，pm（s，…，sm；t）=~ pmnvec公司-1.oeG（m）n（s）-t）o vec公司X（m）n（Y（t））MYK=1eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k其中，qmk=1是从k=1对应的矩阵开始，然后在右侧乘以以下矩阵，直到k=m对应的矩阵。特别是，G（r）n=D（r）n+1Gn（r+1）E（r）n+1和E（G（r）nt=D（r）n+1eGn（r+1）tE（r）n+1，其中G（0）n=G（0）n=Gn。5生成矩阵的递归公式我们在本节中重点讨论定理2.1中定义的生成矩阵GN。特别地，我们为它提供了一个递推公式，并为它的矩阵指数提供了第二个递推公式。这些公式引用了单项式的基向量，但也可以推广到不同的多项式基向量。在这种情况下，需要矩阵来改变基础。5.1生成器矩阵我们提供了生成器矩阵的递推公式。定理5.1（生成器矩阵递归）。

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能者818

2022-6-24 06:09:24

对于每n≥ 2、发电机矩阵Gn∈ 对于单项式Hn（x）的向量基，满足方程（2.5）的R（n+1）×（n+1）由gn给出=Gn公司-1～不适用ncn公司带G=0 0bb.这里是一个0的n维向量，~ an=（ann，an-1n，an）∈ Rnwithan=nb+n（n- 1） σ+nXk=2nk公司ξkk-1，an=n（n- 1） σ+nXk=2nk公司ξkk-2，ain=nXk=ink公司ξkk-如果i=3，n、 cn=nb+n（n- 1） σ+nXk=2nk公司ξkk。（5.1）备注5.1。从定理5.1中，我们注意到对于n≥ 1生成器矩阵GNI为下三角形。此外，对于n≥ 2表格GNI的主对角线（Gn）=（0，b，c，c，…，cn）, （5.2）尤其是矩阵GNI不可逆。引理5.2。如果l（x，dz）≡ R为0，则Gnis为（下）三对角矩阵。现在，我们提供了Gn的矩阵指数的递归公式。定理5.3（指数生成器矩阵递归）。对于固定的n≥ 2，如果满足以下条件（每2个cj6=0≤ j≤ ncj6=每1个cifor≤ j<i≤ n（5.3）那么递归公式成立：eGnt=eGn公司-1t~n~an∧-1n埃克丁- eGn公司-1吨ecnt带EGT=1 0bbebt公司- 1.ebt公司如果b6=0且eGt=1 0bt 1如果b=0。引理5。4、如果l（x，dz）≡ R为0，则条件（5.3）等于b6=-kσ每1≤ k≤2（n- 1). 特别是，系数带σ不能同时等于0.5.2个基的变化。单项式的向量基Hn（x）是直观的，可以方便、明确地记下计算。然而，当涉及到应用程序时，通常更自然地选择正交基，例如Hermite多项式或Legendre多项式等。将正交基的性质与多项式过程的性质相结合，可以带来改进，例如期权定价[3、17、34]。基于这一事实，我们给出了一个结果，它可以得到生成矩阵及其关于多项式基的指数。

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何人来此

2022-6-24 06:09:27

这允许在更广泛的应用程序中使用我们的框架。对于n∈ N、我们考虑了一组多项式函数{q（x），q（x），…，qn（x）}，其值为R，这构成了Poln（R）的基础。然后介绍向量值函数qn:R-→ Rn+1，Qn（x）=（q（x），q（x），qn（x））.在经典线性代数中，存在一个可逆矩阵Mn∈ R（n+1）×（n+1）使得mnhn（x）=Qn（x）和M-1nQn（x）=Hn（x）。（5.4）我们进一步用Jn表示∈ R（n+1）×（n+1）在定理2.1意义下，关于基向量Qn（x）的生成R矩阵，即gqn（x）=JnQn（x）。（5.5）然后我们可以证明关于Jn的以下结果。提案5.5。对于每n∈ N和t≥ 0，生成器矩阵jn及其矩阵指数由以下矩阵乘积jn=MnGnM给出-1nand eJnt=MneGntM-1n。示例5。设Qn（x）为Hermite多项式给出的向量基。对于n=4，我们得到q（x）=（1，x，x- 1，x- 3x，x- 6x+3）而M-1分别由M给出=1 0 0 0 00 1 0 0 0-1 0 1 0 00 -3 0 1 03 0 -6 0 1和M-1=1 0 0 0 00 1 0 0 01 0 1 0 00 3 0 1 03 0 6 0 1.我们考虑l（x，dz）≡ 0.通过直接计算，可以得出=0 0 0 0 0 bb0 0 0σ2b+σ2b+σ0 0 0 0 3σ3（b+σ）3（b+σ）00 0 6σ2（2b+3σ）2（2b+3σ）andJ公司=0 0 0 0 0 bb0 0 0σ+2b+σ2b+σ2b+σ0 03σ3（2b+3σ+σ）3（b+σ）012σ12σ6（2b+σ+5σ）2（2b+3σ）2（2b+3σ）.通过矩阵乘法，可以验证命题5.5。6应用和数值方面如定理4.5所示，为相关器推导一个封闭而紧凑的公式在灵敏度分析和风险管理方面具有吸引力。例如，在期权的应用中，希腊人在对冲方面发挥着重要作用。期权的等级是根据各种参数的价格函数的导数定义的。

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kedemingshi

2022-6-24 06:09:30

在第1.1.1节中介绍的路径相关选项的上下文中，我们将在本节中推导两个希腊语的表达式，即Delta和Theta。然后，我们将从数值角度分析我们的协相关公式，也将与利润矩公式和蒙特卡罗方法相关。6.1希腊语的计算最常见的两种希腊语是Delta和Theta。第一种方法衡量期权价格相对于基础资产价格变化的变化。第二个指标是对运动时间的敏感性。从第1.1.1节可以看出，亚式期权的价格可以通过Ck、…、，。。。，km（s，…，sm；t）：=EY（s）kY（s）k···Y（sm）km英尺,对应于相关器Cp，。。。，pj（x）=xkj，j=0，…，时的pm（s，…，sm；t），m、然后，为了计算亚式期权的Delta，即价格函数∏（t）相对于初始条件Y（t）的偏导数，我们需要Cp，…，的导数，。。。，pm（s，…，sm；t）相对于Y（t）。提案6.1。每m≥ 在定理4.5的相同符号中，我们有内容提供商，。。。，pm（s，…，sm；t）Y（t）=~ pm（vec-1.o eG（m）n（s）-t）o vec公司X（m）n（Y（t））Y（t）！）mYk=1eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k哪里X（m）n（Y（t））Y（t）=Hn（Y（t））Y（t） X（米-1） n（Y（t））+Hn（Y（t））X（米-1） n（Y（t））Y（t）带Hn（Y（t））Y（t）=X（0）n（Y（t））Y（t）=（0，1，…，n）0，Hn-1（Y（t））.同样，要计算亚式期权的θ，我们首先需要计算Cp的导数，。。。，pm（s，…，sm；t），关于所涉及的m+1时间点，即s<s<··<sm。提案6.2。

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能者818

2022-6-24 06:09:34

每m≥ 1，在定理4.5的相同符号中，我们有Θ=~ pmnvec公司-1.oG（m）neG（m）n（s-t）o vec公司X（m）n（Y（t））MYK=1eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k+- ~pmnvec公司-1.o eG（m）n（s）-t）o vec公司X（m）n（Y（t））oG（m-1)nmYk=1eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k;Θj=~ pmnvec公司-1.o eG（m）n（s）-t）o vec公司X（m）n（Y（t））o··j-1Yk=1e￠G（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k克（米-j）neG（m-j）n（sj-sj公司-1)输入+1m级-j ~ pm-j··mYk=j+1eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k+-jYk=1eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k克（米-j-1)neG（m-j-1)n（sj+1-sj）输入+1m级-j-下午1点至1点-j-1.··mYk=j+2eG（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-k对于1≤ j<m；Θm=~ pmnvec公司-1.o eG（m）n（s）-t）o vec公司X（m）n（Y（t））o··m-1Yk=1e￠G（m-k）n（sk-sk公司-1)输入+1m级-k ~ pm-kG（0）neG（0）n（sm-sm-1)输入+1~p,在这里，我们引入了紧凑符号Θj：=内容提供商，。。。，pm（s，…，sm；t）sjfor 0≤ j≤ m、然后，通过命题6.1获得亚式期权的Delta：∏（t）Y（t）≈ e-r（T-t） XkαkCk，。。。，公里（s，…，sm；t）Y（t），类似地，θ由命题6.2获得：∏（t）sj公司≈ e-r（T-t） XkαkCk，。。。，公里（s，…，sm；t）sjfor 0≤ j≤ m、对于某些系数{αk}和k=（k，···，km）一个多指数。关于Greeksof离散平均拟亚式期权的更详细分析，见[27]，其中系数{αk}是根据埃尔米特多项式的基显式计算的。6.2数值性能我们对定理4.5中的相关器公式进行了数值分析，该公式明确给出了相关器的值，直至计算m+1矩阵的指数G（r）n，r=0，m、这意味着，当将这些矩阵指数求和为精确值时，相关器公式提供了correlatorvalue。正如我们在第1节中讨论的那样，同样的精确值也可以通过迭代应用公式的力矩来获得。然后，我们从时间成本的角度比较这两种程序。

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mingdashike22

2022-6-24 06:09:37

特别地，我们考虑了具有密集矩阵的实现和具有稀疏矩阵的实现。最后，我们考虑一种蒙特卡罗方法，该方法从时间成本和精度角度与我们的相关器公式进行了比较。对于实验，我们考虑由dy（t）=（b+bY（t））dt定义的Ornstein-Uhlenbeck过程+√σdB（t）（6.1）和模型规格B=+0.75b=-5.00σ=+0.01Y（t=0）=+0.15，对应于σ=σ=0和l（x，dz）≡ 0（见方程式（2.4））。此外，对于n≥ 1，我们考虑公式cn（s，…，sm；t）的方程（1.1）的一种特殊情况：=E[Y（s）nY（s）n····Y（sm）n····Ft]，对应于pk（x）=xn=~ En+1，n+1Hn（x），k=0，m、我们在第1.1.1节中发现了这种形式的术语，这是在随机波动性模型背景下激励对金融衍生品定价相关因素的研究。n=1时，这两种情况一致。我们还提到，Ornstein–Uhlenbeck流程是常见的金融模式。除其他外，我们还发现了电力现货价格建模的例子，这是一个非高斯例子，在[6]中进行了处理。蒙特卡罗模拟基于Y（s）=Y（t）eb（s）给出的方程（6.1）的条件解-t） +bbeb（s）-t）- 1.+√σZsteb（s-v） dB（v），用于s≥ t型≥ 0、我们定义k： =sk-sk公司-1，k=0，m、带s-1： =t，并将其重写为s=sk和t=sk-1，名称Y（sk）=Y（sk-1）电子商务k+bb电子商务k- 1.+√σZsksk-1eb（sk-v） dB（v）。（6.2）对于固定数量的时间点m+1≥ 1，然后根据（6.2），使用Y（sk），依次模拟Y（sk）中的样本-1）作为起点和事实，根据塔式规则，它持有SCN（s。

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mingdashike22

2022-6-24 06:09:40

smt） =EY（s）nEY（s）nEY（s）n··EY（sm）n | Fsm-1.···Fs公司Fs公司英尺.当增加问题的复杂性，即增加n和/或m时，蒙特卡罗方法需要更多的模拟来获得精度，也需要更多的计算时间。然而，为了比较不同的实验，我们将模拟次数固定为N=10，每次重复10次，以获得多个值。在这些值中，我们从相关器公式的最高相对误差中选择最差的一个，并将其作为集合的代表。对于时间成本评估，代表是通过平均10次模拟所需的时间成本来获得的。最后，我们将公差设置为1·10-3如果相对误差大于此，则声称蒙特卡罗失败，计算10次模拟中的失败次数。在表1中，我们报告了时间成本实验的结果。在这里，我们比较了具有稠密（稠密）和稀疏（稀疏）矩阵的协相关公式，以及具有稠密（Iter.稠密）和稀疏（Iter.稀疏）矩阵的矩公式的迭代应用，以及Monte Carlo方法（MC平均）。我们注意到，具有稠密矩阵的相关器公式与具有稠密矩阵的迭代几乎是可比的，而具有稀疏矩阵的相关器公式则是相同的。然而，对于更高的复杂性，校正公式往往会稍微慢一些。特别是，我们指出，不管人们怎么想，使用spa rse矩阵都会降低这两种方法的成本。主要原因在于稀疏矩阵的矩阵指数可能不是稀疏的。因此，将稀疏矩阵用于密集矩阵反而会降低计算速度。然而，我们强调，当问题的复杂性进一步增加时，稀疏矩阵是至关重要的。

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mingdashike22

2022-6-24 06:09:42

我们确实记得，对于给定的n和m，生成矩阵的维数为（n（m+1）+1）×（n（m+1）+1），因此用稠密矩阵存储它是不可行的。我们还从表1中观察到，这四个实验的时间成本随着问题复杂性的增加而增加，这是因为所涉及矩阵的维数会增加。然而，对于固定的m，蒙特卡罗方法（MC平均）的时间成本几乎是不变的，反映出时间点的数量是固定的。然而，为了使该方法尽可能通用，我们不直接计算幂x，而是进行向量乘法n+1，n+1Hn（x）反映了如果考虑一般多项式函数而不是单项式ls，我们将得到的情况。密集稀疏Iter的时间成本性能。致密Iter。

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