递推概率分布的计算方法

2022-6-25 08:10:10

在许多情况下，随机模型密度函数的闭式公式未知，开发一个数值程序来计算概率分布或密度函数是有利的。在交易金融期权时，投资者通常执行对冲程序以降低风险。一般来说，资产价格变动的连续模型假设一个连续的对冲过程。然而，在实践中，由于连续交易不适用，离散*韩国KAIST数学科学系，291 Daehak ro，Daejeon 34141，大韩民国+韩国京畿道庆山扬南大学统计系38541，通讯作者，电子邮件：ksublee@yu.ac.krtime采用套期保值策略，因此，即使在完整的市场模型中，也会出现离散时间套期保值错误。许多研究考察了金融期权中的离散时间套期保值误差。Sepp（2012）基于跳跃扩散模型的特征函数，得出了增量对冲误差的数值近似分布。Park等人（2016年）基于跳跃扩散模型的递归方法计算了delta对冲误差，这与本研究提出的框架相同。本研究将其扩展到了L'evy模型，并表明该方法不仅适用于delta套期保值过程，而且适用于其他交易策略，如最小方差套期保值。算术亚洲期权是一种金融衍生品，其收益是未来观察到的基础资产价格的算术平均值。与欧洲期权和适合交易频率较低资产的金融工具相比，亚洲期权在接近到期时对基础资产价格的操纵更安全（Musieland Rutkowski，2006）。

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nandehutu2022

2022-6-25 08:10:13

由于封闭式公式不适用于亚式期权价格，我们研究了数值近似和模拟方法（Kemna和Vorst，1990；Vˇecˇer，2002）。我们的例子与Lee（2014）一致，Lee（2014）计算了基于欧式期权的西安期权价格；然而，我们在本研究中直接应用风险中性概率密度。我们还检验了一个统计假设检验的例子。通常，参数统计检验取决于检验统计量的概率分布。对于典型的样本均值检验，检验统计量通常近似为t分布；然而，如果相应的随机变量远离正态分布，可能会影响测试的准确性。因此，更精确的分布将有助于执行更可靠的测试。我们提供了一个应用递归方法的偏态测试示例。一般而言，金融资产回报分布呈负偏态（Fama，1965；French et al.，1987；Cont，2001），金融资产分布的第三时刻已被广泛研究（Kraus and Litzenberger，1976；Harvey and Siddique，2000；Christo Offersen et al.，2006；Choe and Lee，2014；Lee，2016）。我们的示例演示了一种计算临界值和统计功率的方法。本文的其余部分组织如下：第2节解释了基本的递归方法和应用数值程序计算概率密度函数的过程。第3节将所提出的方法应用于示例。第四部分总结全文。2基本方法2.1导数设X是在时间范围[0，T]上定义的连续随机过程，或是在时间指数0=T，T，···，tN=T上定义的离散随机过程。

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可人4

2022-6-25 08:10:17

如果X是连续的，我们对离散观测时间0=t，t，···，tN=t的X的行为特别感兴趣。必要时，我们可以引入一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、 P）大于[0，T]，过滤{Ft}T∈[0，T]。在许多金融应用中，检查y=NXi=1h（Xi）的某些有限总和的分布是有利的-1，Xi），其中Xi=Xti。随后的章节将解释金融实践中的具体示例，包括数字概率密度函数、算术亚洲期权价格、已实现方差分布、对冲成本分布和统计假设测试。为了计算Y的分布，我们提出了一种基于递归关系的数值格式。一种表示Y givenX=xis的条件概率密度函数的方法，基于欧式期权支付预期的二阶导数或校正的单位线性函数：fY | X（Y | X）=dE[（Y- y） +| X=X]dy.（1）该方法与Breeden和Litzenberger（1978）中介绍的方法一致，该方法推导了基于欧式期权价格的状态价格密度函数，类似于风险中性密度函数。当期望处于风险中性度量之下时，密度函数fY | Xis也被认为是风险中性密度函数。我们对物理概率和风险中性概率都感兴趣。本研究检验了基于公式（1）计算条件概率密度函数fY | x的数值方法。计算[（Y- y） +]=ENXi=1h（Xi-1、Xi）- y+,考虑以下关系。定义（y | xn）=ENXi=n+1h（Xi-1、Xi）- y+Xn=Xn.上述公式类似于欧洲期权支付的Fn条件预期，byregardingPNi=n+1h（Xi-1，Xi）作为资产价格，y作为执行价格。

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2022-6-25 08:10:20

设fXn+1 | Xn（Xn+1 | Xn）或暗示f（Xn+1 | Xn），是从Xn=Xn到Xn+1=Xn+1的转移概率密度函数。然后，我们推导出0的以下连续关系≤ n<n- 1，如下所示：gn（y | xn）=ZRgn+1（y- h（xn，xn+1）| xn+1）f（xn+1 | xn）dxn+1（2）和gn-1（y | xN-1） =E[（h（XN-1，XN）- y） +| XN-1=xN-1] =ZR（h（XN-1，XN）- y） +f（xN | xN-1） dxN。Sinceg（y | x）=E[（y- y） +| X=X]，我们有fy | X（y | X）=g（y | x）y、或者，通过将等式（2）的两侧对y进行微分，我们可以表示“Fn（y | xn）=ZR”Fn+1（y- h（xn，xn+1）| xn+1）f（xn+1 | xn）dxn+1（3），其中'Fn（y | xn）=gn（y | xn）y、同样地，FN-1（y | xN-1） =ZR-{y<h（xN-1，xN）}f（xN | xN-1） DXN关闭指示器功能。在上述方程式中，(R)Fn=-1+Fn，其中Fn（y | xn）是Yn的条件累积分布函数：=PNi=n+1h（Xi-1，Xi），给定Xn=Xn。根据目前的讨论，我们确定了以下内容。定义1。我们定义fn（y | xn）=ZRFn+1（y- h（xn，xn+1）| xn+1）f（xn+1 | xn）dxn+1（4）和fn-1（y | xN-1） =ZR{y≥h（xN-1，xN）}f（xN | xN-1） dxN。（5）此外，通过对y的（4）两侧进行微分，我们得到fn（y | xn）=ZRfn+1（y- h（xn，xn+1）| xn+1）f（xn+1 | xn）dxn+1（6）和fn-1（y | xN-1） =ZRy{y≥h（xN-1，xN）}f（xN | xN-1） dxN（7），其中fn（y | xn）=Fn（y | xn）y、导数是分布的。备注1。

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2022-6-25 08:10:23

如果X是尺度不变的，即gn（y | xn）=xngnyxn | 1, 设“gn（y）=gn（y1），我们得到gn+1（y | xn+1）=xn+1gn+1yxn+1= xn+1？gn+1yxn+1andgn（y | xn）=ZRgn+1（y- h（xn，xn+1）| xn+1）f（xn+1 | xn）dxn+1=ZRxn+1？gn+1y- h（xn，xn+1）xn+1f（xn+1 | xn）dxn+1。通过设置xn=1，\'gn（y）=ZRxn+1\'gn+1y- h（1，xn+1）xn+1f（xn+1 | 1）dxn+1和'gN-1（y）=E[（h（1，XN）- y） +| XN-1= 1].或者，我们可以使用累积分布函数来表示fn（y）=ZRFn+1y- h（1，xn+1）xn+1f（xn+1 | 1）dxn+1和fn-1（y）=ZR{y≥h（1，xN）}f（xN | 1）dxN。上述方法适用于一维函数，因此计算成本大大降低。一个简单的例子是几何布朗运动下的算术亚式期权价格。在这种情况下，g（y | xn）=ENXi=1Xi- y+X=X,这可以解释为时间0时的亚式期权价格，基础价格X=X，执行价格y。请注意，价格等于基础价格X=1，执行价格y/X的亚式期权价格X倍。换句话说，g（y | X）=xgyx | 1, 这也适用于每一条n.备注2。通过将傅里叶变换应用于方程，我们得到了直观的形式。（6）和（7），改变积分的顺序。根据定义，式（7）左侧的傅立叶变换是exp(-iνYN-1).ZRe公司-iνyfN-1（y | xN-1） dy=ZRZRe公司-iνyy{y≥h（xN-1，xN）}dyf（xN | xN-1） dxN=ZRe-iνh（xN-1，xN）f（xN | xN-1） dxN=Ee-iνYN-1 | xN-1.类似地，式（6）左侧的傅立叶变换是exp(-iνYn）。ZRe公司-iνyfn（y | xn）dy=ZRZRe公司-iνyfn+1（y- h（xn，xn+1）| xn+1）dyf（xn+1 | xn）dxn+1=ZRe-iνh（xn，xn+1）ZRe公司-iνzfn+1（z）| xn+1）dzf（xn+1 | xn）dxn+1=ZREhe-iν（Yn+1+h（xn，xn+1））| xn+1if（xn+1 | xn）dxn+1=Ee-iνYn | xn在第二个等式中，我们用z代替y- h（xn，xn+1）。2.2数值程序本小节描述了在计算概率分布时应用递归方法的数值算法。

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2022-6-25 08:10:27

在对每种应用应用应用数值方法时，都有特定的考虑因素；然而，在本小节中，我们将研究应用计算过程中的常见问题。目标函数的选择对于数值过程，我们确定是使用函数fn还是fn，尽管这种区别对结果没有显著影响。Fn和Fn都具有稳定数值过程的良好性质。由于Fnis理论上在0和1之间有界，因此即使Fnis位于有界区域之外，由于数值误差，也可以很容易地进行校正。密度函数fn随着y的变化收敛到0∞ 或-∞; 我们可以假设绝对值为大y的积分几乎为零。fn的这一特性使得在进行数值计算时更容易实现；因此，本研究中的许多示例都是基于fn的。同时，在第3.2小节中，密度函数中的奇点，如Diracmeasure中的奇点，使得在数值过程中更容易使用F。自适应网格对于Fn（y | xn）或Fn（y | xn），数值域由区域[xmin，xmax]×[ymin，ymax]限定，其中xmin和xmax通常是固定的，而ymin，ymax通常在迭代过程中是动态的。在数值过程中，y域的自适应变化是由于在迭代过程中y的条件分布的合理数值支持的变化。例如，如果y的值随着数值过程的进行而增加，则y的数值域会相应地改变。让我们假设我们的兴趣在于y=PNi=1Xi的分布。Pni=nxi的有效数值域通常大于Pni=n+1Xi。因此，当n从n前进到1时，自然会扩展Fn的[ymin，ymax]域。如果y的数值域正在扩展，那么划分域的区间数可能会变得太大。

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2022-6-25 08:10:30

我们没有增加y上的间隔数，而是将离散点的总数乘以[ymin，ymax]，以防止网格大小变大。动态分配算法非常简单。因为当y接近时，Fnor Fnor收敛到0或1∞ 或-∞ 对于所有xn，具有给定阈值, 我们增加ymaxor或减少yminas fn或fn达到收敛准则；例如，f（ymax）<. 因为我们在[ymin，ymax]上固定离散化点的数量，比如M，y中的步长，y=（ymax-ymin）/M此参数改变，如ymin，ymaxchange。引用以前的函数另一个问题是引用步骤n中Fn+1或Fn+1的以前函数值，如wecomputeFn（y | xn）=ZRFn+1（y- h（xn，xn+1）| xn+1）f（xn+1 | xn）dxn+1。当查询点（y- h（xn，xn+1），xn+1）在时间tn+1定义的网格【ymin，ymax】×【xmin，xmax】内，我们只需检索Fn+1（y）等值- h（xn，xn+1）| xn+1）或fn+1（y-h（xn，xn+1）| xn+1）使用插值，例如线性或分段三次Hermite插值。即使使用最接近的值，这也很有效。当y- h（xn，xn+1）在[ymin，ymax]之外，我们根据函数Fn+1或Fn+1指定外推值。由于Fn+1是一个累积分布函数，因此当y接近时，Fn+1（y |·）接近1∞ 当y接近时，Fn+1（y |·）接近0-∞. 因此，分配fn+1（y）是很自然的- h（xn，xn+1）|·）=1当y- h（xn，xn+1）>ymaxandFn+1（y- 当y时，h（xn，xn+1）|·）=0- h（xn，xn+1）<ymin。同样，对于fn+1，我们指定fn+1（y- h（xn，xn+1）|·）=0 wheny- h（xn，xn+1）>ymaxor y- h（xn，xn+1）<ymin。当xn+1在[xmin，xmax]和y之外时- h（xn，xn+1）∈ [ymin，ymax]，我们指定fn+1（y- h（xn，xn+1）| xn+1）=Fn+1（y- h（xn，xn+1）| xmax）当xn+1>xmax和fn+1（y）时- h（xn，xn+1）|xn+1）=Fn+1（y）- 当xn+1<xmin时，h（xn，xn+1）| xmin）。

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2022-6-25 08:10:33

在这种情况下，xn+1远离xn，跃迁概率f（xn+1 | xn）相对较小，因此Fn+1（y-h（xn，xn+1）| xn+1）f（xn+1 | xn）接近于零。因此，Fn+1（y）的真实值之间的差异导致的误差-h（xn，xn+1）| xn+1），其近似值相对于整体积分而言很小。我们在图1中总结了这一解释，并在算法1.2.3计算成本中给出了算法。计算成本取决于时间步数和网格大小【xmin，xmax】×【ymin，ymax】。为了计算fn（y | x），我们对网格中的每个点（x，y）进行数值积分。设网格中x和y的数量分别为Nx和Ny，方程（4）或（6）中数值积分的步数为Nz。然后，每个时间步的计算复杂度与NxNyNz成正比。有关Matlab代码的示例，请参见https://github.com/ksublee/Recursive方法图1：数值域外Fn（左）和Fn（右）的参考标准使用分布函数的递归方法Fn的初始设置-1在网格上[xmin，xmax]×[ymin，ymax]，使用公式（5）表示n∈ {N- x为2，···，1}dox∈ {xmin，···，xmax}在Xn=xρ时，为Xn+1设置一个向量χ← Xn+1以上χ的pdf向量，其中Xn=xf或y∈ {ymin，···，ymax}doψ← Fn+1[χ，y- h（x，χ）] 使用图1Fn[x，y]中的引用规则←Rρψ 数值积分Fn[，ymin] 0或Fn[，ymax] 1通过ymin扩展网格← ymin公司- y或ymax← ymax+Y为新点从3到8重新绘制线这类似于备注？？？中描述的傅里叶变换等替代方法？？。更精确地说，设ξn=E[E-iνY | Fn]。

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2022-6-25 08:10:37

那么，对应于递归关系的方程是ξn-1（xn-1，ν）=ZRξn（xn，ν）e-iνh（xn，xn-1） f（xn，xn-1）因此，我们对（xn）的每一点进行数值积分-1，ν）在网格上[xmin，xmax]×[νmin，νmax]，对于每个时间步。因此，从本质上讲，Fouriertransform和递归方法具有相同的时间复杂性。与傅立叶方法相比，我们的方法的一个优点是，我们不必在最后一步应用傅立叶变换来检索分布或密度函数。3应用在本节中，我们将所提出的方法应用于几个示例。在我们介绍各种不同的示例时，请注意，每个小节使用不同的符号。3.1扩散模型的数值密度本小节说明了基于递归方法数值计算各种扩散模型的概率密度或似然函数。3.1.1 CIR模型考虑平方根过程X，也称为Cox-Ingersoll-Ross模型（Cox et al.，1985），定义为：dXt=κ（θ- Xt）dt+γpXtdWt。平方根过程X=xto Xt=X的转移概率密度函数由f（X | X）=c exp给出(-u-c（x+x））c（x+x）uq/2Iqpuc（x+x）式中，C=2κ（1- 经验值(-κt））γ，u=cxexp(-κt），q=2κθ/γ- 1和IQ表示第一类q阶的修正贝塞尔函数。虽然密度函数的闭合形式解可用，但出于说明目的，我们研究了基于递归关系和离散化的近似方法，以计算某些tN的概率密度函数。

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nandehutu2022

2022-6-25 08:10:40

的近似分布Xn=Xn- Xn公司-1带t=tn- 田纳西州-1典型蒙特卡罗模拟中的正态分布如下：Xn公司~ Nκ(θ - Xn公司-1)t、 γpXn-1.Leth（xi）-1，xi）=xi- xi-1，thenY=NXi=1h（Xi-1，Xi）=XN- x和递归方法可用于计算Y的分布，即XN- 十、对于递归方法的被积函数，我们使用条件概率密度函数fn（y | xn）。我们使用条件分布函数Fn（y | xn）得到了类似的结果。图2比较了数值计算的密度函数、闭式公式和模拟结果。平方根过程的参数设置为κ=11，θ=0.2，γ=1.5，数值过程的参数设置为t=1/1250，N=100，[xmin，xmax]=[0，0.6]x=0.002；y域的间隔数为1000。时间是按年计算的，因此，tN=20天。在图2的左侧，基于递归方法的数值计算密度函数非常接近闭式公式和模拟直方图。在图2的右侧，条件密度fY | Xis绘制为X=X和-0.5 0.5 101234数值闭式模拟00.6220.44x1y0.2600-1图2：CIR模型的概率密度函数（左）和fY | X（y | X）（右）200 400 600 800 100000.050.10.150.2rms图3：CIR模型概率密度函数的全局误差y=XN- X=y。

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2022-6-25 08:10:43

如图3.3.1.2所示，整体误差随着y轴区间数的增加而减少。恒定方差弹性模型（CEV）通过股票价格过程中的以下公式确定波动率的杠杆效应与资产价格呈负相关（Cox和Ross，1976）：dXt=uXtdt+σXγtdWt。股票价格分布的封闭式公式未知，值得用数值方法计算密度函数。使用与前一小节中平方根过程相同的方法计算条件概率密度函数。图4给出了Y，fY | X（Y | X）的条件概率密度函数以及X=1的X的密度函数。将数值概率密度函数与模拟直方图进行比较，表明递归方法生成的密度函数更精确。CEV模型示例的参数设置为0.6 0.8 1 1.2 1.40123450.5021.54y0x6180.5-0.5图4：CEV模型（左）和fY | X（y | X）（右）的概率密度函数u=0.05，σ=0.2，γ=0.7。对于数值过程，t=1/1250，N=200，[xmin，xmax]=[0.5，1.5]x=0.005，y轴上的间隔数为200，动态分配公差为10-8.3.1.3随机波动率模型和综合方差本小节根据各种随机波动率模型的数值似然法计算概率密度函数。考虑一个随机波动率模型，使得dvt=κVa（θ- Vt）dt+γvbdwt，参数为a∈ {0，1}和b∈ {1/2, 1, 3/2}. 该分类来自Christo Offersenet al.（2010）。

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2022-6-25 08:10:47

当a=0且b=1/2时，平方根过程用于随机波动率，如Heston（1993）所述。除a和b外，我们确定参数设置κ=11，θ=0.2，γ=0.8，V=0.2，对于数值程序，t=1/1250，N=100。图5给出了数值计算的各种概率密度函数。对于随机波动率模型，数值概率密度函数接近模拟直方图。综合方差由IVT=tZtVsds确定。众所周知，随机波动率模型中的已实现方差收敛于综合方差（Barndorff-Nielsen，2002）。然而，随机波动率综合方差的无条件分布的封闭式公式通常未知。有关a ffine模型特殊情况的讨论，请参见Broadie和Kaya（2006）。由于方差过程是不可观测的，有时综合方差更有趣，因为它可以被潜在收益的二次过程近似。使用h（xn，xn+1）=xn和近似ivt的递归方法≈NNXn=1Vn，0 0.4 0.801234数值闭式模拟（a）a=0，b=1/20 0.4 0.80123数值模拟（b）a=1，b=1/20 0.2 0.4 0.602468数值模拟（c）a=0，b=10 0.2 0.4 0.60246数值模拟（d）a=1，b=10.1 0.2 0.3051015数值模拟（e）a=0，b=3/20.1 0.3 0.3 404812数值模拟（f）a=1，b=3/2图5：Y=VT的概率密度函数-对于各种随机波动率模型，各种随机模型下综合方差的概率密度函数如图6所示。除了h的公式外，基本设置与以前的情况相同。

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2022-6-25 08:10:50

与模拟结果相比，数值密度函数对于所有随机波动率模型都是精确的。3.2 GARCH模型我们不仅可以计算连续模型的数值密度函数，还可以计算离散时间模型的数值密度函数。考虑方差σ和对数回报ε的GARCH模型（Bollerslev，1986）：σn+1=ω+βσn+αεn，εn~ N（0，σN）。我们对时间N方差σN和总回报的分布感兴趣，PNi=1εi。给定σnis的αεnw的条件分布由伽马分布表示，使得αεN |σN~ Γ, 2ασn,其中，Γ（，）的第一个参数是形状参数，第二个参数是伽马分布中的尺度参数。因此，从σ到σn+1的转移概率可以用移位的伽马概率密度函数表示，使得fσn+1 |σn（x）=exp-2ασnx-ω-βσnp2ασn（x- ω - βσn）Γ（1/2）。首先，让我们检查给定σ的σnw的分布。由于转移概率密度fσn+1 |σ的闭合形式可用，通过设置h（xn，xn+1）=xn+1- xn，因此Y=σN- σ、该理论基于递归方法。由于概率密度函数包含一个非光滑点，因此对于递归过程，最好使用累积分布函数Fn。图7显示了模拟GARCH过程的历史图和数值计算的密度函数σnw，N=20。对于参数设置，我们使用ω=0.001、α=0.05和β=0.9。对于numericalprocedure，x-grid设置为[xmin，xmax]=[0.01，0.05]，其中x=0.0002，y轴的间隔数为150。y的公差级别为10-图的右侧表示F的典型形状。

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2022-6-25 08:10:53

对于沿x轴的任何起点x，沿Y轴检索Y的条件累积分布函数。其次，我们设置h（xn，xn+1）=xn/N，Y=PNi=1σN/N，computePNi=1εi。SinceNXi=1εiNNXi=1σn根据条件正态分布，我们可以计算从时间到时间tN的总对数回报。图8给出了结果。左侧是Pni=1σn/n的概率密度函数，右侧是Pni=1εiis的概率密度函数。图中显示，数值计算的GARCH收益率分布与模拟结果接近。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60246数值模拟（a）a=0，b=1/20 0.2 0.4 0.6024数值模拟（b）a=1，b=1/20.1 0.2 0.3 0.404812数值模拟（c）a=0，b=10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5048数值模拟（d）a=1，b=10.16 0.2 0.24 0.280102030数值模拟（e）a=0，b=0=3/20.1 0.2 0.301020数值模拟（f）a=1，b=3/2图6：综合方差的概率密度函数Y=ivt与各种随机波动率模型-0.01 0.01 0.02 0.030408012000.060.04x0.10.50.020.05y00-0.051图7：GARCH方差（左）和F（Y | x）（右）的概率密度函数0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80246810-3-2-1 0 1 2 300.20.40.6图8：GARCH方差和的概率密度函数（左）和收益率（右）3.3套期保值错误许多研究人员，如Sepp（2012），研究了时间离散化下期权套期保值策略产生的错误。我们在一个框架中考虑对冲误差，在这个框架中，基本过程遵循指数L’evy模型，如Madan等人（1998年）。本小节可被视为Park等人（2016）的延伸。设γt是一个γ过程，它是一个具有独立和γ分布增量的L'evy过程，平均速率参数为1，方差参数为ν。

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2022-6-25 08:10:56

换句话说，γ的l'evy度量由νz表示-1exp(-z/ν）对于跳跃大小z。假设风险中性度量下的基础资产价格遵循指数方差gammamodel：St=Sexp（rt+Xt+ωt）（8），其中Xt是由时间变化的布朗运动表示的方差gamma过程Xt=θγt+σWγtandω=（1/ν）log（1- θν -σν). 方差gamma过程的L'evy度量由k（z）dz=expθzσν| z | exp表示-qν+θσ| z|dz。Madan等人（1998年）推导了S=1时的St概率密度函数，如下所示：f（x）=Z∞σ√2πgexp-（十）- θg）2σggtν-1exp-gννtνΓ（t/ν）dg。根据上述公式，可以通过数值积分计算从S（tn）=xnto S（tn+1）=xn+1的转移概率密度函数。在方差伽马过程下，有几种实用的方法来计算欧式看涨期权价格。我们使用基于阻尼期权价格的快速傅立叶变换方法如下：eαlog KEQ[e-rT（ST- K） +]对于某些常数，α，如Carr和Madan（1999）所述。在该设置下，S=1且到期日为T的Europeancall option价格用bye表示-αlog KπZ∞e-iv日志Ke-rTψT（v- （α+1）i）α+α-v+i（2α+1）vdvwhereψT（u）=EQ[eiu log ST]。我们测试了欧式看涨期权C的两种套期保值方式：delta套期保值和最小方差套期保值，正如F¨ollmer和Sondermann（1986）提出的那样。方差gamma模型下欧洲看涨期权的最小方差套期保值比率C由φt=St表示-Rk（dz）（ez）- 1） [C（t，St-ez）- C（t，St-)]R（ez- 1） k（dz）。有关更详细的解释，请参阅Cont等人（2007）。考虑在看涨期权中持有空头头寸的投资者，以及在基础资产中持有多头头寸的对冲策略。

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2022-6-25 08:10:59

在交易策略φ下，Timetian和ti+1之间的交易误差由ti+1-对冲组合的实现价值和无风险资产价格之间的差异确定，如下所示：φtiSti+1- Cti+1- （1+rδt）（φtiSti- Cti）。总误差为nxi=1{φiSi+1- Ci+1- （1+rδt）（φiSi- Ci）}。（9）同样，对于delta对冲策略，总误差为nxi=1{DiSi+1- Ci+1- （1+rδt）（DiSi- Ci）}（10），其中D表示delta套期保值比率。因为方程中的求和中的项。（9）和（10）是基础过程的函数，我们可以应用数值递归方法计算套期保值误差的分布。图9将欧洲看涨期权的delta hedgingerrors（左）和最小方差对冲误差（右）的数值计算概率密度函数与模拟直方图进行了比较。欧洲看涨期权的执行价格K=0.9、1、1.05，图9中S=1从上到下排列。参数设置为σ=0.2，θ=1.2，ν=0.001，r=0.02，δt=1/250.3.4算术亚洲期权如上所述，亚洲期权是一种金融衍生工具，比欧洲期权对操纵潜在资产价格更为稳健。由于算术亚洲期权价格的封闭式公式未知，因此通常使用模拟、近似或计算方法。递归方法也可用于计算算术亚洲期权价格。让我们来看一个基础资产价格过程。观察点t、····、tN=t上的算术亚式期权价格，执行价格为K，由以下等式表示：NNXi=1Si- K+其中，预期为风险中性概率。为了计算上述期望，我们需要计算Y=NPNi=1Si的分布。

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2022-6-25 08:11:02

使用递归方法，设置h（xi-1，xi）=xi/N，或h（xi-1，xi）=xi，然后，重新缩放分布，我们可以计算Y的风险中性分布。只要风险中性转移概率可用，亚式期权价格就使用递归方法确定。以下是Lee（2014）提出的替代方法。我们假设股票价格过程遵循方差伽马过程，如等式（8）所示。参数设置为σ=0.2、θ=1.2、ν=0.001、r=0.02和S=1。除h的函数形式外，整体方法与第3.3小节中的方法相同。图10给出了数值方法和模拟之间的比较，两个结果非常相似。3.5偏态检验在本节中，我们将检验所提出的递归方法如何用于资产收益三阶矩的假设检验。资产收益率的分布倾向于向左倾斜。虽然通常不容易测量转角分布的准确三阶矩，但三阶矩的重要性已得到公认和广泛研究（Kraus和Litzenberger，1976；Harvey和Siddique，2000）。设R为平稳返回过程。对于假设检验，无效假设isH:E[(R） ]=0，备选假设为H:E[(R） ]<0。例如，考虑跳跃扩散模型如下：dRt=udt+σWt+jdnt其中u是漂移，σ是波动性，N是强度为λ的泊松过程，J遵循平均uJand和标准偏差σJ的正态分布。

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2022-6-25 08:11:05

为简单起见，我们设置u=-λuJ，如图9：行使K=0.9，1，1.05自上而下，S=10.8 0.9 1 1.1 1.2strike00.050.10.150.20.25价格数值模拟图10：通过数值方法计算的亚式期权价格与蒙特卡罗模拟R成为鞅的比较（关于适当的过滤）。在此假设下，统计假设可以修改如下：H：uJ=0，H：uJ<0。睾丸类似于简单t检验；但是(R）不遵循正态分布，因此，计算(R）使用递归方法。我们计算了临界值，这些临界值决定了在给定显著性水平下，在零假设下α=0.05的样本是否拒绝零假设（见图11）。当检验统计量被拒绝时，完全假设被拒绝；的样本平均值(R）小于给定样本量下相应的临界值。为了计算临界值，使用(R）计算为h（xn，xn+1）=（xn+1- xn）和假定参数设置λ=10，σJ=0.01，uJ=0和σ=0.1975。统计幂，通常用1表示- β、是当无效假设无效时，测试正确弹出无效假设的概率。我们检查了幂曲线样本大小，其中uJis假定为-0.05表示负偏度，其他参数与前一种情况相同。图11的右侧显示了功率曲线随样本量的增加而增加。曲线表明，如果我们看到90%的统计功效，该模型将需要大约90个样本。

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2022-6-25 08:11:08

本节给出了三阶矩检验的一个示例，递归方法被认为适用于各种统计检验。20 40 60 80 100样本量-5-4-3-2-1临界值×10-620 40 60 80 100样本量0.50.60.70.80.91统计功率图11：临界值(R）（左）和测试H:E的功率曲线（右）[(R） ]=0对H:E[(R） ]<0，α=0.054结论本研究提出了特定函数分布的递推公式，并详细说明了数值程序的应用。各种例子，包括数值密度函数、对冲误差分布、算术亚式期权定价和统计假设检验，表明所提出的方法是相当精确的。该方法用途广泛，我们预计，不仅在金融领域，而且在不变概率分析领域，将有更多的应用。本研究将该方法应用于一维模型，未来的研究可以将该方法扩展到二维过程模型。参考Barndor Off-Nielsen，O.E.（2002）。已实现波动率的计量经济学分析及其在估计随机波动率模型中的应用。皇家统计学会杂志：B辑（统计方法学），64:253–280。Bollerslev，T.（1986）。广义自回归条件异方差。《经济计量学杂志》，31:307–327。Breeden，D.T.和Litzenberger，R.H.（1978）。国家未定权益价格隐含操作价格。《商业杂志》，第621-651页。Broadie，M.和Kaya，¨O.（2006年）。随机波动率和其他跳跃扩散过程的精确模拟。运筹学，54:217–231。Carr，P.和Madan，D.（1999年）。使用快速傅立叶变换进行期权估值。《计算金融杂志》，2:61–73。Choe，G.H.和Lee，K.（2014）。高力矩变化及其应用。

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可人4

2022-6-25 08:11:11

《未来市场杂志》，34:1040–1061。Christo Offersen，P.、Heston，S.和Jacobs，K.（2006年）。具有条件偏度的期权估值。《计量经济学杂志》，131:253–284。Christo Offersen，P.、Jacobs，K.和Mimouni，K.（2010）。标普500指数的波动动力学：来自已实现波动率、每日收益率和期权价格的证据。《金融研究回顾》，23:3141–3189。Cont，R.（2001年）。资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题。定量金融，1:223–236。Cont，R.、Tankov，P.和Voltchkova，E.（2007年）。跳跃模型中的期权套期保值。《随机分析与应用》，第197-217页。斯普林格。Cox，J.C.、Ingersoll Jr，J.E.和Ross，S.A.（1985）。利率期限结构理论。《计量经济学》，53:385–407。Cox，J.C.和Ross，S.A.（1976年）。备选随机过程的期权估价。《金融经济学杂志》，3:145–166。Fama，E.F.（1965年）。股票市场价格的行为。《商业杂志》，38:34–105。F¨ollmer，H.和Sondermann，D.（1986年）。非冗余或有权益对冲。《数学经济学贡献：纪念杰拉德·德布鲁》，第205-224页。北荷兰。French，K.R.、Schwert，G.W.和Stambaugh，R.F.（1987）。预期股票回报和波动性。《金融经济学杂志》，19:3-29。Harvey，C.R.和Siddique，A.（2000年）。资产定价测试中的条件偏斜。《金融杂志》，55:1263–1295。Heston，S.L.（1993年）。随机波动率期权的闭式解及其在债券和货币期权中的应用。《金融研究回顾》，6:327–343。Kemna，A.G.和Vorst，A.（1990年）。基于平均资产价值的期权定价方法。《银行与金融杂志》，14:113–129。Kraus，A.和Litzenberger，R.H.（1976年）。偏态偏好与风险资产估值。《金融杂志》，31:1085–1100。Lee，K。

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