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第十二讲 二重积分
【考试要求】
1. 了解二重积分的概念与基本性质.
2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、 极坐标） .
考点： 二重积分的几何意义及性质
1. 二重积分的几何意义
      , 0, , ,
D
f x y f x y d z f x y D   

若 则 表示以曲面 为顶, 以区域 为底,
侧面是柱面的曲顶柱体的体积.
2. 二重积分的性质
      
     
      
   

1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
, , , ,
, , , , ,
, , , , , ,
, ,
5 , , ,
D
D
D D D
D D D
D D
D D
D
d A
k f x y k g x y d k f x y d k g x y d
f x y d f x y d f x y d D D D D D
D f x y g x y f x y d g x y d
f x y d f x y d
D m f x y M m A f

  
  



   

   


   

  
  


（ ） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 在 上 若 则 ；
特殊地 ；
（ ） 在 上 若 则  
      
,
6 , , , , , , .
D
D
D
D
x y d M A
f x y D D f x y d f A

   

  


；
（ ） 设 在 上连续 则存在一点 使
   
      
2
2 2 2 2 2 2
1 2 3
2 2
3 2 1 1 2 3 2 1 3 3 1 2
1 cos , cos , cos ,
: 1, ____.
D D D
I x y d I x y d I x y d
D x y
A I I I B I I I C I I I D I I I
         


      
  
例 设
其中 则