使用ARCH进行研究是并没有假设时间序列是平稳的,而我们正是要利用ARCH来对时间序列的方差进行建模

at=σtεt; σt^2=α0+α1(at-1)^2+....+αm(at-m)^2

其中at为时间序列t期的实现值(可以是收益率), εt是iid 且E(εt)=0, E(εt^2)=1

比如做回归y=a*x+u;u为残差,并且u存在异方差,那么此时的y是非平稳的,就是说用ols对方程做回归时,也并不要求数据的平稳性是么?

平稳性一般都是在进行时间序列自回归时需要考虑的, 通常意义上的非平稳有Trend-stationary 和 Unit Root Processes在进行分析前我们需要将非平稳序列转换为平稳序列, 如Subtract Trend和difference the series. 事实上你所谓的"金融收益率时间序列的方差不是一固定常数"这是针对条件方差,对于其无条件方差仍是一个与时间无关的常熟,因此应该说还是弱平稳的,你可以查阅以下有关平稳性的定义.

至于"比如做回归y=a*x+u;u为残差,并且u存在异方差,那么此时的y是非平稳的,就是说用ols对方程做回归时,也并不要求数据的平稳性是么?" 这里所谓存在异方差还是条件异方差(E(u^2|x)不是个常熟)和平稳性关系不大, 就算存在条件异方差我们也可以用OLS进行回归, 得到的系数仍具有consistency,只是会损失efficiency, 如果要解决这个问题我们需要引入GLS.

谢谢啊,我发了问题之后,也意识到平稳性是和时间序列有关的.就是说ARCH模型首先要求时间序列无条件方差是常数,才可以应用是吧.

还有就是,比如收益率的条件方差,无条件方差和其回归方程中残差的条件方差,无条件方差有什么关系呢?

Supposing a weakly stationary time series follow AR(2) process:
yt=α0+α1yt-1+α2yt-1+εt,

then:

E(yt|It-1)=α0+α1yt-1+α2yt-1
E(yt|It-1)^2=(α0+α1yt-1+α2yt-1)^2
E(yt^2|It-1)=E((α0+α1yt-1+α2yt-1+εt)^2|It-1)=(α0+α1yt-1+α2yt-1)^2+E(εt^2|It-1)
=>Var(yt|It-1)=E(yt^2|It-1)-E(yt|It-1)^2=E(εt^2|It-1)-0=E(εt^2|It-1)-E(εt|It-1)^2=Var(εt|It-1)

E(yt)=α0+α1E(yt)+α2E(yt) =>E(yt)=α0/(1-α1-α2)
Var(yt)=Var(α0+α1yt-1+α2yt-1+εt)=α1^2Var(yt)+α2^2Var(yt)+α1α2Cov(yt-1,yt-2)+Var(εt)
=α1^2Var(yt)+α2^2Var(yt)+α1α2ρ1Var(yt)+Var(εt)
=>Var(yt)=Var(εt)/(1-α1^2-α2^2-α1α2ρ1)