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wilmot书中期权用隐含波动率对冲
沧海一线123
6259 13
2017-01-10
最近看wilmot数量金融中的delta对冲，再证明用隐含波动率对冲每一步的值是determinstic时，表达式中分别用了伊藤公式和feyman-kac定理，其中伊藤公式时的波动率是用的股票波动率，而fyman-kac定理中用的隐含波动率，从而推导出hedging error是而与两个方差的差有关的determinstic的值。直观理解确实伊藤公式中应该用股票波动率，因为伊藤公式使用的时候是从股票的几何布朗运动开始的。但是伊藤公式和feyman-kac定理理论上应该是一致的，感觉两个公式中都应该是用隐含波动率呀，否则二者得到的微分方程就会有差异的呢？不知道各位怎么理解这个问题的
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Chemist_MZ
2017-1-10 21:50:56
这个很正常，他就是在推股票的波动率和隐含波动率不一样的情况下，你的hedging的利润，其实就是一系列的variance swap。也就是看你实际最后realized的和期权预期的差异。
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沧海一线123
2017-1-11 08:34:58
他这个结果确实是方差互换的形式，但是我感觉推导过程中伊藤公式那块实际上也应该是隐含波动率，要不然直接从伊藤公式得到偏微分方程和feymankac得到的方程竟然不一致，而期权价值又都是隐含波动率计算的期权价值。
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沧海一线123
2017-1-11 08:38:47
Chemist_MZ 发表于 2017-1-10 21:50
这个很正常，他就是在推股票的波动率和隐含波动率不一样的情况下，你的hedging的利润，其实就是一系列的var ...
并且从伊藤公式得到的方程中的希腊字母都是用隐含波动率计算的，只有二阶导数的系数只是realized volatility
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Chemist_MZ
2017-1-11 09:32:13
沧海一线123 发表于 2017-1-11 08:34
他这个结果确实是方差互换的形式，但是我感觉推导过程中伊藤公式那块实际上也应该是隐含波动率，要不然直接 ...
Ito lemma里面的二阶项是(dS)^2, 简化之后肯定是股票的波动率。但是gamma本身是用隐含波动率算出来的。即: gamma(sigma_i)*S^2*sigma_S^2*dt。所以用动态对冲是冲不出BS方程的，BS方程成立的条件就是股票和期权的波动率一样，heding error为0. 现在因为market交易的波动率和股票的波动率不一样，本质上就是一个标的存在两个波动率，这样就会有套利机会。如果两个波动率一样，根据BS模型的推导应该hedging error在整个路径上都是零。

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沧海一线123
2017-1-11 10:48:36
Chemist_MZ 发表于 2017-1-11 09:32
Ito lemma里面的二阶项是(dS)^2, 简化之后肯定是股票的波动率。但是gamma本身是用隐含波动率算出来的。即 ...
正如我最开始所说那样，用ito lemma来正向进行推导，二阶项的系数肯定是realized volatility，因为其是从股票的波动方程开始的。你指的“动态对冲是冲不出BS方程”是指theta(i)+r*delta(i)*S+gamma(i)*S*S*0.5*sigma(R)*sigma(R)是不等于rV(i)的吗？也就是说由对期权真实价值用ito公式后得到的漂移项不等于r*V(i)吗？式子中必须要全部用realized volatility或者implied volatility才能满足这个微分方程形式？
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