我还是要再一次重申，物理和经济学，乃至所有的科学，在论证方法上是完全一致的。

又有谁能说物理的表述比科学论证更重要？同样的道理，现代经济学科学论述比文字表述要重要的多！

我不希望经济学学术论文都像浅显的初中物理教科书一样脍炙人口！我也不希望学经济学专业的人，只停留在经济学扫盲的阶段。一切注重表述而非论证的文章，都只是为了普及的目的，而非学术！

要看数学，要用数学，这是对待科学的最基本的态度！

我还是那句话，不用数学，你怎么证明你说的是客观正确的？是对的？最多只不过是：看上去挺美！许多人鄙视用数学方法处理经济学问题，觉得多此一举，那才是最不正确、最不科学的态度！文学是最容易舞文弄墨、颠倒黑白的，而用数学，一就是一，二就是二！

另外，如果可能的话，我很想用数学论证一下自己这篇文章~~~笑~~~

[此贴子已经被作者于2005-12-3 11:09:12编辑过]

既然你已经这么说了，那就论证一下呗。让小生看看你的数学万能到了什么程度？

典型的数学万能论者

我也需要重申一下我的观点，数学对经济学有用，但没像你说的那么夸张！经济学也不能离开数学，但经济学不是数学！！！

我只是开了一个小小的玩笑，没想到成为你攻击的对象……唉……阿基米德还说过“给我一个支点，我就能撬动地球”，唉……

我可没有说数学是万能的！不要歪曲哦！数学是一种工具学科，是迄今为止最为客观有效的方法。我只是一再重申，经济学理论必然要使用数学论证！这一点毋庸置疑吧？

我主张实用主义，该用什么就用什么，数学在科学论证方面的地位是没有问题的，那我们就必须承认数学的重要！

物理也不是数学，但是物理学和数学的关系，和经济学和数学的关系，是完全一样的！这就是我要说明的！

bajjio朋友发了田教授访谈实录，其中有一段话，我很赞同，说的是目前国内的一种学术风气，有好些个经济学老师、教授本身不懂数学，为了自己的学术权威地位，于是就想方设法诋毁数学在经济学的应用，觉得都是没必要的，他们还教导自己的学生去这么想，误人子弟啊！（大家也知道这些人大致是谁……）

[此贴子已经被作者于2005-12-3 12:54:22编辑过]

没必要生气，你认为数学好就按照你的理想去做，这是你能够期望得到的最低收益。

以后怎么发展是自然的过程。

刚从自然科学转过来的人都非常喜欢数学式的表达。

接受文科教育的人喜欢八股、散文之类的论证，这是中国古代传统的表达。

当然后者对前者是有压制的，力量对比会改变一切。

怎么老见到文章说

农民就是经济学家?

学经济学的数学一定要好

特别是读到研究生,博士的时候

大量的树理论证都来了

____我老师说的

当解决了离散时间分析的波动率的问题之后，

经济学必然和金融学一样转入动态分析，

数学是必须要学好的。

好像微观版主早就禁止谈论“数学在经济学的意义”了。

好像辩证法不得不出场了：工具是思想的工具，思想是工具的思想。

好像没有哪个“人”能不借助某种语言来实现某种思想。思想借工具表达，必然受工具的制约，于是可能产生新的表达思想的工具，而新的工具又可能表达更新的思想……。

好像辩证法这样启示我们更有生命力：不要以侈谈工具来掩盖思想的不足，也不要以侈谈思想来掩盖工具的缺陷。

（讨厌辩证法的人们完全可以当上面是废语）

经济学真的需要数学，因为数学是经济学的有效工具。但是，数学作为经济学研究的有效工具，也有其弱点和缺陷，楼主举了物理学的例子，其实，物理学的研究对象和经济学的研究对象是有很大区别的，物理学的研究对象：基本粒子、波、力都是如果不以人的意志为转移的客观存在。而经济学的基本假设之一，就涉及到人的思想、意志和偏好。经济学规律包含了人的行为，人的行为取决于人的意志、思想等错综复杂的因素，是一些数学不可处理的因素，既无法用方程模型精确计算，又不可能精确计量化。如果凡是论文，就必须用数学，这些重要的因素就会被排除在经济学之外。所以，既要我们要反对片面数学化，反对把有没有采用数学模型作为论文能否发表的标志，提倡更为多元的研究方法；也要重视应用数学的重要作用，既楼上的辩证法。

[此贴子已经被作者于2005-12-3 18:19:41编辑过]

确实，经济学研究人的思想、意志和偏好，而这些东西都是人类的主观行为。但是如果要给经济学下一个更精确的定义的话，那么经济学研究的是人类主观行为中的客观成分！

偶然中包含着必然，相对中也包含着绝对，同样的，主观中必然包含着客观。

打个比方，一个人的偏好或许并不能满足一些基本的经济学前提假设，人和人都不一样嘛。但是经济学研究的大部分并不是个体，而是群体行为。经济学的假设和前提的合理性，是参照大部分人的行为习惯以及偏好关系而定的。化个体为整体，研究整体规律，并且研究规律误差的方法，不就是计量经济么？

而数理经济学，其实研究的也不是个人行为，他不会给任何个体行为打包票！因为根本没办法那样做！这是因为人类个体主观的行为无法用数学解释一样。但是人类群体的行为，这就可以用数学去近似 了，因为经济学家相信，大部分人的意志是比较客观实际的。

我们学微观经济学，一开始总会遇到一系列的前提和假设，并且建立了一些反映个体行为的数学模型，有很多人会问，既然个体行为是主观的，这样做还有什么意义？但是请大家耐心的学到后面，会出现一个叫做representive agent的概念，这是aggregate demand里出现的重要概念。到这里为止，西方经济学的主旨出现了，他们为了分析人类主观行为的客观成分，也可以说是偶然行为中的必然行为，把群体对象抽象成一个个体对象来进行，当然必须符合一些条件，具体自己看书把，这是非常科学的！

至于经纪人的思想，你就这么想把，物理学老喜欢用质点，这是同一个道理！

嗯，打个也许不太恰当的比方，这种对人类主观思想的客观成分挖掘，就好像是侦探小说的推理一个意思，当然一个是用推理去破案，一个是用推理去解析人类经济行为。既然有了必然的成分，那么就可以建立数学模型，并且加以推导的，当然一定要符合前提才适用。

也许还是有许多人不是很理解我的想法，这不重要，我只是希望自己能起到一些作用，使得一些有志于此的人能够得到一些启示和帮助。至于对我言语中的深意，也只有一小部分人能够体会。

当留洋的经济学生们彻夜苦读数学分析时候，当他们狂补拓扑的时候，当他们死看微分方程的时候，当他们晕晕乎乎看线性代数的时候……他们会同意我的观点，并为国内学风之滥，以及导师教授之不负责的误导而深恶痛疾之……

而我……亦为之深恶痛疾……

也许我发的内容违反一些版规，我为此道歉，我真的不知道……我只想说点自己想说的……

我也知道，其实大多数人都同意数学是需要的。但是我问题的深层意义在于，究竟需要多少数学？这就是另一个问题了！

对经济学实际情况的理解不够，造成了对数学要求的普遍偏低现象，不正是现在大多数人的误区吗？我想说明的正是这个！

我对好些个论坛中别人提的问题的数学解答，变成了我画蛇添足……正常的数学应用，成了多此一举……这不正代表了有些人对数学重要性的口是心非吗？

总有一些人认为，数学是要的，但也别太夸张了吧？掌握点基础，能写点东西就行了！写什么？写小说吗？

要求不应该是这样低的，这也不是搞学问应该有的态度！

经济学中，数学不但重要，而且要求非常之高，每一个经济学定律，都不是随便说说的，必定是有其数学表达及证明的。这就是现实！这才是我的意思！

至于这篇文章的题目，这不重要，仅仅一个题目而已，何来陷阱啊？我也可以改成：“经济学和数学”，“经济学需要数学”，“重要的工具：数学”，“经济学和数学的缘分”，“经济学家的数学观”，“经济学和数学，你是风儿我是沙”……等等等等……这无所谓的吧？

[此贴子已经被作者于2005-12-4 1:05:43编辑过]

大家看完我的文章后，发表了这啊那啊的评论，这我很高兴，能够听听不同的声音，这又有什么不好的呢？

但是我总有一种隐隐的感觉，就是有一些人，在看我文章的时候，总带着偏见，这种先入为主的偏见使得他们不能容忍我的也许有点冲动的言论。这种偏见使得他们不会去认真考虑我的事实论据，我自认我举的那些例子已经是非常客观现实了。经济学和物理的比较，经济学研究人类客观经济行为的实质，以及留洋学生的苦恼。这一切一切都是实实在在存在的事实。

不由得想起了哥白尼，布鲁诺，伽利略……

既然是对的，干嘛没有勇气承认呢？还有什么好顾虑呢？面子？抑或是信仰？我不得而知……

其实对于我来说，宣扬这些丝毫没有好处，相反得，只有坏处，因为大家数学都好了，对同行的我来说，竞争就更激烈了，更为明智的做法是，多装傻，少出头，少说实话。但是我不想这么做，因为我年轻……唉……亏我还是一学经济的，这样不理性……我终于知道为什么会有五四运动了……学生嘛，总是热血的……

我只是默默地祈求，给点公平吧！

[此贴子已经被作者于2005-12-4 0:58:37编辑过]

楼主，你的观点我同意，而且在研究方法上天体物理学和经济学可以说是极其相似的，因为他们也没能力做实验，跟我们一样，哈哈。

不过给楼主的一点建议就是要自信一点，学术本身就是充斥不同意见的地方。而且，楼主这个帖子遇到的不同意见，不管怎么说都是温和 和礼貌的。

经济学是一定要以数学为基础的，更重要的是经济学还应该依靠：

一，社会心理学

二，物理学

三，环境科学与生态学

等等,,,,,,

因为经济现象太复杂了，很多理论不是能用几个前提条件就能界定下来的。经济学同样离不开比如什么波动理论，量子理论，蝴蝶效应，生态循环等等。还有不能拉下辨证思维，全面联系发展和矛盾的观点看问题。

数学是最起码的基础了。

但是思想却是前提，如果研究经济学的学者的前提思维有问题或片面，可能论证了好多年论证出一个根本没什么价值的错误理论，那是致命的。

可以看出，经济学远非那么简单，而是很恐怖的一门学科，得付出一辈子的努力。如今许多拿诺贝尔的经济学家在拿奖前根本没多少人了解他们，他们是付出了几十年的努力才成功的，浮躁的心态能学搞好经济学？

我的话能得到这么多的引用还是头一次，谢了啊！卡卡西兄

可能用画蛇添足确实有些上你的心，对此我深感抱歉。只是你的一句话“国内正存在着对经济学认识的缺乏，使得大量的文科生涌入经济学世界，这就养成了国内数学理论贫瘠”，小生也是文科生，感到你如此用语有些过分，鸣鸣不平罢了。

是不是画蛇添足或许应该以历史为证：https://bbs.pinggu.org/dispbbs.asp?boardid=47&star=1&replyid=342730&id=52367&skin=0&page=1

明明是用初中方法做出的题你非得求导，这倒不是说你的答案错误，只是感觉你在用数学的时候没想到这个过程对初学者了解经济学意义的重要性，这个图形和解题方法充分的反映了希柯斯方程和斯勒斯基方程的差别，体现了两位学者对收入效用和替代效用不同的看法，或者说后者对前者的改进。用你的方法倒是很直接，但我看更像应试教育的产物。国内很多学生说学不懂高鸿业的书，因为看起来更像是数学书，了解不到经济学的精髓，看了曼昆的书、平狄克的书才发现经济学竟是如此的五彩缤纷，有如此强大的解释能力。还有学习经济学未必非要当“经济学家和经济分析师”。如果像你说的这样，这个论坛根本没有注册十万人的必要。

小生就是个初学者，看不懂你那些数学，但从未否认过数学对经济学的重要意义，您开玩笑的方式实在让小生受宠若惊。

其实说你是“数学万能论者”确实有些情绪在里面，在此深表歉意。您在探讨吉芬品的时候让人知道你不是个只会套用公式的数学狂人。

对于我的观点，希望您在看过21楼的帖子后，再开“玩笑”。好么？

转贴，仅供赏评。

On teaching mathematics [by V. I. Arnold] 数学是物理的一部分。物理学是一门实验科学，它是自然科学的一部分。而数学是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分。例如 Jacobi 恒等式（保证三角形三条高交于一点）就是一个实验事实，正如同地球是圆的（即同胚于球体）这样的事实一样。但是发现前者却要比发现后者需要较少的代价。

在20世纪中叶，人们试图严格地区分物理与数学。其造成地后果是灾难性的。整整一代的数学家在对他们所从事的科学的另一半及其无知的情况下成长，当然，对其他的科学就更无知了。这些人又开始把他们的丑陋的学院式的伪数学教给他们的学生，接着这些丑陋的伪数学又被交给中小学校里的孩子们（他们完全忘记了Hardy的警告：丑陋的数学在阳光下不可能总有藏身之处）。

既然那些从物理学中人为挖出来的学院式的数学既无益于教学，又对其他的科学毫无用处，结果可以想见，全世界的人都讨厌数学家（甚至包括那些被他们教出来的可怜的学校里的孩子们以及那些运用这些丑陋数学的）。这些先天不足的数学家被他们所患的低能症候群折腾的筋疲力尽，他们无能对物理学有个起码的了解。令人们记忆犹新的由他们建造的一个丑陋建筑物就是“奇数的严格公理化理论”。

很显然，完全可能创造这样一种理论，使得幼稚的小学生们敬畏它的完美及其内部构造的和谐（例如，这种理论定义了奇数个项的和以及任意个因子的乘积）。从这种偏执狭隘的观点来看，偶数或者被认为是一类“异端”，或者随着时间流逝，被用来作为该理论中几个“理想”对象的补充（为了遵从物理与真实世界的需要）。很不幸的是，这种理论只是数学中一个丑陋而变态的构造，但却统治了我们的数学教育数十年。它首先源自于法国，这股歪风很快传播到对数学基础的教学里，先是毒害大学生，接着中小学生也难免此灾（而灾区最先是法国，接着是其他国家，包括俄罗斯）。如果你问一个法国的小学生：“2＋3等于几？”，他（她）会这样回答：“等于3＋2，因为加法运算是可交换的”。他（她）根本不知道这个和等于几，甚至根本不能理解你在问他（她）什么！还有的法国小学生会这样定义数学（至少我认为很有可能）：“存在一个正方形，但却还没有被证明”。

据我在法国教学的经验，大学里的学生对数学的认识与这些小学生也差不多（甚至包括那些在'高等师范学校'（ENS）里学习数学的学生－－我为这些显然很聪明但却被毒害颇深的孩子们感到极度的惋惜）。

例如，这些学生从未见过一个抛物面，而且一个这样的问题：描述由方程xy=z^2所给出的曲面的形状，就能使那些在ENS中研究的数学家们发呆半天；而如下问题：画出平面上由参数方程（例如x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2）给出的曲线，对学生来说是不可能完成的（甚至对大多数法国的数学教授也一样）。从微积分的入门教科书直到Goursat写的课本，解这些问题的能力都被认为是每个数学家应具备的基本技能。

那些喜欢挑战大脑的所谓“抽象数学”的狂热者们，把所有在数学中能与物理和现实经常发生联系的几何统统排除在教学之外。由Goursat, Hermite, Picard等人写的微积分教程被认为是有害的，最近差点被巴黎第6和第7大学的图书馆当垃圾丢掉，只是在我的干预下才得以保存。

ENS的听完所有微分几何与代数几何课程的学生（分别被不同的数学家教的），却既不熟悉由椭圆曲线 y^2 = x^3 + ax + b 决定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓扑分类（更别提第一类椭圆积分和椭圆曲线的群性质了，即 Euler-Abel 加法定理）。他们仅仅学到了Hodge 构造以及 Jacobi 簇！这样的现象竟然会在法国出现！这个国家可是为整个世界贡献了诸如 Lagrange ，Laplace, Cauchy 以及 Poincaré, Leray 还有 Thom 这些顶级的伟大人物啊！对我而言，一个合理的解释来自 I.G. Petrovskii, 他在1966年曾教导过我: 真正的数学家决不会拉帮结派，只有弱者为了生存才会加入帮派。他们可以联结很多的方面（可能会是超级的抽象，反犹太主义或者“应用的和工业上的”问题），但其本质总是为了解决社会生存问题

我在此向大家顺便提一下 L. Pasteur 的忠告：从来没有也决不会有任何所谓的“应用科学”，而仅仅有的是科学的应用。

长久以来我一直对 Petrovskii 的话心存疑虑，但是现今我越来越肯定他说的一点没错。那些超级抽象活动的相当大的部分正在堕落到以工业化的模式无耻的掠夺那些发现者的成果，然后再加以系统地组织设计使自己成为万能的推广者。就彷佛美丽坚所在的新大陆不以哥伦布命名一样，数学结果也几乎从未以它们真正的发现者来命名。

为避免被认为我在胡说八道，我不得不在此声明我自己的一些成果由于莫名其妙的原因就被以上述方式无偿征用，其实这样的事情经常在我的老师（Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin）和学生身上发生。

M. Berry 教授曾经提出过如下两个原理： Arnold 原理：如果某个理念中出现了某个人名，则这个人名必非发现此理念者的名字。 Berry 原理：Arnold 原理适用于自身。

不过，我们还是说回法国的数学教育上来。当我还是莫斯科大学数力系的一年级新生时，集合论的拓扑学家 L.A. Tumarkin 教我们微积分，他在课堂上很谨慎地一遍又一遍地讲述古老而经典的Goursat 版的法语微积分教程。他告诉我们有理函数沿着一条代数曲线的积分可以求出来如果该代数曲线对应的黎曼面时一个球面。而一般来说，如果该曲面的亏格更高这样的积分将不可求，不过对球面而言，只要在一个给定度数的曲线上有充分 多的double points 就足够了（即要求该曲线是unicursal ：即可以将其实点在射影平面上一笔画出来）。

这些事实给我们造成多么深刻的印象啊（即使没有给出证明），它们给了我们非常优美而正确的现代数学的思想，比那些长篇累牍的Bourbaki学派的论著不知道好到哪里去了。说真的，我们在这里看到了那些表面上完全不同的事物之间存在着令人惊奇的联系：一方面，对于相应的黎曼面上的积分与拓扑存在着显式的表达式，而另一方面，在 double points 的个数与相应的黎曼面的亏格之间也有重要的联系。

这样的例子并不鲜见，作为数学中最迷人的性质之一，Jacobi曾指出：用同一个函数就既可以理解能表示为4个数平方和的整数的性质，又可以描述一个单摆的运动。这些不同种类的数学对象之间联系的发现，就好比在物理学中电与磁之间联系的发现，也类同于地质学上对美洲大陆的东海岸与非洲大陆的西海岸之间相似性的发现。这些发现对于教学所具有的令人激动的非凡意义是无法估量的。正是它们指引着我们去研究和发现宇宙中和谐而精彩的现象。

然而，数学教育的非几何化以及与物理学的分离却割断了这种联系。例如，不仅仅学习数学的学生而且绝大部分的代数几何学家都对以下提及的Jacobi 事实一无所知：一个第一类型的椭圆积分表示了相应的哈密顿系统中沿某个椭圆相曲线的运动所走的时间。

我们知道一个 hypocycloid 就如同多项式环中的理想一样是无穷无尽的。但是如果要把理想这个概念教给一个从未见过任何 hypocycloid 的学生，就好比把分数的加法教给一个从来没有把蛋糕或苹果等分切割过（至少在脑子里切过）的学生。毫无疑问孩子们将会倾向于同时分子加分子分母加分母。

从我的法国朋友那里我听说这种超级抽象的一般化正是他们国家的传统特色。如果说这可能是一个世袭的缺陷，我倒不会不赞成，不过我还是愿意强调那个从Poincaré 那儿借来的“蛋糕与苹果”的事实。

构造数学理论的方式与其它的自然科学并没有什么不同。首先，我们要考虑一些对象并对一些特殊的事例进行观察。接着我们试图要找到一些我们所观察到的结果在应用上的限制，即寻找那些防止我们不正确地把我们所观察的结果扩展到更广泛领域的反例。作为一个结果我们尽可能地明确提出那由经验得来的发现（如费马猜想和庞加莱猜想）。这之后将是检验我们的结论到底有多可靠的困难的阶段。

就这一点来说，数学界已经发展出了一套特别的技术。这种技术，当被运用于现实世界时，有时候很有用，但有时候也会导致自欺欺人。这样的技术被称为“建模”。当构造一个模型时，要进行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精确性了解的事实，往往被认为是“绝对”正确的并被当作“公理”来接受。这种“绝对性”的意义恰恰是，在把所有我们可以借助这些事实得出的结论称为定理的过程中，我们允许自己依据形式逻辑的 规则来运用这些“事实”。 显然在任何现实的日常生活中，我们的活动要完全依赖于这样的化减是不可能的。原因至少在于所研究的现象的参数决不可能被绝对准确的知晓，并且参数的微小变化（例如一个过程初始条件的微小改变）就会完全地改变结果。由于这个原因我们可以说任何长期的天气预报都是不可能的，无论我们把计算机造的有多高级或是记录初始条件地仪器有多灵敏，这永远也办不到。

与此完全一样的是，公理（那些我们不能完全确定的）的一个小小的改变虽是容许的，一般来说，由那些被接受的公理推出的定理却将导出完全不同的结论。推导的链（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低。复杂的模型几乎毫无用处（除了对那些无聊的专写论文的人）。

数学建模的技术对这种麻烦一无所知，并且还不断地吹嘘他们得到的模型，似乎它们真的就与现实世界吻合。事实上，从自然科学的观点看, 这种途径是显然不正确的，但却经常导致很多物理上有用的被称为“有不可思议的有效性的数学”结果（或叫做“Wigner 原理”）。

我在此再提一下盖尔方德先生的一句话：还有另一类现象与以上Wigner所指的物理中的数学具有相仿的不可思议的有效性，即生物学中用到的数学也是同样令人难以置信的有效。

对一个物理学家而言，“数学教育所致的不易察觉的毒害作用”（F.Klein 原话）恰恰体现在由现实世界抽离出的被绝对化了的模型，并且它与现实已不再相符。这儿是一个简单的例子：数学知识告诉我们 Malthus 方程 dx/dt = x 的解是由初始条件唯一决定的（也即相应的位于（t-x）－平面上积分曲线彼此不交）。这个数学模型的结论显得与现实世界毫不相关。而计算机模拟却显示所有这些积分曲线在t的负半轴上有公共点。事实上，具有初始条件 x(0) = 0 和 x(0) = 1的曲线在t=-100 相交，其实在t=-100 时，你压根就不可能在两条曲线之间再插入一个原子。欧式几何对这种空间在微小距离下的性质没有任何的描述。在这种情况下来应用唯一性定理显然已经超出了模型所能容许的精确程度。在对模型的实际运用中，这种情形必须要加以注意，否则可能会导致严重的麻烦。

我还想说的是，相同的唯一性定理也可解释为何在船只停泊码头前的靠岸阶段必须得依靠人工操作：否则的话，如果行进的速度是距离的光滑（线性）函数，则整个靠岸的过程将会耗费无穷长的时间。而另外可行的方法则是与码头相撞（当然船与码头之间要有非理想弹性物体以造成缓冲）。顺便说一下，我们必须非常重视这类问题，例如，登陆月球和火星以及空间站的对接－此时唯一性问题都会让我们头痛。

不幸的是，在现代数学的教科书里，即使是较好的一类课本里，对这种令人崇拜的定理所隐藏的危险的事例或探讨都只字没有。我甚至已经形成了这样的印象，那些学院派的数学家（对物理知识都一窍不通）都对公理化形式的数学与建模的主要差异习以为常，而且他们觉得在自然科学中这是很普遍的，只是需要用后期的实验来控制理论推演。

我想用不着去提什么初始公理的相对特征，人们也都不会忘记在冗长的论述里犯逻辑错误是在所难免的（彷佛宇宙射线或量子振动所引发的计算崩溃）。每一个还在工作的数学家都知道，如果不对自己有所控制（最好是用事例），那么在10页论述之后所有公式中的记号有半数都会出问题。

与这样的谬误相抗的技术也同样存在于任何实验科学里，而且应该教给每一个大学低年级的学生。试图创造所谓的纯粹推导式的公理化数学的做法，使得我们不再运用物理学中的研究方法（观察-建模－模型的研究－得出结论－用更多的观察检验模型）取而代之的是这样的方法：定义－定理－证明。人们根本不可能理解一个毫无动机的定义，但我们却无法阻止这些有罪的“代数－公理学家”。例如，他们总是想用长乘规则的手段来定义自然数的乘积。但用这种方法乘法的交换性却难以证明，不过从一堆的公理中仍有可能推导出这样的定理。而且完全可能逼着那些可怜的学生们来学习这个定理以及它的证明（其目的不外乎是提升这门学科以及教授它的人的社会地位）。显然，这种定义和这样的证明对教学和实际工作有百害而无一益。

理解乘法交换性的唯一可能的方式，打个比方就是分别按行序和列序来数一个方阵里士兵的人数，或者说用两种方式来计算长方形的面积。任何试图只做不与物理和现实世界打交道的数学都属于宗派主义和孤立主义，这必将损毁在所有敏感的人们眼中把数学创造视为一项有用的人类活动的美好印象。

我将再揭示几个这样的秘密（可怜的学生们对此很有兴趣）。

一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密（在纯粹的代数式的教育中，这个秘密被仔细地隐藏了起来），那么行列式的整个理论都将成为多线性形式理论的一部分。如果用别的方式来定义行列式，则任何敏感的人都将会永远恨死了诸如行列式，Jacobi式，以及隐函数定理这些鬼东西。

一个群又是什么东东呢？代数学家们会这样来教学：这是一个假设的集合，具有两种运算，它们满足一组容易让人忘记的公理。这个定义很容易激起一个自然的抗议：任何一个敏感的人为何会需要这一对运算？“哦，这种数学去死吧”－－这就是学生的反应（他很可能将来就成为了科学强人）。

如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的1－1映射），则我们绝对将得到不同的局面，这也才更像历史的发展。所有变换的集合被称为一个群，其中任何两个变换的复合仍在此集合内并且每个变换的逆变换也如此。

这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然的性质。公理化的倡导者所称的“抽象群”不过是在允许相差同构（保持运算的1－1映射）意义下的不同集合的变换群。正如 Cayley证明的，在这个世界上根本就没有“更抽象的”群。那么为什么那些代数学家仍要用抽象的定义来折磨这些饱受痛苦的学生们呢？

顺便提一句，在上世纪60年代我曾给莫斯科的中小学生们讲授群论。我回避了任何的公理，尽可能的让内容贴近物理，在半年内我就教给了他们关于一般的五次方程不可解性的Abel 定理（以同样的方式，我还教给了小学生们复数，黎曼曲面，基本群以及代数函数的monodromy 群）。这门课程的内容后来由我的一个听众 V. Alekseev 组织出版了，名为The Abel theorem in problems.

曲面的分类定理应该被包含在高中数学的课程里（可以不用证明），但不知为什么就连大学数学的课程里也找不到（顺便一下，在法国近几十年来说有的几何课程都被禁止）。

在各个层次上，数学教育由学院的特征转回到表述自然科学的重要性的特征，对法国而言是一个及其热点的问题。使我感到很震惊的是那些最好的也是最重要的条理清晰的数学书，在这儿几乎都不为学生们所知（而依我看它们还没有被译成法语）。这些书中有Rademacher 和 Tö写的 《Numbers and figures》；Hilbert 和 Cohn-Vossen写的《plitz, Geometry and the imagination》；Courant 和Robbins 写的《What is mathematics?》；Polya 写的《How to solve it》 和 《Mathematics and plausible reasoning 》； F. Klein 写的《Development of mathematics in the 19th century 》。

我清晰地记得在学校时，Hermite 写的微积分教程（有俄语译本）给我留下了多么强烈的印象。我记得在其最开始的一篇讲义中就出现了黎曼曲面（当然所有分析的内容都是针对复变量的，也本该如此）。而积分渐进的内容是通过黎曼曲面上道路形变的方法来研究（如今，我们称此方法为Picard-Lefschetz 理论;顺便提一下，Picard是Hermite的女婿－－数学能力往往是由女婿来传承：Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U. Frisch 这个王朝就是巴黎科学院中另一个这样的范例）。

由Hermite 一百多年前所写的所谓的“过时的”教程（也许早就被法国大学的学生图书馆当垃圾扔掉了）实际上要比那些如今折磨学生们的最令人厌烦的微积分课本现代化的多。

如果数学家们再不睡醒，那么那些对现代的（最正面意义上的）数学理论仍有需要，同时又对那些毫无用处的公理化特征具有免疫力（这是任何敏锐的人所具有的特征）的消费者们会毫不犹豫的将这些学校里的受教育不足的学究们扫地出门。

一个数学教师，如果至今还没有掌握至少几卷Landau 和 Lifshitz 著的物理学教程，他（她）必将成为一个数学界的希罕的残存者，就好似如今一个仍不知道开集与闭集差别的人。

对于我不当的言语，深表抱歉……

我写这篇文章，之所以敢犯众（众文科生）怒，实在是为了大家能够重视数学！

关于一个简单的初中数学问题，我还要求导，这并不是为了表示我数学的功底，实则是为了让一些问题能够有一般解。诚然，二次函数，用初中数学的根与系数关系是能够求得极值的，但是，如果不是二次函数呢？如果是根号套三角函数的复杂关系呢？我极力避免使用初中数学，目的正是为了能够提供给大家一个一般化的解题思路。微积分是数学中的利器，他对函数与斜率的关系，函数与面积的关系，这一切都是解题的最科学方法。一个求导，是最直接，最方便的求极值方法，其代价不过是记住几个求导公式，并且明白一阶连续可导函数当斜率为零时候，才有可能出现极值。我觉得这些是应该掌握的。

我写了这些东西，没有考虑许多人的心情，我深表遗憾……但是我这所以用这么饱含自我感情的语调，完全是为了让大家敲响警钟！看不懂数学，为什么不去努力学，然后看懂它呢？

我们知道，对专业的培养，应该是方方面面的基础都要扎实的。什么是专业？撇开你所研究的课题，你必须要懂得同行在干什么！好比是学物理的，我从没听说过一个研究光电子的不懂力学，一个研究热力能源的不懂核物理……你是这方面的学者，你起码得懂这个学科各个方面的情况吧？这就是为什么医生刚进医学院，先必须把内外科都学个遍，再开始分类；学化学的必须把有机无机都学了，再开始搞专项；同样的，你一个学经济的，整天只想搞思想，经济里的数学模型，以及富含数学的论文都看不懂（你也不用太深入研究它，至少你得知道论文写得是什么，人家定理用的对不对吧？）……

我承认，经济学家们本身数学能力参差不齐，但是就我眼中的一些国外的经济学者，他们看到一篇论文，如果有哪些知识自己没接触过，为了搞懂论文，为了给论文作者一个客观评价，他们可是会努力学习那种没学过的知识的，不论他的数学有多难！

但是看看国内呢？看到数学，先脚软了，其实就是怕呀……某些个学者开始大呼，数学没用，多此一举……他们其实连论文在写什么都不知道……

我谈到了大量文科生涌入经济学，我这里要强调：文科生们才是无辜的受害者！难道不是吗？用经济学术语解释，这是由于教育机构散播的信息不对称造成的。中国教育体制有极大的缺陷啊，某些我所批判的教育者当权，使得经济学不能以他原来的面目出现……这实在让人痛心！经济学属于人文，学等级最低的数学……这不是要让整个世界大笑吗？

反过来谈文科生，文科生又怎么样？我从来不贬低文科生，相反我很喜欢文科，我从小就想当考古的，我最喜爱的学科是历史……但是，当你一个文科生进入了经济学的世界，你就已经不算是一个文科生了！在谈这个问题的时候，我想问大家一个问题，你们到底热不热爱经济学？如果你们回答否，我没什么好说的；如果你们回答是，你们就要做好从文科生到理科生转型的觉悟！你们必须要付出努力去接受理科知识，接受理科的思维，并且像一个真正的理科生那样去把自己奉献给经济学啊~

我由衷地希望，中国的经济学也能拿几个诺贝尔，我希望中国人能脱贫成为强国，有且只有经济学才能够达到这个目标……因为它正是研究这个的！

[此贴子已经被作者于2005-12-4 16:15:10编辑过]

发完上一段文章，我依旧诚惶诚恐……

为言语中表现的一些嚣张表示道歉！这倒不是因为我没有担当，实在是心底里非常尊重大家！所谓爱之愈深，痛之愈切！若为了中国经济学的兴盛，则你们都是我的战友！

我希望大家能够包含我的冲动，但这不重要，重要的是你们要体会我言语中的深意……我更需要的，是理解……

不是我笑话你，凭你那点数学知识，来参加中国的研究生考试都不够。

会求个导数，会求个积分，就以为自己是个人物了，居然来训人了。实在可笑之极。

看来，还是只有牛人说实话才没有人敢作声……我没名气，也不牛……说了实话，算是训人……或者说，我说话之前，必须得亮一亮我的学问功底……请问我治何经典呀？没有经典？难登大雅之堂……我不想用诸葛亮来压人……可就是存在这种知识分子狭隘心理……

敢问大虾，你对我的数学功底了解有多深呀？不过你还别说，就算国内理工科考研那点数学，学经济学硕士还真是不够格！根本不够用！

对不客气的言论，我实在是客气不起来……正所谓礼尚往来……你以为求导和积分是简单的吗？这样的人我见多了，自以为很懂求导和积分，遇到复杂问题就傻了眼了，更有甚者，求导和积分的基本条件都能咿呀个半天……为什么？想当然呗！自认为求导和积分简单！什么时候叫做会求导会积分？等把数学分析里所有证明都自己做一遍，把吉米多维奇全部过一遍再说！

我实在不知道你是何方神圣，我只是说了句实话，就好比皇帝新装里的小孩，我真羡慕小孩子……说了实话，也没人深究……唉……

[此贴子已经被作者于2005-12-4 18:22:35编辑过]

什么狗屁“爱之愈深，痛之愈切！”，我都快笑掉大牙了。 要忧国忧民也轮不到你呀。

数学当然重要，与物理学结合，所以有了电视，电脑，卫星，火箭，核武器。。。。。。。

在经济学中，数学绝对不是主角。

目前有一种倾向，因为思想的贫乏，很多所谓的经济学学术文章经常做一些毫无意义的数学游戏来唬人。有些居然得了诺贝尔奖。实在经济学的悲哀。经济学正在消亡，正在向统计学转化。悲哀，悲哀。

实在是很无语……估计你在国内吧……你能够体会海外学子想一夜之间中国赶紧出牛人的想法吗？民族自尊只有当和外面的人接触时候，才会迫切需要！当我作了一个Presentation，彻底牛B了一下下面的白人学生，他们竟然事后和我套近乎问我是不是日本人……换作是你，什么感触？

另外，你想评论现在的诺贝尔，你得先看懂人家的论文再来评价不迟……不然落得个双耳一闭的骂名，可不关我的事……

哈哈，说白了还是东西风之争。

强烈主张全盘西化。