首先我们介绍一下众所周知的需求定律：在其它条件不变的情况下，需求量与价格反方向变动：价格提高需求量减少，价格降低需求量增加。
用数学符号表示为：P↑Q↓或P↓Q↑，P价格，Q需求量。
其次我们介绍一下价格需求弹性：需求量变化率与价格变化率的比值。
用数学公式表示：u=(ΔQ/Q)/ (ΔP/P)
u价格需求弹性。
需求定律的证明用的是边际效用递减规律，但边际效用递减规律并不是铁律，也需要证明，但很难证明。
为了解决需求定律的证明问题，我们把需求定律改为需求第一定律和需求第二定律。
需求第一定律：如果某商品价格需求弹性为负值，那么该商品的需求量与价格反方向变动:价格提高需求量减少价格降低需求量增加。
需求第二定律：如果某商品的价格需求弹性为正值，那么该商品的需求量与价格同方向变动:价格提高需求量增加，价格下降需求量减少。
需求第一定律与需求第二定律去掉了“其它条件不变”的需求定律成立条件。如果商品价格需求弹性小于0，该商品符合需求第一定律；如果商品价格需求弹性大于0，该商品符合需求第二定律。在不同的市场不同的时间，同种商品可能符合需求第一定律也可能符合需求第二定律。
下面我们证明一下需求第一定律或需求第二定律。
设两种情况的价格分别为P1、P2，且P2大于P1；需求量分别为Q1、Q2。
需求第一定律需要证明的是Q2小于Q1。
设：ΔP=P2-P1，ΔQ=Q2-Q1。
已知：u=(ΔQ/Q)/ (ΔP/P)小于0
由于P、Q均大于0，
可得：ΔQ/ΔP小于0。
因为ΔP=P2-P1大于0，
所以：ΔQ=Q2-Q1小于0
即：Q2小于Q1。
证明完毕。
需求第一定律还有一种可能：
设两种情况的价格分别为P1、P2，且P2小于P1；需求量分别为Q1、Q2。
需求第一定律需要证明的是Q2大于Q1。
证明方法同上。
需求第二定律证明的方法也同上。
将需求定律分解为需求第一定律和需求第二定律后，去掉了“其它条件不变”的前提，实证变得很容易。所谓的吉芬商品就是符合需求第二定律的商品。
需求定律分解为需求第一定律需求第二定律，需求曲线该如何绘制？
原来的需求曲线只符合需求第一定律不符合需求第二定律我们定义一下新需求曲线。
以一定时间（例如天）为单位，在一定市场范围内，在价格、成交量坐标系内，将该时间内成交的平均价格与成交量视为一点，将连续每单位时间的所有平均价格与成交量在价格、成交量坐标系形成的点的连线是新需求曲线。
新需求曲线不是理论的线，是实际成交的记录线，我们认为成交量等于需求量。
新需求曲线中可能有斜向下的部分也可能有斜向上的部分也可能有水平的部分也可能有垂直的部分。
我们关注的是斜向下的部分和斜向上的部分。
斜向下的部分符合需求第一定律，斜向上的部分符合需求第二定律。
如果其它条件基本不变，商品基本上符合需求第一定律；如果其它条件有突变，商品基本上符合需求第二定律。
或者这样说：需求第一定律对应正常；需求第二定律对应异常。发现商品符合需求第二定律时要分析原因：到底是什么使商品异常？
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