股价布朗运动的停时及标准差

                   于德浩

                  2019.5.13

股价涨跌看成是布朗运动，这个约束条件，说松也松，说紧也紧。比方说，我期望值为+0.3%，标准差是1%。限制条件松，指的是，某一天的涨跌幅可以距离期望值很远，+3%或-3%都行，无非就是一个3倍西伽马事例嘛。限制条件紧，是指，在20天这个充足事例数后，股价的最终落脚点必须是+6%的月度期望值附近；而且这20个事例点的标准差得是1%；还有期望值右侧上涨的天数应该与期望值右侧下跌的天数及幅度保持大体对称。

对于起始点“停时”，最强的假设是，任意一点都是停时，20个交易日后，必须要停留在+6%位置，或者至少当前的股价要高于20天前的股价。这个具体应用就是，牛市中，20天前的价格就是一个支撑线。

最弱的假设就是，在已发生的事例中，至少存在一个点是完美停时，其后20天价格刚好落在+6%处。这里的应用就是，当股价某段涨幅不太大时，少于6%，这就没有回调下跌的需求。特别的是，如果当前价格距离20天前的局部底才上涨+6%，那么以后的价格应该都会高于当前价格，而这个价格就是新的股价支撑线。

一般的假设是，如果期望值为正，那么就应该大部分的点作为停时，其后20天价格都应该高于它。这是判断牛市趋势的一个标准差，如果最近10来天，你都能找到再20天前的点，比当前价低6%。我们就认为当前，还处于牛市中。

如果我们假定20个交易日是一个完备事例数，对于每天期望值+0.3%，及标准差1%，股价走势大体分为以下几种。（ 一般来说，对于未来20天的期望值估计是不太准确的，比方说，多方估计为+0.3%，而空方则估计为-0.2%。而对于标准差1%，不论对于一段上涨趋势还是下跌趋势，标准差的历史统计数据基本都是1%左右。 ）

有没有可能出现，每天涨+0.3%，稳步上涨20天？ 这个满足牛市中月涨+6%的期望值，但是这样的标准差是0%，比1%的估计标准差差远了。当然，现实中是有可能出现稳步小幅连涨20天的。可是，如果要回归1%的标准差，就意味着未来的股价波动会更剧烈。

在牛市中，如果前期是稳步小幅上涨，那么后面股价不可能下跌。因为本来累计+6%，很接近期望值，再下跌反而远离期望值了。所以，后面股价只能突然大涨，来增加波动率。

这就是我们看到的，2019年前面俩月稳步上涨+12%，而后突然两天就暴涨10%。后面这两天的暴涨意味着对长期牛市的确认。因为，倘若是震荡行情，每天期望值是0，如果前面两月涨+12%，后面只能大跌12%，一是期望值回归，二是回归更大的标准差1%。

当然，新的暴涨之后，必然也会有回调。因为预期20天涨+6%，而前两天就暴涨10%，这明显超涨了。所以在布朗运动模型下，后面股价应该回调至+6%的位置才行。现实中，股价在2019.3月份，没有一飞冲天，确实震荡了一个月，最终落在+8%附近。

如果股价期初是0%最低价，期末是6%最高价，那么只能是进二退一的走法。就是说，在满足最终+6%的期望值时，得有几天阴线下跌，使得每天下跌天数与上涨天数大体对称，才能最后得到1%的标准差的高斯分布。这个路径是人们喜欢的牛市稳步上涨，但实际发生的概率不大。这也是人们的常识，如果股价天天上涨，就觉得心里不踏实。

更常见的路径是，一开始大涨8天，到最高+9%；然后暴跌5天到最低-3%；最后再反弹7天到+6%期望值附近。这里对波动率贡献最大的是中间“暴跌5天”，其实前面的上涨和后面的反弹，波动率基本是1%以内。这里就是，暴涨必然对应暴跌，因为要均值回归；而大幅涨跌也要出现，否则波动率太小，满足不了标准差是1%。当月初股价就大涨时，我们得在月中超出+6%的某个点去止盈，等待碰壁回撤。

而且，为了对称性，如果前面超涨太多，后面必然超跌更多。比方说，我们在+6%处止盈，如果股价立即折回，那么我们在0%处再买回。但是，如果股价继续涨至+9%处，我们就要等到-3%处，再买回。

另外一种相反路径，就是月初一开始就大幅下跌3%，然后再反弹到最高+9%，最后再回落至期望值附近+6%处。这就是“坏事变好事”。在牛市中，股价某个月一开始就下跌，挺让人失望的。但只要坚持认为，这是牛市，还不是反转。那么，持股等反弹，就是明智的。同样，暴跌之后必然暴涨。如果出现是-3%，我们就可以等9%的最高点，而不是刚反弹到0%或+3%处就匆匆卖出保本。

牛市中，单日回调幅度很大，是为了提供更多的波动率贡献。而牛市中的反弹，往往不需要单日涨幅很大，而只需要多反弹几天即可。如果单日反弹过大，那么可能就会使得最后的20日平均波动率变得太大。也就是，牛市中，3天回调下跌6%，6天反弹6%，应该是这么个节奏。