确定性流动性模式下的最优订单调度

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《Optimal Order Scheduling for Deterministic Liquidity Patterns》
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作者：
Peter Bank and Antje Fruth
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
We consider a broker who has to place a large order which consumes a sizable part of average daily trading volume. The broker\'s aim is thus to minimize execution costs he incurs from the adverse impact of his trades on market prices. By contrast to the previous literature, see, e.g., Obizhaeva and Wang (2005), Predoiu, Shaikhet, and Shreve (2011), we allow the liquidity parameters of market depth and resilience to vary deterministically over the course of the trading period. The resulting singular optimal control problem is shown to be tractable by methods from convex analysis and, under minimal assumptions, we construct an explicit solution to the scheduling problem in terms of some concave envelope of the resilience adjusted market depth.
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中文摘要：
我们考虑一个经纪人，他必须下一笔很大的订单，这相当于平均每日交易量的很大一部分。因此，经纪人的目标是将其交易对市场价格的不利影响导致的执行成本降至最低。与之前的文献相比，如Obizhaeva和Wang（2005）、Predoiu、Shaikhet和Shreve（2011），我们允许市场深度和弹性的流动性参数在交易期间发生决定性变化。由此产生的奇异最优控制问题可以用凸分析的方法来处理，并且在最小假设下，我们构造了一个关于弹性调整市场深度的凹包络的调度问题的显式解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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Optimal_Order_Scheduling_for_Deterministic_Liquidity_Patterns.pdf
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kedemingshi

2022-5-5 02:26:12

确定性流动性模式下的最优订单调度——柏林金融研究院的斯佩特银行和安捷弗鲁特技术大学（Antje Fruthtechnicsche Universit）——我们的数学模型是17。Juni 136，10623柏林，德国(bank@math.tu-柏林。de）2021年6月15日摘要我们考虑的是一个必须下大订单的经纪人，该订单消耗了平均每日交易量的很大一部分。因此，经纪人的目标是最大限度地降低因交易对市场价格的不利影响而产生的执行成本。与之前的文献相比，见Obizhaeva和Wang[7]，Predoiu等人[8]，我们允许在交易期间，市场深度的流动性参数和对变量的最终弹性。结果表明，用凸分析的方法可以处理奇异最优控制问题，并且在最小假设下，我们构造了一个关于弹性调整市场深度的凹包络的调度问题的显式解。关键词：订单调度、流动性、凸性、奇异控制、凸性分析、信封、最优订单执行1简介众所周知，市场流动性表现出确定性的日内模式；例如，参见Chordia等人[3]或肯普夫和梅斯顿[6]的一些实证研究。然而，关于最优订单调度的学术文献大多考虑了市场深度和灵活性的时不变规定；参见Obizhaeva和Wang[7]，Alfonsi等人[2]，Predoiu等人[8]。因此，当最小化交易计划的执行成本时，如何考虑这些流动性参数的时变规定就成为了一个问题。Fruth等人利用动态规划技术和变分法解决了这个问题[5]。

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kedemingshi

2022-5-5 02:26:15

这些作者表明，在对这些模式的某些附加假设下，仍需安排的订单数量与当前市场影响的比率存在时间依赖性水平，这表明何时应追加订单。明确的解决方案是为一些特殊情况提供的，在这种情况下，经纪商会继续发出指令。论文[4]讨论了在流动性参数随机变化的情况下，顺序信号结构持续存在的条件。Acevedo和Alfonsi[1]使用离散时间的反向归纳参数，然后传递到连续时间，计算市场影响的非线性特征的最优策略，这些非线性特征由满足某些强规律性条件的时间相关因素来衡量。在他们的方法中，原则上允许订单计划在一路上出售和购买，而不管预期的终端位置是什么，并且他们继续确定条件（被视为确保没有市场操纵策略），在这些条件下，临时计划不会这样做。然后，只有在将弹性和市场深度及其时间导数相互关联的强假设下，才能获得最优时间表。与这些方法相比，我们从一开始就关注纯买卖计划，并展示如何将优化问题简化为凸问题。因此，我们不必强加条件，确保订单在特定时间以特定方式安排。取而代之的是，最优订单规模和时间是从市场深度和灵活性的结构中内生地衍生出来的。这是通过使用最优性的凸分析一阶特征实现的，我们表明，这与市场深度弹性调整形式的广义凹包络的构造密切相关。

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nandehutu2022

2022-5-5 02:26:18

在最小的假设下，这使我们能够描述最优调度何时存在，如果存在，则可以根据这些包络线显式地构造它们。我们通过恢复Obizhaeva和Wang[7]的分析解来说明我们的发现，并展示了最优调度如何依赖于市场深度和弹性水平的变化。结果表明，在市场深度随时间变化的情况下，最优订单安排不必包括大型的初始和终端交易，而在之前的文献中通常会发现小型的中间交易。我们还发现，较低的弹性将使最优计划更关注（本地）市场深度的最大值，而没有弹性的最优计划只在市场深度达到全球最大值时进行交易。2.我们考虑一个经纪人，他必须下总数量为x>0股的股票的订单。经纪人知道，由于股票的流动性有限，这些订单将以高于某些参考股票价格的加价执行。这种涨价将取决于经纪人过去和现在的交易。对于我们对加价的具体说明，我们采用了Obizhaeva和Wang[7]提出的模型，参见Alfonsi等人[2]和Predoiu等人[8]了解这种方法的进一步动机。与这些论文形成对比，但与Fruth等人[5]和Acevedo及Alfonsi[1]的观点一致，我们将允许市场的深度和弹性流动性特征根据确定性模式不断变化。具体来说，考虑到经纪人的累计购买量X=（Xt）t≥0，与X0成正比的连续递增过程-, 0，根据动力学（1）ηX0得出的加价-, η≥ 0，dηXt=dXtδt- rtηxtdt，其中δt描述了时间t时的市场深度≥ 0，其中RTM测量其当前弹性。

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能者818

2022-5-5 02:26:21

因此，在我们的模型中，市场影响被视为订单规模的线性函数，任何时候的斜率都由市场深度决定。此外，市场影响力会随着时间的推移以市场弹性所规定的速度衰减。显然，（1）有正确的连续解（2）ηXt，η+Z[0，t]ρsδsdXs/ρtwithρt，expZtrsds, T≥ 0，假设2.1。弹性模式由严格正的局部勒贝格可积函数r[0，∞) → (0, ∞).在续集中，我们将需要更多的假设2.2。市场深度模式δ：[0，∞) → [0, ∞) 非负，非同零，有界，上半连续↑∞δt/ρt=0。经纪人的目标是最小化累计加价成本：（3）最小化C（X），Z[0，∞)ηXt-+tX2δtDXT对象到X∈ Xwhere德克萨斯州，德克萨斯州+- Xt-andX，{（Xt）t≥0右续，增量：X0-= 0，X∞= x、 C（x）<∞}用符号X∞, 极限↑∞十、备注2.3。1.注意（3）中的tX2δt项说明了由于自身的加价效应而产生的微小顺序的成本；参见，例如，Alfonsi等人[2]或Predoiu等人[8]，他们还展示了（3）中的成本函数是如何出现的，当经纪人处于风险中性时，随机参考价格会演变成一个小的价格。还要注意的是，由于welet X0-, 0时，X>0的值对应于大小的初始跳跃X=Xin订单时间表。2.在有限的时间范围内进行清算≥ 0，当t>t时，市场深度δt=0。事实上，按照约定，1/0=∞ 在积分（2）中，ηX和成本sc（X）将确定在T.3之后增加的任何订单计划X。

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能者818

2022-5-5 02:26:24

r的严格正性不会失去普遍性，因为如果弹性系数=0在区间[t，t]上几乎在任何地方消失，则无需根据市场深度进行交易，并且在市场深度δ在此期间达到最大值的时刻进行交易是最优的；参见提案4.1。因此，可以假设δ在t处取这个最大值，然后将区间（t，t）从考虑范围中移除。4.上半连续市场深度δ的假设是必要的，以排除存在最优调度的明显反例。对于无限上半连续δ，可以很容易地证明infxc=xη/ρ∞, 所以没有最优的时间表。需要使用lim supcondition来排除不确定延迟部分订单的最优性。5.包含一个局部Lebesgue可积贴现率为r=（\'rt）的贴现因子≥ 在我们的加价成本中，0相当于δt，δtexp（Rt-RSD）和ert，Rt+-Rt，t≥ 0而不是上面的δ和r。本文的主要结果是问题（3）的解决方案。它描述了为了最小化加价成本，我们的经纪人应该愿意在任何时间点下订单的加价水平：定理3.1。假设假设2.1和2.2保持不变，设λt，δt/ρt，eλt，supu≥tλu和定义（4）L*t=infu>teλu-eλteλu/ρu-eλt/ρt，t≥ 0，我们遵循0/0，0的约定。然后，最优的订单调度策略是在任何时间下订单≥ 如果结果加成不大于y，则为0*L*t/ρt，即（5）X*t=λ（y）*L*- η） ++Z（0，t]λsd sup0≤五、≤s{（y）*L*v）∨ η} ，t≥ 0，提供常数y*> 可以选择（5）中的0，以便X*∞= x、当且仅当（5）的右边有y时，情况就是这样*, 1仍然受t的限制↑ ∞.

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mingdashike22

2022-5-5 02:26:28

如果不是这样，我们有infX∈XC（X）=0，问题没有解。下面的结果概述了这个定理的证明，可能会引起人们的兴趣。我们的第一个辅助结果为问题（3）：命题3.2提供了一个数学上更方便的公式。假设假设假设2.1和2.2保持不变，让λ、δ/ρ、κ、λ/ρ=δ/ρ，并定义为增加且右连续的Y=（Yt）t≥0，K（Y），Z[0，∞)κtd（Yt）。然后（6）Yt=η+Z[0，t]dXsλs，Y0-, η、 Xt=Z[0，t]λsdYs，X0-, 0，t≥ 0，从X toY定义映射，（Yt）t≥0右续，增量：Y0-, η、 Z[0，∞)λtdYt=x，K（Y）<∞反之亦然，C（X）=K（Y）。因此，有了κ和λ的选择，优化问题（3）等价于以下问题：（7）最小化K（Y），Z[0，∞)κtd（Yt）受Y的影响∈ Y一般来说，问题（3）和问题（7）都不是凸的：命题3.3。对于上半连续κ，（7）的函数K=K（Y）对于右连续是（严格）凸的，Y随Y0增加-= η当且仅当κ（严格）正且（严格）递减。然而，凸性总是可以在以下意义上安排的：定理3.4。设λ，κ如命题3.2所示。那么优化问题（7）的值与凸优化问题（8）的值相同，∞)eκtd（eYt）受toeY影响∈其中eκt，eλt/ρt，eλt，supu≥tλu，t≥ 0，andfY，（eYt）t≥0右续，增量：eY0-, η、 Z[0，∞)eλtdeYt=x，eK（eY）<∞.此外，任何解决方案*到（8）和{deY*> 0} {eλ=λ}也将是（7）的解。备注3.5。对于递增过程Y=（Yt）t≥0我们说t是向右的一个增长点，如果Yt，则写dYt>0-< 对于任何u>t。类似的约定适用于向右递减的过程和递减点。下一个命题描述了问题（8）中最优性的（必要和有效）一阶条件。

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nandehutu2022

2022-5-5 02:26:31

正如人们所期望的，经纪人必须在当前订单对未来加价成本的影响（如下面（9）的左侧所示）和当前对未来市场条件的展望（如等式右侧市场深度相对于弹性的包络线λ递减所示）之间取得平衡：命题3.6。对于eκ，eλ≥ 0，如定理3.4中的eY*∈fY解（8）i，且仅当常数y>0时（9）-Z[t，∞)嗯*乌德κu≥ 叶λt≥ 0与“=”一起*t> 0。构造右连续递增*≥ 0满足（9）的一阶条件可以通过使用时间变化和凹面信封来实现；另见下图3：定理3.7。在假设2.1和2.2下，考虑通行时间τk，inf{t≥ 0:eκt≤ k} 和lete∧k，kρτk，k∈ （0，eκ]and∧，0.那么e∧是[0，eκ]上的一个连续递增映射，它的凹包络b∧是绝对连续的，密度是左连续递减的b∧=(b∧k）0<k≤eκ≥ 0.此外b∧，b∧0+，对于任何y>0和η都有≥ 0，呃*t、（y）b∧eκt）∨η、 t≥ 0，威西*0-, η产生了一个满足（9）的连续增长过程。结合前面的结果，我们将得到原始问题（3）的以下解，它也提供了一个不同于定理3.1中概述的特征；另见下图2：推论3.8。在定理3.7的假设下，使用它的符号，我们有以下二分法：在|b∧| L，（Reκ(b∧k）dk）<∞ 我们可以选择y*> 0唯一的（10）X*t、 λ（y）*b∧eκ- η） ++Z（0，t]λsdn（y）*b∧eκs）∨ ηo，t≥ 0，从X增加*0-, 0比X*∞= 十、这个X*∈ X是问题（3）的最优订货计划。

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能者818

2022-5-5 02:26:34

在η=0的特殊情况下，y*= x/|b∧| Land最小成本由C（X）给出*) = x/（2）|b∧| L）。相比之下，如果|b∧| L=∞ 那我们有infX∈XC（X）=0，问题（3）没有解决方案。4插图推论3.8将最优订单计划的构建简化为凹形包络的计算。这通常可以以封闭形式完成，例如，我们在Obizhaeva和Wang[7]的恒定参数案例第4.1节中的处理。或者，我们可以借助离散几何的高效数值方法，得出基本上任意的流动性模式的解决方案，如我们在第4.2.4.1节“恒定市场深度和弹性”中所述。我们首先展示了如何恢复Obizhaeva和Wang[7]的解，他们认为时间范围T>0且恒定市场深度δT≡ δ[0，T]（T）和恒定市场弹性rt≡ r> 0，t≥ 在这种情况下，我们有λt=eλt=δe-rt[0，T]（T）和κT=eκT=δe-2rt[0，T]（T）。因此，ρτk=pδ/（k）∨ κT）和∧k=pδk∧ （pδ/κTk），0≤ K≤ δ.因此，e∧是它自己的凹包络，即e∧=b∧，其左连续密度为b∧k=（pδ/k，k>κT，pδ/κT=erT，k≤ κT只要T<∞. 在这种情况下，我们计算，b∧eκt=（pδ/κt=ert，t<t，pδ/κt=ert，t≥ T、对于任何y>0，订单计划从（10），Xyt，δ开始Y- η++yδr（t）∧ T- τy）+δy1[T，∞]（t），t≥ 0，带τy，rlog2ηy+∧ T、 y>2ηe-rT，T，ηe-rT≤ Y≤ 2ηe-rT，∞ y<ηe-rT是其交易总量的最佳选择。特别是，如果η=0，我们发现thatXyt=yδ1+r（t）∧ T）+1[T，∞]（t）, T≥ 0.所以选择y*, x/（δ（1+rT/2））产生x*= Xy*和X*∞= x、因此，我们恢复Obizhaeva和Wang[7]的结果：如果η=0，也就是说，如果之前没有订单，最好是下y大小的订单*δ/2在t=0和t=t时，以恒定速率y下订单*中间的δr/2；查阅

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可人4

2022-5-5 02:26:37

图1。Λ=ΛΚ=ΚX*t图1：最佳订单时间表X*（黑色）对于恒定的市场深度δ（蓝色），其弹性调整λ=eλ（红色），κ=eκ（绿色）在一个单位的水平上。4.2时变的市场深度。接下来说明[7]的上述订单投放策略强烈依赖于恒定的市场深度和弹性。下面的图2展示了不断变化的市场深度如何影响推论3.8提供的最佳订单安排的时机。请注意，我们在市场深度消失的时间段（t，t）内包括市场的关闭期。定理3.7引入的相应概念如下图3所示。ΛΛΚX*Tt0t1∧Ht0Lx∧Ht0+L图2：市场深度δ（蓝色）的具体说明，包括有限的地平线T、其弹性调整λ（紫色）、相应的递减包络λ（红色）和eκ（绿色），以及最佳订单计划X*（黑色）。如果我们将弹性参数降低到r=0，即我们假设经纪人订单的永久价格影响，那么市场深度峰值的关注程度会加剧，最终当市场深度达到其全球最大值时，只下一笔巨额订单；参见图4。提议4.1。如果r≡ 0和δ满足假设2.2，优化问题（3）的解决方案正是订单计划X*∈ 带{dX的X*> 0} arg maxδ。证据

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kedemingshi

2022-5-5 02:26:42

当r≡ 0, ρ ≡ 所以ηXt=η+R[0，t]dXsδs≥ η+Xtmaxδ，t≥ 0.1L ``L`ΚHTLΚH0LΚHt0+LΚHt0L∧Ht0Lx∧Ht0+L图3：弹性调整后市场的下降包络线∧（红色）、其凹面包络线B∧（橙色）和密度b∧（黑色）。=ΛΛX*TT0T1图4：最佳订单计划X*（黑色）没有市场弹性和时变市场深度δ（蓝色）。因此，C（X）≥ ηx+x2最大δ，x∈ X，所有X都相等*∈ 带{dX的X*> 0} arg maxδ。相反，在高弹性的情况下，订单倾向于围绕市场深度的局部最大值分布，如图5所示。图2和图5还显示，很难提前猜到何时是发布订单的最佳时机。因此，在这些一般情况下，通过Fruth等人[5]中的经典变分法或通过Acevedo和Alfonsi[1]的方法进行的方法似乎是不可行的。X*TT0T1图5：最佳订单计划X*（黑色）对于时变市场深度δ（蓝色）具有很强的市场弹性。5证明我们首先证明，通过给出命题3.2的证明，原始问题（3）确实可以重新表述为（7）。我们首先观察到，对于X∈ X（6）中的映射定义了一个递增的右连续Y，Y=ρηX。因为c（X）<∞, ηXis dX可积，因此在{X<X}上是有限的。因此，Y在这个集合上也是有限的，我们得出结论dX=λdY。由初等微积分得出，K（Y）=C（X），因此，Y∈ 按你的意愿。相反，对于Y∈ Y，κ=λ/ρ是d（Y）-可积的。由于ρ>0是连续的，这意味着λ是局部dY-可积的，因此由（6）给出的X是右连续的，并且随着dX=λdY而增加。

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mingdashike22

2022-5-5 02:26:46

同样的道理，这意味着C（X）=K（Y）和X∈ 十、下一步，我们刻画问题（7）是凸的：命题3.3的证明如果κ是上半连续且递减的，它也是左连续的，我们可以使用Fubini定理来写（Y）=κ∞（Y）∞- η) -Z[0，∞)（Yt）- η） dκt对于任意右连续增加Y和Y0-= η. 因此，K=K（Y）在这样的Y中是等凸的，严格凸性在其域上保持为真，从而严格降低κ。相反，考虑0≤ s<t<∞ 函数Y，η+a1[s，∞]+b1[t，∞]. 然后（Y）=κs（（a+η）- η） +κt（a+b+η）- （a+η）=κsa+κtab+κtb+η（aκs+bκt）在a，b>0中是凸的当且仅当κs≥ κt≥ 0，严格不等式对应于严格凸性。为了准备定理3.4的证明，让我们回想一下，对于任意增加的Z:[0，∞) → R我们让{dZ>0}，{t≥ 0:Zt-< Zufor all u>t}表示向右所有增加点的集合。对于递减的Z，我们让{dZ<0}，{d(-Z） >0}。在这两种情况下，我们都让supp-dZ表示测度dZ的支撑，即具有消失dZ测度的最小闭集。引理5.1。对于上半连续，有界λ：[0，∞) → R、我们有λt，supu≥tλuis左连续且随（11）{deλ<0} {eλ=λ}。此外，我们还有（12）R={deλ<0}∪[n]∈N[ln，rn）∪[n]∈N（ln，rn）其中（ln，rn），N∈ N、是形成R\\supp deλ的不相交的开放区间，其中N=nn∈ N:嗯≥ 0, lneλ=0o和N=N\\N.证明。eλ的左连续性和关系式（11）是直接的。接下来请注意{deλ<0} supp deλ，因此R\\{deλ<0}锡∈N（ln，rn）。

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何人来此

2022-5-5 02:26:49

因此，为了减少分区（12），必须观察n∈ 我们有ln6∈ {deλ<0}和t的{deλ<0}≥ 0使得对于某些u>t（t，u），eλt=eλuf （ln，rn）对于一些n∈ N、因此t∈ （ln，rn）或t=lnwithlneλ=0。定理3.4证明的主要工具是下面的引理5.2。在定理3.4的条件下，我们可以找到任意递增的右连续Y≥ η是一个递增的右连续体≥ η如此≤ Y和（i）R[0，∞)λtdYt=R[0，∞)λtdeYt，（ii）{deY>0} {deλ<0}，（iii）K（Y）≥ K（eY）=eK（eY）。证据我们进去了，n∈ N、表示构成{deλ<0}补码的引理5.1的不相交区间，我们将使用ln，rn来表示它们各自的边界。对于左界为ln的一个区间=-∞ 为了简单起见，我们现在定义ln，0，前提是rn>0；相比之下，如果这只是一条负半线，我们可以并且将在续集中把它从考虑范围中删除。类似地，如果rn=∞ 对一些人来说∈ N、根据假设2.2，δt=λt=κt≡ 0，因此也可以对其进行加密。然后观察（13）supInλ=λrn，通过λ的上半连续性和我们的选择，当不包括lnin时，何时包括lnin。让我们为t≥ 0，eYt，η+Z[0，t]{deλ<0}（s）dYs+Xn∈N、注册护士≤tZInλsλrndy。我们首先注意到≤ YIndeedYt-eYt=Z[0，t]R\\{deλ<0}（s）（dYs）- deYs）=Xn∈N、在≤T吉娜∩[0，t]dYs- 1[rn，∞)（t） ZInλsλrndy是非负的，因为（13）。断言（i）很容易使用（12）给出的分区进行检查。在第（ii）节中，必须观察所有rn，n∈ N、包含在{deλ<0}中。为了证明断言（iii），我们首先注意到K（eY）=eK（eY）是（ii）和（11）的中间结果。

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可人4

2022-5-5 02:26:53

建立K（Y）- K（eY）≥ 0我们将这种差异分解为（12）给出的分区中不同部分的贡献，每个部分都将显示为非负。从{deλ<0}\\{rn:n∈ N} 我们收集Z[0，∞)∩（{deλ<0}\\{rn:n）∈N} ）κ-thd（Yt）- d（eYt）i=Z[0，∞)∩（{deλ<0}\\{rn:n）∈N} ）κtYt-+泰戴特-艾特-+泰德伊特这是非负的，因为Y≥因为dYt=Deyt代表t∈ {deλ<0}\\{rn:n∈ N} 通过建设。从∪ {rn}，n∈ N、我们得到了捐款（吉娜）∪{rn}κtd（Yt）- κrn“艾恩-+吉娜∪{rn}λsλrndy-艾恩-#)对此，我们注意到其[…]-部分可以写为“艾恩-+吉娜∪{rn}λsλrndy-艾恩-#=吉娜∪{rn}λsλrndy+艾恩-吉娜∪{rn}λsλrndYs=ZIn∪{rn}Z（在∪{rn}）∩[ln，t）λsλrnλtλrndYsdYt+Xty6=0，t∈在里面∪{rn}λtλrn(泰恩-吉娜∪{rn}λsλrndy。因此，再次使用（13），我们得到了yn，Yln-如果在∈ 伊南德·伊恩，别提了[…]≤吉娜∪{rn}（Yt）-- yn）λtλrndYt+Xty6=0，t∈在里面∪{rn}λtλrn(泰恩-吉娜∪{rn}λsλrndy≤吉娜∪{rn}（Yt）-- yn）λtλrndYt+Xty6=0，t∈在里面∪{rn}λtλrn(泰恩津∪{rn}λsλrndYs=ZIn∪{rn}λtλrnd（Yt），其中第二个估计自Eyrn起保持不变-=艾琳≤ 因为（二）。因为ρ=λ/κ是通过假设增加的，所以我们有λtλrn=ρtρrnκtκrn≤κtκrn和κrn[…]≤吉娜∪{rn}κtd（Yt）仍有待显示。有了前面的政策改进引理，现在可以很容易地用引理5.2给出定理3.4的极限，并且使用它的符号，我们可以找到任何Y∈ 伊伊∈fY∩ 是这样的≥ K（Y）≥ K（eY）=eK（eY）。因此，infYK=infeYeK。

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大多数88

2022-5-5 02:26:56

此外，伊菲*∈fY达到最近的极限，我们可以用引理5.2 toeλandeK代替λ和K来获得另一个最优解**∈除此之外{deY**> 0} {deλ<0}。通过引理5.1，后一个集合包含在{λ=eλ}={κ=eκ}和thusthiseY中**也包含在Y中，也是（7）的最佳选择。接下来，让我们在命题3.6的前提下推导出凸问题（8）的一阶条件，回顾eκ∞= 0，我们通过Fubini的Theorem（14）eK（Y）获得-Z[0，∞)（Yt）- η）必要时，我们观察到∈fY和0<ε≤ 1我们有0≤eK（εY+（1）- ε） Y*) -埃克（Y）*)= - εZ[0，∞)（Yt）- Y*t） Y*tdeκt-εZ[0，∞)（Yt）- Y*t） deκt，除以ε>0，并让ε↓ 0，产生Y*同时解决线性问题（15）最小化-Z[0，∞)Y*tYtdeκt受Y影响∈fY。等价地，根据富比尼定理，Y*是问题的解决方案：（16）MinimizeZ[0，∞)-Z[t，∞)Y*乌德κu动态对象∈fY。因此，Y*只有当dY*t> 0在这些时间t≥ 0时-R[t，∞)Y*udeκu/eλ在{eλ>0}上达到其极限。因此，这个最小值实际上是最小值，因此严格来说是正的。用y>0表示它表示（9）的必要性。为了提高效率，我们再次使用（14）来推断Y的效率∈fY:eK（Y）-埃克（Y）*) = -Z[0，∞)（（Yt）- （Y）*t））去κt≥ -Z[0，∞)Y*t（Yt）- Y*t）如果Y，最后一项是非负的*解（15），由于（15）和（16）的等价性，这相当于我们的一阶条件（9）。现在可以建立定理3.7中给出的一阶条件的解的构造：定理3.7e∧的证明在[0，eκ]上是连续的，因为k7也是连续的→ τkbe是由于ρ的严格单调性，因此eκ在{eκ>0}上的严格单调性。e∧在增加，因为随着eκt的增加，t中的∧eκt=eκtρt=eλ也在减少≥ 0

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kedemingshi

2022-5-5 02:27:00

凹包络线B∧的绝对连续性源于E∧的连续性。Ey的单调性*从eκ和b∧。对于其正确的连续性，请注意limt↓泰*t=（y）b∧eκt+）∨η由左延拓初始值为∧时。因此，我们的断言相当于b∧k=b∧k，eκt+和k，eκt≥ k、如果k=k，就没有什么可展示的了。当k<k时，k的τk=τkf∈ [k，k）因此，e∧与这个区间的斜率ρτkon是线性的。因此，b∧在这里也是线性的，因此，b∧k=b∧k+由左连续b∧。因此，有必要证明这一趋势没有向下的跳跃b∧在k处。如果有这样的跳跃，那么，根据凹包络的性质，b∧k=e∧kand是必要的b∧k+≥ ρτk。因此，对于k≤ kwe将有kρτk≤e∧k≤b∧k≤b∧k+b∧k+（k- （k）≤ kρτk，其中第一个估计是由于ρ的单调性，第二个是B∧的凸性，第三个是凹性，最后一个是刚导出的B∧和b∧在k.我们将在上述估计中，尤其是b∧k=ρτk≤ b∧k+。这与假定的经济向下跳跃相矛盾b∧在k.以验证*如果满足第一阶条件（9），让我们首先论证-Z[t，∞)嗯*乌德κu≥ -yZ[t，∞)b∧eκudeκu=yZeκtb∧kdk=yb∧eκt≥ ye∧eκt=yeκtρt=yeλt。事实上，第一个估计值是从定义y开始的*. 第一个恒等式是Lebesgue-Stieltjes积分时间公式的变化：只需观察eκ∞= 假设2.2为0b∧在[0，eκ]中包含的区间上是常数，eκ跳过这些区间，因为e∧在这些区间上是线性的。第二个恒等式来自B∧的绝对连续性，因为B∧=e∧=0，同样是假设2.2。

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2022-5-5 02:27:04

第二个估计成立，因为b∧≥e∧通过定义凹包络，对于最后一个恒等式，我们注意到，如果eκt>0，τeκt=t，否则eκt=eλt=0。最后，我们观察到*t> 0只能在y时发生b∧eκ增加了η，这确保了上述第一个估计值的相等性。第二个等式同样适用于这样的t，因为如果b∧eκ在时间t时增加，b∧必须在eκt处减小，此时soe∧与其凹包络eb∧重合。我们现在可以总结并给出推论3.8 LetbYt，b∧eκt，bY0-, 0和定义Yyt（ybYt）∨η、 t≥ 0，Yy0-, η.作为第一步，我们检查（17）dbYt是否仅在t时大于0≥ 当λt=λt时，实际上，我们将证明，对于这样的t，deλt<0。如果teκ<0，这是显而易见的。那么让我们假设eκt+=eκ，并假设t有t>tλt=eλt∈ [t，t]。在这种情况下，e∧在区间（eκt，eκt）上是常数。因为dbYt>0，密度b∧必须在k处减小，eκt+=eκtand，因此在这一点上，曲线b∧与e∧重合。然而，B∧的凹性和单调性意味着b∧=0，在k附近，与它的值相矛盾。接下来让我们来证明这一点|b∧k | L<∞ 当且仅当ifeλ是dbY-可积的。为了看到这一点，我们认为b∧eκ0-, 我们有，∞)λtdbYt=Z[0，∞)e∧eκtd(b∧eκt）=Z[0，∞)b∧eκtd(b∧eκt）=Zeκb∧lb∧eκτldl=Zeκ(b∧l）dl。事实上，第一个身份仅仅是（17）和ande∧的定义。第二个恒等式成立，因为在b∧变化；第三个实体来源于写下b∧eκt=Reκt后Fubini定理的应用b∧ldl和自b∧是左连续的，eκ跨越的间隔不变。所以如果|b∧L<∞, 那么Xyt，R[0，t]λdYy，t≥ 0是实值的，右连续的，并且在t中递增∞每年都在增加≥ 0加x∞= 0和Xy∞≥ Xy→ ∞ 就像我一样↑ ∞.

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kedemingshi

2022-5-5 02:27:07

事实上，Xy∞= yR[0，∞)λdbY代表y≥η/bY（其中0/0，∞) 还有，对我来说∈ [η/按∞, η/bY]，Xy∞= yR[τy，∞)λdbY=R[τy+，∞)λdbY，其中τy，infnt≥ 0:y>η/bYto。因此，Xy∞实际上是连续的，严格地从0增加到∞ 在y≥ η/bY∞从而得到y的存在性和唯一性*> 0与Xy*∞= x、因此，我们可以得出x的结论*, Xy*包含在X中（因此相应的Y*= Yy*当我们确定K（Y）时，of（6）包含在Y中*) < ∞. 因此有必要观察K（Y*) ≤ （y）*)K（bY）和我们之前计算R[0，∞)λdbY我们有k（bY）=eK（bY）=Z[0，∞)eκtd(b∧eκt）=泽κ(b∧l）dl<∞.我们接下来展示X*还有Y*分别对问题（3）和问题（7）和（8）是最优的。事实上，根据定理3.7，Y*= （y）*b∧eκ）∨ η满足一阶条件（9），并且根据命题3.6，因此对于凸问题（8）是最优的，前提是*也包含在infY中。要想看得更平[0，∞)eλdY*= 并推导出Y的最优性*同样针对问题（7）（因此，根据命题3.2，X的最优性）*对于原始问题（3），必须通过定理3.4检查{dY*> 0} {from}实际上是λ（λe）。η=0时的最小成本公式是我们上述计算的直接结果。因此，我们仍然需要证明，如果|b∧| L=∞. 看看这个注释，在这种情况下，对于任何足够大的≤ S<T<∞, 时间表∈ 当η=0时，对于δS，T，δ1[S，T]而不是δ，X是最优的。当我们注意到相应的凹面包络线B∧S，Talways有一个有界密度，因为T<∞, 因此，只要市场深度不完全消失，这个有限时间范围问题的解决方案是存在的。

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2022-5-5 02:27:10

后一个条件显然适用于δS，当T足够大时，反之亦然≡ 一段时间后0，这将排除假定的b∧在0。请注意，我们可以进一步选择S，T↑ ∞ 使得b∧eκ在这些点与e∧eκ重合。这保证了b∧=b∧S，T[eκT，eκS]，因此|b∧S，T | L→Reκ(b∧k∧eκS）dk=∞ 阿斯特↑ ∞.因为c（XS，T）=Z[0，∞)ηρtdXS，Tt+C（XS，T）≤ηxρS+C（XS，T），其中C（x）表示任何x的成本∈ 当η=0时，我们得到infxc≤ηxρS+x2|b∧S，T | l在这里我们使用了最优成本C（XS，T）的公式。由于我们对S，T的特殊选择，任何固定的S作为T，第二项都消失了↑ ∞.对于S，第一项消失↑ ∞ 因为ρ必须是无界的b∧k增加到∞ 作为k↓ 0.事实上：b∧0+=supk>0e∧k/k=supk>0ρτk。最后，让我们展示定理3.1是如何从推论3.8推导出来的：根据推论3.8，定理3.1的证明必须证明sup0≤T≤sL*t=b∧eκs，s≥ 0.现在，根据凹包络的性质，由于b∧对于任何0<k，我们都有≤ eκb∧k=supl∈[k，eκ]infm∈[0，l）e∧m-e∧lm- l、随着变量k=eκs，l=eκt，m=eκU的变化，前面的比率变成了（4）中出现的比率，完成了我们的证明。参考文献[1]Jos\'e Infante Acevedo和Aur\'Eline Alfonsi。时变极限订单簿中的最优执行和价格操纵。预印本，2012年。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1204.2736v1.[2] 奥尔埃林·阿方西、安杰·弗鲁斯和亚历山大·希德。具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。定量。《金融》，10（2）：143-157，2010年。ISSN 1469-7688。内政部：10.1080/146976802595700。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/14697680802595700.[3] 塔伦·乔迪亚、理查德·罗尔和阿瓦尼达尔·苏布拉曼亚姆。市场流动性和交易活动。《金融杂志》，56:501–530，2001年。[4] 安杰·弗鲁斯。

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kedemingshi

2022-5-5 02:27:14

具有随机流动性的最优订单执行。博士论文，柏林大学，2011年。统一资源定位地址http://opus.kobv.de/tuberlin/volltexte/2011/3174/.[5] 安杰·弗鲁斯、托尔斯滕·肖内伯恩和迈克尔·乌鲁索夫。具有时变流动性的订单的最优交易执行和价格操纵。将于2011年发表在《数学金融》杂志上。统一资源定位地址http://homepage.alice.de/murusov/papers/11fsu-opt_exec_pm_determ.pdf.[6] A.肯普夫和D.梅斯顿。订单簿流动性的共性。《金融研究杂志》，31:25–40，2008年。[7] 安娜·奥比扎耶娃和江旺。最佳交易策略和供需动态。预印本，2005年。统一资源定位地址http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=686168.[8] 西尔维乌·普雷多厄、根纳迪·谢赫和史蒂文·什里夫。一般单边极限订货簿中的最优执行。暹罗J.金融数学。，2:183–212, 2011. ISSN 1945-497X。内政部：10.1137/10078534X。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1137/10078534X.

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